第05讲 三角函数的图像与性质
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π]
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
一．三角函数的定义域
例1．（1）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】由对数真数大于零和根式被开方数大于或等于零得不等式组，解不等式，取交集，得到函数的定
义域.
【详解】由题知，
由 ，解得
由 解得， ，
当 时，由 ，解得 .
当 时，区间 和 无交集；
当 时，区间 和 无交集；
所以函数的定义域 .
故选：A.
（2）函数 的定义域为（ ）
A． B． 且
C． D． 或
【答案】C
【分析】由对数式的真数大于 ，分式的分母不为 ，联立不等式组求解．
【详解】解：由 ，得 ，
∴ 且 ．∴函数 的定义域为 ．
故选：C．
（3）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正切函数的定义域可知 ，化简即可求出.
【详解】因为 ，
所以
故函数的定义域为 ，选D.
【点睛】本题主要考查了正切型函数的定义域，属于中档题.
（4）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】分析：根据正切函数的单调性，列不等式求解即可.
详解：要使函数 有意义，根号下不小于零，即 ，
，
函数 的定义域为 ，故选C.
点睛：定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对
实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数 的定义域为 ，
则函数 的定义域由不等式 求出.
（5）函数 的定义域是_____________________.
【答案】
【解析】根据负数不能开偶次方根和对数的真数大于零求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得 或 或 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的
能力，属于中档题.
【复习指导】：一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.（6）求函数 的定义域为_______.
【答案】
【分析】根据二次根式以及三角函数的性质求出函数的定义域即可．
【详解】由题 即 故 ， ，解得
故答案为
【点睛】本题考查具体函数的定义域,考查对数函数及正切函数性质,准确求解正切函数的不等式是关键，
是基础题
（7）求下列函数的定义域：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
⑤ ；
⑥ .
【答案】① ； ②
③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥
【分析】①根据对数的真数大于零得到不等式，再根据正弦函数的性质计算可得；
②依题意可得 ，再根据正弦、余弦函数的性质计算可得；
③依题意可得 ，再根据辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；④依题意可得 ，再根据正弦函数的性质及一元二次方程的解法计算可得；
⑤由 有意义，列不等式求其解集可得函数的定义域，
⑥由 有意义可得 且 ， ，解不等式求其解集可得函数的定义域.
【详解】①因为 ，则 ，所以 ，即函数的定义域为
；
②解：因为 ，所以 ，当 时， ，当
时， ，综上可得 ，即函数的定义域为
；
③解：因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以
，所以函数的定义域为 ；
④解：因为 ，所以 ，当 时， ，当
，即 ，解得 ，综上可得函数的定义域为 ；
⑤由 得， ，所以函数y＝tan 的定义域为
.
⑥由 且 有意义得 且 ， ，即 ， ，所以函数 的定义域为
【复习指导】：用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；
(2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集；
(3)根据公式一写出定义域内的解集．
二．三角函数的值域
例2．（1）函数 在区间 上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先将函数转化为 ，再根据 ，利用余弦函数的性质求解.
【详解】函数
因为 ，
所以 ，
，
所以函数 的值域为 ，
故选：B
（2）函数 的最大值是（ ）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】C【分析】利用二倍角的余弦化简函数，再结合二次函数的性质可求 的最大值.
【详解】 ,
因为 ，故当 时， 有最大值且最大值为 ，
故选：C.
（3）若 ，则函数 的值域是___________.
【答案】
【分析】令 换元，根据辅助角公式化简后求出 的范围，原函数转化为关于 的二次函数，
求值域即可.
【详解】 ，∴ ，∴ ，
令 ，
则 ， ，
，故当t＝1时，函数y取得最小值为1，当t 时，函数y取得最大值为
，故函数的值域为 ，
故答案为：
（4）函数 的值域为_____________．
【答案】
【分析】利用 通过换元将原函数转化为含未知量 的函数 ，再解出函数 的值域即
为函数 的值域.【详解】令 ， ，
则 ，即 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
即函数 的值域为 ．
故答案为： .
（5）已知函数 ， ，则 的值域为______.
【答案】
【分析】首先利用三角恒等变换公式将函数 化简，再根据 的取值范围，求出 的范围，最后根
据正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：函数
，
即 ，
又，
，
；
故答案为：
（6）求下列函数的值域：
① ；
② ．
【答案】① ；②
【分析】①由定义域可得 ，令 则 ，所以 ，再根据幂函数
的性质计算可得；
②利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得；
【详解】解：①因为 ，所以
令 则
所以
因为 ，所以 ， ， ，
，即
②因为
所以令 ，
所以
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
， ，
所以
即函数的值域为
【点睛】本题考查正切函数的性质的应用，换元法求函数的值域，属于中档题.
