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1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 专题38 综合与实践-几何综合压轴题（37 题） 答案版 1．(1)CE BD = ，理由如下： 由旋转得 90 , DAE AD AE = = ∵ 90 BAC = ∴ DAE BAC = ∴ DAC CAE DAC BAD + = + ∴ CAE BAD = ∵AB AC = ∴ ( ) ABD ACE SAS ≌ ∴CE BD = ； (2) 6 13 5 (3) 1 1 k − 2．(1) BE DF = ，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴ , 90 AB AD BAD = = ， ∵ , 90 AE AF EAF = = ， ∴由旋转可得， , 90 AE AF E AF = = ， ∴ 90 BAD E AF = = ， ∴ BAE DAF = ， ∴ ( ) SAS BAE DAF △ ≌△ ， ∴BE DF = ； (2)①证明：∵AE BE ⊥ ， ∴ 90 AE B = ， 由（1）可得， BAE DAF △ ≌△ ， ∴ 90 AE B AF D = = ， ∵ 90 E AF = ， ∴ 180 E AF AF D + = ， ∴AE DF ∥ ， ∴NA NE ND NF = ， ∴NA NF ND NE = ； ②4 3 3．(1) 2 AP = (2)解：CD QE = ，理由如下： 如图1，连接AQ ． 四边形AEBD 为矩形， ∴BE AD ∥ ， PAC QBA = AC BA = ， PAC QBA = ，AP BQ = ， ∴ ( ) PAC QBA SAS ≌ ， CPA AQB = ， ∴180 180 CPA AQB − − = ， 即 BPC AQE = ． BPC BCD = ， BCD AQE = ， 四边形AEBD 为矩形， BD AE = ， 90 BDC BDA AEQ = = = ， ( ) BDC AEQ AAS ≌ ， CD QE = ． (3)解： 2 BP QE = ，理由如下： 如图2 ，延长AD 至点F ，使得AF AB = ，连接BF ，PF ． 3 / 25 学科网（北京）股份有限公司 AF AB = ， ( ) 1 1 180 90 2 2 DFB ABF DAP DAP = = − = − ． 1 2 EAQ DAP = ， 90 DFB EAQ EQA = − = ． 由（2）同理可得， ( ) DFB EQA AAS ≌ ， FD QE = ． AB AF = ， AP BP AD FD + = + ， AP BP AD QE + = + ． 四边形AEBD 为矩形， AD BE = ， AP BP BE QE + = + ， 2 AP BP BQ QE + = + ． AP BQ = ， 2 BP QE = ． 4．(1) AEB CFB = ，AE CF = (2)解： 3 CF AE = ，证明如下： ∵四边形ABCD和四边形EBFG都是矩形， ∴ 90 ABC EBF = = ， ∴ ABC EBC EBF EBC − = − ， ∴ ABE CBF = ， 3 BC BF BA BE = = ， CBF ABE ∽ ， 3 CF BC AE BA = = ， 3 CF AE = ； (3)3或 21 (4) 1 0 3 S 5．(1)30 (2) 7 (3) 4 2 2 3 − 或2 6 2 + 6．(1)证明：∵ ABC EAD △ △ ≌ ， ∴ BAC E = ，即 FAD E = ， 又∵ AFD EFA = ， ∴AFD EFA ∽ ， ∴AF FD FE AF = ， ∴ 2 AF FD FE = ； (2) 2 3 (3) 2 1 + 7．