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5.3 三角函数的性质（精讲）
一.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图:“五点法”作图原理：
1.正弦函数与余弦函数的图像画法
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点
1
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x
－
－＋
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin (ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，
x [0
∈
，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
二．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x x≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
三．伸缩平移
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sin ωx 到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ 个单位长度.
2
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一．求三角函数周期的方法
1.定义法；
2.公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T
＝；
3.图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．
二．三角函数的定义域
求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象．
三．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
1.形如y＝asin x＋bcos x＋c 的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；
2.形如y＝asin2x＋bsin x＋c 的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；
3.形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t 的二次函数求值
域(最值)；
4，形如y＝，ac≠0 的函数的值域，可以用分离常量法，也可以利用正弦函数的有界性建立关于y 的不等式
反解求值域(最值)．
四．三角函数的单调性
①先把ω 化为正数
②化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间
③把ωx＋φ 看作一个整体代入y＝sin x 的相应单调区间内解x．
五．三角函数的对称性
1.对称轴：对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令
ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x 即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝
kπ(k∈Z)，求x 即可.
2.对称中心：对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝
(k∈Z)，求x 即可.
六．三角函数的奇偶性
3
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七．三角函数的伸缩平移
八．三角函数中的ω 的求解
1.若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立ω 所满足的不等式(组)求解；
2.若已知函数的对称性，则根据三角函数的对称性研究其周期性，进而可以研究ω 的取值；
3.若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω 的不等式(组)，
进而求出ω 的值或取值范围.
九．易错点：
对于y＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
考法一 三角函数的周期
【例1-1】（2023·北京）在下列四个函数，①
②
（3）
④
4
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中，最小正周期为π 的所有函数为（ ）
A．①②③
B．②③④
C．②③
D．③④
【答案】B
【解析】①
，为偶函数，不具有周期性，①不满足题意；
②函数
的图像是将
的图像在
轴下方的全部对称到
轴上方，故函数
的最小正
周期为
，故②满足题意；
③函数
的周期为
，故③满足题意；
④函数
的周期为
，故④满足题意.
故选：B.
【例1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于选项A，
，∴
选项B：
且
，
∴
对于选项C，
，∴
对于选项D，
，∴
,
故选：C.
5
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【例1-3】（2022 秋·河北）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，所以
的最小正周期
．故选：C．
【一隅三反】
1．（2023·湖南）给出下列函数：
①
；②
；③
；④
．
其中最小正周期为
的有（ ）
A．①②③
B．①③④
C．②④
D．①③
【答案】A
【解析】对于①，
，其最小正周期为
;
对于②，结合图象，知
的最小正周期为
．
对于③，
的最小正周期
．
对于④，
的最小正周期
．故选：A．
2．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）函数
的最小正周期为（ ）
6
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A．
B．
C．
D．不能确定
【答案】A
【解析】作出函数
的图象如图所示，得到函数的最小正周期为
.
证明：
所以函数的最小正周期为
.
故选：A
3．（2023 北京）下列函数中，最小正周期为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对选项A，由于函数
不是周期函数，故排除A；
对选项B，由于函数
，周期为
，故排除B；
对选项C，由于函数
的周期为
，故排除C；
对选项D，由于函数
的周期为
，故D 正确.
故选：D
4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，
则
（ ）
2
7
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A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】设
的最小正周期为
，由图象可知
，
则
，所以
，所以
或
.
又由题图知，
，则
，解得
.
解
可得
，不满足条件；解
可得，
，
当且仅当
时，符合题意.所以，
，此时
.故选：B.
考法二 三角函数的对称性与奇偶性
【例2-1】（2023·海南）设函数
的图象关于直线
对称，则
等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
的对称轴为
，
，
又
关于直线
对称，
，
又
，
.故选：D．
【例2-2】（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数
的图象关于点
对称，那么
( )
2cos(3
)
f x
x
4π ,0
3
8
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的最小值为________．
【答案】
【解析】
的图象关于点
对称，
，即
，令
，可得
的最小值为
．故答案为：
【例2-3】（2023·广东）函数
是（ ）
A．最小正周期为π 的奇函数
B．最小正周期为π 的偶函数
C．最小正周期为
的奇函数
D．最小正周期为
的偶函数
【答案】D
【解析】函数
，故该函数为偶函数，且它的最小正周期为
.故选：D.
