第30 讲 三角函数的图像与性质 · 分类练习（解析卷）
答案速查表..........................................................................................................................................1
考点一：三角函数的图像与变换......................................................................................................1
考法1：三角函数图像识别与应用.......................................................................................1
考法2：三角函数图像平移变换...........................................................................................3
考法3：三角函数图像平移与伸缩综合变换.......................................................................3
考法4：三角函数图像折叠与空间几何结合.......................................................................4
考点二：根据条件确定解析式..........................................................................................................5
考法5：结合图像特征求解析式...........................................................................................5
考法6：结合函数性质求解析式...........................................................................................7
考法7：结合向量或几何条件求解析式...............................................................................8
考点三：三角函数的定义域、值域与最值......................................................................................9
考法8：利用辅助角公式求值域或最值...............................................................................9
考法9：结合换元法求值域或最值.....................................................................................10
考法10：三角函数交点与方程有解问题...........................................................................10
考点四：三角函数的周期性............................................................................................................11
考法11：利用公式求三角函数周期...................................................................................11
考法12：结合零点或最值点距离求周期...........................................................................11
考法13：由周期求参数及函数值.......................................................................................11
考点五：三角函数的奇偶性与对称性............................................................................................12
考法14：判断三角函数的奇偶性及求参数.......................................................................12
考法15：求三角函数的对称轴或对称中心.......................................................................13
考法16：利用对称性求参数或函数值之和.......................................................................13
考点六：三角函数的单调性............................................................................................................14
考法17：求三角函数的单调区间.......................................................................................14
考法18：结合单调性求参数或解不等式...........................................................................14
考点七：三角函数性质的综合与应用............................................................................................15
考法19：三角函数图像与性质综合判断...........................................................................15
考法20：三角函数交点与零点问题...................................................................................15
考法21：三角函数实际应用模型.......................................................................................16
答案速查表
1
2
3
4
5
B
ABC
D
A
AC
6
7
8
9
10
π
4
BD
（1）
[- 5 π
12 , π
12]
（2）
- 2❑√6+ ❑√3
10
A
（1）
f ( x)=2sin(2 x + π
6)
，4
3 （2）-8
11
12
13
14
15
ACD
（1）
ω= π
3 ,φ=- π
6
（2）(
π
2 ,π]
[- ❑√2,❑√3]
❑√3
[π , 7 π
6 ]；
[
3
4 , 14 - ❑√3
16 ]
16
17
18
19
20
D
C
A
❑√3-2或
- ❑√3-2
D
21
22
23
24
25
（1）π （2）
❑√3
4
BD
A
π
4
A
26
27
28
29
30
B
[- 5 π
3 , π
3]
[4 k + 2
3 ,4 k + 8
3](
AC
B
31
32
（1）π （2）
(k + 2
3 ,- 1
2),k ∈Z
（3）2n
2+ n
3
B
考点一：三角函数的图像与变换
考法1：三角函数图像识别与应用
1.（2026·河北沧州十二校·一模）如图，在函数f ( x)=sin(ωx +φ)的部分图象中，若⃗TA =⃗AB，
则点A的纵坐标为
A. 2- ❑√2
2
B.
❑√3-1
2
C. ❑√3- ❑√2
D. 2- ❑√3
【答案】B
【解析】依题意f ( x)=sin(ωx +φ)=-1，则得ω xT +φ = 3 π
2 +2kπ ,k ∈Z，即
xT = 3 π
2ω - φ
ω + 2kπ
ω ,k ∈Z，所以T(
3 π
2ω - φ
ω + 2kπ
ω ,0),k ∈Z.设A( x1, y1),B( x2, y2)，因为⃗
TA =⃗AB，所以{
2 x1= x2+ 3 π
2ω - φ
ω + 2kπ
ω
2 y1= y2
,k ∈Z，解得{
x2=2 x1- 3 π
2ω + φ
ω - 2kπ
ω
y2=2 y1
,k ∈Z.因此
2 y1= y2= f ( x2)=sin(ω x2+φ)=sin[ω(2 x1- 3 π
2ω + φ
ω - 2kπ
ω )+φ]=sin(2ω x1- 3 π
2 +2φ)=cos(2ω x1+2φ)=1-
可得2 y1
2+2 y1-1=0，结合图象可得y1>0，解得y1=
❑√3-1
2
.
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，结合向量相等的坐标表示，利用三角恒等变换求解是
关键.
2.（2025·江西优创名校·4 月联考）（多选）已知函数f ( x)=ωsin(ω
2 x - π
6 )+1的部分图象
可能为
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】对于选项A，由图可知，f ( x)的最小值为0，则ω=±1，由f （0）>0，得ω=1，经检
验，当ω=1时，f ( x)的部分图象可以如选项A 所示.对于选项D，由T = π，得ω
2= 2π
T =2，即
ω=± ❑√2，则f ( x)=± ❑√2sin(2 x - π
6 )+1，此时f (π )≠0，排除D.对于选项C，由2T = π，得T = π
2 ，
ω
2= 2π
T = 4，即ω=±2，当ω=2时，f ( x)的部分图象可以如选项C 所示.对于选项B，当ω=0时，
f ( x)=1，f ( x)的部分图象可以如选项B 所示.
【点拨】本题考查三角函数的图象，需根据图象特征反推参数ω的值进行验证.