【复习指导】：求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．求三角函数取
最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin
x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意 t＝sin
x(或cos x)的有界性．
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求
值域(最值)．
三．三角函数的周期性
例3．（1）下列函数中，以 为周期且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的周期性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项， ， ，A选项不符合.B选项， ， ，B选项不符合.
C选项， ， ，C选项不符合.
D选项， ， ，
所以 是周期为 的周期函数；
，此时 且 在 上递减，
则 在 上递增，符合题意，D选项正确.
故选：D
（2）下列函数中，以 为周期且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用三角函数的二倍角公式化简，由 计算函数周期，并根据正弦、余弦函数的单调性即可
判断正误.
【详解】解：对于A， 的周期 ，
当 时， ，
而 在 上单调递减，A选项错误；
对于B， 的周期 ，B选项错误；对于C， 的周期 ，
当 时， ，
而 在 上单调递增，C选项正确；
对于D， 的周期 ，
当 时， ，
而 在 上单调递减，D选项错误；
故选：C.
（3）函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正切型函数的周期公式计算可得.
【详解】解：对于函数 ，显然 ，
所以函数的最小正周期 .
故选：B
（4）函数 的最小正周期为______．
【答案】
【分析】直接根据正切函数的周期公式得答案.
【详解】函数 的最小正周期为故答案为：
（5）设 ，则 __________.
【答案】
【分析】确定 的周期为4，且 ，计算得到答案.
【详解】 ， ， ，
， ，
， 的周期为4，
且 ，
所以 .
故答案为：
【复习指导】：求三角函数周期的方法
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝；
对形如y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数， ．
形如y＝|Asin ωx|(或y＝|Acos ωx|)的函数的周期T＝.
(3)观察法：即通过观察函数图象求其周期．
四．三角函数的奇偶性
例4．（1）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于 ， ，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，
对于 ， ，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，
对于 ， ，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，
对于 ， ，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，
故选： ．
（2）下列函数中为周期是 的偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据偶函数定义可判断选项,由三角函数的图像与性质可得周期,即可得解.
【详解】对于A， 为偶函数,且最小正周期为 ,所以A正确;
对于B， 为偶函数,但不具有周期性,所以B错误;
对于C， 为奇函数，所以C错误;
对于D, 为非奇非偶函数,所以D错误.
综上可知,正确的为A
故选:A
（3）（多选）下列函数中周期为 且为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】利用诱导公式可将A、B、D分别化为 、 、 即可判断周期及其奇偶性，进而判断选项正误.
【详解】A中， ，周期为 且为偶函数，错误；
B中， ，周期为 且为奇函数，正确；
C中， ，周期为 且为奇函数，正确；
D中， ，周期为 且为奇函数，正确；
故选：BCD.
【复习指导】：三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再
利用公式求解．
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝
Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acos ωx(Aω≠0)其中的一个．
（4）函数 是（ ）
A．周期为 的奇函数 B．周期为 的偶函数
C．周期为 的奇函数 D．周期为 的偶函数
【答案】A
【分析】化简可得 ，根据奇偶性的定义，可判断 的奇偶性，根据周期公式，即可求得
答案.
【详解】由题意得 ，
所以 ，故 为奇函数，
周期 ，故选：A
（5）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
【答案】B
【分析】根据余弦的二倍角公式以及辅角公式，可得 ，在分别求出 和
的解析式，根据三角函数的性质，即可求出结果.
【详解】因为
，
所以 ，
所以 ，所以 为偶函数，故A错误，B正确；
又 ，所以函数 为非奇非偶函数函数，故
C、D错误.
故选：B.
（6）已知函数 ，若 ，则 __________.
【答案】
【分析】令 ，探讨函数 的奇偶性，再借助奇偶性即可计算作答.【详解】依题意， 的定义域为 ，关于数0对称，
设 ，则 ，
于是得函数 为奇函数，则有 ，而 ，
所以 .
故答案为：
【复习指导】：(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系．
(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
五．三角函数的对称性
例5．（1）若函数 的最小正周期为 ，则它的一条对称轴是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 ，可得 ，所以 ，令 ，得
，从而可得到本题答案.
【详解】由题，得 ，所以 ，
令 ，得 ，
所以 的对称轴为 ，
当 时， ，所以函数 的一条对称轴为 .
故选：A
（2）函数 的一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两角和正弦余弦公式及二倍角的余弦公式，再结合余弦函数的性质即可求解.
【详解】
.
由 ，得 ，此时 .
所以 的对称中心为 .
当 时， 的一个对称中心为 .
故选：C.
