【高考数学专题研究】三角函数的图像与性质:四道高考真题,串起一轮复习的核心考法

三角函数的图像与性质：四道高考真题，串起一轮复习的核心考法

——高耀文高中数学名师工作室 · 2027届高考数学专题研究

高三一轮复习，三角函数的图像与性质是一个绕不开的专题。

不少学生公式背得不少，基本图像也能画出来，可一遇到综合题，还是容易出现这样的情况：知道周期公式，却不会根据图像特征求参数；知道单调区间的求法，却总在区间端点上出错；知道对称轴和对称中心的结论，却分不清它们与最值点、零点之间的联系。

问题究竟出在哪里？

在我看来，学生缺少的往往不是某一个公式，而是对三角函数图像与性质之间内在联系的整体认识。

三角函数的图像与性质，表面上考查周期、单调性、奇偶性、对称性、最值和零点，实质上考查的是：能否从函数解析式出发研究图像，能否从图像特征反过来确定参数，能否把离散的性质转化为统一的数量关系。

一轮复习不能把这些知识点孤立地讲一遍、练一遍。更有效的方式，是借助高考真题，把分散的知识串联起来，让学生在一道题中看到多个知识点之间的联系。

下面选取几道具有代表性的高考真题，尝试沿着“解析式—图像—性质—参数”的主线，把三角函数图像与性质的核心考法梳理清楚。

一、先把主干知识连成一张网

研究三角函数图像与性质，最常见的函数模型是：

其中  、  、  、  分别控制图像的振幅、周期、初相和上下平移。

这一解析式不是简单的公式记忆对象，而是研究图像变化的入口。

这张表中最重要的是三个字：整体角。

无论求单调区间、对称轴、对称中心，还是零点和最值，都要先把

看成一个整体，再与正弦函数、余弦函数的基本性质建立联系。

下面通过四道真题，把这些知识真正串起来。

二、四道高考真题，打通核心考法

真题一：由周期和对称中心确定参数

2022年新高考Ⅰ卷·第6题

题目

记函数

的最小正周期为  。若

且函数  的图象关于点

中心对称，则

A.  　　B.  　　C.  　　D. 

1. 命题意图

这道题没有直接给出函数图像，而是给出周期范围和一个对称中心，要求反向确定函数参数。

考查的不是某一个公式，而是三个知识点之间的联系：

• 周期与角频率  的关系；
• 正弦型函数的对称中心；
• 参数确定后求函数值。

它的关键在于：把周期条件转化为  的范围，再利用对称中心确定  和  。

2. 思路点拨

对于

正弦函数图像的对称中心为

其中

因此，对称中心的纵坐标可以直接确定  ，横坐标则可以建立关于  的方程。

3. 规范解答

由函数的最小正周期

以及

得

又因为函数图象关于点

中心对称，所以

且

整理得

结合  ，有

解得

因为  为整数，所以  。

于是

因此

故选 A。

4. 易错点分析

这道题最容易出现三个问题：

第一，只会写周期公式，却没有把周期范围转化为参数范围。

第二，知道正弦函数有对称中心，却忘记对称中心的纵坐标是  ，横坐标需要满足整体角为  。

第三，解出  后，代入求值时没有认真处理角的化简。

5. 思维升华

这道题给我们的启示是：

周期条件负责缩小参数范围，对称性条件负责确定参数，函数值问题则是最终落点。

遇到参数问题，不要急着代公式。先判断题目给出的条件分别能提供什么信息，再把条件组织成方程或不等式。

真题二：从零点个数反求参数范围

2023年新课标Ⅰ卷·第15题

题目

已知函数

在区间  有且仅有3个零点，则  的取值范围是________。

1. 命题意图

这道题考查三角函数零点个数与参数范围之间的关系。

学生如果只会解三角方程，未必能够准确处理“有且仅有3个零点”这样的条件。

真正需要建立的是：

• 由函数解析式确定零点条件；
• 由自变量区间确定整体角的范围；
• 将零点个数转化为整数计数问题；
• 正确处理区间端点。

2. 思路点拨

令

得到

因此

又因为  ，所以

即

问题就转化为：区间  内有几个整数？

3. 规范解答

由

得

所以

即

由于  ，可得

当  时，恰好有3个整数解。

因此

故所求范围为

4. 易错点分析

这道题最容易忽略的是端点。

