第30 讲 三角函数的图像与性质·综合测试（解析卷）
答案速查表
1
2
3
4
5
D
B
C
A
D
6
7
8
9
10
C
D
D
AC
AB
11
12
13
14
BCD
π
6
2❑√3-2
[ ❑√3,2]
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.（2026·湖北襄阳·二模）将函数f ( x)=2cos(2 x + π
6 )向左平移ϕ个单位得到新函数
g( x)=2sin(2 x + π
3 )，则ϕ可能的取值为（ ）
A. π
6
B. π
3
C. 2π
3
D. 5 π
6
【答案】D
【解析】将函数f ( x)=2cos(2 x + π
6 )向左平移ϕ个单位得到
2cos[2( x + ϕ)+ π
6 ]=2cos(2 x +2ϕ+ π
6 ).
目标函数g( x)=2sin(2 x + π
3 )=2cos[ π
2 -(2 x + π
3 )]=2cos(-2 x + π
6 )=2cos(2 x - π
6 ).
所以2ϕ+ π
6 =- π
6 +2kπ，解得ϕ =- π
6 +kπ(k ∈Z ).
当k =1时，ϕ = 5 π
6 .
【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换以及诱导公式的应用.解题的关键是将正弦函数转化为
余弦函数，再根据平移规则列出关于ϕ的方程.
2.（2025·河北NT20 名校联合体·二模）已知函数f ( x)=sin 2 x +acos2 x满足f ( x)≤|f ( π
12 )|
恒成立，则当x∈[- π
2 , 3 π
2 ]时，曲线y = f ( x)与y =sin x的交点个数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【解析】因为f ( x)≤|f ( π
12 )|恒成立，所以x = π
12为f ( x)的一条对称轴，
那么f （0）= f ( π
6 )，所以a=
❑√3
2 + 1
2 a，
解得a= ❑√3，f ( x)=2sin(2 x + π
3 )，
f ( x)=2sin(2 x + π
3 )与y =sin x的图象如图所示：
由图可知，曲线y = f ( x)与y =sin x的交点个数为4.故选：B.
【点拨】本题考查三角函数的性质与图象.根据最值条件确定函数的对称轴，进而求出参数a是解
题的突破口，随后利用数形结合思想判断交点个数.
3.（2024·深圳光明区高级中学·5 月模考）已知函数f ( x)=2cos(2 x - π
3 )，把f ( x)的图象向
左平移5 π
12 个单位长度可得到函数g( x)的图象，则（ ）
A. g( x)是偶函数
B. g( x)的图象关于直线x = 5 π
8 对称
C. g( x)在[0, π
2 ]上的最大值为0
D. 不等式g( x)≤0的解集为[kπ + π
2 ,kπ + π ],k ∈Z
【答案】C
【解析】由题知g( x)=2cos[2( x + 5 π
12 )- π
3 ]=2cos(2 x + π
2 )=-2sin2 x，由于g( x)的定义域为R，
且g(- x)=-2sin(-2 x)=2sin 2 x =- g( x)，故g( x)为奇函数，A 错误.又
g( 5 π
8 )=-2sin( 5 π
4 )= ❑√2，故g( x)的图象不关于直线x = 5 π
8 对称，B 错误.因为x∈[0, π
2 ]时，
2 x∈[0,π ]，所以y =-2sin z在z∈[0,π ]上的最大值为0，最小值为-2，故C 正确.g( x)≤0，则
sin 2 x ≥0，则2 x∈[2kπ ,2kπ + π ],k ∈Z，故x∈[kπ ,kπ + π
2 ],k ∈Z，D 错误.
【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换及其性质.先通过平移规则求出g( x)的解析式，再结合
正弦函数的奇偶性、对称性、最值及不等式解法逐项判断即可.
4.（2026·江西南昌·一模）已知函数f ( x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π )的部分图象如图所示，
则f ( π
3 )=（ ）
A. -1
B. -
❑√3
2
C. -
❑√2
2
D. - 1
2
【答案】A
【解析】由图象得，3
4 T = 7 π
12 -(- π
6 )= 3 π
4 ，解得T = π，所以ω=2.
又f ( x)在x =- π
6 处取得最大值，代入可得cos[2×(- π
6 )+φ]=1，所以- π
3 +φ =2kπ ,k ∈Z.
