第30 讲 三角函数的图像与性质 · 分类练习
考点一：三角函数的图像与变换......................................................................................................1
考法1：三角函数图像识别与应用.......................................................................................1
考法2：三角函数图像平移变换...........................................................................................1
考法3：三角函数图像平移与伸缩综合变换.......................................................................2
考法4：三角函数图像折叠与空间几何结合.......................................................................2
考点二：根据条件确定解析式..........................................................................................................2
考法5：结合图像特征求解析式...........................................................................................2
考法6：结合函数性质求解析式...........................................................................................4
考法7：结合向量或几何条件求解析式...............................................................................4
考点三：三角函数的定义域、值域与最值......................................................................................5
考法8：利用辅助角公式求值域或最值...............................................................................5
考法9：结合换元法求值域或最值.......................................................................................5
考法10：三角函数交点与方程有解问题.............................................................................5
考点四：三角函数的周期性..............................................................................................................5
考法11：利用公式求三角函数周期.....................................................................................5
考法12：结合零点或最值点距离求周期.............................................................................5
考法13：由周期求参数及函数值.........................................................................................6
考点五：三角函数的奇偶性与对称性..............................................................................................6
考法14：判断三角函数的奇偶性及求参数.........................................................................6
考法15：求三角函数的对称轴或对称中心.........................................................................7
考法16：利用对称性求参数或函数值之和.........................................................................7
考点六：三角函数的单调性..............................................................................................................7
考法17：求三角函数的单调区间.........................................................................................7
考法18：结合单调性求参数或解不等式.............................................................................7
考点七：三角函数性质的综合与应用..............................................................................................7
考法19：三角函数图像与性质综合判断.............................................................................7
考法20：三角函数交点与零点问题.....................................................................................8
考法21：三角函数实际应用模型.........................................................................................8
考点一：三角函数的图像与变换
考法1：三角函数图像识别与应用
1.（2026·河北沧州十二校·一模）如图，在函数f ( x)=sin(ωx +φ)的部分图象中，若⃗TA =⃗AB，
则点A的纵坐标为（ ）
A. 2- ❑√2
2
B.
❑√3-1
2
C. ❑√3- ❑√2
D. 2- ❑√3
2.（2025·江西优创名校·4 月联考）（多选）已知函数f ( x)=ωsin(ω
2 x - π
6 )+1的部分图象
可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
考法2：三角函数图像平移变换
3.（2026·湖北圆创联盟·2 月联考）若将函数f ( x)=cos(2 x +φ)(|φ|< π
2)的图象向右平移π
3
个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的值是（ ）
A. π
3
B. π
4
C. - π
6
D. π
6
4.（2026·山东济宁·一模）将函数f ( x)=sin(ωx + π
3)(ω>0)的图象向左平移π
6 个单位长度后，
得到函数y = g( x)的图象，若g( x)图象的一个对称中心为(
π
2 ,0)，则ω的最小值为
（ ）
A. 1
2
B. 1
C. 3
2
D. 2
考法3：三角函数图像平移与伸缩综合变换
5.（2026·江苏镇江·零模）（多选）将函数y =cos2 x的图象沿x轴向右平移π
4 个单位长度，
再向上平移2个单位长度，得到函数y = g( x)的图象，则（ ）
A. g( x)的最小正周期为π
B. g( x)在(0, π
2 )上单调递增
C. g( x)的图象关于直线x = 3 π
4 对称
D. g( x)的图象关于点(0, 1
2 )中心对称
考法4：三角函数图像折叠与空间几何结合
6.（2025·江西十校协作体·二模）如图，将绘有函数f ( x)= M ⋅sin(
π
3 x +φ)( M >0,0<φ<π )
部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为2π
3 ，此时A，B之间的距离为3 ❑√2，则φ =＿
＿＿＿＿＿．
考点二：根据条件确定解析式
考法5：结合图像特征求解析式
7.（2026·广东茂名·一模）（多选）函数f ( x)=3sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|< π
2)的部分图象如
图所示，则（ ）
A. π为f ( x)的周期
B. (
7
3 ,0)是f ( x)图象的对称中心
C. 当x∈[0, 5
12]时，f ( x)的值域是[
3
2 ,3]
D. f ( x)的单调递增区间是[- 5
12 +k , 1
12 +k](k ∈Z )
8.（2026·山东青岛·一模）函数f ( x)= A sin(ωx +φ)（A >0，ω>0，|φ|< π
2 ）的部分图像如
图所示.