当  时，区间内对应  ，共有3个零点，因此左端点可以取到。

当  时，区间内对应  ，共有4个零点，因此右端点不能取到。

所以答案不是  ，也不是  ，而是

5. 思维升华

这类题的本质不是复杂的三角恒等变换，而是“函数零点—整数解—参数范围”的转化。

学生要形成一个意识：

当题目出现“有几个零点”“恰有几个交点”“有且仅有几个解”时，要主动考虑能否转化为整数个数问题。

真题三：同周期、同最值，不代表图像相同

2024年新课标Ⅱ卷·第9题

题目

对于函数

和

下列说法正确的有：

A.  与  有相同的零点；

B.  与  有相同的最大值；

C.  与  有相同的最小正周期；

D.  与  的图象有相同的对称轴。

1. 命题意图

这道题的价值在于，它把三角函数的零点、最值、周期和对称轴放在同一道题中进行辨析。

两个函数只有相位不同，振幅和角频率相同。学生必须真正理解图像平移对性质的影响，而不是凭直觉判断。

2. 逐项分析

A项：错误。

对于

其零点满足

即

而  的零点满足

即

两者零点不同。

B项：正确。

正弦函数的最大值为1，因此

C项：正确。

两个函数的角频率均为2，所以最小正周期均为

D项：错误。

对于  ，对称轴满足

即

对于  ，对称轴满足

即

两者对称轴不同。

因此，正确选项为

3. 易错点分析

这道题集中暴露出一个常见误区：

学生容易把“图像平移”理解为“所有性质都不变”。

事实上，左右平移会改变零点和对称轴的位置，但不会改变函数的最大值、最小值和最小正周期。

可以把它归纳为：

• 相位变化：图像左右平移；
• 振幅变化：图像上下方向的伸缩；
• 纵向平移：图像整体上下移动；
• 周期变化：图像沿水平方向伸缩。

4. 思维升华

研究两个三角函数是否具有相同性质，不能只看解析式是否相似，而要判断所研究的性质是否受到相位变化的影响。

这也是三角函数图像变换中非常重要的思想：先辨认参数改变了什么，再判断哪些性质保持不变。

真题四：利用三角函数性质完成函数构造与化简

2025年新课标Ⅱ卷·第15题

题目

已知

且

（1）求  ；

（2）设

求  的值域和单调区间。

1. 命题意图

这道题从一个具体函数出发，先确定初相，再通过两个三角函数相加构造新函数，考查学生的恒等变形能力以及对新函数图像与性质的研究能力。

它提醒我们：三角函数图像与性质并不总是直接给出一个标准的正弦型函数，有时需要先通过恒等变形，把函数化成便于研究的形式。

2. 思路点拨

第一问直接利用已知函数值确定初相。

第二问的关键是利用两角和差公式，将两个余弦函数之和化为一个余弦函数，再研究值域和单调区间。

3. 规范解答

由

又因为

所以

于是

所以

利用两角和差公式

得

所以

因此，  的值域为

下面研究单调性。

当

即

时，  单调递减。

当

即

时，  单调递增。

其中  。

因此，  的单调递增区间为

单调递减区间为

其中  。

4. 易错点分析

这道题有两个关键细节。

第一，确定  时，不能只由  写出一个角，还必须结合题目给出的范围筛选。

第二，求单调区间时，要先确定整体角  的范围，再除以2。不能直接把余弦函数的单调区间照搬过来。

5. 思维升华

这道题告诉我们，面对复杂的三角函数表达式，不要急着求导，也不要急着研究图像。

先观察结构，能否通过和差公式、辅助角公式等进行化简。

有时看起来复杂的函数，经过一步恒等变形，就会回到最基本的正弦函数或余弦函数。

这正是一轮复习需要培养的基本功：先化归，再研究；先看结构，再选方法。

三、把四道题放在一起，究竟要让学生学会什么？

四道题看起来考查的角度不同，实际上都围绕同一个核心函数模型展开。

如果把它们放在一轮复习的课堂中，我认为不能只满足于学生会做这四道题，还应该借此帮助学生建立一套完整的研究路径。

1. 看到解析式，先识别参数的作用

对于

要让学生清楚：

•  决定振幅，影响函数的最大值与最小值；
•  决定周期，影响图像横向伸缩；
•  决定初相，影响图像左右位置；
•  决定整体上下平移，影响值域和对称中心的纵坐标。

