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第05讲 三角函数的图像与性质
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π]
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
一．三角函数的定义域
例1．（1）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．（2）函数 的定义域为（ ）
A． B． 且
C． D． 或
（3）函数 的定义域为( )
A． B．
C． D．
（4）函数 的定义域为( )
A． B．
C． D．
（5）函数 的定义域是_____________________.
【复习指导】：一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.
（6）求函数 的定义域为_______.（7）求下列函数的定义域：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
⑤ ；
⑥ .
【复习指导】：用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；
(2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集；
(3)根据公式一写出定义域内的解集．
二．三角函数的值域
例2．（1）函数 在区间 上的值域为（ ）
A． B． C． D．
（2）函数 的最大值是（ ）
A． B．0 C．2 D．3
（3）若 ，则函数 的值域是___________.（4）函数 的值域为_____________．
（5）已知函数 ， ，则 的值域为______.
（6）求下列函数的值域：
① ；
② ．
【复习指导】：求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．求三角函数取
最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin
x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意 t＝sin
x(或cos x)的有界性．
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求
值域(最值)．
三．三角函数的周期性
例3．（1）下列函数中，以 为周期且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．（2）下列函数中，以 为周期且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
（3）函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
（4）函数 的最小正周期为______．
（5）设 ，则 __________.
【复习指导】：求三角函数周期的方法
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝；
对形如y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数， ．
形如y＝|Asin ωx|(或y＝|Acos ωx|)的函数的周期T＝.
(3)观察法：即通过观察函数图象求其周期．
四．三角函数的奇偶性
例4．（1）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A． B． C． D．
（2）下列函数中为周期是 的偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
（3）（多选）下列函数中周期为 且为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【复习指导】：三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再
利用公式求解．
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝
Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0)其中的一个．
（4）函数 是（ ）
A．周期为 的奇函数 B．周期为 的偶函数
C．周期为 的奇函数 D．周期为 的偶函数
（5）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
（6）已知函数 ，若 ，则 __________.
【复习指导】：(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系．
(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
五．三角函数的对称性
例5．（1）若函数 的最小正周期为 ，则它的一条对称轴是（ ）
A． B．
C． D．
（2）函数 的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
（3）若函数 的图像关于直线 对称，则 ___________.（4）已知函数 的一个对称中心是 ，则 的值为______.
（5）定义在R上的函数 满足以下两个性质：① ，② ，满足①②的
一个函数是______.
（6）函数 图像的对称中心为___________
（7）函数 图像的一个对称中心为 ，其中 ，则点 对应的坐标为
______________.
（8）已知函数 ，对 ， 成立，则 _______.
【复习指导】：(1)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，
只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令
ωx＋φ＝kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z))，求x即可．
(2)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求
x即可．
六．三角函数的单调性
命题点1 求三角函数的单调区间例6．（1）下列区间是函数 的单调递减区间的是（ ）
A． B． C． D．
（2）函数 的的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
（3）函数 在 上的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
（4）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
（5）函数 的单调递增区间为（ ）
A． ， B． ，C． ， D． ，
【复习指导】：求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当
ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
（6）下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．图像关于点 成中心对称
C．在区间 上单调递增
D．图像关于直线 成轴对称
【复习指导】：解答正切函数图象与性质问题应注意的两点
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．
（7）已知函数 ，则它的单调递增区间是_________
【复习指导】：(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不
等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
命题点2 根据单调性求参数例7．（1）已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围为（
）
A． B． C． D．
（2）（多选）已知函数 （其中 ）， 恒成立，且
在区间 上单调，则（ ）
A． 是偶函数．
B．
C． 是奇数
D． 的最大值为3
（3）函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________
（4）已知函数 在 上单调递增，则 的最大值是____.
（5）函数 ，已知 且对于任意的 都有
，若 在 上单调，则 的最大值为______.【复习指导】：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为 或 的形式；
（2）将 看成一个整体；
（3）借助正弦函数 或余弦函数 的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、
单调性等）解决相关问题.