考法2：三角函数图像平移变换
3.（2026·湖北圆创联盟·2 月联考）若将函数f ( x)=cos(2 x +φ)(|φ|< π
2)的图象向右平移π
3
个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的值是
A. π
3
B. π
4
C. - π
6
D. π
6
【答案】D
【解析】平移后的图象对应的函数为y =cos[2(x - π
3)+φ]=cos(2 x - 2π
3 +φ).因为
y =cos(2 x - 2π
3 +φ)是奇函数，所以- 2π
3 +φ= π
2 +kπ(k ∈Z ).即φ=kπ + 7 π
6 (k ∈Z ).又|φ|< π
2 ，
所以φ = π
6 .
【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换及奇偶性，熟练掌握平移法则“左加右减”是解题关
键.
考法3：三角函数图像平移与伸缩综合变换
4.（2026·山东济宁·一模）将函数f ( x)=sin(ωx + π
3)(ω>0)的图象向左平移π
6 个单位长度后，
得到函数y = g( x)的图象，若g( x)图象的一个对称中心为(
π
2 ,0)，则ω的最小值为
A. 1
2
B. 1
C. 3
2
D. 2
【答案】A
【解析】因为g( x)图象的一个对称中心为(
π
2 ,0)，故f ( x)图象的对称中心为(
2π
3 ,0)，故
ω× 2π
3 + π
3 =kπ ,k ∈Z，故ω= 3k -1
2
,k ∈Z，而ω>0，故ωmin=1.
【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换及对称性，利用整体代入法求参数是解题的关键.
5.（2026·江苏镇江·零模）（多选）将函数y =cos2 x的图象沿x轴向右平移π
4 个单位长度，
再向上平移2个单位长度，得到函数y = g( x)的图象，则
A. g( x)的最小正周期为π
B. g( x)在(0, π
2 )上单调递增
C. g( x)的图象关于直线x = 3 π
4 对称
D. g( x)的图象关于点(0, 1
2 )中心对称
【答案】AC
【解析】将函数y =cos2 x的图象沿x轴向右平移π
4 个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函
数y = g( x)=cos[2(x - π
4)]+2=cos(2 x - π
2)+2=sin 2 x +2.对于A，g( x)的最小正周期为2π
2 = π，
A 对.对于B，g( x)在(0, π
4 )单调递增，在(
π
4 , π
2)单调递减，B 错.对于C，令2 x = π
2 +kπ，则
x = π
4 + kπ
2 ,k ∈Z，k =1时，x = 3 π
4 ，∴x = 3 π
4 是一条对称轴，C 对.对于D，对称中心纵坐标为
2，D 错.
【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换及三角函数的性质，熟练掌握图象变换法则及正弦函
数的性质是解题关键.
考法4：三角函数图像折叠与空间几何结合
6.（2025·江西十校协作体·二模）如图，将绘有函数f ( x)= M ⋅sin(
π
3 x +φ)( M >0,0<φ<π )
部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为2π
3 ，此时A，B之间的距离为3 ❑√2，则φ =＿
＿＿＿＿＿．
【答案】π
4
【解析】由题意，函数f ( x)的最小正周期T = 2π
π
3
=6
，则A ,B两点横坐标之差的绝对值为T
2 =3.设
A ,B在x轴上的投影分别为A
' ,B
'，则| A
' B
'|=3，| A A
'|=|B B
'|= M.将纸片沿x轴折成夹角为
2π
3 的钝二面角，则⟨⃗A
' A ,⃗B
' B ⟩= π - 2π
3 = π
3 .在空间中，⃗AB =⃗A A
' +⃗A
' B
' +⃗B
' B，所以
|⃗AB|
2=⃗AB
2=(⃗A A
' +⃗A
' B
' +⃗B
' B)
2=|⃗A A
'|
2+|⃗A
' B
'|
2+|⃗B
' B|
2+2⃗A A
'⋅⃗B
' B = M
2+3
2+ M
2+2 M
2cos π
3 =3 M
因为| AB|=3 ❑√2，所以3 M
2+9=18，解得M = ❑√3.由图可知f （0）=
❑√6
2 ，即
❑√3sin φ =
❑√6
2 ，
解得sin φ =
❑√2
2 .由图可知函数在x =0处单调递增，所以0<φ< π
2 ，故φ= π
4 .
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，结合空间向量求距离是解题的关键，考查了空间想象
能力和运算求解能力.
考点二：根据条件确定解析式
考法5：结合图像特征求解析式
7.（2026·广东茂名·一模）（多选）函数f ( x)=3sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|< π
2)的部分图象如
图所示，则
A. π为f ( x)的周期
B. (
7
3 ,0)是f ( x)图象的对称中心
C. 当x∈[0, 5
12]时，f ( x)的值域是[
3
2 ,3]
D. f ( x)的单调递增区间是[- 5
12 +k , 1
12 +k](k ∈Z )
【答案】BD
【解析】由图象可知，T
2 = 7
12 - 1
12 = 1
2，所以T =1，ω= 2π
T =2π，A 错误；由
f(
1
12)=3sin(
π
6 +φ)=3，得π
6 +φ = π
2 +2kπ ,k ∈Z，即φ = π
3 +2kπ ,k ∈Z，又|φ|< π
2 ，所以
φ = π
3 ，所以f ( x)=3sin(2πx + π
3).令2πx + π
3 =kπ ,k ∈Z，得x = k
2 - 1
6 ,k ∈Z，当k =5时，x = 7
3，
所以(
7
3 ,0)是f ( x)图象的对称中心，B 正确；当x∈[0, 5
12]时，2πx + π
3 ∈[
π
3 , 7 π
6 ]，所以
sin(2πx + π
3)∈[- 1
2 ,1]，所以f ( x)的值域是[- 3
2 ,3]，C 错误；令
- π
2 +2kπ ≤2πx + π
3 ≤π
2 +2kπ ,k ∈Z，得- 5
12 +k ≤x ≤1
12 +k ,k ∈Z，所以f ( x)的单调递增区间
是[- 5
12 +k , 1
12 +k](k ∈Z )，D 正确.故选BD.