(1)证明： AB BC = ，BO是ABC 的中线， A C = ，AO CO = ，BO AC ⊥ ， BOC 绕点O顺时针旋转得到DOE ， E C = ，EO CO = ， A E = ，AO EO = ， AON EOM = ， 在AON 和EOM 中， A E AO EO AON EOM = = = ， ( ) ASA AON EOM ≌ ； (2)①解：DO DF = ， 理由如下： AB BC = ，BO是ABC的中线， 5 / 25 学科网（北京）股份有限公司 ABO CBO = ， BOC 绕点O顺时针旋转得到DOE ， D CBO = ，OD OB = ， ABO D = ， ∵OD AB ∥ ， D AFD = ， AFD ABO = ， DF OB ∥ ， 四边形DFBO是平行四边形， OD OB = ， DFBO 是菱形， DO DF = ； ②线段BH 的长为13 或4 13 − 8．(1)如图①，点P 即为所求； (2)两点之间线段最短 (3)1 (4) 4 3 4 6 3 + 9．(1)相等，等底等高的三角形面积相等 (2) 点D 的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A ）． 证明：连接OD， ∵O是AB 中点，D 是AC 的中点， ∴OD是ABC的中位线 ∴OD BC ． 又∵AB 是直径 ∴ 90 ACB = ， ∴ 90 ADO ACB = = ， ∴点D 在以OA为直径的圆上． 又∵点A 、C 不重合，故点D 不与点A 重合， ∴点D 的运动路径是以线段OA为直径的圆（不包含点A ）． (3)8 10．(1)61；1.8 (2)8.3m 11．(1)解：作图如下： (2)证明：由作图知，BE 是 ABC 的平分线， ∴ ABE CBE = ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD BC ，AD BC = ， ∴ AEB CBE = ， ∴ AEB ABE = ， ∴AB AE = ， ∵DE AD AE = − ， ∴DE BC AB = − ． 12．(1)解∶如图， OMN △ 即为所求， 7 / 25 学科网（北京）股份有限公司 (2) 29 30 13．(1)5 (2) 6 ( 0) 2 y x x = (3) 5 1 2 DP DC − = 14．(1)60；4 (2)两个结论仍然成立．证明如下： 四边形ABCD是菱形， 120 BAD = ， 4 AB = ， 4 AB AD BC = = = ，AD BC ∥ ， 180 60 ABC BAD = − = ， AB AE = ， AD AE AB = = ， BAE = ，则 120 EAD BAD BAE = − = − ， ( ) 1 180 90 2 2 AEB BAE = − = − ， ( ) ( ) 1 1 180 180 120 30 2 2 2 AED EAD = − = − − = + ， 180 180 90 30 60 2 2 BEH AEB AED = − − = − − − + = ， BE BH = ， BEH 为等边三角形， 60 EBH = ， ABC EBH = ，则 ABC CBE EBH CBE − = − ， ABE CBH = ， BE BH = ，AB CB = ， ( ) ABE CBH SAS ≌ ， AE CH = ， 4 CH = ． (3)15或105． 15．(1)证明：连接CD，如图所示： 根据旋转可得： 60 CAD = ，AC AD = ， ∴ACD为等边三角形， ∴CD AD = ， 60 ACD = ， ∵ 120 60 60 EAD BAC CAD = − = − = ， ∴ EAD ACD = ， ∵AE CF = ， ∴ ( ) SAS AED CFD ≌ ， ∴DE DF = ； (2) 3 EF HE = ；理由如下： ∵AH AC ⊥ ， ∴ 90 HAF = ， ∴ 30 BAH BAC HAF = − = ， ∴ 1 sin sin30 2 AH C HC = = = ， ∵AB AC = ， ∴ ( ) 1 180 120 30 2 A C − = = = ， ∴ BAH C = ， ∵ 2 CF AE = ， ∴ 1 2 AE CF = ， ∴AE AH CF HC = ， ∴ AEH CFH △ ∽△ ， ∴ 1 2 HE AH HF HC = = ， AHE CHF = ， 9 / 25 学科网（北京）股份有限公司 ∴ AHE AHF AHF CHF + = + ， 即 EHF AHC = ， ∵HE AH HF HC = ， ∴HE HF AH HC = ， ∴EFH ACH ∽ ， ∴ 30 EFH C = = ， 90 HEF HAC = = ， ∴ 90 30 60 EHF = − = ， ∴tan tan 60 3 EF EHF HF = = = ， ∴ 3 EF HE = ； (3)1或2 16．