（3）若函数 的图像关于直线 对称，则 ___________.
【答案】
【分析】由题知 ，进而解方程即可得答案.【详解】解：因为函数 的图像关于直线 对称，
所以函数 在 时取得最值，
所以，结合辅助角公式得： ，即 ，
整理得： ，解得 .
故答案为：
（4）已知函数 的一个对称中心是 ，则 的值为______.
【答案】
【分析】根据题意，得到 ，即 ，解得 ，进而求得 的值，得到
答案.
【详解】由函数 的一个对称中心是 ，
则 ，即 ，可得 ，
解得 ，
因为 ，所以当 时，可得 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记余弦函数的对称中心，准确运算
是解答的关键，意在考查运算与求解能力.
（5）定义在R上的函数 满足以下两个性质：① ，② ，满足①②的
一个函数是______.
【答案】 （答案不唯一）【分析】由性质①易知其奇偶性，再由性质②可知其对称性，由此构造满足的函数.
【详解】因为 ，所以 是在R上的偶函数，由此可联想到余弦型函数 ；
又因为 ，所以 关于点 对称，
而由 得 ，故 关于点 对称，
令 ，可得 ，故 满足题意，
所以 .
故答案为： （答案不唯一）.
（6）函数 图像的对称中心为___________
【答案】
【分析】依据正切函数的性质，代换即可求出对称中心．
【详解】因为函数 的对称中心为 ，所以令 ，
解得 ，故的对称中心为 ．
【点睛】本题主要考查正切函数的对称性．
（7）函数 图像的一个对称中心为 ，其中 ，则点 对应的坐标为
______________.
【答案】
【分析】根据正切函数的对称中心为 即可求出.
【详解】因为 的对称中心为 ，
所以由 的对称中心为 可知，又 ，
所以 ，故填 .
【点睛】本题主要考查了正切函数的图象和性质，涉及正切函数的对称中心，属于中档题.
（8）已知函数 ，对 ， 成立，则 _______.
【答案】1
【解析】利用辅助角公式和为 的形式： ，根据已知
可得 是f(x)的图象的对称轴，进而求得 ，利用 的关系 和诱导公式求得 的值.
【详解】解： ，
其中 .
∵对 ， 成立，
∴ 是f(x)的图象的对称轴，即 ,
∴ ，
，
故答案为：1.
【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，涉及辅助角公式化简三角函数，利用辅助角化简是前提，理解
的关系是基础，由对 ， 成立，得出 是f(x)的图象的对称轴是关键.
【复习指导】：(1)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，
只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令
ωx＋φ＝kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z))，求x即可．
(2)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可．
六．三角函数的单调性
命题点1 求三角函数的单调区间
例6．（1）下列区间是函数 的单调递减区间的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取 ， 得到 ，对比选项得到答案.
【详解】 ，取 ， ，
解得 ， ，当 时，D选项满足.
故选：D.
（2）函数 的的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将给定函数变形成 ，再借助正弦函数单调性列不等式求解即得.
【详解】函数 ，由 得：
，
所以函数 的的单调递减区间是： .
故选：B（3）函数 在 上的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应用辅助角公式可得 ，应用余弦函数的性质求减区间，结合题设确定正确选
项即可.
【详解】由题设， ，
令 ，可得 ， ，
∴在 上的单调递减区间是 .
故选：C.
（4）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
【答案】C
【分析】化简得出 ，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为 .
对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错.
故选：C.
（5）函数 的单调递增区间为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】利用正切函数的单调递增区间，可令 ，求得x的范围，即得答案.
【详解】根据正切函数的单调性可得，欲求 的单调增区间，
令 ， ，解得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 ， ，
故选：A.
【复习指导】：求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当
ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
（6）下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A．最小正周期为B．图像关于点 成中心对称
C．在区间 上单调递增
D．图像关于直线 成轴对称
【答案】B
【分析】根据函数 ，结合正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即
可．
【详解】解：函数 ，
当 时， ，所以图象关于点 成中心对称，选项B正确；
函数的最小正周期为 ，所以A错误；
当 时， ，所以函数在 上单调递减，所以C错误；
正切函数不是轴对称函数，所以D错误．
故选：B．
【复习指导】：解答正切函数图象与性质问题应注意的两点
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．
（7）已知函数 ，则它的单调递增区间是_________
【答案】
【分析】先把函数化简变形成余弦型函数，利用余弦型函数的性质求出结果．
【详解】函数 ，
2k2x 2k kZ
令 6 ，
7
k xk kZ
整理得： 12 12 ，
所以函数的单调递增区间为： ．
故答案为： ．
【复习指导】：(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不
等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
命题点2 根据单调性求参数
例7．（1）已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得 的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一
步确定 的范围，得到答案.
