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3-4 三角函数的图像与性质
1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在
上的性质．
3-4 三角函数的图像与性质........................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图...............................2
考点2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ).....................2
（1）最小正周期：
T=2π
w ..............................................2
（2）定义域与值域：..................................................2
（3）最值............................................................2
（4）对称轴与对称中心................................................3
（5）单调性..........................................................3
（6）平移与伸缩......................................................4
【常用结论总结】.........................................................4
二、分类题型................................................................5
题型一 三角函数的定义域和值域............................................5
题型二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性..................................8
题型三 三角函数的单调性.................................................11
命题点1 求三角函数的单调区间.......................................11
命题点2 根据单调性求参数...........................................13
三、分层训练：课堂知识巩固.................................................15
1
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一、主干知识
考点1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y=sin x ，x∈[0 ，2π ]的图象中，五个关键点是：
．
(2)在余弦函数y=cos x ，x∈[0 ，2π ]的图象中，五个关键点是：
．
考点2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z)
注：正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是
T
2 ；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是
T
2 ；
正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离
T
4 ；
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[ －
1,1]
[ －
1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2
k π －
π ，
2 k π]
递减区间
[2
k π ，
2 k π ＋
π]
对称中心
( k π ，
0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x ＝
k π
2
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知识点三：y=A sin(wx +ϕ)与y=A cos(wx +ϕ)( A>0,w>0)的图像与性质
（1）最小正周期：
T=2π
w
.
（2）定义域与值域：y=A sin(wx +ϕ)，y=Acos(wx +ϕ）的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值
假设
A>0，w>0
.
①对于
y=A sin(wx +ϕ)
，{
当wx +ϕ= π
2 +2kπ(k ∈Z )时，函数取得最大值A ;
当wx +ϕ=−π
2 +2kπ(k ∈Z )时，函数取得最小值−A ;
②对于y=Acos(wx +ϕ），{
当wx +ϕ=2kπ(k ∈Z)时，函数取得最大值A ;
当wx +ϕ=2kπ+π(k ∈Z)时，函数取得最小值−A ;
（4）对称轴与对称中心.
假设
A>0，w>0
.
①对于y=A sin(wx +ϕ)
，{
当wx 0+ϕ=kπ+ π
2 (k ∈Z )，即sin(wx 0+ϕ)
¿±1时，y=sin(wx +ϕ)的对称轴为x=x0
当wx 0+ϕ=kπ (k ∈Z )，即sin(wx 0+ϕ)=0
时，y=sin(wx +ϕ)的对称中心为( x0,0).
②对于
y=Acos(wx +ϕ）
，{
当wx 0+ϕ=kπ(k ∈Z )，即cos(wx 0+ϕ)=±1
时，y=cos(wx +ϕ)的对称轴为x=x0
当wx 0+ϕ=kπ+ π
2 (k ∈Z )，即cos(wx 0+ϕ)
¿0时，y=cos(wx +ϕ)的对称中心为( x0,0).
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x 轴交点的位
置.
3
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（5）单调性.
假设
A>0，w>0
.
①对于
y=A sin(wx +ϕ)
，{
wx +ϕ∈[−π
2 +2kπ , π
2 +2kπ ](k ∈Z )⇒增区间；
wx +ϕ∈[ π
2 +2kπ , 3 π
2 +2kπ ](k ∈Z )⇒减区间.
②对于y=Acos(wx +ϕ），{
wx +ϕ∈[−π+2kπ ,2kπ ](k ∈Z)⇒增区间；
wx +ϕ∈[2kπ ,2kπ+π ](k ∈Z)⇒减区间.
（6）平移与伸缩
由函数
y=sin x
的图像变换为函数
y=2sin(2 x+ π
3 )+3
的图像的步骤；
方法一：
( x→x+ π
2 →2 x+ π
3 )
.先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想
欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形.
y=sin x的图像⃗向左平移π
3 个单位y=sin( x+ π
3 )的图像
y=sin(2 x+ π
3 )的图像
y=2sin(2 x+ π
3 )的图像⃗
向上平移3个单位y=2sin(2 x+ π
3 )+3
方法二：
( x→x+ π
2 →2 x+ π
3 )
.先周期变换，后相位变换，再振幅变换.
y=sin x的图像
y=sin2x的图像⃗向左平移π
6 个单位
y=sin2( x+ π
6 )=sin(2 x+ π
2 )的图像
y=2sin(2 x+ π
3 )的图像⃗向上平移3各单位y=2sin(2 x+ π
3 )+3
4
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注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期
后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言
的，即图像变换要看“变量
x
”发生多大变化，而不是“角wx +ϕ
”变化多少.