【点拨】本题考查由部分图象求三角函数解析式及三角函数的性质，根据图象求出周期和初相是
解题的关键.
8.（2026·山东青岛·一模）函数f ( x)= A sin(ωx +φ)（A >0，ω>0，|φ|< π
2 ）的部分图像如
图所示.
（1）当x∈[- π
2 , π
2]时，求f ( x)的单调递增区间；
（2）已知θ∈(0, π
2)，且f (θ)=- 2
5，求cos2θ的值.
【答案】（1）[- 5 π
12 , π
12]
（2）- 2❑√6+ ❑√3
10
【解析】（1）由图可得A =2，T = 4×(
π
12 + π
6)= π，所以ω=2，且π
12 ×2+φ=2kπ + π
2 ,k ∈Z得
φ =2kπ + π
3 ,k ∈Z，又因为|φ|< π
2 ，所以φ = π
3 ，所以f ( x)=2sin(2 x + π
3).又因为
- π
2 +2kπ ≤2 x + π
3 ≤π
2 +2kπ ,k ∈Z，解得- 5 π
12 +kπ ≤x ≤π
12 +kπ ,k ∈Z，所以
f ( x)=2sin(2 x + π
3)在[- π
2 , π
2]上的单调递增区间为[- 5 π
12 , π
12].
（2）因为f (θ)=2sin(2θ+ π
3)=- 2
5，所以sin(2θ+ π
3)=- 1
5 <0，因为θ∈(0, π
2)，所以
2θ+ π
3 ∈(
π
3 , 4 π
3 )，即2θ+ π
3 ∈(π , 4 π
3 )，所以cos(2θ+ π
3)=- 2❑√6
5
.所以
cos2θ =cos[(2θ+ π
3)- π
3]=cos(2θ+ π
3)cos π
3 +sin(2θ+ π
3)sin π
3 =- 2❑√6
5
× 1
2 +(- 1
5)×
❑√3
2 =- 2❑√6+ ❑√3
10
【点拨】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，以及三角函数的单调区间和三角恒等变换，
属于基础题.
9.（2026·江西南昌·一模）已知函数f ( x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π )部分图象如图所示，
则f(
π
3)=
A. -1
B. -
❑√3
2
C. -
❑√2
2
D. - 1
2
【答案】A
【解析】由图可知，函数图象在x =- π
6 处取得最大值，在x = 7 π
12 处取得零点且处于上升阶段，所
以3
4 T = 7 π
12 -(- π
6)= 3 π
4 ，解得T = π.因为ω>0，所以ω= 2π
T =2.又函数图象过点(- π
6 ,1)，所以
2×(- π
6)+φ =2kπ ,k ∈Z，解得φ = π
3 +2kπ ,k ∈Z.因为0<φ<π，所以φ = π
3 .所以
f ( x)=cos(2 x + π
3)，则f(
π
3)=cos(2× π
3 + π
3)=cos π =-1.
【点拨】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，根据图象特征求出周期和初相是解题的关键.
考法6：结合函数性质求解析式
10.（2026·广东佛山·二模）已知函数f ( x)= 4 sin(ωx + π
6)cosωx -1（ω>0）在一个周期内
的图象如图所示，A 为图象的最高点，B、C、D 为图象与x 轴的交点，且△ABC为等腰直
角三角形.
（1）求f ( x)的解析式，及f ( x +m)为偶函数时的最小正实数m；
（2）求⃗AB⋅⃗AD的值.
【答案】（1）f ( x)=2sin(2 x + π
6)，4
3
（2）-8
【解析】（1）因为
f ( x)= 4 sin(ωx + π
6)cosωx -1= 4(
❑√3
2 sin ωx + 1
2 cosωx)cosωx -1=2❑√3sin ωx cosωx +2cos
2ωx -1= ❑√3sin 2
由△ABC为等腰直角三角形知，T
2 = BC =2 y A = 4，所以T =8，得ω= π
8 ,f ( x)=2sin(
π
4 x + π
6).因
为f ( x +m)=2sin[
π
4 ( x +m)+ π
6]=2sin(
π
4 x + π
4 m+ π
6)为偶函数，所以π
4 m+ π
6 = π
2 +kπ ,k ∈Z，
得m= 4
3 + 4 k ,k ∈Z，所以最小正实数m为4
3 .
（2）令f ( x)=2，则π
4 x + π
6 = π
2 +2kπ ,k ∈Z，即x = 4
3 +8k ,k ∈Z，取k =0：x = 4
3 ，所以
A(
4
3 ,2).令f ( x)=0，且B在A左侧，则π
4 x + π
6 =0，解得：x =- 2
3，故B(- 2
3 ,0)，且D在A右侧，
周期T =8，所以xD=- 2
3 +8= 22
3 ，即D(
22
3 ,0).所以⃗AB =(-2,-2),⃗AD =(6,-2)，所以⃗
AB⋅⃗AD =(-2,-2)⋅(6,-2)=-12+ 4 =-8.
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，利用三角恒等变换化简解析式，结合等腰直角三角形
的性质求出周期是解题的关键.
