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第30 讲 三角函数的图像与性质·综合测试
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.将函数f ( x)=2cos(2 x + π
6 )向左平移ϕ个单位得到新函数g( x)=2sin(2 x + π
3 )，则ϕ可能的
取值为（ ）
A. π
6
B. π
3
C. 2π
3
D. 5 π
6
2.已知函数f ( x)=sin 2 x +acos2 x满足f ( x)≤|f ( π
12 )|恒成立，则当x∈[- π
2 , 3 π
2 ]时，曲线
y = f ( x)与y =sin x的交点个数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
3.已知函数f ( x)=2cos(2 x - π
3 )，把f ( x)的图象向左平移5 π
12 个单位长度可得到函数g( x)的
图象，则（ ）
A. g( x)是偶函数
B. g( x)的图象关于直线x = 5 π
8 对称
C. g( x)在[0, π
2 ]上的最大值为0
D. 不等式g( x)≤0的解集为[kπ + π
2 ,kπ + π ],k ∈Z
4.已知函数f ( x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π )的部分图象如图所示，则f ( π
3 )=（ ）
A. -1
B. -
❑√3
2
C. -
❑√2
2
D. - 1
2
5.已知函数f ( x)=sin x +acos x，若f ( x)≤f ( π
6 )，则f ( 13 π
3
)=（ ）
A. 0
B.
❑√3
3
C. 1
D. ❑√3
6.函数f ( x)=sin( x + π
6 )sin( π
3 - x)的最小正周期是（ ）
A. 2π
B. 3 π
2
C. π
D. π
2
7.已知圆台的母线长为4，下底面的半径是上底面半径的3 倍，母线与底面所成的角为60
∘，
那么圆台的外接球的表面积为（ ）
A. 28
3 π
B. 56
3 π
C. 28 π
D. 112
3 π
8.若点(α ,0)是函数y =3sin( x + π
3 )的图象的一个对称中心，则sin 2α的值为（ ）
A. 1
2
B. - 1
2
C.
❑√3
2
D. -
❑√3
2
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9.在平面直角坐标系中，曲线C由函数y =cos x(- 3 π
4 ≤x ≤5 π
4 )和y =sin x(- 3 π
4 ≤x ≤5 π
4 )的
图象构成，则（ ）
A. C关于直线x = π
4 对称
B. C关于点( π
4 ,0)对称
C. 直线x =a被C截得的线段长的最大值为❑√2
D. C围成的图形的面积大于2π
10.将函数f ( x)=sin(ωx - π
6 )(0<ω<6)的图象向右平移π
12个单位长度后得到函数g( x)的图
象，若(0, π
ω )是g( x)的一个单调递增区间，则（ ）
A. f ( x)的最小正周期为π
2
B. f ( x)在( π
2 , 2π
3 )上单调递增
C. 函数F( x)= f ( x)+ g( x)的最大值为1
D. 方程6 f
2( x)+ f ( x)-1=0在[0, π
2 ]上有5 个实数根
11.已知函数f ( x)= A cos(ωx +φ)( A >0,ω>0,- π
2 <φ< π
2 )，函数f ( x)和它的导函数f
'( x)的部
分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. A =2
B. φ= π
3
C. x = 5 π
6 是函数f ( x)的一条对称轴
D. 若f
'(θ)= 4
5 ，则f (2θ+ π
6 )= 17
25
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12.将函数y =2sin( x + π
3 )的图象向左平移φ(0<φ< π
2 )个单位，得到的图象关于y轴对称，则
φ =＿＿＿＿＿＿．
13.在平面直角坐标系中，函数f ( x)=2cos(ωx +φ)的部分图象如图所示，若⃗AC =2⃗AB，则
点C的纵坐标为＿＿＿＿＿＿．
14.函数y =sin 6 x + ❑√3cos6 x在[0, π
18 ]上的值域为＿＿＿＿＿＿．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|< π
2 )的部分图象如图所示．
（1）求f ( x)的解析式，并写出f ( x)的单调递减区间；
（2）若α ∈[0, π
2 ]，且f (α )= 1
5，求cos( π
6 -α )的值．
16.已知函数f ( x)=sin(2 x + π
6 )+sin(2 x - π
6 )+2cos
2 x +m的最大值为1.
（1）求常数m的值；
（2）求使f ( x)≥0成立的x的取值集合.
17.已知函数f ( x)=sin 2 x -2cos
2 x +2.
（1）求f ( π
6 )；
（2）求f ( x)的值域和单调递减区间.
18.已知向量⃗a=(sin x ,1+cos2 x)，⃗b=(cos x , 1
2 )，f ( x)=⃗a⋅⃗b- 1
2.
（1）求函数y = f ( x)的最大值及相应x的值；
（2）在△ABC中，角A为锐角且A + B = 7 π
12 ，f ( A)= 1
2，BC =2，求△ABC的面积.
19.已知钝角△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
2asin Bcos(B - A )=-bsin 2 A +2asin BcosC.
（1）求B；
（2）若a+c = 4，b=2❑√3，证明：△ABC是等腰三角形.