【常用结论总结】
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之
间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
5
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二、分类题型
题型一 三角函数的定义域和值域
【例题精析1】
函数
在
上的值域为______．
【解答】
，则
，于是
，所以所求值域为
.
故答案为：
【例题精析2】
求
的最小值是_____
【解答】
,
令
,
,
当
,
.故答案为:
【例题精析3】
若
，则
的取值范围是______.
【解答】由题意，
，而
，则
，
当
时，解得
或
；当
时，解得
，
6
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综上：
.故答案为：
.
【例题精析4】
函数
的定义域是__________.
【解答】由
，解得
，
所以函数
的定义域是
.
故答案为：
.
【例题精析5】
函数
的值域为______．
【解答】当
时，
，
，
即
的值域为
.
故答案为：
.
(1)三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
②把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域．
③利用sin x±cos x 和sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域．
7
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【对点精练1】
函数
的值域是__________．
【解答】
，因为
所以函数的值域为
.故答案为：
.
【对点精练2】
函数
的值域为______.
【解答】
，
，则
，
，故
.故答案为：
【对点精练3】
函数
的定义域为________．
【解答】由
，得
，
，
在数轴上表示如图所示，
所以
，
故答案为：
．
【对点精练4】
函数
在
上的值域为__________．
【解答】由
，可得
，
根据正切函数的性质，可得
，
8
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即函数
在
上的值域为
.
故答案为：
.
题型二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【例题精析6】
，若
，则
______．
【解答】因为
，所以
，
所以
.故答案为：0.
【例题精析7】
函数
，
是偶函数，则实数
________．
【解答】解：因为
是偶函数，令
，由于
9
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根据诱导公式可得
，故答案为：
.
【例题精析8】
若函数
为奇函数，则实数
的值为______．
【解答】设
，由于
是奇函数，所以
即
，整理得
，因为
不恒为0，所以
；故答案为：0
【例题精析9】
函数
的最小正周期为____.
【解答】
的最小正周期
；故答案为：1
【例题精析10】
函数
的图象的对称轴方程是______（
）．
【解答】令
,解得
，
即函数
的图象的对称轴方程是
，故答案为：
【例题精析11】
若
是奇函数，则
_________.
【解答】由题设
且
，故
，
，
又
，故
有
.故答案为：
【例题精析12】
函数
的最小正周期为__________.
【解答】函数
的最小正周期为
.故答案为：
.
10
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【例题精析13】
已知函数
的图象关于直线
对称，则
___________．
【解答】因为函数
的图象关于直线
对称，所以
，
即
，又
，所以
．故答案为：
【例题精析14】
已知函数
的最小正周期为
，则a 的值为__________．
【解答】因为函数
的最小正周期为
，
所以
，即
.故答案为：
.
【例题精析15】
已知函数
，则
的对称中心为__________.
【解答】
，所以
的对称中心为
,所以
的对称中心为
.故答案为：
.
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx 或y＝Atan ωx 的形式，而偶
函数一般可化为y＝Acos ωx 的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝
Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
【对点精练1】
已知定义域为
的奇函数
则
的值为__________．
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【解答】因为函数
是定义在
上的奇函数，
则有
，解得
，
，解
得
，
所以
.故答案为：0
【对点精练2】
写出一个同时具有下列性质①②③的函数
__________.
①
；②
，
；③
是奇函数.
【解答】由题设性质知：
在
上递减，周期为4 的奇函数，
显然
满足上述性质.故答案为：
（答案不唯一）
【对点精练3】
函数
的最小正周期为______．
【解答】函数
，所以所求最小正周期为
.故答案为：
【对点精练4】
已知函数
的图象关于点
对称，则
__________.
【解答】解：因为函数
的图象关于点
对称，
所以
，
，所以
，
，因为
，
所以
.故答案为：
【对点精练5】
已知函数
是偶函数，则
的取值是______
【解答】令
，则
，所以
的值为
.
