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2026 年高考数学一轮复习
专题13：三角函数的图像与性质
知识点一 三角函数的图象和性质(表中k∈Z)
正弦函数y＝sin x
余弦函数y＝cos x
正切函数y＝tan x
图象
图象画法
（ “五点
法” ）
(0,0)，(，1)，(π，0)，
(，－1)，(2π，0)
(0,1)，(，0)，(π，－1)，
(，0)，(2π，1)
/
定义域
R
R
{x|x≠＋kπ，k∈Z}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
单调性
[－＋2kπ，＋2kπ]增，
[＋2kπ，＋2kπ]减
[－π＋2kπ，2kπ]增，
[2kπ，π＋2kπ]减
(kπ－，kπ＋)增
最值
x＝＋2kπ 时，ymax＝1；
x＝－＋2kπ 时，ymin＝－1
x＝2kπ 时，ymax＝1；
x＝π＋2kπ 时，ymin＝－1
无
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
最小正周期
2π
2π
π
对称性
对称轴：x＝＋kπ
对称中心：（kπ，0）
对称轴：x＝kπ
对称中心：（＋kπ，0）
对称中心：（
，0）
知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ) 和y＝Atan(ωx＋φ) (A≠0，ω≠0)的有关性质
函数
y＝Asin(ωx＋φ)
y＝Acos(ωx＋φ)
y＝Atan(ωx＋φ)
定义域
R
R
ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x．
值域
[－|A|，|A|]
[－|A|，|A|]
R
周期性
T＝
2π
|ω|
T＝
2π
|ω|
T＝
π
|ω|
对称性
将ωx＋φ 视为一个整体，利用y＝sin x 或y＝cos x 或y＝tan x 的对称轴、对称中心求解；
奇偶性（前
提：定义域关
于原点对称）
当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数;
当φ＝kπ+(k∈Z)时是偶函数
当φ＝kπ(k∈Z)时是偶函数;
当φ＝kπ+(k∈Z)时是奇函数
/
单调性
A>0，ω＞0 时，将ωx＋φ 视为一个整体，利用y＝sin x 或y＝cos x 或y＝tan x 相应的单调区间
求解；当A<0 或ω<0 时，注意单调区间的变化。
知识点三 图像变换
由y＝sin x 的图象得到y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0)的图象的过程，其变化途径有两条：
正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是
T
2 ；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是
T
2 ；正(余)弦曲
线相邻两条对称轴与对称中心距离
T
4 ；
y=A sin(wx +ϕ)与y=A cos(wx +ϕ)( A>0,w>0)的图像与性质（多看几遍！！！）
（1）最小正周期：
T=2π
w .
（2）定义域与值域：y=A sin(wx +ϕ)，y=Acos(wx +ϕ）的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值
前提：假设A>0，w>0 .
①对于y=A sin(wx +ϕ)，
{
当wx +ϕ= π
2 +2kπ(k ∈Z )时，函数取得最大值A ;
当wx +ϕ=−π
2 +2kπ(k ∈Z )时，函数取得最小值−A ;
②对于y=Acos(wx +ϕ），
{
当wx +ϕ=2kπ(k ∈Z)时，函数取得最大值A ;
当wx +ϕ=2kπ+π(k ∈Z)时，函数取得最小值−A ;
（4）对称轴与对称中心.
前提：假设A>0，w>0 .
①对于y=A sin(wx +ϕ)，
{
当wx 0+ϕ=kπ+ π
2 (k ∈Z )，即sin(wx 0+ϕ)
¿±1时，y=sin(wx +ϕ)的对称轴为x=x0
当wx 0+ϕ=kπ (k ∈Z )，即sin(wx 0+ϕ)=0
时，y=sin(wx +ϕ)的对称中心为( x0,0).
②对于y=Acos(wx +ϕ），
{
当wx 0+ϕ=kπ(k ∈Z )，即cos(wx 0+ϕ)=±1
时，y=cos(wx +ϕ)的对称轴为x=x0
当wx 0+ϕ=kπ+ π
2 (k ∈Z )，即cos(wx 0+ϕ)
¿0时，y=cos(wx +ϕ)的对称中心为( x0,0).