考法7：结合向量或几何条件求解析式
11.（2025·福建厦门·三模）（多选）将函数f ( x)=sin(2 x +φ)(|φ|< π
2 )的图像向左平移π
4
个单位得到函数g( x)的图像，若g( x)的图像与f ( x)的图像关于y轴对称，则下列说法正确
的有
A. φ = π
4
B. φ=- π
4
C. g( x)的对称轴过f ( x)的对称中心
D. ∀n∈[- π
4 , π
8]，∃唯一的m∈[- π
4 , π
8]，使得f (m)= g(n)
【答案】ACD
【解析】g( x)=sin[2(x + π
4)+φ]=cos(2 x +φ)，g(- x)=cos(-2 x +φ)=cos(2 x -φ)，g( x)的图
像与f ( x)的图像关于y轴对称，∴f ( x)= g(- x)，即sin(2 x +φ)=cos(2 x -φ)=sin(2 x -φ+ π
2)，
∴φ =-φ+ π
2 +2kπ ,k ∈Z，即φ = π
4 +kπ ,k ∈Z，∵|φ|< π
2 ，∴φ = π
4 ，A 对，B 错.
f ( x)=sin(2 x + π
4)，g( x)=cos(2 x + π
4)，令2 x + π
4 =kπ ,k ∈Z，得x = kπ
2 - π
8 ,k ∈Z，即f ( x)
的对称中心为(
kπ
2 - π
8 ,0),k ∈Z，令2 x + π
4 =kπ ,k ∈Z，得x = kπ
2 - π
8 ,k ∈Z，即g( x)的对称轴
为x = kπ
2 - π
8 ,k ∈Z，∴g( x)的对称轴过f ( x)的对称中心，C 对.当n∈[- π
4 , π
8]时，
2n+ π
4 ∈[- π
4 , π
2]，g(n)=cos(2n+ π
4)∈[0,1]，当m∈[- π
4 , π
8]时，2m+ π
4 ∈[- π
4 , π
2]，
f (m)=sin(2m+ π
4)∈[-
❑√2
2 ,1]，且f (m)在[- π
4 , π
8]上单调递增，∴∀n∈[- π
4 , π
8]，∃唯一
的m∈[- π
4 , π
8]，使得f (m)= g(n)，D 对.
【点拨】本题考查三角函数图象的平移变换、对称性及单调性，需熟练掌握图象变换法则及三角
函数的性质.
12.（2025·河北张家口·二模）已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π
2)，圆
C :(x - 1
2)
2
+ y
2= 9
4 .
（1）若f ( x)两条相邻的对称轴与C相切，求ω,φ；
（2）若φ = π
2 ，xi(i=1,2,⋯)是f ( x)的极值点，且点( xi,0)(i=1,2,⋯)有且仅有两个在C的
内部，求ω的取值范围.
【答案】（1）ω= π
3 ,φ=- π
6
（2）(
π
2 ,π]
【解析】（1）圆C的圆心为(
1
2 ,0)，半径R = 3
2 .f ( x)相邻对称轴的距离为T
2 = π
ω.因为两条相邻对
称轴与圆C相切，所以这两条对称轴之间的距离等于圆的直径，即π
ω =2 R =3，所以ω= π
3 .又因为
对称轴与圆相切，圆心在(
1
2 ,0)，半径为3
2，所以两条切线方程为x = 1
2 - 3
2 =-1和x = 1
2 + 3
2 =2.所
以x =-1和x =2是f ( x)的对称轴.所以π
3 (-1)+φ = π
2 +k1π ,k1∈Z，即φ = 5 π
6 + k1π ,k1∈Z.因为
|φ|≤π
2 ，当k1=-1时，φ =- π
6 .此时f ( x)=sin(
π
3 x - π
6)，其对称轴为x =2+3k ,k ∈Z，相邻对
称轴包含x =-1和x =2，符合题意.所以ω= π
3 ,φ=- π
6 .
（2）若φ = π
2 ，则f ( x)=sin(ωx + π
2)=cosωx.其极值点满足ω xi=kπ ,k ∈Z，即xi= kπ
ω ,k ∈Z.点
( xi,0)在圆C :(x - 1
2)
2
+ y
2= 9
4 的内部，即(xi- 1
2)
2
< 9
4 ，解得-1< xi<2.所以满足-1< kπ
ω <2的整数
k有且仅有两个.因为ω>0，所以- ω
π <k < 2ω
π .因为区间(- ω
π , 2ω
π )的长度为3ω
π ，且包含k =0这个
整数.要使该区间内有且仅有两个整数，这两个整数只能是0和1.所以必须满足- ω
π ≥-1且
1< 2ω
π ≤2.解得ω≤π且π
2 <ω≤π，即π
2 <ω≤π.同时，由于区间是开区间，k =-1不能在区间内，
所以- ω
π ≥-1，即ω≤π；k =1必须在区间内，所以2ω
π >1，即ω> π
2 ；k =2不能在区间内，所以
2ω
π ≤2，即ω≤π.综合得ω∈(
π
2 ,π].
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，结合圆的切线和内部点的条件求参数是解题的关键.
考点三：三角函数的定义域、值域与最值
考法8：利用辅助角公式求值域或最值
13.（2026·八省T8 联考·4 月联测）f ( x)=sin x + ❑√2cos x在区间[0,π ]上的值域为__．
【答案】[- ❑√2,❑√3]
【解析】f ( x)=sin x + ❑√2cos x = ❑√3(
1
❑√3 sin x +
❑√2
❑√3 cos x)= ❑√3sin( x +φ)，其中
cosφ = 1
❑√3 ,sin φ =
❑√2
❑√3 ,φ∈(0, π
2).因为x∈[0,π ]，所以x +φ∈[φ ,π +φ].因为φ∈(0, π
2)，所
以π +φ∈(π , 3 π
2 ).当x +φ= π
2 时，函数取得最大值❑√3；当x = π时，函数取得最小值
f (π )=sin π + ❑√2cos π =- ❑√2.所以f ( x)在区间[0,π ]上的值域为[- ❑√2,❑√3].