故答案为：
.
【对点精练6】
函数
的最小正周期为____________．
12
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【解答】直接根据余弦函数周期公式得
，故答案为：
.
【对点精练7】
已知函数
图象的一条对称轴为
．若
,则
的最大______．
【解答】由题知
.所以
因为
,所以当
取最大值
；故答案为：
【对点精练8】
已知函数
，其中
，若
，则
______．
【解答】设
，则
，因为
，所以
为奇函
数，
，所以
，则
，
所以
，故答案为:2.
【对点精练9】
函数
的图象的对称中心为___________.
【解答】∵
的对称中心为
，∴令
，则
，即
的对称中心为
.
故答案为：
.
题型三 三角函数的单调性
命题点1 求三角函数的单调区间
【例题精析16】
函数
，
的增区间为______．
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【解答】由
，可得
，令
，解得
，
即函数
在
的单调增区间为
.故答案为：
.（开闭均可）
【例题精析17】
函数
的单调减区间为__________．
【解答】
令
得
,解得
，
所以单调减区间是
，
故答案为：
【例题精析18】
不等式
的解集是________．
【解答】正切函数最小正周期为
，在
上单调递增，
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
【对点精练10】
函数
的单调递减区间为______.
【解答】因为
14
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，令
，
，解得
，
，所以函数的单调递减区间为
，
.故答案为：
，
【对点精练11】
函数
的递增区间为___________.
【解答】因为
，令
,
解得
，所以递增区间为
，
故答案为:
.
【对点精练12】
函数
的单调递增区间为______．
【解答】由
，
解得
，
所以函数
的单调递增区间为
（
）
故答案为：
（
）
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命题点2 根据单调性求参数
【例题精析19】
已知函数
的图象关于直线
对称，且
在区间
内单调，
则
的最大值为________．
【解答】因为区间
的左端点为对称轴，且
在区间
内单调，
所以
，其中
，所以
，又
，所以
，
所以
的最大值为
.故答案为：
.
【例题精析20】
已知函数
，若
在区间
上为单调函数，则
的取值范
围是______．
【解答】因为
，所以
，
在区间
上为单调函数，又由余弦函数的单调性可得
，所以
．故答案为：
(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整
体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω 化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
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【对点精练13】
已知函数
，
，若
，且
在
上
单调递增，则
的值为________．
【解答】
，
由
，得
，
故
，∴
，
，又
在
上单调递增，∴
，又
，∴
，故当
时，
．故答案为：
.
【对点精练14】
若函数
在区间
上是增函数，则实数a 的取值范围是______．
【解答】解：因为
，所以
，
所以
，解得
，即
．故答案为：
【对点精练15】
若函数
在
上为严格减函数，则实数
的取值范围是_____________．
【解答】因为函数
的单调递增区间为
，
，
且函数
在
上为严格减函数，
所以
，解得
，即
.故答案为：
.