【详解】由题意有 ，可得 ，又由 ，必有 ，可得 .
故选：A
（2）（多选）已知函数 （其中 ）， 恒成立，且
在区间 上单调，则（ ）A． 是偶函数．
B．
C． 是奇数
D． 的最大值为3
【答案】BCD
【分析】根据 得到 ，根据单调区间得到 ，得到 或 ，故CD正确，
代入验证知 不可能为偶函数，A错误，由函数的对称性可判断B，得到答案.
【详解】∵ ， ，
∴ ， ，
故 ， ， ，
由 ，则 ，
故 ， ， ，
当 时， ， ，
∵ 在区间 上单调，
故 ，故 ，即 ，
，故 ，故 ，
综上所述： 或 ，故CD正确；
或 ，故 或 ， ， 不可能为偶函数，A错误；由题可知 是函数的一条对称轴，故 成立，B正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
（3）函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________
【答案】(－π，0]
【详解】∵y＝cosx在[－π，0]上是增函数，
在[0，π]上是减函数，
∴只有－π<a≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．
（4）已知函数 在 上单调递增，则 的最大值是____.
【答案】4
【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.
【详解】由函数 在区间 上单调递增，
可得 ，求得 ，故 的最大值为 ，
故答案为：4
（5）函数 ，已知 且对于任意的 都有
，若 在 上单调，则 的最大值为______.
【答案】5
【分析】根据已知条件，利用 和 建立起关于 的等量关系，然后根据
在 上单调，卡出 的范围，在前面的等量关系中选取合适的值即可.【详解】因为函数 ， ，
所以 ，
所以 ， ,
因为于任意的 都有 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以
或 ，
所以 或 ，
即 （舍去），所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
令 ，所以 ， 在 上单调，
所以 ，所以 ，而 ，
当 ， ，所以 ，函数在 不单调，舍去；
当 ， ，舍去；
当 ， ，所以 ，函数在 不单调，舍去；
当 ， ，所以 ，函数在 单调，
所以 的最大值为5.故答案为：5.
【复习指导】：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为 或 的形式；
（2）将 看成一个整体；
（3）借助正弦函数 或余弦函数 的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、
单调性等）解决相关问题.
1．函数 的定义域为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】根据二次根式的性质以及正切函数的性质求出函数的定义域即可．
【详解】由题意得： ≥0，
故 ≥1，
故k x k ，
π π
解得：x k z，
∈ ∈
故选A．
【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查三角函数的性质，是一道基础题．2．函数f（x）=sinx-cos(x+ )的值域为（ ）
A．[ -2 ,2] B．[- , ] C．[-1,1 ] D．[- , ]
【答案】B
【详解】f（x）=sinx-cos(x+ ) ， ， 值域
为[- , ].
【点评】利用三角恒等变换把 化成 的形式，利用 ，求得 的值域
3．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于点 对称
C． 的最大值为 D． 的图象关于直线 对称
【答案】D
【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质判断各个选项是否正
确，从而得出结论.
【详解】解：
对于 选项，因为 ，故 不正确；
对于 选项，因为 ，故 不正确；
对于 选项，因为当 时， ，故 不正确；
对于 选项，因为 ，是 的最大值，
所以 的图象关于直线 对称，故 正确.
故选：D.【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，属于中档题.
4．函数 的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】试题分析：因为 ，而 ，所以当 时，
取得最大值5，选B.
【考点】 正弦函数的性质、二次函数的性质
【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当 时，函数 取得最大值.
5．函数 在 上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.
【详解】当 时， ，当 时，即 时， 取最大值
1，当 ，即 时， 取最小值大于 ，故值域为
故选：C
6．若 ，且 ，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】求出 下， 的范围，即 的范围，从而求出m的取值范围
【详解】如图，∵ ，∴结合三角函数图象知 ，即 ，解得 ．
故选：C
7．已知函数 是偶函数，则 在 上的值域是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简可得 ，根据函数为偶函数可得 ，再利用余弦函数的性质可求出
值域.
【详解】因为函数 为偶函数，
所以 .
又∵ ，∴ ，即 .
因为 ，∴ ，∴当 时， 的最大值为1，当 时， 的最小值是 .
所以 在 上的值域是 .
故选：D.
8．若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将方程 变形为 ，令 ，结合二次函
数性质求得 ，即可求得实数 的取值范围.
【详解】关于 的方程 有解,即 有解，
令 ，则 ，
由于 ，故当 时， 取得最大值 ；
当 时， 取得最小值 ，
即 ，故 ，
故选：B.