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x 轴交
点的位置.
（5）单调性.
前提：假设A>0，w>0 .
①对于y=A sin(wx +ϕ)，
{
wx +ϕ∈[−π
2 +2kπ , π
2 +2kπ ](k ∈Z )⇒增区间；
wx +ϕ∈[ π
2 +2kπ , 3 π
2 +2kπ ](k ∈Z )⇒减区间.
②对于y=Acos(wx +ϕ），
{
wx +ϕ∈[−π+2kπ ,2kπ ](k ∈Z)⇒增区间；
wx +ϕ∈[2kπ ,2kπ+π ](k ∈Z)⇒减区间.
（6）平移与伸缩
由函数y=sin x 的图像变换为函数
y=2sin(2 x+ π
3 )+3
的图像的步骤；
方法一：
( x→x+ π
2 →2 x+ π
3 )
.先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我
们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形.
y=sin x的图像⃗向左平移π
3 个单位y=sin( x+ π
3 )的图像
y=sin(2 x+ π
3 )的图像
y=2sin(2 x+ π
3 )的图像⃗
向上平移3个单位y=2sin(2 x+ π
3 )+3
方法二：
( x→x+ π
2 →2 x+ π
3 )
.先周期变换，后相位变换，再振幅变换.
y=sin x的图像
y=sin2x的图像⃗向左平移π
6 个单位
y=sin2( x+ π
6 )=sin(2 x+ π
2 )的图像
y=2sin(2 x+ π
3 )的图像⃗向上平移3各单位y=2sin(2 x+ π
3 )+3
考点一 求三角函数的定义域与值域
【例1-1】函数
的定义域是__________.
【变式1-1】函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-2】已知不等式
对
恒成立，则m 的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】函数
的最大值为（ ）
A．
B．3 C．
D．4
【变式1-3】已知
，当
时，
的取值范围是__________．
【变式1-4】函数
的最大值是__________．
考点二 三角函数的单调性
【例2】已知函数
，
，则
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
，
D．
，
【变式2-1】函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】已知函数
.
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)求使
成立的实数x 的取值集合.
考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性
【例3】下列直线中，函数
的对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】已知函数
（
、
为常数
，
R）在
处取得最小值，则函数
是（ ）
A．偶函数，且图象关于点
对称
B．偶函数，且图象关于点
对称
C．奇函数，且图象关于点
对称
D．奇函数，且图象关于点
对称
【变式3-2】下列函数中①
；②
；③
；④
，其中是偶函数，且最
小正周期为
的函数的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】设函数
，
，其中
，
.若
，
，且
的最小正周期大于
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式3-4】若函数
对任意的x 都有
，则
等于
（ ）
A．3 或0
B．
或0
C．0
D．
或3
【变式3-5】关于函数
，有下列命题：
①函数
是奇函数；
②函数
的图象关于直线
对称；
③函数
可以表示为
；
④函数
的图象关于点
对称
其中正确的命题的个数为（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
考点四 求三角函数的解析式
【例4】函数
的部分图像如图所示，现将
的图像向左平移
个单位长度，得到函数
的图像，则
的表达式可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（多选题）如图是函数
的部分图象，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 三角函数图像变换
【例5】为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【变式5-1】为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象
（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向右平移
个单位
D．向左平移
个单位
【变式5-2】已知函数
，
（其中
，
，
的图象与
轴的交点
中，相邻两个交点之间的距离为
，且函数图象与直线y=3 相切.对于任意
，都有
（1）求
的解析式；
（2）先把函数
的图象向左平移
个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的
2 倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，求函数
的递减区间.
1.已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
为奇函数
D．
为偶函数
2.将函数
的图象向右平移
个单位后得到的函数图象关于直线
对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知函数
的部分图像如图所示，则将
的图像向左平移
个单位后，所得图像的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（多选题）设函数
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的图象关于直线
对称
C．
在
上单调递减
D．
在
上的最小值为0
5.函数
的最小值为______．
6.已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数
关于点
中心对称，求
在
上的值域．