(1) 2 3 (2)①2 3 ； ② BAC BFC = ，证明如下： 连接AF ， ， 由①得BAD CAE ∽ ， ∴ ABD ACE = ，即 ABF ACF = ， ∴点A 、B 、C 、F 四点共圆， ∴ BAC BFC = ； (3)①5；②36 13 17．(1)100 (2)解：选择①ASQ BAP ∽ ， 证明：∵QS AB， ∴ ASQ BAP = ， 又 QAS ABP = ， ∴ASQ BAP ∽ ； 选择②DSQ CDP ∽ ， 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB CD ∥ ，AB CD = ， 又QS AB， ∴QS CD ， ∴ QSD PDC = ， 又 QDS DCP = ， ∴DSQ CDP ∽ ； (3)解：AP DS = ， 理由：∵ASQ BAP ∽ ，DSQ CDP ∽ ， ∴SQ AS AP AB = ①，SQ DS DP CD = ， ∵AB CD = ， ∴SQ DS DP AB = ②， 由①得AB SQ AP AS = ， 由②得AB SQ DP DS = ， ∴AP AS DP DS = ， ∴ ( ) ( ) AP AD SD AD AP DS − − = ， ∴AP AD AP SD AD DS AP DS − − = ， ∴AP AD AD DS = ， ∴AP DS = ； (4) 49 12 18．(1)180 (2) 9 4 k = (3)①BB CC ∥ ， 1 BB CC k = ，理由如下： 如图，连接 , BC B C ， 11 / 25 学科网（北京）股份有限公司 同（1）可得 180 BDF EDF CDE + + = ∴ , , B C D ， , , B D C 三点共线， ∵F D A C ∥ ， ∴B F D B A C ∽ ， ∴ 1 B D B F DC A F k = = ， ∵FD AC ∥ ， ∴ 1 BD BF DC AF k = = ， 1 BD B D DC DC k = = ， 又∵ BDB CDC = ， ∴BB D CC D ∽ ， ∴ DBB DCC = ， 1 BB BD CC DC k = = ， ∴BB CC ∥ ， 1 BB CC k = ； ② 2 2k ． 19．(1)①2 ；②k (2) 5 3 (3) 3 5 或15 20．(1)解：理由如下： 如图，在直线l 上另取一点 2P ，连结 2P A ， 2P B ， ∵三角形的两边之差小于第三边， ∴ 2 2 P A P B AB − ， 当点P 为线段AB 延长线与直线l 的交点时，PA PB AB − = ， ∴对于直线l 上的任意一点P ，都有PA PB AB − ， ∴当点P 为线段AB 延长线与直线l 的交点时，PA PB − 的值最大，最大值为线段AB 的长． (2) 5 2 21．(1) 3 2 (2)50 (3) 2 155077m 22．(1)3 (2)此时左前轮的转向角 GDH 的度数约为26.6 (3) 3 3 58 sin 8 58 23．(1)证明：∵DG 平分 CDE ， ∴ CDG EDG = ， ∵正方形ABCD的边CD绕点D 逆时针旋转得到DE ， ∴AD CD DE = = ， ∵DG DG = ， ∴ ( ) SAS DCG DEG ≌ ， ∴CG EG = ， DEG DCG = ， ∵AD CD DE = = ， ∴ DAE DEG = ， ∴ DAE DCG = ， ∵ AFD CFG = ， ∴ 90 CGF ADF = = ， ∴ 90 CGE = ， ∴CGE是等腰直角三角形． (2)证明：由（1）证得DCG DEG ≌ ， 90 CGE = ， ∴ ( ) 1 360 90 135 2 CGD