【例2-4】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数
为偶函数，则
的
一个值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
因为
为偶函数，可得
，所以
，令
，可得
.故选：A.
【一隅三反】
1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数
，若对于任意实数x，都有
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．8
π
2
2cos 3
f x
x
4π ,0
3
4π
π
3
π
,
3
2
k
k
Z
7π
π
,
2
k
k
Z
4
k
π
2
π
2
π
( )
sin(
)(
0)
3
f x
x
π
( )
(
)
3
f x
f
x
5
2
9
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【答案】C
【解析】因为对于任意实数x，都有
，则有函数
图象关于点
对称，
因此
，解得
，而
，所以当
时，
取得最小值4.故选：C
2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数
图象的对称轴可以是
（ ）
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
【答案】A
【解析】
，
令
，解得
，
所以
的对称轴为直线
，当
时，
.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）若函数
的图象关于坐标原
点对称，则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由已知，得
．
π
( )
(
)
3
f x
f
x
( )
f x
π
(
,0)
6
π
π
π,
Z
6
3
k
k
6
2,
Z
k
k
0
1
k
10
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因为
的图象关于坐标原点对称，所以
，
解得
．结合选项知，A，D 符合题意，B，C 不符合题意．故选：AD．
4．（2022 秋·辽宁锦州·高三校考阶段练习）函数
是偶函数，则
____．
【答案】
【解析】因为
是偶函数，故
,解得
，
，所
以
.故答案为：
.
考法三 三角函数的定义域与值域
【例3-1】（2023 春·上海静安）函数
的定义域是__________.
【答案】
，
【解析】要使函数
有意义，
则需
，即
，
当
时，
，
所以当
，解得
，
，
所以函数
的定义域是
，
.
故答案为：
，
.
【例3-2】（2023 春·北京昌平）
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
π
π
sin 2
,(0
)
6
2
f x
x
π
3
π
sin 2
6
f x
x
π
π
π
N
6
2
k
k
π
π
3
k
π
(0
)
2
π
0,
3
k
π
3
3
log
2cos
3
y
x
5π
5π
2 π
,2 π
6
6
k
k
k Z
3
log (2cos
3)
y
x
2cos
3
0
x
3
cos
2
x
3
cos
2
x
5π
2 π,
6
x
k
k
Z
3
cos
2
x
5π
5π
2 π
2 π
6
6
k
x
k
k Z
3
log (2cos
3)
y
x
5π
5π
2 π
,2 π
6
6
k
k
k Z
5π
5π
2 π
,2 π
6
6
k
k
k Z
2 3sin
2cos
f x
x
x
2
4
6
8
11
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【答案】B
【解析】
，
故选：B.
【例3-3】（2023 云南）函数
在
的最大值是（ ）
A．2
B．0
C．1
D．
【答案】C
【解析】由已知可得，
.
因为
，所以
.又
在
上单调递减，
所以，当
，即
时，函数取得最大值
.故选：C.
【例3-4】（2023·全国·高三专题练习）函数
是（ ）
A．奇函数，且最大值为
B．偶函数，且最小值为
C．奇函数，且最小值为
D．偶函数，且最大值为
【答案】B
【解析】函数
的定义域为
，
，故函数
为偶
函数，因为
，则
，所以，
，
.故选：B.
【例3-5】（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数
的最大值为__________．
3
1
2 3sin
2cos
4
sin
cos
2
2
f x
x
x
x
x
π
π
π
4 cos
sin
sin
cos
4sin
4
6
6
6
x
x
x
cos
3sin
f x
x
x
π
0, 2
3
1
3
π
2
cos
sin
2cos
2
2
3
f x
x
x
x
π
0
2
x
π
π
5π
3
3
6
x
cos
y
x
π 5π
,
3
6
π
π
3
3
x
0
x
π
0
2cos
1
3
f
cos
cos2
f x
x
x
2
9
8
9
8
9
8
f x
R
cos
cos
2
cos
cos2
f
x
x
x
x
x
f x
f x
1
cos
1
x
2
2
1
9
2cos
cos
1
2 cos
4
8
f x
x
x
x
min
9
8
f x
max
2 1 1
2
f x
sin2
2sin
y
x
x
12
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【答案】
【解析】】
，
设
，
，令
，得
或
， 所以当
时，
，
即在
和
上
单调递减，
当
时，
，即在
上，
单调递增，
又因为
，
，所以
的最大值为
，故答案为：
．
【例3-6】（2023·安徽）设函数
定义域为
，值域为
，则
的最大值为______
【答案】
【解析】作出函数
的部分图像如图所示：
因为
的值域为
，不妨设
,
由图像可得
.