解得φ= π
3 +2kπ ,k ∈Z.
因为0<φ<π，所以φ = π
3 .
所以f ( x)=cos(2 x + π
3 ).
则f ( π
3 )=cos(2× π
3 + π
3 )=cos π =-1.
【点拨】本题考查由三角函数的部分图象求解析式.根据图象中的最高点与零点之间的水平距离求
出周期，进而求出ω，再代入最高点坐标求出φ是解题的关键.
5.（2026·福建厦门·第二次质量检测）已知函数f ( x)=sin x +acos x，若f ( x)≤f ( π
6 )，则
f ( 13 π
3
)=（ ）
A. 0
B.
❑√3
3
C. 1
D. ❑√3
【答案】D
【解析】由题意得f ( π
6 )是f ( x)的最大值，所以f ( π
6 )= 1
2 +
❑√3
2 a=
❑√1+a
2，解得a= ❑√3.
所以f ( 13 π
3
)= f ( 13 π
3
-2×2π )= f ( π
3 )= ❑√3.故选D.
【点拨】本题考查辅助角公式及三角函数的最值.利用最值条件建立关于参数a的方程是解题的核
心，求出解析式后再利用诱导公式求值即可.
6.（2026·广东广州·一模）函数f ( x)=sin( x + π
6 )sin( π
3 - x)的最小正周期是（ ）
A. 2π
B. 3 π
2
C. π
D. π
2
【答案】C
【解析】因为
f ( x)=sin( x + π
6 )sin( π
3 - x)=sin( x + π
6 )sin[ π
2 -( x + π
6 )]=sin( x + π
6 )cos( x + π
6 )= 1
2 sin(2 x + π
3 )，
所以最小正周期为T = 2π
2 = π.
【点拨】本题考查三角函数的化简与周期的求法.观察到两角之和为π
2 ，利用诱导公式将其中一个
正弦转化为余弦，再利用二倍角公式化简是解题的捷径.
7.（2025·深圳高级中学高中园·适应性测试）已知圆台的母线长为4，下底面的半径是上底
面半径的3 倍，母线与底面所成的角为60
∘，那么圆台的外接球的表面积为（ ）
A. 28
3 π
B. 56
3 π
C. 28 π
D. 112
3 π
【答案】D
【解析】因为母线与底面所成的角为60
∘，则圆台的高为2❑√3，上底面半径为1，下底面半径为
3，设外接球的半径为R，球心到上底面的距离为h，则{
R
2=h
2+1
R
2=(2❑√3-h)
2+9，解得h= 5 ❑√3
3
，所以
R
2=h
2+1= 28
3 ，所以S = 4 π R
2= 112π
3
.故选：D.
【点拨】本题考查圆台的几何性质及外接球表面积的计算.通过轴截面分析，利用勾股定理建立关
于球心位置和球半径的方程组是解决此类外接球问题的通法.
8.（2026·湖北孝感·一模）若点(α ,0)是函数y =3sin( x + π
3 )的图象的一个对称中心，则
sin 2α的值为（ ）
A. 1
2
B. - 1
2
C.
❑√3
2
D. -
❑√3
2
【答案】D
【解析】根据正弦函数对称中心性质得α + π
3 =kπ ,k ∈Z，然后利用诱导公式求值即可.
因为点(α ,0)是函数y =3sin( x + π
3 )的图象的一个对称中心，
所以α + π
3 =kπ ,k ∈Z，即α =kπ - π
3 ,k ∈Z，
所以2α =2kπ - 2π
3 ，所以sin 2α =sin(2kπ - 2π
3 )=sin(- 2π
3 )=-
❑√3
2 .
故选：D.
【点拨】本题考查正弦函数的对称性及诱导公式的应用.熟记正弦函数对称中心的横坐标满足整体
相位等于kπ是解题的基础.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9.（2025·江西上进联考·4 月联考）在平面直角坐标系中，曲线C由函数
y =cos x(- 3 π
4 ≤x ≤5 π
4 )和y =sin x(- 3 π
4 ≤x ≤5 π
4 )的图象构成，则（ ）
A. C关于直线x = π
4 对称
B. C关于点( π
4 ,0)对称
C. 直线x =a被C截得的线段长的最大值为❑√2
D. C围成的图形的面积大于2π
【答案】AC
【解析】画出C的图象，由图可知A 正确，B 错误.直线x =a(- 3 π
4 ≤a≤5 π
4 )被C截的弦长为
|cosa-sin a|= ❑√2|cos(a+ π
4 )|≤❑√2，故C 正确.当- 3 π
4 ≤x ≤π
4 时，如图，4 个阴影部分面积相
等，区域②的面积小于区域①的面积，区域③的面积小于区域④的面积.利用割补法知曲线C在
[- 3 π
4 , π
4 ]上围成的图形的面积小于以π
2 为宽、2 为高的矩形ABCD的面积π，即曲线C围成的图形
的面积小于2π，故D 错误.故选AC.