9．若关于x的方程 在 有两个不等实根，则实数m的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化简三角函数为 ，再由 的范围，得到函数 的值域，
由此得到m的取值范围.【详解】 ，方程
在 有两个不等实根，即 与 的图象有两个交点，
因为 ，所以 ，所以 ，要使方程
在 有两个不等实根，如下图，即则 .
故选：C.
10．下列函数中最小正周期为 的是（ ）
① ；
② ；
③ ；
④
A．①② B．②④ C．①③④ D．①②④
【答案】C
【分析】根据同角三角函数关系、三角恒等变换化简函数，从而可判断各三角函数的最小正周期，即可得
答案.
【详解】解：① ，则 的最小正周期为 ，故①符合；② ，则 的最小正周期为 ，故②不
符合；
③ ，则 的最小正周期为 ，故③符合；
④ ，则 的最小正周期为 ，故④符合.
故选：C.
11．已知 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】确定函数的奇偶性，由导数确定单调性，然后由奇偶性变形不等式，由单调性求解．
【详解】由题意知 的定义域为R，且 ，得 为奇函数，且
，且 在 上单调递增．
由 得 ，即 ．解得 ．
故选：B．
12．已知函数 ，若 ，则 （ ）
A． B．2 C．5 D．7
【答案】C
【分析】令 ，利用函数奇偶性计算作答.
【详解】设 ，
则 ，即函数 是奇函数，
，则 ，而所以 .
故选：C
13．下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.
【详解】对于A， 定义域为 ， ， 为奇函数，A错误；
对于B， 定义域为 ， ， 为偶函数，B正确；
对于C， 定义域为 ，即定义域关于原点对称， ，
为奇函数，C错误；
对于D， 定义域为 ， ， 为奇函数，D错误.
故选：B.
14．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】A.利用指数函数的性质判断；B.利用正切函数的性质判断；C.利用正弦函数的性质判断；D.利用函
数的图象判断.
【详解】A. ，不是奇函数，故错误；
B. 在 上递增，但在定义域 上不单调，故错误；C. 在 上递增，但在定义域R上不单调，故错误；
D. ，其图象如图所示：
由图象知：定义域上既是奇函数又是增函数，故正确，
故选：D
15．对于函数 ，有以下四种说法：
①函数的最小值是
②图象的对称轴是直线
③图象的对称中心为
④函数在区间 上单调递增．
其中正确的说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】求出函数的最值，对称中心坐标，对称轴方程，以及函数的单调区间，即可判断正误．
【详解】函数 ，当 时，即 ，函数 取得最小值为 ，故①正确；
当 时，即 ，函数 的图象的对称轴是直线 ，故②错误；
当 时，即 ，函数 的图象的对称中心为 ，故③错误；
当 ，即 ，函数 的递增区间为
，
当 时， 的递增区间为 ，故④正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：函数 的递增区间转化为 的递减区间.
16．关于函数 的叙述中，正确的有（ ）
① 的最小正周期为 ；
② 在区间 内单调递增；
③ 是偶函数；
④ 的图象关于点 对称.
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【分析】应用差角余弦公式、二倍角正余弦公式及辅助角公式可得 ，再根据正弦型
函数的性质，结合各项描述判断正误即可.【详解】
，
∴最小正周期 ，①错误；
令 ，则 在 上递增，显然当 时 ，②正确；
，易知 为偶函数，③正确；
令 ，则 ， ，易知 的图象关于 对称，④错误；
故选：C
17．已知 ，（ ），若函数在区间 内不存在对称轴，则 的
范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先通过三角恒等变换将 化简成正弦型函数，再结合正弦函数性质求解即可．
【详解】函数化简得 ，
由 ，
可得函数的对称轴为 ，
由题意知， 且 ，即 ， ，若使该不等式组有解，
则需满足 ，即 ，又 ，
故 ，即 ，所以 ，又 ，
所以 或 ，所以 ．
18．已知函数 在 上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为 ，则 的
值不可能是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】先根据一条对称轴方程为 可得 ，再由单调区间的长度小于等于半周期，
解不等式即可得到答案；
【详解】由题意得：
故选：B.
19．若函数 在区间 内单调，且 是 的一个对称中心，则 的值可
以是（ ）
A．6 B． C．9 D．
【答案】A
【分析】由对称中心得到 (k∈Z)，当 时，根据正弦函数的单调性结合 的范围得到，求得 ，
当 时，根据正弦函数的单调性结合 的范围得到 ，求得 ，从而求得 的
值.
【详解】 ,解得 , (k∈Z)
若 ,则 ，解得 ；
若 ，则 ，解得 ；
故 ，或 ，
如图所示，经检验符合题意.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的对称性和单调性，关键是注意ω正负的讨论.