故答案为:
.
【一隅三反】
1．（2023 春·辽宁本溪）函数
的定义域为________．
【答案】
3 3
2
2
2
2cos2
2cos
2(2cos
1)
2cos
4cos
2cos
2
y
x
x
x
x
x
x
cos
[ 1,1]
x
t
2
(
2
)
4
2
t
f
t
t
( )
0
f t
1
2
t
1
t
1
( 1, )
2
t
( )
0
f t
(
2
,
2
)
3
π
π
kπ
kπ
(
2
,
2
)(
)
3
π
kπ π
kπ k
Z
y
1
( ,1)
2
t
( )
0
f t
(
2
,
2
)
3
3
π
π
kπ
kπ
(
)
k Z
y
(
2
)
0
f
π
kπ
3 3
(
2
)
3
2
π
f
kπ
y
3 3
2
3 3
2
sin
y
x
,a b
1
1,
2
b
a
2π
3
sin
y
x
sin
y
x
1
1,
2
7π
6
a
max
max
11π
11π
7π
2π
6
6
6
3
b
b
a
2π
3
2
π
1
tan
4
4
y
x
x
π
π π
2,
,
2
4 2
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【解析】由
，得
，
，
在数轴上表示如图所示，
所以
，
故答案为：
．
2．（2023 春·辽宁沈阳）函数
的定义域为______．
【答案】
【解析】根据题意，得
，解得
，
所以函数的定义域为
.
故答案为：
.
3.（2023·福建）函数
最大值为（ ）
A．2
B．5
C．8
D．7
【答案】A
2
π
1
tan
0
4
4
0
x
x
π
π
π
π
4
2
2
2
k
x
k
x
Z
k
π
π π
2,
,
2
4 2
x
π
π π
2,
,
2
4 2
tan
1
π
tan
6
x
y
x
π
π
π
π
π+
, π+
π+
, π+
Z
4
3
3
2
k
k
k
k
k
tan
1
π
tan
0
6
π
π
π
Z
6
2
x
x
x
k
k
π
π
π
π
Z
4
2
π
π
Z
6
π
π
Z
3
k
x
k
k
x
k
k
x
k
k
π
π
π
π
π+
, π+
π+
, π+
Z
4
3
3
2
k
k
k
k
k
π
π
π
π
π+
, π+
π+
, π+
Z
4
3
3
2
k
k
k
k
k
π
3sin
2
0
2
y
x
x
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【解析】
时，
，所以
，
所以函数
最大值为2.故选:A.
4．（2023 春·四川南充）函数
的值域为______.
【答案】
【解析】
，
，则
，
，故
.
故答案为：
5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）当
时，函数
的值
域是
，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解法一：由题意，画出函数的图象，由
，可知
，
因为
且
，要使
的值域是
，只要
，
π ,0
2
x
sin
1,0
x
3sin
2
1,2
x
π
3sin
2
0
2
y
x
x
2
cos
( )
2
cos
x
f x
x
1 ,3
3
2
cos
4
( )
1
2
cos
2
cos
x
f x
x
x
cos
1,1
x
cos
2
1,3
x
4
4 ,4
2
cos
3
x
1 ,3
3
f x
1 ,3
3
π ,
6
x
m
π
cos 3
3
f x
x
3
1,
2
π 7π
,
9 18
2π 7π
,
9
18
π 5π
,
9 18
2π 5π
,
9
18
π ,
6
x
m
5π
π
π
3
3
6
3
3
x
m
π
5π
3
cos
6
6
2
f
2π
1
9
f
cos
f x
3
1,
2
2π
5π
9
18
m
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即
；
解法二：由题
，可知
，由
的图象性质知，要使
的值域是
，则
，解之得
．故选：D.
考法四 三角函数的单调性
【例4-1】（2023 湖北）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，由
有：
，故B，C，D 错误.故选：A.