【点拨】本题考查利用辅助角公式求三角函数的值域，注意自变量的取值范围是解题的关键.
14.（2026·浙江温州·一模）函数f ( x)=2sin(2 x - π
6)在[- π
4 , π
4]上的最大值为____．
【答案】❑√3
【解析】因为x∈[- π
4 , π
4]，所以2 x - π
6 ∈[- 2π
3 , π
3]，所以-1≤sin(2 x - π
6)≤
❑√3
2 ，所以
-2≤2sin(2 x - π
6)≤❑√3，函数的最大值为❑√3.
【点拨】本题考查三角函数在给定区间上的最值，根据自变量的范围求出整体角的范围是解题的
关键.
考法9：结合换元法求值域或最值
15.（2025·江西九师联盟·5 月检测）若函数f ( x)=sin x -3|sin x|在[
π
2 ,α]上的值域是
[-2,0]，则α的取值范围为__；sin
2 α
4 +cos
4 α
4 的取值范围为__．
【答案】[π , 7 π
6 ]；[
3
4 , 14 - ❑√3
16 ]
【解析】当x∈[
π
2 ,π]时，f ( x)=sin x -3sin x =-2sin x，f ( x)在[
π
2 ,π]上单调递增，且
f(
π
2)=-2,f (π )=0，故f ( x)∈[-2,0]；当x∈[ π ,2π ]时，f ( x)=sin x -3(-sin x)= 4 sin x，
f ( x)在[π , 3 π
2 ]上单调递减，在[
3 π
2 ,2π]上单调递增，且f(
7 π
6 )=-2,f(
3 π
2 )=- 4，所以
α ∈[π , 7 π
6 ].此时cosα ∈[-1,-
❑√3
2 ]，
sin
2 α
4 +cos
4 α
4 =1-cos
2 α
4 +cos
4 α
4 =1-cos
2 α
4(1-cos
2 α
4)=1-cos
2 α
4 sin
2 α
4 =1- 1
4 sin
2 α
2 =1- 1
4 ⋅1-cosα
2
= 7
8 +
【点拨】本题考查三角函数的值域及三角恒等变换，利用分段函数和换元法求出α的范围是解题的
关键.
考法10：三角函数交点与方程有解问题
16.（2024·广东华南师大附中·三模）函数y =2cos x(0< x<π )和函数y =3 tan x的图象相交于
A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为
A.
❑√2π
3
B.
❑√3 π
3
C.
❑√2π
2
D.
❑√3 π
2
【答案】D
【解析】由2cos x =3 tan x，得2cos x = 3sin x
cos x ，即2cos
2 x =3sin x，化简得2(1-sin
2 x)=3sin x，
即2sin
2 x +3sin x -2=0，解得sin x = 1
2或sin x =-2（舍去）.因为x∈(0,π )，所以x = π
6 或x = 5 π
6 .
当x = π
6 时，y =2cos π
6 = ❑√3，即点A(
π
6 ,❑√3)；当x = 5 π
6 时，y =2cos 5 π
6 =- ❑√3，即点
B(
5 π
6 ,- ❑√3).O(0,0).所以△OAB的面积
S = 1
2 | x A yB- xB y A|= 1
2|
π
6 ×(- ❑√3)- 5 π
6 ×❑√3|= 1
2|- ❑√3 π|=
❑√3 π
2
.
【点拨】本题考查三角函数图象的交点问题，通过解三角方程求出交点坐标，再利用三角形面积
公式求解是关键.
考点四：三角函数的周期性
考法11：利用公式求三角函数周期
17.（2026·安徽华师联盟·4 月质检）函数f ( x)=sin
2 x -2cos
2 x的最小正周期是
A. π
4
B. π
2
C. π
D. 2π
【答案】C
【解析】因为f ( x)=sin
2 x -2cos
2 x = 1-cos2 x
2
-2× 1+cos2 x
2
=- 3
2 cos2 x - 1
2，所以函数f ( x)的
最小正周期T = 2π
2 = π.
【点拨】本题考查三角函数的周期，利用降幂公式化简解析式是解题的关键.
考法12：结合零点或最值点距离求周期
18.（2026·广东湛江·高考测试）若x1= π
3 , x2= 2π
3 是函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0)的两个相邻
的零点，则ω=
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】A
【解析】由题意得1
2 T = 2π
3 - π
3 = π
3 ，故T = 2π
3 ，因为ω>0，所以ω= 2π
T =3.
【点拨】本题考查三角函数的周期性，相邻两个零点之间的距离为半个周期.
19.（2026·湖南九校联盟·一模）已知函数f ( x)=2sin ωx + 4 cosωx的两个相邻零点间的距离
为π
2 ，则f(
π
3)=__．
【答案】❑√3-2或- ❑√3-2
【解析】函数f ( x)=2sin ωx + 4 cosωx =2❑√5sin(ωx +φ)（其中tan φ =2），因为函数f ( x)的两个
相邻零点间的距离为π
2 ，所以T
2 = π
2 ，即T = π，所以|ω|= 2π
T =2，解得ω=2或ω=-2.当ω=2时，
f ( x)=2sin 2 x + 4 cos2 x，则f(
π
3)=2sin 2π
3 + 4 cos 2π
3 = ❑√3-2；当ω=-2时，
f ( x)=-2sin 2 x + 4 cos2 x，则f(
π
3)=-2sin 2π
3 + 4 cos 2π
3 =- ❑√3-2.