20．设函数f(x)=cos(x+ )，则下列结论错误的是（ ）
A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x= 对称
C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在( ,π)单调递减
【答案】D
【详解】f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；f ＝cos ＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；
∵f(x＋π)＝cos ＝－cos ，∴f ＝－cos ＝－cos ＝0，故C正确；
由于f ＝cos ＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在 上不单调，故D错误．
故选D.
21．已知函数 的图象的一条对称轴是直线 ，则函数 的图
象（ ）对称
A．关于直线 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于点 对称
【答案】A
【分析】根据三角函数的和差公式、辅助角公式将函数进行化简求值，利用三角函数的对称性的性质即可
求解.
【详解】 （其中 ），
因为直线 是函数 的对称轴，
所以有 （ ），
所以 （ ，
，
,所以 关于直线 对称，故A正确，B错误；
，
所以 不关于直线 对称，也不关于点 对称，
故C，D错误.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的图象和性质，熟练掌握三角函数变换公式、三角函数的性质
是解题关键.
22．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的图象关于y轴对称
C． 的图象不关于 对称
D． 的图象关于 对称
【答案】D
【分析】A用周期性来判断，B用奇偶性来判断，CD选项利用对称性来判断.
【详解】 ，
A选项， 和 的最小正周期都是 ，所以 的最小正周期是 ，A选项错误.
B选项， 和 都是奇函数，所以 是奇函数，图象关于原点对称，B选项错误.
C选项， ，
，
所以 的图象关于 对称，C选项错误.D选项， ，
，
所以 的图象关于 对称，D选项正确.
故选：D.
【点睛】判断函数图象关于点 对称，则需判断 .
23．下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式 ，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 形式，再求的单调区间，只需把 看作一个整体代入 的相应单调区间内即可，注意要先
把 化为正数．
24．函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 解出范围即可.
【详解】由 ，可得 ，所以函数 的
单调递增区间为 ，
故选C.
25．（多选）下列函数中最小正周期为 ，且为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】直接利用奇偶性的定义和周期的公式逐个分析判断即可
【详解】解：对于A，定义域为 ，因为 ，所以函数为偶函数，因为
的图像是由 的图像在 轴下方的关于 轴对称后与 轴上方的图像共同组成，所以的最小正周期为 ，所以A正确，
对于B，定义域为 ，因为 ，所以函数为奇函数，所以B错误，
对于C，定义域为 ， ，最小正周期为 ，因为 ，所
以函数为偶函数，所以C正确，
对于D，定义域为 ，最小正周期为 ，所以D错误，
故选：AC
26．（多选）下列函数中，在定义域上既是增函数，又是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据各项函数的定义域，结合函数的奇偶性和单调性分别对选项进行判断即可．
【详解】函数 的定义域为 ，而函数 在其定义域内不具有单调性，故A不符
合题意；
函数 的定义域为 ，由幂函数的性质，可知函数 在 上单调递增，且为奇函数，
故B符合题意；
由正切函数的性质可知，函数 的定义域为 ，且函数 在其定义域内不具
有单调性，故C不符合题意；
由二次函数的性质可知，函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增，又当 时， ，所以函数 在其定义域上是增函数；令
设任意的 ，则 ，所以 ，所以函数
为奇函数，故D符合题意.
故选：BD.
27．（多选）已知函数 ，且对任意 都有 ，则以下
正确的有（ ）
A． 的最小正周期为 B． 在 上单调递减
C． 是 的一个零点 D．
【答案】ACD
【分析】由已知可得 ，化简可得 ，化简函数解析式为 ，利
用正弦型函数的基本性质可判断各选项的正误.
【详解】由题意可知函数 的图象关于直线 对称，则 ，
即 ，整理可得 ，即 ，
所以， ， ，所以， ，D选项正确；
，故函数 的最小正周期为 ，A选项正确；当 时，可得 ，若 ，则函数 在 上单调递增，B选项错误；
，故 是 的一个零点，C选项正确.
故选：ACD.
28．（多选）下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A．在区间 上单调递增 B．最小正周期是
C．图象关于点 成中心对称 D．图象关于直线 对称
【答案】AC
【分析】用整体代入法求函数 的单调区间，对称中心及对称轴.
【详解】由 得 ，
当 ，单调增区间为 ，所以选项A正确；
因为 ，所以函数的最小正周期是 ，所以选项B错误；
由 得 ，当 时，函数的对称中心为 ，
所以函数的图象关于点 成中心对称，选项C正确；
函数 没有对称轴，所以选项D错误.故选：AC.