【例4-2】（2023·辽宁朝阳）（多选）下列函数中，以
为最小正周期，且在区间
上单调递增的是
（ ）
2π 5π
,
9
18
m
π ,
6
x
m
5π
π
π
3
3
6
3
3
x
m
cos
y
x
f x
3
1,
2
π
7π
π
3
3
6
m
2π 5π
,
9
18
m
π
3sin 2
6
y
x
π
5π
π
, π
,
3
6
k
k
k
Z
π
π
π
, π
,
6
3
k
k
k
Z
π
5π
2 π
,2 π+
,
3
6
k
k
k
Z
π
π
2 π
,2 π
,
6
3
k
k
k
Z
π
3sin 2
6
y
x
π
π
3π
2 π
2
2 π,
Z
2
6
2
k
x
k
k
π
5π
π
π,
Z
3
6
k
x
k
k
16
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A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】对于选项A，函数
的最小正周期为
，故选项A 错误：
对于选项B，函数
的最小正周期为
，
当
，
，
因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，B 正确；
对于C，函数
最小正周期为
，
当
时，
，因为
在
上单调道减，
所以
在
上单调递减，故选项C 错误
对于选项D，作出函数
的大致图像如图：
函数
的最小正周期为
，且在区间
上单调递增，故选项D 正确
故选：BD
【例4-3】（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知
，则
的大小关系
sin0.9,
0.9,
cos0.9
a
b
c
, ,
a b c
17
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是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令函数
，则
恒成立，故函数
在
上单调递增，
所以当
时，
，则
，于是
，即
；
当
时，
，则
，所以
，
而
，于是
，即
；综上：
.故选：C
【一隅三反】
1．（2023 春·山东）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
.
由
可得，
.
当
时，
，且
；
当
时，所以
，
.
所以，函数在
上的单调递增区间是
.
故选：A.
a
b
c
b
c
a
b
a
c
c
b
a
sin ,
0
f x
x
x x
1 cos
0
f
x
x
( )
g x
(0,
)
0
x
0
0
f x
f
0.9
0.9
sin 0.9
0
f
0.9
sin 0.9
b
a
π π
,
4 2
x
π
π
0,
4
4
x
π
sin
cos
2 sin
0
4
y
x
x
x
sin
cos
x
x
π
π
0.9
4
2
sin 0.9
cos0.9
a
c
b
a
c
sin
3 cos
0,π
f x
x
x x
5
0,
π
6
5
π
π,
6
6
π ,0
3
π ,0
6
π
sin
3 cos
2sin
3
f x
x
x
x
π
π
π
2 π
2 π,
2
3
2
k
x
k
k
Z
π
5π
2 π
2 π,
6
6
k
x
k
k
Z
0
k
π
5π
6
6
x
6
0
π 5π
5π
,
0,
6
6
,π
1
k
11π
17π
6
6
x
11π 17π
,
0,π
6
6
0,π
5
0,
π
6
18
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3．（2023 春·广西）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．
在
上单调递增
C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
【答案】C
【解析】因为
.
对于A 选项，当
时，
在
上单调递增，A 错；
对于B 选项，当
时，则
在
上单调递增，在
上单调递减，故B 错；
对于C 选项，当
时，则
在
上单调递减，C 对；
对于D 选项，当
时，则
在
上单调递减，故D 错.故选：C.
4．（2023 春·上海长宁）在下列函数中，既是
上的严格增函数，又是以
为最小正周期的偶函数的函
数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】选项ABC 中函数的最小正周期都是
，而选项D 中函数不是周期函数，
其图象如下所示：
除D；
易知函数
是奇函数，排除A；
2
2
( )
cos
sin
2
2
x
x
f x
f x
π
π
,
2
6
f x
π
π
,
4 12
f x
π
0, 3
f x
2
π 7
, π
4 1
2
2
( )
cos
sin
cos
2
2
x
x
f x
x
π
π
2
6
x
f x
π
π
,
2
6
π
π
4
12
x
f x
π ,0
4
π
0,12
π
0
3
x
f x
π
0, 3
2
π
1
π
7
4
x
f x
2
π 7
, π
4 1
π
0, 2
π
sin 2
y
x
cos2
y
x
sin
y
x
sin
y
x
π
sin 2
y
x
19
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时，
，则
是减函数，排除B；
根据函数
在
上严格单调递增，且其最小正周期为
，
则
在在
上严格单调递增，其最小正周期为
，
且
，又因为其定义域为
，则其为偶函数，故C 正确，故选：C．
考法五 函数的伸缩平移
【例5-1】（2022·江西·南昌十中高三阶段练习）将函数
的图象沿
轴向左平移
个单位后，得到关于
轴对称的图象，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
函数
，
将函数
的图象沿
轴向左平移
个单位后，得到函数
，
因为函数是偶函数，
．
当
时，
．则
的最小值为
故选：A
【例5-2】（2022·陕西·二模）要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移是
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移登
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】B
【解析】因为函数
，
π
(0,
)
2
x
2
(0,π)
x
cos2
y
x
sin
y
x
π
0, 2
2π
sin x
y
f x
π
0, 2
π
sin
sin
sin
f
x
x
x
x
f x
R
20
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，
所以要得到函数
的图象，只需将函数
的图象向左平移
个单位长度.