【点拨】本题综合考查三角函数的图象与性质.通过准确作出两函数的图象，利用数形结合分析对
称性、弦长最值及封闭图形的面积是解题的关键.
10.（2026·山东日照·二模）将函数f ( x)=sin(ωx - π
6 )(0<ω<6)的图象向右平移π
12个单位长
度后得到函数g( x)的图象，若(0, π
ω )是g( x)的一个单调递增区间，则（ ）
A. f ( x)的最小正周期为π
2
B. f ( x)在( π
2 , 2π
3 )上单调递增
C. 函数F( x)= f ( x)+ g( x)的最大值为1
D. 方程6 f
2( x)+ f ( x)-1=0在[0, π
2 ]上有5 个实数根
【答案】AB
【解析】将函数f ( x)=sin(ωx - π
6 )(0<ω<6)的图象向右平移π
12个单位长度后得到函数
g( x)=sin[ω( x - π
12 )- π
6 ]=sin(ωx - ωπ
12 - π
6 )，
若(0, π
ω )是g( x)的一个单调递增区间，则π
ω -0≤π
ω，即π
ω ≤π
ω，显然成立.
且- π
2 +2kπ ≤- ωπ
12 - π
6 ≤π
2 +2kπ，且ω π
ω - ωπ
12 - π
6 ≤π
2 +2kπ，
即- π
2 +2kπ ≤- ωπ
12 - π
6 且π - ωπ
12 - π
6 ≤π
2 +2kπ，
解得4 -24 k ≤ω≤4 -24 k，所以ω= 4 -24 k，
因为0<ω<6，所以k =0，ω= 4.
所以f ( x)=sin(4 x - π
6 )，g( x)=sin(4 x - π
2 )=-cos 4 x.
对于A，f ( x)的最小正周期为2π
4 = π
2 ，故A 正确.
对于B，当x∈( π
2 , 2π
3 )时，4 x - π
6 ∈( 11π
6
, 5 π
2 )，f ( x)单调递增，故B 正确.
对于C，
F( x)= f ( x)+ g( x)=sin(4 x - π
6 )-cos 4 x =
❑√3
2 sin 4 x - 1
2 cos 4 x -cos 4 x =
❑√3
2 sin 4 x - 3
2 cos 4 x = ❑√3sin(4 x - π
3
，最大值为❑√3，故C 错误.
对于D，方程6 f
2( x)+ f ( x)-1=0可化为(3 f ( x)-1)(2f ( x)+1)=0，
解得f ( x)= 1
3或f ( x)=- 1
2.
当x∈[0, π
2 ]时，4 x - π
6 ∈[- π
6 , 11π
6
]，
由f ( x)=sin(4 x - π
6 )= 1
3得4 x - π
6 有两个解，
由f ( x)=sin(4 x - π
6 )=- 1
2得4 x - π
6 =- π
6 或7 π
6 ，有两个解，
所以方程在[0, π
2 ]上有4 个实数根，故D 错误.
故选：AB.
【点拨】本题考查三角函数的图象变换及性质.根据单调区间包含于正弦函数的基本单调区间内，
列出不等式组求出ω是解题的关键，后续结合三角恒等变换及数形结合思想逐项分析即可.
11.（2026·江西吉安·一模）已知函数f ( x)= A cos(ωx +φ)( A >0,ω>0,- π
2 <φ< π
2 )，函数
f ( x)和它的导函数f
'( x)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. A =2
B. φ= π
3
C. x = 5 π
6 是函数f ( x)的一条对称轴
D. 若f
'(θ)= 4
5 ，则f (2θ+ π
6 )= 17
25
【答案】BCD
【解析】由图可知，虚线的最高点为2，实线的最高点为1，且实线在x =- 5 π
12 处为0，虚线在
x =- 5 π
12 处取得最大值.