EGD = = − = ， ∴ 180 180 135 45 AGD EGD = − = − = ， 13 / 25 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 45 AGD ADB = = ， 又∵ DAG FAD = ， ∴ADH AGD ∽ ， ∴AD AH AG AD = ，即 2 AD AH AG = ① ， 如图：过 D 作 DM AE ⊥ 于 M ， 则 90 AMD ADF = = ， ∵ DAM FAD = ， ∴ADM AFD V V ∽ ， ∴AD AM AF AD = ，即 2 AD AM AF = ② ， ∵AD DE = ，DM AE ⊥ ， ∴ 1 2 AM EM AE = = ， ∴ 2 1 2 AD AM AF AE AF = = 由①②两式得， 1 2 AH AG AE AF = ，即 2 AF AE AH AG = ． (3) 34 2 − 24．(1)如图：点D、点E 即为所求． (2)如图：点FP 、点G 即为所求． 25．(1)证明：如图1，连接OC ， ∵ 2 PC PA PB = ， ∴PC PA PB PC = ， 又∵ P P = ， ∴PCB PAC ∽ ， ∴ PCA PBC = ， ∵AB 是 O 的直径，OA OC = ， ∴ 90 , ACB OAC OCA = = ， ∴ 90 PBC OAC PCA OCA OCP + = + = = ， 又∵OC 是 O 的半径， ∴直线PC 是 O 的切线； (2)14 21 11 (3) 1 2 S S ，证明如下： 如图2，连接BD ， 15 / 25 学科网（北京）股份有限公司 ∵O 为AB 的中点，点M 是BE 的中点， ∴OM 是ABE 的中位线， ∴ // OM AE， ∴ 90 ACB ONB = = ， ∵DH AB ⊥ ， ∴ 90 OHD = ， ∴ 90 ODF DOH OBF DOH + = + = ， ∴ ODF OBF = ， ∵OD OB = ， ∴ ODB OBD = ， ∴ ODB ODF OBD OBF − = − ，即 BDF DBF = ， ∴DF BF = ， 在Rt BFH 中， 90 BHF = ，BF BH ， ∴DF BF FH = ， ∵ 1 2 1 1 , 2 2 OFD OFH S S DF OH S S FH OH = = = = ， ∴1 1 2 2 DF OH FH OH ，即 1 2 S S ． 26．(1)1 (2) 5 5 ，3 5 (3) 9 8 27．(1)1 (2)证明：法一： ADP 沿AP 翻折得到 AD P △ ， ∴ 1 AD AD = = ， 1 D P DP = = ∴AD AD D P DP = = = ∴四边形AD PD 是菱形， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴ 90 D = ， ∴四边形AD PD 是正方形； 法二： ∵四边形ABCD是矩形， ∴ 90 D = ． 又∵△ADP 沿AP 翻折得到 AD P △ ， ∴ 90 ADP D = = ， DAP D AP = ， ∵ 1 DP AD = = ， ∴ 45 DAP = ， ∴ 45 DAP DAP = = ， ∴ 2 90 DAD DAP = = ， ∴四边形AD PD 是矩形， 又∵DP AD = ， ∴四边形AD PD 是正方形； (3) 0 2 d 28．(1)证明： PA为 O 的切线， PA OA ⊥ ， ∴ 90 PAO = ， 17 / 25 学科网（北京）股份有限公司 ∵BC OP ∥ ， ∴ , AOP B COP OCB = = ． ∵OB OC = ， ∴ B OCB = ， ∴ AOP COP = ． ∵在AOP 和COP 中， OA OC AOP COP OP OP = = = ∴ ( ) AOP COP SAS ≌ ， ∴ 90 PCO PAO = = ． OC是 O 的半径， PC 为 O 的切线． (2) 4 5 5 ① = BC ；② 24 tan 7 = PEC 29．(1) 25 8 (2)5，25 8 ，8． (3)6 30．