29．（多选）下列关于函数 的说法正确的是（ ）
A．在区间 上单调递增 B．最小正周期是
C．图象关于点 成中心对称 D．图象关于直线 成轴对称
【答案】BC
【解析】由函数式可化为 ，结合正切函数的性质有函数在 上递减，最小正
周期为 ，关于点 成中心对称，无对称轴，即可判断选项的正误.
【详解】 ，
令 ，得 ，
∴ 时， ，所以 在 上单调递减，A错误.
由上知：最小正周期为 ，B正确.
当 时有 ，所以 关于点 成中心对称，C正确.
由正切函数的性质知：正切函数无对称轴，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：应用正切函数的性质确定单调性及其区间，最小正周期，对称中心，进而判断选项
的正误.30．函数 的定义域是________
【答案】
【分析】由正弦函数的定义和分式的意义，由此求出此函数的定义域.
【详解】由正弦函数的定义和分式的意义，得 ，即 ，解得
.
故答案为：
【点睛】本题考查了正弦函数的定义和分式的意义，也考查了计算，属于基础题.
31．函数y＝的定义域为________．
【答案】 (k∈Z)
【详解】要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝
cos x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
32．函数 的定义域为_________，值域为_________.
【答案】 ； .
【分析】求解 即可得函数的定义域；令 ，则 ， = ，分
， ，再结合基本不等式即可求出值域.
【详解】解：由题意可得 ，即 ，所以 且 ，即 .
所以函数的定义域为 ；
令 ，则 ，
当 时， = ，当 ，即 时，等号成立；
当 时， = ，当 ，即 时，等号成立；
所以函数的值域为： .
故答案为： ； .
33．函数 在 上的值域是___________.
【答案】
【分析】化简解析式后，利用正弦函数与二次函数的性质求解.
【详解】
令 ，则 ，
因为 的对称轴方程为 ，
所以
所以 ，所以 ，
所以函数 在 上的值域是 ，
故答案为：34．函数 的值域为______.
【答案】
【分析】首先利用同角三角函数关系中的平方关系 ，将函数解析式化为
，利用 ，结合二次函数在某个闭区间上的最值求得结果.
【详解】
，
又因为 ，
结合二次函数的性质，可知当 时 取得最小值 ，
当 时 取得最大值 ，
所以 的值域为 ，
故答案为： .
【点睛】该题考查的是有关求函数值域的问题，涉及到的知识点有求正弦函数与二次函数的复合函数的值
域，在解题的过程中，注意利用正弦函数的值域是 ，将其转化为二次函数在某个闭区间上的值域问
题来解决，属于中档题目.
35．已知函数 ，且 恒成立，则实数 的取值范围是____________.
【答案】
【解析】令 ，函数 ，利用二次函数的性质，求出 ，
解不等式 ，即可求出实数 的取值范围．
【详解】令 ，函数 ．
设 ，其对称轴为 ，开口向下，所以 ．要 恒成立，
只需 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，和二次函数有关的复合函数的值域求法，恒成立
问题的解法等，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
36．函数 ， 的值域是______．
【答案】
【分析】求出 的范围，利用二次函数的性质得出值域.
【详解】 ，
故答案为：
37．若 在区间 上恒成立，则 的取值范围是__________．
【答案】
【分析】先求出 ，可得 在区间 上的最大值为 ，从而可得
答案.
【详解】
所以所以
在区间 上的最大值为 ，
因为 在区间 上恒成立，
所以 的取值范围是 ，
故答案为： .
38．若函数 的值域是 ，则 _____________．
【答案】2
【分析】通过换元，利用余弦函数的有界性，转化为二次函数在给定区间求值域，结合单调性解决即可.
【详解】令 ，则 ， ，
根据二次函数的单调性可知，函数在 上单调递减，
所以 ， ，所以值域为 ，则 .
故答案为：2
39．函数 的最大值为______．
【答案】4
【分析】先用余弦的二倍角展开，把函数转化为关于 的二次函数求解即可
【详解】因为
由 ，所以当 时，
故答案为：4.
40．已知函数 ，则 的最大值为___________.
【答案】
【分析】设 ，用换元法化为二次函数求解．
【详解】设 ，则 ，
，
，
∴ 时， ，即 ．
故答案为： ．
41．下列3个函数：① ；② ；③ ；其中最小正周期为 的偶函数
的编号为___________.
【答案】①②
【分析】利用偶函数的定义判断各函数的奇偶性，再结合周期函数的定义判断各函数的周期，由此确定符
合要求的函数的编号.