因为f
'( x)=- Aωsin(ωx +φ)，若实线为f
'( x)，则其最大值为Aω=1，虚线为f ( x)，最大值为
A =2，此时ω= 1
2.
f (- 5 π
12 )=2cos(- 5 π
24 +φ)=2，解得φ = 5 π
24 .
此时f
'（0）=-sin 5 π
24 <0，与图象不符.
若实线为f ( x)，虚线为f
'( x)，则A =1，Aω=2，解得ω=2.
f (- 5 π
12 )=cos(- 5 π
6 +φ)=0，且f
'(- 5 π
12 )=-2sin(- 5 π
6 +φ)=2，
所以sin(- 5 π
6 +φ)=-1，解得- 5 π
6 +φ=- π
2 +2kπ，即φ= π
3 +2kπ ,k ∈Z.
因为- π
2 <φ< π
2 ，所以φ = π
3 .
所以f ( x)=cos(2 x + π
3 ).
对于A，A =1，错误.
对于B，φ = π
3 ，正确.
对于C，f ( 5 π
6 )=cos(2× 5 π
6 + π
3 )=cos2π =1，所以x = 5 π
6 是f ( x)的一条对称轴，正确.
对于D，f
'(θ)=-2sin(2θ+ π
3 )= 4
5 ，即sin(2θ+ π
3 )=- 2
5，
f (2θ+ π
6 )=cos[2(2θ+ π
6 )+ π
3 ]=cos(4θ+ 2π
3 )=1-2sin
2(2θ+ π
3 )=1-2×(- 2
5 )
2= 17
25，正确.
故选：BCD.
【点拨】本题考查由函数及其导函数的图象求解析式.通过观察图象的极值点与零点的对应关系，
准确判断出哪条曲线代表原函数、哪条代表导函数是解题的突破口.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12.（2026·江苏南京·二模）将函数y =2sin( x + π
3 )的图象向左平移φ(0<φ< π
2 )个单位，得到
的图象关于y轴对称，则φ =＿＿＿＿＿＿．
【答案】π
6
【解析】平移后得到y =2sin( x +φ+ π
3 )，因为图象关于y轴对称，所以φ+ π
3 = π
2 +kπ ,k ∈Z，即
φ= π
6 +kπ ,k ∈Z.又0<φ< π
2 ，所以φ= π
6 .
【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换及对称性.平移后函数为偶函数，其初相必定为π
2 的奇
数倍，由此列式求解即可.
13.（2026·八省T8·4 月联考）在平面直角坐标系中，函数f ( x)=2cos(ωx +φ)的部分图象如
图所示，若⃗AC =2⃗AB，则点C的纵坐标为＿＿＿＿＿＿．
【答案】2❑√3-2
【解析】如图，把函数图象进行平移，使得点A与坐标系原点O重合，得函数g( x)=-2cos(ωx)
的图象，点B ,C的对应点分别为B
' ,C
'，依题意，可设B
'( x ,-2cos(ωx))，则
C
'(2 x ,-2cos(2ωx)).
∵- 4 cos(ωx)=-2cos(2ωx)，∴2cos(ωx)=2cos
2(ωx)-1，
2cos
2(ωx)-2cos(ωx)-1=0，解得cos(ωx)= 1- ❑√3
2
（正值舍去）.
∴-2cos(2ωx)=- 4 cos(ωx)=2❑√3-2.即点C的纵坐标为2❑√3-2.
【点拨】本题考查三角函数图象的几何性质.通过适当的平移变换简化坐标表示，利用向量共线关
系转化为三角方程，再结合二倍角公式求解是解题的巧妙之处.
14.（2025·江西三新协同教研共同体·5 月模拟）函数y =sin 6 x + ❑√3cos6 x在[0, π
18 ]上的值
域为＿＿＿＿＿＿．
【答案】[ ❑√3,2]
【解析】易得y =2sin(6 x + π
3 )，由x∈[0, π
18 ]，得6 x + π
3 ∈[ π
3 , 2π
3 ]，所以
2sin(6 x + π
3 )∈[ ❑√3,2].