特别要强调：参数不是孤立存在的。参数发生变化，函数图像会随之变化，进而影响相应性质。

2. 看到周期条件，立即想到角频率

对于正弦型、余弦型函数：

由周期可以求角频率，由角频率可以判断一个区间内图像经历了多少个周期。

如果题目给出周期范围，就要及时转化为参数范围；如果题目给出参数范围，也要能反过来判断周期范围。

3. 看到对称性，先写出整体角的关系

对于

对称中心满足

因此对称中心为

对称轴满足

因此对称轴方程为

对于余弦型函数，也可以通过把余弦函数转化为正弦函数，或者直接利用余弦函数的基本性质进行研究。

这里要提醒学生：对称轴经过函数的极值点，对称中心是图像的中心对称点。两者不能混为一谈。

4. 看到零点个数，注意区间与端点

零点问题最容易出现的错误，不是不会解方程，而是没有认真数清楚区间内的解。

建议学生固定三个步骤：

第一步，令函数值为0，解出三角方程。

第二步，把自变量的取值范围代入，得到整体角的范围。

第三步，结合周期性和整数条件，准确计算零点个数。

尤其要注意：题目给的是闭区间还是开区间，端点是否恰好为零点，都会影响最终答案。

5. 看到单调性，必须回到整体角

例如：

当  时，函数的单调性由正弦函数在相应整体角区间上的单调性决定。

如果  或  的符号发生变化，单调性也可能随之改变。

因此，求单调区间不能死记一个公式，而要把整体角看成新的变量，先确定它的取值范围，再转化为关于  的区间。

四、一轮复习中，最值得突破的六类问题

结合上面四道题，可以把三角函数图像与性质专题归纳为六类核心问题。

第一类：由图像求解析式。

通常根据图像确定振幅、周期、初相和纵向平移量。关键是识别最高点、最低点、相邻对称轴、相邻对称中心以及特殊点的坐标。

第二类：由周期求参数。

利用

建立参数关系。若出现周期范围、周期最值等条件，还要结合参数的取值范围进行筛选。

第三类：由对称性求参数。

抓住对称轴和对称中心的本质，把图像条件转化为整体角满足的等式，再结合参数范围求解。

第四类：由零点或极值点个数求参数范围。

将零点、极值点条件转化为三角方程，进一步转化为区间内整数个数问题。这类题目尤其需要重视端点。

第五类：求指定区间上的值域和最值。

不能只看函数在整个定义域上的值域。必须判断给定区间内是否包含最值点，必要时比较端点函数值与区间内部的极值。

第六类：综合考查多个性质。

将周期、对称性、单调性、零点、最值等条件组合起来，考查学生对图像整体结构的把握。这类题目往往不是计算量最大，而是信息处理和条件转化要求更高。

五、给2027届学生的复习建议：不要只背结论，要建立研究路径

三角函数图像与性质并不是一个特别庞杂的知识板块，但它非常考验学生对基本概念的理解程度。

在一轮复习中，我建议学生从以下四个方面进行突破。

1. 把基本图像真正画熟。

正弦、余弦、正切函数的图像，不能停留在“看着眼熟”的程度。要能够独立画出基本图像，清楚关键点、渐近线、周期以及单调区间。

尤其是正弦、余弦函数，要能准确识别一个周期内的五个关键点。

2. 把性质之间的联系真正弄懂。

不要把周期、单调性、奇偶性、对称性、最值、零点分别记成几个孤立的结论。

例如，正弦型函数的对称轴对应极值点，对称中心对应函数值为中线的位置；相邻对称中心之间的距离为半个周期，相邻对称轴之间的距离也为半个周期。

这些联系理解了，很多题目就不需要死记硬背。

3. 把参数问题作为专题突破。

三角函数综合题中，参数往往是贯穿始终的主线。

建议学生建立这样的思考顺序：

已知条件  图像特征  参数关系  性质判断  结论

不要一看到参数就急着列方程。先判断条件描述的是周期、对称性、零点还是最值，再选择对应的关系式。

4. 把区间意识贯穿始终。

一轮复习中，很多学生的失分并不是因为知识不会，而是因为区间处理不严谨。

例如：

• 求单调区间时，忘记考虑整体角的范围；
• 求值域时，忽略给定区间内是否能取到最值；
• 数零点时，漏掉端点；
• 求参数范围时，错误地把开区间写成闭区间。

这些问题看起来细小，却是三角函数题中非常典型的失分原因。

六、最后的思考：把图像看懂，性质才真正学会

回过头看这四道高考题，我们会发现，三角函数图像与性质的考查并没有脱离基本知识。

周期、对称性、零点、最值、单调性，这些都是教材中的基本内容。真正拉开差距的，是学生能不能把这些知识联系起来，能不能从一个条件读出它背后的图像信息，能不能在不同性质之间建立联系。

一轮复习最忌讳的，就是把一个专题讲成一堆公式，把一类题讲成几个固定套路。

公式当然要记，题型当然要练，但更重要的是让学生形成一种稳定的研究习惯：

拿到一个三角函数，先看结构，再看参数；先想图像，再研究性质；遇到条件，学会转化；得到结论，检查区间。

当学生能够从解析式读出图像，从图像识别性质，再从性质反过来确定参数，三角函数图像与性质这个专题，才算真正学到位了。

一轮复习，不是把知识重新讲一遍，而是帮助学生把原来零散的知识重新组织起来。

一道题的价值，也不只是得到一个答案，而是通过它看见一类问题的本质。

这才是高三数学一轮复习中，值得我们反复坚持的事情。