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三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2022 秋•呼和浩特期末）设
是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于
，当
时，满足
是第三象限角，
但
，故
错误；
对于
，
，
，
则
，
，
故
在第二象限或第四象限，
所以
符合题意．
故选：
．
2．（2023•江西模拟）已知函数
，则
18
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A．
的最小正周期是
B．
在
上单调递增
C．
的图象关于点
对称
D．
在
上的值域是
【解答】解：
，
对于
，
的最小正周期
，
错误；
对于
，当
时，
，此时
单调递减，
在
上单调递增，
正确；
对于
，令
，解得
，此时
，
的图象关于点
对称，
错误；
对于
，当
时，
，则
，
在
上的值域为
，
错误．
故选：
．
3．（2022 秋•朔州期末）点
在平面直角坐标系中位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解答】解：因为
，
，
故
为第三象限角，
故
，
因为8 与
终边相同，又
，
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故8 是第二象限角，故
，则
点在第三象限．
故选：
．
4．（2023•陕西模拟）已知函数
的图象的相邻两条对称轴间的距离为
，
．则下列选项正确的是
A．
B．
的图象的对称轴方程为
C．
的单调递减区间为
D．
的解集为
【解答】解：
函数
的图象的相邻两条对称轴间的距离为
，
，故
错误；
，
，
，
．
令
，
，求得
，
，
则
的图象的对称轴方程为
，
，故
错误；
令
，
，求得
，
，
则
的单调递减区间为
，
，
，
令
，可得
，
故由
，求得
，
，
所以
的解集为
，
，
，故
正确，
故选：
．
5．（2021•乙卷）函数
的最小正周期和最大值分别是
20
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A．
和
B．
和2
C．
和
D．
和2
【解答】解：
，
．
当
时，函数
取得最大值
；
函数
的周期为
，最大值
．
故选：
．
6．（2023•西夏区校级三模）已知函数
，若函数
在区间
上有且只有两
个零点，则
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
时，
可得：
，
．
要是函数
有且只有两个零点，
则
，
解得：
．
故选：
．
7．（2023•宣城一模）设函数
在
，
的图象大致如图所示，则
的最小
正周期为
21
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A．
B．
C．
D．
【解答】解：由图象知函数的周期
，即
，得
，
，当
时，函数
的图象是
向左平移得到，
由五点对应法得
，
即
，
即
，
则
的最小正周期为
，
故选：
．
8．（2023•奉贤区二模）下列函数中，以
为最小正周期且在区间
单调递增的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由于
的周期为
，故
不满足条件；
由于
的周期为
，故
不满足条件；
由于
的最小正周期为
，在区间
上，
单调递增，故
满足
条件；
由于
的最小正周期为
，在区间
上，
单调递减，故
不满足条件，
故选：
．
22
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9．（2023•临高县模拟）下列函数中，最小正周期为
的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据函数
、
的周期为
，
故选：
．
10．（2022 秋•沙坪坝区校级期末）已知
是第二象限角，则点
在
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解答】解：
是第二象限角，
，
，
．
点
在第四象限．
故选：
．
11．（2023•东城区校级模拟）如果函数
的两个相邻零点间的距离为2，那
么
（1）
（2）
（3）
（9）的值为
A．1
B．
C．
D．
【解答】解：函数
，
且
的图象两个相邻零点间的距离为2，
所以
的最小正周期为4，
即
，解得
；
所以
，
所以
（1）
（2）
（3）
（9）
23
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．
故选：
．
12．（2023•雨花区校级一模）
的最小正周期是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据
的图象，如图所示：
可得
的周期，即
的周期为
，
故选：
．
13．（2023 春•浦东新区校级期中）为了使
在区间
，
上至少出现50 次最大值，则
的最小值是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
使
在区间
，
上至少出现50 次最大值
，即
，
．
24
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故选：
．
14．（2022•乙卷）记函数
，
的最小正周期为
．若
，
为
的零点，则
的最小值为
3
．
【解答】解：函数
，
的最小正周期为
，
若
，
，则
，
所以
．
因为
为
的零点，所以
，
故
，
，所以
，
，
因为
，则
的最小值为3．
故答案为：3．
15．（2020•上海）已知函数
，
．
（1）
的周期是
，求
，并求
的解集；
（2）已知
，
，
，
，求
的值域．
【解答】解：（1）由于
的周期是
，所以
，所以
．
令
，故
或
，整理得
或
．
故解集为
或
，
．
（2）由于
，
所以
．
所以
．
25