【点拨】本题考查辅助角公式及三角函数在闭区间上的值域.先化简为单一三角函数形式，再根据
自变量的范围求出整体相位的范围，最后结合正弦函数的图象求得值域.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（2026·湖南新高考教学教研联盟·3 月联考）已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|< π
2 )
的部分图象如图所示．
（1）求f ( x)的解析式，并写出f ( x)的单调递减区间；
（2）若α ∈[0, π
2 ]，且f (α )= 1
5，求cos( π
6 -α )的值．
【答案】（1）f ( x)=sin(2 x + π
6 )；单调递减区间为[ π
6 +kπ , 2π
3 +kπ ],k ∈Z
（2）
❑√15
5
【解析】（1）由图象可知3
4 T = 5 π
12 -(- π
3 )= 3 π
4 ，∴T = π，
又∵T = 2π
ω ，∴ω=2，
代入(- π
3 ,-1)可知sin(- 2π
3 +φ)=-1，即φ- 2π
3 =- π
2 +2kπ ,k ∈Z，
又因为|φ|< π
2 ，所以φ= π
6 ，f ( x)=sin(2 x + π
6 )，
可知当π
2 +2kπ ≤2 x + π
6 ≤3 π
2 +2kπ时，f ( x)单调递减，
所以f ( x)的单调递减区间为[ π
6 +kπ , 2π
3 +kπ ],k ∈Z．
...................................................................................................................................................................7 分
（2） f (α )=sin(2α + π
6 )= 1
5，又∵sin(2α + π
6 )=cos( π
3 -2α )= 1
5，
所以由二倍角公式可得：cos( π
3 -2α )=2cos
2( π
6 -α )-1= 1
5，解得cos( π
6 -α )=±
❑√15
5
，
又∵α ∈[0, π
2 ]，∴π
6 -α ∈[- π
3 , π
6 ]，cos( π
6 -α )>0，
所以cos( π
6 -α )=
❑√15
5 ．
.................................................................................................................................................................13 分
【点拨】本题考查由三角函数的部分图象求解析式以及三角恒等变换求值.第（1）问通过图象特征
求出周期和初相；第（2）问利用诱导公式将正弦转化为余弦，再结合二倍角公式降幂求值，注意
判断角的范围以确定符号.
16.（2026·浙江宁波·二模）已知函数f ( x)=sin(2 x + π
6 )+sin(2 x - π
6 )+2cos
2 x +m的最大值为
1.
（1）求常数m的值；
（2）求使f ( x)≥0成立的x的取值集合.
【答案】（1）m=-2
（2）{x∣kπ ≤x ≤π
3 + kπ ,k ∈Z }
【解析】（1） f ( x)=sin2 x cos π
6 +cos2 x sin π
6 +sin2 x cos π
6 -cos2 x sin π
6 +cos2 x +1+m
= ❑√3sin 2 x +cos2 x +m+1=2sin(2 x + π
6 )+m+1，
当x = π
6 +kπ(k ∈Z )时，f ( x)有最大值m+3，
所以m+3=1，解得m=-2.
...................................................................................................................................................................7 分
（2）由（1）知，f ( x)=2sin(2 x + π
6 )-1，
由f ( x)≥0，得sin(2 x + π
6 )≥1
2，所以π
6 +2kπ ≤2 x + π
6 ≤5 π
6 +2kπ ,k ∈Z，
解得kπ ≤x ≤π
3 +kπ ,k ∈Z，
故满足条件的x的取值集合为{x∣kπ ≤x ≤π
3 +kπ ,k ∈Z }.
.................................................................................................................................................................15 分
【点拨】本题考查三角恒等变换及三角函数的最值与不等式解法.利用两角和与差的正弦公式及降
幂公式将函数化为A sin(ωx +φ)+ B的形式是解题的关键.
17.（2026·浙江绍兴·二模）已知函数f ( x)=sin 2 x -2cos
2 x +2.
（1）求f ( π
6 )；
（2）求f ( x)的值域和单调递减区间.
【答案】（1）
❑√3+1
2
（2）值域为[1- ❑√2,1+ ❑√2]，单调递减区间为[ 3 π
8 +kπ , 7 π
8 +kπ ]，k ∈Z
【解析】（1）f ( π
6 )=sin π
3 -2(cos π
6 )
2+2=
❑√3
2 -2(
❑√3
2 )
2+2=
❑√3+1
2
.