故选：B.
【例5-3】（2023·全国·高三专题练习）把函数
的图象向右平移
个单位长度，再把横
坐标压缩到原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，则
（ ）
A．最小正周期为
B．奇函数
C．偶函数
D．
【答案】D
【解析】把函数
的图象向右平移
个单位长度，得
，
再把横坐标压缩到原来的
倍，纵坐标不变，
，即
，
则最小正周期为
，故A 错误；
因为
，所以函数
是非奇非偶函数，故BC 错误；
，故D 正确.故选：D.
【一隅三反】
1．（2023·北京·高三专题练习）已知的
图象向左平移
个单位长度后，得到函数
cos 2
3
f x
x
3
1
2
g x
g x
2
2
3
g
x
g x
cos 2
3
f x
x
3
cos 2
cos 2
3
3
3
y
x
x
1
2
cos 4
3
y
x
cos 4
3
g x
x
2
4
2
1
1,
12
12
2
g
g
g x
2
2
cos 4
cos
4
2
cos 4
3
3
3
3
3
g
x
x
x
x
g x
( )
sin
3 cos
f x
x
x
( )
g x
21
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的图象，且
的图象关于y 轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得
，
故
，由于
的图象关于y 轴对称，
则
为偶函数，故
,即
，
故
的最小值为
，
故选：B
2．（2022·全国·模拟预测）为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象
（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】B
【解析】由题意，
，函数
，则
，所以函数
的图象向右平
移
个单位得到函数
的图象，因为函数的周期为
，所以向左应该平移
个
单位.
故选：B.
( )
g x
|
|
π
12
π
6
π
3
5π
12
π
( )
sin
3 cos
2sin(
)
3
f x
x
x
x
π
( )
2sin(
)
3
g x
x
( )
g x
( )
g x
π
π
π,
Z
3
2
k
k
π
π,
Z
6
k
k
|
|
π
6
22
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3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）将函数
图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍，再
向右平移
个单位，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间
上单调递增 B．在区间（
，
）上单调递减
C．图象关于点（
，0）对称 D．图象关于直线
对称
【答案】A
【解析】将函数
图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍，再向右平移
个单位，
得
，
因为
，所以
，故A 正确；
因为
，所以
，故B 错误；
，故C 错误；
，故D 错误；
故选：A
4．（2022·安徽滁州）若将函数
图象上各点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），再
向下平移一个单位得到函数
的图象，则函数
（ ）
A．图象关于点
对称
B．图象关于
对称
23
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C．在
上单调递减
D．最小正周期是
【答案】C
【解析】由题得
对于A 当
时,
所以函数
的图象不关于点
对称，故A 错误;
对于B 当
时，
，
所以函数
的图象不关于直线
对称，故B 错误;
对于C. 令
，解得:
，
取
，得
，所以
在
上单调递减
因为
,所以
在
上单调递减，故C 正确
对D.
的最小正周期
, 故D 错误.故选:C.