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由于
，
，
所以
．
，
故
，
故
．
所以函数
的值域为
．
1．（2023•广西模拟）
的值所在的范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
且
，所以
，
所以
，
所以
的值所在的范围是
，
．
故选：
．
2．（2022 春•莲湖区期末）已知
为第三象限角，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
为第三象限角，则
，
；
所以
，
；
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所以
是第二或第四象限角，
当
是第二象限角时，
，
，
当
是第四象限角时，
，
，选项
错误；
所以
，
；
所以
是第一或第二象限角或终边在
轴正方向上，
当
是第一象限角时，
，
，
当
是第二象限角时，
，
，
当
终边在
轴正半轴上时，
，
，选项
正确，选项
错误．
故选：
．
3．（2021 春•郫都区校级月考）已知函数
，则函数
的最小正周期是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由二倍角公式得
，
，
又
，
故函数
的最小正周期是
．
故选：
．
4．（2021•河南学业考试）函数
是
A．周期为
的奇函数
B．周期为
的偶函数
C．周期为
的奇函数
D．周期为
的偶函数
【解答】解：
，故为偶函数，
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，
故选：
．
5．（2020 春•琼山区校级期中）函数
的最小正周期是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，
所以
．
故选：
．
6．（2020•二模拟）已知函数
的最小正周期为2，则
的值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数
的最小正周期为2，
则
，解得
；
所以
．
故选：
．
7．（2022 秋•九龙坡区校级期末）
的值可能是
A．2
B．3
C．
D．0
【解答】解：①当角
在第一象限时，
，
，
，
；
②当角
在第二象限时，
，
，
，
28
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；
③当角
在第三象限时，
，
，
，
；
④当角
在第四象限时，
，
，
，
；
故选
．
8．（2021 春•工业园区校级月考）已知函数
，则下列说法中正确的有
A．函数
的值域为
B．直线
是函数
图象的一条对称轴
C．函数
的最小正周期为
D．函数
在
上是增函数
【解答】解：由三角函数性质可知当
，
时，
，
；
当
，
时，
，
．
所以
，
，
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，所以函数
的一个周期为
，
作出函数
在
，
上的图象如图所示，
由图可知
错误，
正确，
正确，
错误．
故选：
．
9．（2022 春•碑林区校级期末）给出下列命题：
①函数
不是周期函数；
②函数
在定义域内为增函数；
③函数
的最小正周期为
；
④函数
，
的一个对称中心为
，
．
其中正确命题的序号为
①④
．
【解答】解：①函数
不是周期函数；它是偶函数，不是周期函数，正确；
②函数
在定义域内为增函数；在每一个单调区间是增函数，定义域内不是增函数．
③函数
的最小正周期为
；它的周期是
，所以不正确；
④函数
，
的一个对称中心为
，
．把
，
代入函数成立，正确．
故选①④
10．（2022 秋•松山区校级期末）已知函数
，
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（1）求函数
的最小正周期；
（2）函数
的单调递增区间和对称轴方程．
（3）求函数
在区间
上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）函数
，
，
函数
的最小正周期为
；
（2）令
，
，
解得
，
，
函数
的单调递增区间为
，
，
；
令
，
解得
，
，
对称轴方程为
，
；
（3）当
，
时，
，
，
，
，
时，
取得最小值为
；
当
时，
取得最大值为
；
函数
在区间
上的最大值是
，最小值是
．
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1．若对任意实数
，函数
在区间
，
上的值
出现不少于4 次且不多
于8 次，则
的值为
A．2
B．4
C．3 或4
D．2 或3
【解答】解：函数在一个周期内有且只有2 个不同的自变量使其函数值为
，因此该函数在区间
，
（该区间的长度为
上至少有2 个周期，至多有4 个周期，
因此，
，即
，
，解得
，
又
，从而
或3．
故选：
．
2．已知函数
，给出下列四个命题：
①若
，则
②
的最小正周期是
；
③
在区间
上是增函数； ④
的图象关于直线
对称；
⑤当
时，
的值域为
．
其中正确的命题为
A．①②④
B．③④⑤
C．②③
D．③④
【解答】解：由题意可得：
，
①
，但是不满足
，所以①错误．
②根据周期公式可得：
的周期为
．所以②错误．
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③
的单调增区间为
，
，
，显然③正确．
④
的所有对称轴为
，显然④正确．
⑤
，因为
时，所以
，所以
，所以
的值域为
．所以⑤错误．
故选：
．
3．关于函数
有下列命题：
①
的周期为
；②
是
的一条对称轴；③
，
是
的一个对称中心；
④将
的图象向左平移
个单位，可得到
的图象，其中正确的命题序号是
①③
．
（把你认为正确命题的序号都写上）
【解答】解：
所以周期为
，故命题1 正确．
对称轴为
所以命题2 错误．命题3 正确．
的图象向左平移
个单位，可得到
的图象，所以命题4 错误．
故答案为①③．
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