...................................................................................................................................................................5 分
（2）因为f ( x)=sin2 x -cos2 x +1= ❑√2sin(2 x - π
4 )+1，
所以f ( x)的值域为[1- ❑√2,1+ ❑√2]，
因为π
2 +2kπ ≤2 x - π
4 ≤3 π
2 +2kπ，k ∈Z，
解得3 π
8 +kπ ≤x ≤7 π
8 +kπ，k ∈Z，
所以f ( x)的单调递减区间为[ 3 π
8 + kπ , 7 π
8 +kπ ]，k ∈Z.
.................................................................................................................................................................13 分
【点拨】本题考查三角函数的求值及性质.利用降幂公式和辅助角公式将解析式化简为单一三角函
数形式，再结合正弦函数的性质求解即可.
18.已知向量⃗a=(sin x ,1+cos2 x)，⃗b=(cos x , 1
2 )，f ( x)=⃗a⋅⃗b- 1
2.
（1）求函数y = f ( x)的最大值及相应x的值；
（2）在△ABC中，角A为锐角且A + B = 7 π
12 ，f ( A )= 1
2，BC =2，求△ABC的面积.
【答案】（1）最大值为
❑√2
2 ，相应x的值为π
8 + kπ ,k ∈Z
（2）3+ ❑√3
2
【解析】（1）依题意，f ( x)=cos x sin x + cos2 x +1
2
- 1
2，
即f ( x)= 1
2 (sin 2 x +cos2 x)，
所以f ( x)=
❑√2
2 sin(2 x + π
4 )，当2 x + π
4 = π
2 +2kπ ,k ∈Z，
即x = π
8 +kπ ,k ∈Z时，y = f ( x)取最大值
❑√2
2 ；
...................................................................................................................................................................8 分
（2）由（1）及f ( A)= 1
2得：
❑√2
2 sin(2 A + π
4 )= 1
2，
即sin(2 A + π
4 )=
❑√2
2 ，
由0< A < π
2 ，则π
4 <2 A + π
4 < 5 π
4 ，
因此，2 A + π
4 = 3 π
4 ，则A = π
4 ，
而A + B = 7 π
12 ，有B = π
3 ，所以C = π -( A + B)= 5 π
12 ，
在△ABC中，由正弦定理BC
sin A = AC
sin B得，
AC = BC sin B
sin A
=
2sin π
3
sin π
4
= ❑√6，
sinC =sin 5 π
12 =sin( π
4 + π
6 )=
❑√6+ ❑√2
4
，
所以△ABC的面积为S = 1
2 AC ⋅BC ⋅sinC = 1
2 ×❑√6×2×
❑√6+ ❑√2
4
= 3+ ❑√3
2
.
.................................................................................................................................................................17 分
【点拨】本题考查平面向量数量积的坐标运算、三角恒等变换以及正弦定理、三角形面积公式的
应用.将向量数量积转化为三角函数解析式是第一步，后续结合解三角形知识求解即可.
19.（2025·江西上进联考·4 月联考）已知钝角△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
2asin Bcos(B - A )=-bsin 2 A +2asin BcosC.
（1）求B；
（2）若a+c = 4，b=2❑√3，证明：△ABC是等腰三角形.
【答案】（1）2π
3
（2）证明见解析
【解析】（1）因为2asin Bcos(B - A )=-bsin 2 A +2asin BcosC，
所以asin Bcos(B - A )=-bsin A cos A +asin BcosC，
由正弦定理得sin A cos(B - A )=-sin Bcos A +sin A cosC，
所以cos(B - A )=-cos A +cosC =-cos A -cos( A + B)，
所以cos(B - A )+cos( A + B)=2cos A cos B =-cos A.
因为△ABC是钝角三角形，所以cos A ≠0，所以cos B =- 1
2，即B = 2π
3 .
...................................................................................................................................................................8 分
（2）证明：由余弦定理得12=a
2+c
2+ac =(a+c)
2-ac =16-ac，
所以ac = 4，
又a+c = 4，
解得a=c =2，
所以△ABC是等腰三角形.
.................................................................................................................................................................17 分
【点拨】本题考查正余弦定理及三角恒等变换在解三角形中的应用.第（1）问利用正弦定理将边化
角，再利用和差角公式化简求出角B；第（2）问结合余弦定理及基本代数运算求出边长关系，从
而证明结论.