（1）当x∈[- π
2 , π
2]时，求f ( x)的单调递增区间；
（2）已知θ∈(0, π
2)，且f (θ)=- 2
5，求cos2θ的值.
9.（2026·江西南昌·一模）已知函数f ( x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π )部分图象如图所示，
则f(
π
3)=（ ）
A. -1
B. -
❑√3
2
C. -
❑√2
2
D. - 1
2
10.（2026·广东佛山·二模）已知函数f ( x)= 4 sin(ωx + π
6)cosωx -1（ω>0）在一个周期内
的图象如图所示，A 为图象的最高点，B、C、D 为图象与x 轴的交点，且△ABC为等腰直
角三角形.
（1）求f ( x)的解析式，及f ( x +m)为偶函数时的最小正实数m；
（2）求⃗AB⋅⃗AD的值.
考法6：结合函数性质求解析式
11.（2025·福建厦门·三模）（多选）将函数f ( x)=sin(2 x +φ)(|φ|< π
2 )的图像向左平移π
4
个单位得到函数g( x)的图像，若g( x)的图像与f ( x)的图像关于y轴对称，则下列说法正确
的有（ ）
A. φ = π
4
B. φ=- π
4
C. g( x)的对称轴过f ( x)的对称中心
D. ∀n∈[- π
4 , π
8]，∃唯一的m∈[- π
4 , π
8]，使得f (m)= g(n)
考法7：结合向量或几何条件求解析式
12.（2025·河北张家口·二模）已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π
2)，圆
C :(x - 1
2)
2
+ y
2= 9
4 .
（1）若f ( x)两条相邻的对称轴与C相切，求ω,φ；
（2）若φ = π
2 ，xi(i=1,2,⋯)是f ( x)的极值点，且点( xi,0)(i=1,2,⋯)有且仅有两个在C的
内部，求ω的取值范围.
考点三：三角函数的定义域、值域与最值
考法8：利用辅助角公式求值域或最值
13.（2026·八省T8 联考·4 月联测）f ( x)=sin x + ❑√2cos x在区间[0,π ]上的值域为＿＿＿＿＿
＿．
14.（2026·浙江温州·一模）函数f ( x)=2sin(2 x - π
6)在[- π
4 , π
4]上的最大值为＿＿＿＿＿＿．
考法9：结合换元法求值域或最值
15.（2025·江西九师联盟·5 月检测）若函数f ( x)=sin x -3|sin x|在[
π
2 ,α]上的值域是
[-2,0]，则α的取值范围为＿＿＿＿＿＿；sin
2 α
4 +cos
4 α
4 的取值范围为＿＿＿＿＿＿．
考法10：三角函数交点与方程有解问题
16.（2024·广东华南师大附中·三模）函数y =2cos x(0< x<π )和函数y =3 tan x的图象相交于
A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A.
❑√2π
3
B.
❑√3 π
3
C.
❑√2π
2
D.