【点拨】本题考查三角函数的周期性及求值，注意ω的正负是解题的易错点.
考法13：由周期求参数及函数值
20.（2025·山东名校联盟·二模）已知函数f ( x)=sin(ωx - π
6)(0<ω<3)在x = π
3 处取得最大值，
则ω=
A. 1
2
B. 1
C. 3
2
D. 2
【答案】D
【解析】由题设π
3 ω- π
6 = π
2 +2kπ，则ω=2+6 k，k ∈Z，又0<ω<3，则ω=2.
【点拨】本题考查三角函数的最值，根据最值点求参数是解题的关键.
21.（2026·浙江金丽衢十二校·二模）已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)在区间(- π
3 ,0)单调，其中
ω为正整数，φ∈(0, π
2)，且图象关于点(
π
3 ,0)对称．
（1）求f ( x)的最小正周期；
（2）在△ABC中，f ( A )=
❑√3
2 ，AB = ❑√3，BC边上的中线长为
❑√7
2 ，求△ABC的面积．
【答案】（1）π
（2）
❑√3
4
【解析】（1）由题意，f ( x)的最小正周期T ≥2× π
3 = 2π
3 ，所以ω= 2π
T ≤3，由ω为正整数可得
ω=1,2,3，又因为图象关于点(
π
3 ,0)对称，所以f(
π
3)=0，即sin(
π
3 ω+φ)=0.由φ∈(0, π
2)，若
ω=1，sin(
π
3 +φ)=0，无解；若ω=2，sin(
2π
3 +φ)=0，φ = π
3 ；若ω=3，sin(π +φ)=0，无解.
所以ω=2，φ= π
3 ，f ( x)的最小正周期为π.
（2）由f ( A )=
❑√3
2 可得sin(2 A + π
3)=
❑√3
2 ，又A ∈(0,π )，2 A + π
3 ∈(
π
3 , 7 π
3 )，从而
2 A + π
3 = 2π
3 ，故A = π
6 .设BC边上的中线为AD，AC =b，则⃗AD = 1
2 (⃗AB+⃗AC )，⃗
AD
2= 1
4 (⃗AB+⃗AC )
2，7
4 = 1
4 (⃗AB
2+⃗AC
2+2⃗AB⋅⃗AC )，7
4 = 1
4 (3+b
2+3b)，解得b=1.所以△ABC
的面积S = 1
2 bc sin A = 1
2 ×1×❑√3× 1
2 =
❑√3
4 .
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质以及解三角形，利用向量法求中线长是解题的关键.
考点五：三角函数的奇偶性与对称性
考法14：判断三角函数的奇偶性及求参数
22.（2026·河南郑州·二模）（多选）已知函数f ( x)=sin| x|+|sin x|，函数
g( x)=cos| x|+|cos x|，则
A. 当- π
4 < x< π
4 时，f ( x)>g( x)
B. f ( x)和g( x)的奇偶性相同
C. f ( x)和g( x)的周期相同
D. f ( x)和g( x)的最值相同
【答案】BD
【解析】f (- x)=sin|- x|+|sin(- x)|=sin| x|+|-sin x|=sin| x|+|sin x|= f ( x)，因此，
f ( x)是偶函数，同理可判断g( x)也为偶函数，对于A，0≤x< π
4 时，f ( x)=2sin x，
g( x)=2cos x>2sin x，所以此时f ( x)<g( x)，又因为f ( x)、g( x)均为偶函数，所以- π
4 < x< π
4 时，
f ( x)<g( x)，故A 错误；对于B，由前述分析可知f ( x)、g( x)均为偶函数，故B 正确；对于C，
由于y =sin| x|的图象如下所示，易知其为非周期函数，又y =|sin x|为周期性函数，周期为π，
故f ( x)为非周期函数，而g( x)=cos| x|+|cos x|=cos x +|cos x|，由于y =cos x、y =|cos x|
为周期函数，所以g( x)为周期函数，因此两者周期性不同，故C 错误；对于D，
0≤sin| x|+|sin x|≤1+1=2，当且仅当sin| x|=1且|sin x|=1时f ( x)=2成立，例如x = π
2 即可
取到最大值2，当且仅当sin| x|=0且|sin x|=0或sin| x|=-1且|sin x|=1时f ( x)=0成立，例
如x =0即可取到最小值0，0≤cos| x|+|cos x|≤1+1=2，当且仅当cos| x|=1且|cos x|=1时
g( x)=2成立，例如x =0即可取到最大值2，当且仅当cos| x|=0且|cos x|=0或cos| x|=-1且
|cos x|=1时g( x)=0成立，例如x = π
2 即可取到最小值0，故D 正确.
【点拨】本题考查三角函数的奇偶性、周期性及最值，结合函数图象分析是解题的关键.
考法15：求三角函数的对称轴或对称中心
23.（2026·广东深圳·一模）函数f ( x)=sin(ωx - π
4)(ω>0)的最小正周期为π，其图象的对称
中心可以为
A. (
5 π
8 ,0)
B. (
π
2 ,0)
C. (
3 π
8 ,0)
D. (
π
4 ,0)
【答案】A
【解析】由于T = 2π
ω = π，则ω=2，f ( x)=sin(2 x - π
4)，令2 x - π
4 =kπ ,k ∈Z，解得
x = π
8 + kπ
2 ,k ∈Z，当k =1时，x = 5 π
8 ，所以对称中心可以为(
5 π
8 ,0).