1．函数 的定义域为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．函数f（x）=sinx-cos(x+ )的值域为（ ）
A．[ -2 ,2] B．[- , ] C．[-1,1 ] D．[- , ]
3．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于点 对称
C． 的最大值为 D． 的图象关于直线 对称
4．函数 的最大值为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
5．函数 在 上的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．若 ，且 ，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 是偶函数，则 在 上的值域是（
）
A． B． C． D．
8．若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．若关于x的方程 在 有两个不等实根，则实数m的取值范围是（
）
A． B． C． D．10．下列函数中最小正周期为 的是（ ）
① ；
② ；
③ ；
④
A．①② B．②④ C．①③④ D．①②④
11．已知 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ，若 ，则 （ ）
A． B．2 C．5 D．7
13．下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
14．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
15．对于函数 ，有以下四种说法：①函数的最小值是
②图象的对称轴是直线
③图象的对称中心为
④函数在区间 上单调递增．
其中正确的说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．关于函数 的叙述中，正确的有（ ）
① 的最小正周期为 ；
② 在区间 内单调递增；
③ 是偶函数；
④ 的图象关于点 对称.
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
17．已知 ，（ ），若函数在区间 内不存在对称轴，则 的
范围为（ ）
A． B．
C． D．18．已知函数 在 上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为 ，则 的
值不可能是（ ）
A． B． C．1 D．
19．若函数 在区间 内单调，且 是 的一个对称中心，则 的值可
以是（ ）
A．6 B． C．9 D．
20．设函数f(x)=cos(x+ )，则下列结论错误的是（ ）
A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x= 对称
C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在( ,π)单调递减
21．已知函数 的图象的一条对称轴是直线 ，则函数 的图
象（ ）对称
A．关于直线 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于点 对称
22．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的图象关于y轴对称C． 的图象不关于 对称
D． 的图象关于 对称
23．下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
24．函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
25．（多选）下列函数中最小正周期为 ，且为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
26．（多选）下列函数中，在定义域上既是增函数，又是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．27．（多选）已知函数 ，且对任意 都有 ，则以下
正确的有（ ）
A． 的最小正周期为
B． 在 上单调递减
C． 是 的一个零点
D．
28．（多选）下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A．在区间 上单调递增 B．最小正周期是
C．图象关于点 成中心对称 D．图象关于直线 对称
29．（多选）下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A．在区间 上单调递增 B．最小正周期是
C．图象关于点 成中心对称 D．图象关于直线 成轴对称30．函数 的定义域是________
31．函数y＝的定义域为________．
32．函数 的定义域为_________，值域为_________.
33．函数 在 上的值域是___________.
34．函数 的值域为______.
35．已知函数 ，且 恒成立，则实数 的取值范围是____________.
36．函数 ， 的值域是______．
37．若 在区间 上恒成立，则 的取值范围是__________．38．若函数 的值域是 ，则 _____________．
39．函数 的最大值为______．
40．已知函数 ，则 的最大值为___________.
41．下列3个函数：① ；② ；③ ；其中最小正周期为 的偶函数
的编号为___________.
42．已知函数 的最小正周期为 ，则 的值为___________.
43．已知函数 的最小值为0，且 ，则 图象的一个对
称中心的坐标为______．44．已知函数 的最小正周期为 ，其图象的一条对称轴为 ，
则 ______.
45．若函数 ，对任意实数t都有 ，且 ，则实数k的
值为________.
46．求下列函数的定义域和单调区间：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
47．已知 ，求 的值域．
48．已知函数 的周期为 ．
(1)求 ；
(2)求函数 的对称中心；
(3)已知 ， ，求 的值．49．已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)求函数 的值域.
50．已知函数 ．求：
（I）函数 的最小正周期；
（II）函数 的单调增区间．