❑√3 π
2
考点四：三角函数的周期性
考法11：利用公式求三角函数周期
17.（2026·安徽华师联盟·4 月质检）函数f ( x)=sin
2 x -2cos
2 x的最小正周期是（ ）
A. π
4
B. π
2
C. π
D. 2π
考法12：结合零点或最值点距离求周期
18.（2026·广东湛江·高考测试）若x1= π
3 , x2= 2π
3 是函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0)的两个相邻
的零点，则ω=（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
19.（2026·湖南九校联盟·一模）已知函数f ( x)=2sin ωx + 4 cosωx的两个相邻零点间的距离
为π
2 ，则f(
π
3)=＿＿＿＿＿＿．
考法13：由周期求参数及函数值
20.（2025·山东名校联盟·二模）已知函数f ( x)=sin(ωx - π
6)(0<ω<3)在x = π
3 处取得最大值，
则ω=（ ）
A. 1
2
B. 1
C. 3
2
D. 2
21.（2026·浙江金丽衢十二校·二模）已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)在区间(- π
3 ,0)单调，其中
ω为正整数，φ∈(0, π
2)，且图象关于点(
π
3 ,0)对称．
（1）求f ( x)的最小正周期；
（2）在△ABC中，f ( A )=
❑√3
2 ，AB = ❑√3，BC边上的中线长为
❑√7
2 ，求△ABC的面积．
考点五：三角函数的奇偶性与对称性
考法14：判断三角函数的奇偶性及求参数
22.（2026·河南郑州·二模）（多选）已知函数f ( x)=sin| x|+|sin x|，函数
g( x)=cos| x|+|cos x|，则（ ）
A. 当- π
4 < x< π
4 时，f ( x)>g( x)
B. f ( x)和g( x)的奇偶性相同
C. f ( x)和g( x)的周期相同
D. f ( x)和g( x)的最值相同
23.（2026·广东深圳·一模）函数f ( x)=sin(ωx - π
4)(ω>0)的最小正周期为π，其图象的对称
中心可以为（ ）
A. (
5 π
8 ,0)
B. (
π
2 ,0)
C. (
3 π
8 ,0)
D. (
π
4 ,0)
考法15：求三角函数的对称轴或对称中心
24.（2025·河北保定·二模）若函数f ( x)= tan 2 x的最小正周期为T，且f ( x)的图象关于点
(m,0)(0<m<T )对称，则m=＿＿＿＿＿＿．
考法16：利用对称性求参数或函数值之和
25.（2026·浙江宁波十校·二模）若关于x的方程cos2 x =m在[
π
6 , 4 π
3 ]上恰有3 个根
x1, x2, x3( x1< x2< x3)，则x1+2 x2+ x3=（ ）
A. 3 π
B. 4 π
C. 5 π
D. 6 π
考点六：三角函数的单调性
考法17：求三角函数的单调区间
26.（2026·河北石家庄·二模）若函数f ( x)=sin 2 x +bcos2 x在区间[
π
3 , 5 π
6 ]上单调递减，则
实数b为（ ）
A. - ❑√3
B. -
❑√3
3
C.
❑√3
3
D. ❑√3
27.（2026·山东菏泽·二模）已知函数f ( x)=sin x
2 + ❑√3cos x
2，x∈[-2π ,2π ]，则函数f ( x)的
单调递增区间是＿＿＿＿＿＿．
考法18：结合单调性求参数或解不等式
28.（2025·河北衡水中学·综合素质评价）在平面直角坐标系xOy中，一动点从点M 0(❑√3,0)
开始，以π
2 rad/s的角速度逆时针绕坐标原点O做匀速圆周运动，xs后到达点M的位置.设
A(
1
2 ,
❑√3
2 )，记φ( x)=| AM |
2，则φ( x)的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿
考点七：三角函数性质的综合与应用
考法19：三角函数图像与性质综合判断
29.（2026·江西萍乡·二模）（多选）函数f ( x)=sin(2 x - π
4 )，则下列说法正确的是
（ ）
A. f ( x)的最小正周期为π
B. f ( x)的图象关于直线x = π
8 对称
C. f ( x)的图象关于点( π
8 ,0)对称
D. f ( x)在区间[- π
8 , 3 π
8 ]上单调递减
考法20：三角函数交点与零点问题
30.（2026·山东菏泽·二模）已知ω>0，曲线y =sin ωx与曲线y =sin(ωx - π
3 )相邻的四个交点
构成一个菱形，则ω=（ ）
A. π
2
B. π
C. 3 π
2
D. 2π
31.（2026·河南华大新高考联盟·5 月联考）已知函数f ( x)=sin(ωx - 2π
3 )- 1
2 ,ω>0，将函数
f ( x)的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列{an}，且a1= 5
6．
（1）求ω的值；
（2）求函数y = f ( x)图象的对称中心；
（3）求数列{an}的前2n项和S2n．
考法21：三角函数实际应用模型
32.（2026·安徽皖南八校·4 月检测）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标
系xOy．设时针长为1，若某时刻时针指向9点到12点之间，且针尖所在点的纵坐标为2
3，
则在经过4小时后，时针针尖所在点的横坐标为（ ）
A. 2
3
B.
❑√5+2❑√3
6
C.
❑√15-2
6
D. -
❑√5
3