【点拨】本题考查三角函数的周期及对称中心，熟练掌握正弦函数的性质是解题的关键.
24.（2025·河北保定·二模）若函数f ( x)= tan 2 x的最小正周期为T，且f ( x)的图象关于点
(m,0)(0<m<T )对称，则m=__．
【答案】π
4
【解析】T = π
2 ，由0<m<T，得0<m< π
2 ，则2m= π
2 ，即m= π
4 .
【点拨】本题考查正切函数的周期及对称中心，熟练掌握正切函数的性质是解题的关键.
考法16：利用对称性求参数或函数值之和
25.（2026·浙江宁波十校·二模）若关于x的方程cos2 x =m在[
π
6 , 4 π
3 ]上恰有3 个根
x1, x2, x3( x1< x2< x3)，则x1+2 x2+ x3=
A. 3 π
B. 4 π
C. 5 π
D. 6 π
【答案】A
【解析】如图作出y =cos2 x的函数图象，其中l: x = π
2 ，k : x = π是函数y =cos2 x的对称轴，当
y =cos2 x与y =m的有三个交点时，有x1+ x2
2
= π
2 ，x2+ x3
2
= π，所以x1+ x2= π，x2+ x3=2π，所以
x1+2 x2+ x3=3 π.
【点拨】本题考查三角函数的对称性，作出图象，寻求交点间的对称性，得到等式求解即可.
考点六：三角函数的单调性
考法17：求三角函数的单调区间
26.（2026·河北石家庄·二模）若函数f ( x)=sin 2 x +bcos2 x在区间[
π
3 , 5 π
6 ]上单调递减，则
实数b为
A. - ❑√3
B. -
❑√3
3
C.
❑√3
3
D. ❑√3
【答案】B
【解析】f ( x)=sin 2 x +bcos2 x =
❑√1+b
2sin(2 x +φ)，其中tan φ =b.因为x∈[
π
3 , 5 π
6 ]，所以
2 x +φ∈[
2π
3 +φ, 5 π
3 +φ].因为f ( x)在区间[
π
3 , 5 π
6 ]上单调递减，且该区间长度为π
2 ，恰好等于
函数f ( x)的半个周期，所以[
2π
3 +φ, 5 π
3 +φ]=[
π
2 +2kπ , 3 π
2 +2kπ],k ∈Z.所以
2π
3 +φ= π
2 +2kπ ,k ∈Z，解得φ=- π
6 +2kπ ,k ∈Z.所以b= tan φ = tan(- π
6)=-
❑√3
3 .
【点拨】本题考查三角函数的单调性，利用辅助角公式化简解析式，结合单调区间长度恰好为半
个周期是解题的关键.
27.（2026·山东菏泽·二模）已知函数f ( x)=sin x
2 + ❑√3cos x
2，x∈[-2π ,2π ]，则函数f ( x)的
单调递增区间是__．
【答案】[- 5 π
3 , π
3]
【解析】因为f ( x)=sin x
2 + ❑√3cos x
2 =2sin(
x
2 + π
3)，函数f ( x)的单调递增，即
- π
2 +2kπ ≤x
2 + π
3 ≤π
2 +2kπ ,k ∈Z，解得- 5 π
3 + 4 kπ ≤x ≤π
3 + 4 kπ ,k ∈Z，又因为
x∈[-2π ,2π ]，当k =0时，函数的单调递增区间[- 5 π
3 , π
3].
【点拨】本题考查三角函数的单调区间，利用辅助角公式化简解析式，结合定义域求得结果.
考法18：结合单调性求参数或解不等式
28.（2025·河北衡水中学·综合素质评价）在平面直角坐标系xOy中，一动点从点M 0(❑√3,0)
开始，以π
2 rad/s的角速度逆时针绕坐标原点O做匀速圆周运动，xs后到达点M的位置.设
A(
1
2 ,
❑√3
2 )，记φ( x)=| AM |
2，则φ( x)的单调递增区间为_______
【答案】[4 k + 2
3 ,4 k + 8
3](k ∈Z )
【解析】依题意，xs后，动点走过的弧度数为π
2 x，则M(
❑√3cos π
2 x ,❑√3sin π
2 x)，又A(
1
2 ,
❑√3
2 )，
则φ( x)=(
❑√3cos π
2 x - 1
2)
2
+(
❑√3sin π
2 x -
❑√3
2 )
2
= 4 - ❑√3cos π
2 x -3sin π
2 x = 4 -2❑√3cos(
π
2 x - π
3)，
φ( x)的单调递增区间，即y =cos(
π
2 x - π
3)的递减区间，则2kπ ≤π
2 x - π
3 ≤π +2kπ(k ∈Z )，即
x∈[
2
3 + 4 k , 8
3 + 4 k](k ∈Z )，所以φ( x)的单调递增区间为[4 k + 2
3 ,4 k + 8
3](k ∈Z ).
【点拨】本题考查三角函数的实际应用，利用三角函数的定义求出点M的坐标，求出φ( x)并利用
差角的余弦化简，再求φ( x)的单调递增区间即可.