考法六 由图象确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
【例6-1】（2022·山东·烟台二中）若函数
的部分图象如图所示，则
和
的值是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
24
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【答案】C
【解析】由图象可知
，所以
，
，由于
，所以
.故选：C
【例6-2】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，某地一天6~14 时的温度变化曲线近似满足函数
，则这段曲线的函数解析式可以为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【解析】由于
，所以
，
又
，所以
，故
，
又过点
，则有
，即
，
所以
，
，取
，得
，符合题意选：
A．
【例6-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）（多选）函数
的
部分图象如图所示，则下列关于函数
的说法正确的是（ ）
π
( )
sin(
)
0,|
|
2
f x
x
f x
25
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A．
的最小正周期为
B．
的图象关于
中心对称
C．
在
上单调递减
D．把
的图像向右平移
个单位长度，得到一个奇函数的图象
【答案】AD
【解析】A 选项，由图可得，
的半个最小正周期为
，则
的最小正周期为
，故A 正
确；
BC 选项，
，由
在
处取最大值，则
，
.则
，取
，则
.即
.
将
代入
，得
，则
不是
对称中心；
，
，因
在
上递减，在
上递增，则
不是
的单调递减区间，故BC 错误；
D 选项，由BC 选项分析可知，
，向右平移
个单位长度后，得
f x
π
f x
7π ,0
12
f x
7π
π
,
12
6
f x
π
12
f x
2
3
6
2
π
π
π
( )
f x
π
2π
π,
0
2
f x
π
6
π
π
2 π
3
2
k
Z
k
π
2 π
6
k
0
k
π
6
π
( )
sin(2
)
6
f x
x
7π
12
x
f x
7π
4π
sin
0
12
3
f
7π ,0
12
f x
7
2
12
6
π
π
π
π
π
π
2
6
6
6
sin
y
x
π
π,
2
π
π
,
2
6
7π
π
,
12
6
f x
π
( )
sin(2
)
6
f x
x
π
12
2
2
12
6
π
π
si n
si n
y
x
x
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，为奇函数，故D 正确.故选：AD
【一隅三反】
1．（2022·甘肃武威）函数
（A，ω，φ 为常数，A>0，ω>0，
）的部分图象如图
所示，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由图可知
，
，则
，所以
，所以
，
将
代入得
，所以
，
又
，所以
.故选：B.
2．（2021·陕西省洛南中学）已知函数
的部分图象如图所示，
则
的解析式是（ ）
2
2
12
6
π
π
si n
si n
y
x
x
27
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由图象可得
，解得A=2，k=1，由正弦型图象性质可得
，
所以
，解得
，又
，且
，所以
，所以
.故选：A
3（2022·广东·佛山市顺德区容山中学）已知函数
的部分图象如图所示，则函数
的解析式可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，由图可知，
，
，
，则
，
又
，即
，
，
.故选：A.
28
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4．（2022·四川南充·二模）函数
的部分图像如图所示，
，则
（ ）
A．
关于点
对称 B．
关于直线
对称
C．
在
上单调递减 D．
在
上是单调递增
【答案】C
【解析】由图可知
，且
，所以
，即
，因为
，所以
，
即
，因为
，所以函数
关于直线
对称，
故A 错误；
，所以函数
关于
对称，故B 错误；
对于C：由
，所以
，因为
在
上单调递减，所以
在
上单调递减，故C 正确；
对于D：由
，则
，因为
在
上不单调，所以
在
29
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上不单调，故D 错误；故选：C
考法七 三角函数的综合运用
【例7-1】（2023·新疆·统考二模）如图所示的曲线为函数
的部分
图象，将
图象上的所有点的横坐标伸长到原来的
倍，再将所得曲线向左平移
个单位长度，得
到函数
的图象，则（ ）
A．直线
为
图象的一条对称轴
B．点
为
图象的一个对称中心
C．函数
的最小正周期为2π
D．函数
在
上单调递减
【答案】A
【解析】由图象知
，
又
，所以
的一个最低点为
，
而
的最小正周期为
，
所以
，
30
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又
，则
，
所以
,即
，
又
，所以
，
所以
，
将函数
图象上的所有点的横坐标伸长到原来的
得
的图象，
再把所得曲线向左平移
个单位长度得
，
即
.
因为
，
所以直线
是
图象的一条对称轴，故A 正确；
因为
，
所以
不是
图象的一个对称中心，故B 错误；
函数
在周期
，故C 错误；
由
得
，
所以
在
上单调递减，
当
时，可知
在
递减，在
递增，所以D 错误.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）将函数
的图像上所有点横
31
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坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数
的图像，有下述四个结论：
①
②函数
在
上单调递增
③点
是函数
图像的一个对称中心
④当
时，函数
的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②③
B．②③
C．①③④
D．②④
【答案】B
【解析】由题意可得：
，故①错误；
因为
，则
，且
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，故②正确；
因为
，
所以点
是函数
图像的一个对称中心，故③正确；
因为
，则
，
所以当
，即
时，函数
的最大值为
，故④错误；
故选：B.