(1)①证明： CE AD ∥ ， DEC ADM = ， AM DE ⊥ ， 90 AMD = ， 由旋转得， 90 EDC B = = ， 90 AMD EDC = = ， ADM CED △ ∽△ ； ②2；③ 3 10 4 AB = (2) 2 5 5 31．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴ 90 BAE ABF = = ， 在ABE 和BAF 中 90 AE BF BAE ABF AB BA = = = = ( ) SAS ABE BAF ≌ ； (2) 2 3 MG CF = ，理由如下： 如图，连接 CG ，过点 G 作 GH BC ⊥ 于点 H ， BE 平分 ABC 、AF 平分 BAC ，且AF 与 BE 相交于点G ， 点G 是ABC 的内心， 点G 到ABC三边的距离相等 设GH r = ， 1 1 1 1 2 2 2 2 r AB r AC r BC BC AB + + = ， 即( ) r AB AC BC BC AB + + = ， ∵ 2 AB AC BC + = ∴ 3 r BC BC AB = ∴ 3 AB r = ∴ 3 : :1 GH AB = , 90 FHG FBA AFB GFH = = = FGH FAB △ ∽△ 3:1 : GF AF = 3:2 : AG AF = 2:1 : CM AM = 3:2 : AM AC = ∵ GAM FAC = GAM FAC ∽ ∴ 2 3 MG CF = ； 19 / 25 学科网（北京）股份有限公司 (3) 3 tan 3 23 DAH = 或5 3 17 32．(1)证明：∵D 为BC 中点，E 在OD 的延长线上， ∴OE BC ⊥ ， ∵EM BC ， ∴OE EM ⊥ ， ∴EM 是 O 的切线； (2) PC PA PB = + 或PC PB PA = − ，理由如下： 当点P 在AB 上时，如图，在PC 上取点T 使得，PT PA = ∵ABC是等边三角形， ∴ 60 ABC ACB = = ，AB AC = ， ∵AC AC = ， ∴ 60 APC ABC = = ， ∴ APT △ 是等边三角形， ∴AT AP = ， 60 PTA = ， ∴ 120 ATC = ， ∵四边形APBC是 O 的内接四边形， ∴ 180 APB ACB + = ， ∴ 120 APB = ， ∴ APB ATC = ， 又∵AP AP = ， ∴ ABP ACT = ， ∴ ( ) ABP ACT AAS ≌ ， ∴PB TC = ， ∴PC PT TC PA PB = + = + ；即PC PA PB = + ， 当点P 在AC 上时，如图所示，在CP的延长线上取PS PA = ， 同理可得 60 APB ACB = = ， ∵四边形APBC是 O 的内接四边形， ∴ 180 APB ACB + = ， ∴ 120 APB = ， ∴ 60 APS = ， ∴ APS △ 是等边三角形， ∴ S APB = ， 又∵AB AC = ， ABP ACP = ， ∴ ( ) SAC PAB AAS ≌ ， ∴PB SC PC PS PC PA = = + = + ，即PC PB PA = − ； 33．(1)60 (2)证明： 60 ACD ABD = = ， ACD E = ． AC EF ∥ ． ∵四边形AFBD 是 O 的内接四边形， 180 AFB ADB + = ． ABD是等边三角形， 60 ADB = ， 120 AFB = ． 180 AFB E += ． AF CE ∥ ． ∴四边形AFEC是平行四边形． (3) 7 3 21 / 25 学科网（北京）股份有限公司 34．(1)①证明：如图，作OG AB ⊥ 于G ，OZ CD ⊥ 于Z ，连接OC ， ∴ 1 2 AG AB = ， 1 2 CZ CD = ， ∵AB CD = ， ∴AG CZ = ， ∵OA OC = ， 90 AGO CZO = = ， ∴ ( ) Rt Rt HL OAG OCZ ≌ ， ∴OG OZ = ， ∵ 90 PGO PZO = = ，OP OP = ， ∴ ( ) Rt OPG Rt OPZ HL ≌ ， ∴ APO CPO = ； ② 3 4 PH = ； (2) 2 3 PQ AQ = 35．