【详解】记 ，则函数 的定义域为 ，且
，所以 为偶函数，
因为 ，所以 为函数 的周期，
若 为函数的周期，则 ， ，矛盾，所以 为函数 的最小正周期，所以函数 满足要求，
记 ，则 ，函数 的定义域为 ，因为
，所以函数 为偶函数，又函数 的最小正周期为 ，所以函
数 满足要求，
记 ，则 ，所以函数 的定义域为 ，且
，函数 不满足要求，
故答案为：①②.
42．已知函数 的最小正周期为 ，则 的值为___________.
【答案】
【分析】根据正切型三角函数确定最小正周期的表达式，即可求 的值.
【详解】解：函数 的最小正周期为 ，所以 .
故答案为： .
43．已知函数 的最小值为0，且 ，则 图象的一个对
称中心的坐标为______．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由二倍角公式化简，根据三角函数性质列式得 ，再求对称中心坐标，
【详解】由题意得 ，最小值为 ，则 ，
，而 ，
而 ，故 ， ， ，
由 得 ， ，
故 图象的对称中心为 ，
故答案为： （答案不唯一）
44．已知函数 的最小正周期为 ，其图象的一条对称轴为 ，
则 ______.
【答案】
【分析】根据最小正周期T＝ 求出ω.根据一条对称轴为 知， ，结合 即可
φ，从而求出 ，然后代值计算即可.
【详解】∵f(x)最小正周期为 ，∴ ；
∵f(x)图象的一条对称轴为 ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ .故答案为： .
45．若函数 ，对任意实数t都有 ，且 ，则实数k的
值为________.
【答案】 或1
【分析】通过有 成立，判断出函数的对称轴，就是函数取得最值的 值，结合
，即可求出k的值.
【详解】因为 由对任意实数 都有 成立
可知： 是函数 图像的一条对称轴.
所以 当 时 取得最大值或最小值，即 .
解得 或
所以，实数 的值等于 或1.
故答案为: 或1.
【点睛】本题主要考查三角函数的性质，结合对称轴的性质和最值，求参数值.
46．求下列函数的定义域和单调区间：
(1) ；
(2) ；
(3) ．【答案】(1)定义域 ,增区间 ，无减区间
(2)定义域 ,增区间 ，无减区间
(3)定义域 ,增区间 ，无减区间
【分析】（1）根据正切型函数定义域的求法，求得函数的定义域，利用整体代入法求得单调区间.
（2）根据正切型函数定义域的求法，求得函数的定义域，利用整体代入法求得单调区间.
（3）根据正切型函数定义域的求法，求得函数的定义域，利用整体代入法求得单调区间.
【详解】(1)由 得 ，
所以 的定义域为 .
由 得 ，
所以 的单调递增区间为 ，无减区间.
(2)由 得 ，
所以 的定义域为 .
由 得 ，
所以 的单调递增区间为 ，无减区间.
(3)由 得 ，
所以 的定义域为 .
由 得 ，所以 的单调递增区间为 ，无减区间.
47．已知 ，求 的值域．
【答案】
【分析】令 ，结合已知及正切函数的性质可得 ，再利用二次函数的性质求
的值域即可.
【详解】令 ，又 ，
∴ ，故函数化为 ，且对称轴为 ．
∴当 时， ．
当 时， ．
∴ 的值域为 ．
48．已知函数 的周期为 ．
(1)求 ；
(2)求函数 的对称中心；
(3)已知 ， ，求 的值．
【答案】(1)1；(2) ；(3) .
【分析】(1)利用降幂公式和辅助角公式进行化简，结合周期的计算方法进行求解即可．
(2)根据正余弦型函数的对称性进行求解即可．
(3)根据条件结合两角和差的三角公式进行转化求解即可．
【详解】(1) ，周期是 ， ，得 ．
(2)由 ， ，得 ，
因此，函数 的对称中心为 ．
(3) ， ，
， ，
7
2x
， 2 0 6 6 ，
则 ，
因此， ．
49．已知函数 .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)求函数 的值域.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）利用诱导公式及其余弦的二倍角公式化简，即为 ，然后利用余弦函数的性质求其
单调递增区间即可；
（2）利用正弦的二倍角公式及其辅助角公式化简，即为 ，利用正弦函数的性质求值域
即可.
【详解】（1）∵∴ ，
即所求单调递增区间为： ；
（2）
，其中 ，
即 .
50．已知函数 ．求：
（I）函数 的最小正周期；
（II）函数 的单调增区间．
【答案】（I）函数 的最小正周期是
（II）函数 的单调递增区间是 （ ）
【详解】解：
．
（I）函数 的最小正周期是 ；
（II）当 ，即 （ ）时，函数 是增函数，故函数 的
单调递增区间是 （ ）．