2．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）（多选）已知函数
，其
图象相邻对称轴间的距离为
，点
是其中的一个对称中心，则下列结论正确的是（ ）
32
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A．函数
的最小正周期为
B．函数
图象的一条对称轴方程是
C．函数
在区间
上单调递增
D．将函数
图象上所有点横坐标伸长原来的2 倍，纵坐标缩短原来的一半，再把得到的图象向左平移
个单位长度，可得到正弦函数
的图象
【答案】ACD
【解析】因为函数
图象相邻对称轴间的距离为
，则
，即
，所以
正确；
因为
，则
，即
，且点
是对称中心，
当
时，
，即
，
又
，所以
，即
.
令
,解得
，
所以函数
的对称轴为
，所以
错误；
令
,解得
，
函数
的单调增区间为：
，所以C 正确；
函数
图象上所有点横坐标伸长原来的2 倍，纵坐标缩短原来的一半，得到
的图象，
再把得到的图象向左平移
个单位长度，得函数
，所以
正确.
故选:ACD.
33
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3．（2023·山东滨州·统考二模）（多选）已知函数
，满足
，则下列
结论正确的是（ ）
A．
的值域为
B．
的最小值为2
C．
的图象关于直线
对称
D．
是偶函数
【答案】AC
【解析】依题意，
，所以
的值域为
，故A 正确；
因为
，
所以
，即
,解得
，又
，
所以当
时，
的最小值为，故B 错误；
由
，得
的图象关于直线
对称，故C
正确；
，
，
所以
，所以
是奇函数，故D 错误.故选：AC.
考法八 ω 的求法
【例8-1】（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数
，若
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在
上的值域为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
可化为
，所以
，
因为
，所以
，
因为
在
上的值域为
，所以
，所以
，所以
的取值范围为
.
故选：B.
【例8-2】．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）若函数
在区间
上恰有唯一
极值点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
，
，
由于
在区间
上恰有唯一极值点，
故满足
，解得
，
故选：B．
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【例8-3】（2023 春·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知函数
在
上单调
递减，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，
所以
，
又因为
在
上单调递减，
所以
，
,解得：
，
因为
，故
，而
，故
，故
.
故选：C
【例8-4】（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知函数
，
若
，
在
内有极小值，无极大值，则
可能的取值个数（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【解析】已知函数
，若
，
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所以
，则
①，
又
在
内有极小值，无极大值，则
，所以
，
又
，则当
得，
，所以
，不符合①式，故舍；
当
得，
，所以
，由①式可得
；
当
得，
，所以
，由①式可得
；
当
得，
，所以
，不符合①式，故舍；
当
得，
，无解，故舍；
易知，当
时，
都无解，故不讨论；
综上，
或
，则
可能的取值个数为
.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数
，若对于任意实数x，都有
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，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．8
【答案】C
【解析】因为对于任意实数x，都有
，则有函数
图象关于点
对称，
因此
，解得
，而
，
所以当
时，
取得最小值4.
故选：C
2．（2023·四川绵阳·统考三模）已知函数
是区间
上的增函数，则正实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
又因为函数
是区间
上的增函数，
解得
因为
为正实数，所以
，从而
，
又
，
所以正实数
的取值范围是为
.
故选：C
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3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数
是偶函数，
且
在
上单调，则
的最大值为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
则
①.，因为
是偶函数，
所以直线
是
图象的对称轴，所以
②.
由①②可得，
，又
，所以
，
则
，
因为
在
上单调，
的最小正周期为
，
所以
，解得
，故
的最大值为5，经检验，
在
上单调.
故选：C.
4．（2023 春·湖北）已知
，如果存在实数
，使得对任意的实数
x，都有
成立，则
的最小值为______.
【答案】
【解析】因为
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，
如果存在实数
，使得对任意的实数
，都有
成立，
则
是函数
的最小值，
是函数
的最大值，
因为
，若使得
最小，则函数
的最小正周期取最大值，
且函数
最小正周期的最大值为
，
故
的最小值为
，则
的最小值为
.
故答案为：
.
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