(1)① ACD ；②两点之间线段最短 (2)作法：如图，连接AB ，在AB 上方作等边三角形ABD ，再作ABD 的外接圆，过点D 作DM l ⊥，垂足 为M，DM 交AB 于N，交圆于点P，点P 即为要作的点． 点P 到点A、点B、直线l 的距离之和最小值为3 3 4 + ； (3)管道路线总长度最短为 3 b a + ． 设计方案：如图所示，分别以边AB 和边CD向矩形外侧作等边三角形ABM 和等边三角形CDN ，再作ABM 和CDN 的外接圆．连接M，N，分别交两圆于点 1P 和点 2P ，其中铺设路线为 1 AP ， 1 BP ， 2 CP ， 2 DP ，1 2 PP ． 36．(1) 6 (2)证明：如图所示，连接DH ， ∵线段DA 绕点D 顺时针旋转90得到线段DE ， ∴ , 90 DA DE ADE ADF = = = ， ∵ 90 CDB = ， ∴ ADE ADC ADC CDE + = + ，即 CDE BDA = ， 在 CDE △ 和BDA 中， DE DA CDE BDA CD BD = = = ， ∴ ( ) SAS CDE BDA ≌ ， ∴CE BA = ， ∵点G ，H 分别是AB ，CE的中点， ∴ , DH DG EDH ADG = = ， ∵ 90 EDH HDA + = ， ∴ 90 ADG HDA + = ，即 90 HDG = ， ∴HDG 是等腰直角三角形， ∴sin sin 45 DH DGH HG = = ，解得 2 2 DH GH = ； ∵ 90 ADF CDB = = ， ∴ ADF CDF CDB CDF − = − ，即 ADC FDB = ， ∵BDC是等腰直角三角形， 23 / 25 学科网（北京）股份有限公司 ∴ , 45 DC DB DCB DBC = = = ， 又 90 ACB = ， ∴ 45 ACD DBC = = ， 在ADC 和 FDB △ 中， ADC FDB DC DB ACD DBC = = = ， ∴ ( ) ASA ADC FDB ≌ ， ∴ , AC BF AD DF = = ， ∵AD DE = ， ∴DE DF = ， ∴点D 是线段EF 的中点， 又点H 是线段EC 的中点， ∴ 1 2 DH CF = ， ∵ 2 2 DH GH = ， ∴1 2 2 2 CF GH = ，即 2 CF GH = ， ∵CF BC BF BC AC = − = − ， ∴ 2 BC AC GH − = ． (3)13 37 42 2 + 37．(1)证明：在AB 上截取AH EC = ， 四边形ABCD是正方形， AB BC = ， 90 B BCD = = ， AH EC = ， AB AH BC EC − = − ，即HB EB = ， BHE 是等腰直角三角形， 45 BHE = ， 135 AHE = ， CF 是正方形ABCD的外角平分线， 45 DCF = ， 135 ECF = °， 135 AHE ECF ∠ ∠ = = ， 90 AEF = ， 90 AEB FEC + = ， 90 BAE AEB + = ， BAE FEC = ， 在AHE 和 ECF △ 中， AHE ECF AH EC HAE CEF = = = ( ) AHE ECF ASA ≌ ， AE EF = ； (2)四边形DMEF 是平行四边形． 理由如下： 四边形ABCD是正方形， AD AB BC = = ， 90 DAB B = = ， M ，E 分别为AB ，BC 的中点， AM BE = ， 在 DAM △ 和ABE 中， AD AB DAB B AM BE = = = ( ) DAM ABE SAS ≌ ， ADM BAE = ，DM AE = ， 90 BAE DAE + = ， 90 ADM DAE + = ， 90 AGD = ， 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 90 AEF = ， AGD AEF = ， MD EF ∥ ， 由（1）得AE EF = ， MD EF = ， 四边形DMEF 是平行四边形． (3)当BM BE CD + = 时，四边形DMEF 是平行四边形