考点七：三角函数性质的综合与应用
考法19：三角函数图像与性质综合判断
29.（2026·江西萍乡·二模）（多选）函数f ( x)=sin(2 x - π
4 )，则下列说法正确的是
A. f ( x)的最小正周期为π
B. f ( x)的图象关于直线x = π
8 对称
C. f ( x)的图象关于点( π
8 ,0)对称
D. f ( x)在区间[- π
8 , 3 π
8 ]上单调递减
【答案】AC
【解析】对于A，函数f ( x)的最小正周期T = 2π
2 = π，故A 正确；对于B，令
2 x - π
4 = π
2 +kπ ,k ∈Z，解得x = 3 π
8 + kπ
2 ,k ∈Z，所以f ( x)的图象不关于直线x = π
8 对称，故B
错误；对于C，令2 x - π
4 =kπ ,k ∈Z，解得x = π
8 + kπ
2 ,k ∈Z，当k =0时，x = π
8 ，所以f ( x)的图
象关于点( π
8 ,0)对称，故C 正确；对于D，令- π
2 +2kπ ≤2 x - π
4 ≤π
2 +2kπ ,k ∈Z，解得
- π
8 +kπ ≤x ≤3 π
8 +kπ ,k ∈Z，所以f ( x)在区间[- π
8 , 3 π
8 ]上单调递增，故D 错误.
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正弦函数的周期性、对称性及单调性是解题
的关键.
考法20：三角函数交点与零点问题
30.（2026·山东菏泽·二模）已知ω>0，曲线y =sin ωx与曲线y =sin(ωx - π
3 )相邻的四个交点
构成一个菱形，则ω=
A. π
2
B. π
C. 3 π
2
D. 2π
【答案】B
【解析】两曲线交点满足sin ωx =sin(ωx - π
3 )，解得ωx = π
2 + 1
2 ⋅π
3 +kπ = 2π
3 +kπ ,k ∈Z，即
xk = 2π
3ω + kπ
ω .对应的纵坐标为yk =sin(
2π
3 +kπ)=(-1)
k
❑√3
2 .相邻的四个交点为P0(
2π
3ω ,
❑√3
2 )，
P1(
5 π
3ω ,-
❑√3
2 )，P2(
8 π
3ω ,
❑√3
2 )，P3(
11π
3ω ,-
❑√3
2 ).这四个点构成的四边形只能是P0 P1 P3 P2，其
对角线为P0 P3和P1 P2. P0 P3的中点为(
13 π
6ω ,0)，P1 P2的中点为(
13 π
6ω ,0)，中点重合，故四边形
P0 P1 P3 P2为平行四边形.要使其为菱形，只需对角线互相垂直，即⃗
P0 P3⋅⃗P1 P2=0.⃗P0 P3=(
3 π
ω ,- ❑√3)，⃗P1 P2=(
π
ω ,❑√3)，所以3 π
2
ω
2 -3=0，解得ω= π.
【点拨】本题考查三角函数的图象与性质，求出交点坐标并利用菱形的性质是解题的关键.
31.（2026·河南华大新高考联盟·5 月联考）已知函数f ( x)=sin(ωx - 2π
3 )- 1
2 ,ω>0，将函数
f ( x)的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列{an}，且a1= 5
6．
（1）求ω的值；
（2）求函数y = f ( x)图象的对称中心；
（3）求数列{an}的前2n项和S2n．
【答案】（1）π
（2）(k + 2
3 ,- 1
2),k ∈Z
（3）2n
2+ n
3
【解析】（1）由f ( x)=0，得sin(ωx - 2π
3 )= 1
2，解得ωx - 2π
3 = π
6 +2kπ或
ωx - 2π
3 = 5 π
6 +2kπ ,k ∈Z，即x = 5 π
6ω + 2kπ
ω 或x = 3 π
2ω + 2kπ
ω ,k ∈Z.因为ω>0，所以正零点从小
到大排列时，a1= 5 π
6ω，由a1= 5
6，得ω= π.
（2）由（1）知f ( x)=sin(πx - 2π
3 )- 1
2，令πx - 2π
3 =kπ ,k ∈Z，解得x =k + 2
3 ,k ∈Z，所以函
数y = f ( x)图象的对称中心为(k + 2
3 ,- 1
2),k ∈Z.
（3）由（1）知f ( x)的零点为x = 5
6 +2k或x = 3
2 +2k ,k ∈Z，所以
a2k +1= 5
6 +2k ,a2k +2= 3
2 +2k ,k ∈N.所以a2k +1+a2k +2= 7
3 + 4 k，所以
S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+⋯+(a2n-1+a2n)= 7
3 ×n+ n(n-1)
2
×4 =2n
2+ n
3 .
【点拨】本题考查三角函数的零点与对称中心，结合等差数列求和是解题的关键.
考法21：三角函数实际应用模型
32.（2026·安徽皖南八校·4 月检测）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标
系xOy．设时针长为1，若某时刻时针指向9点到12点之间，且针尖所在点的纵坐标为2
3，
则在经过4小时后，时针针尖所在点的横坐标为
A. 2
3
B.
❑√5+2❑√3
6
C.
❑√15-2
6
D. -
❑√5
3
【答案】B
【解析】由题意可知，针尖所在点初始位置在第二象限内，设为A点，且在单位圆上，如图所示，
A点的纵坐标为2
3，设AB⟂x轴，垂足为B，单位圆交x轴正半轴于点D，设经过4小时后，时针针
尖所在点的坐标为C，则∠AOC = π
6 ×4 = 2π
3 ，在直角三角形ABO中，sin ∠AOB = 2
3，因为
2
3 <
❑√3
2 ，所以0<∠AOB< π
3 ，又因为∠AOC = 2π
3 ，所以点C在第一象限内，设∠COD =θ，则
点C坐标为(cosθ ,sinθ)，设点A(x , 2
3)( x<0)，由x
2+ 4
9 =1，解得x =-
❑√5
3 或x =
❑√5
3 舍去，设
∠AOD =α，则cosα =-
❑√5
3 ,sin α = 2
3，所以
cosθ =cos(α - 2π
3 )=cosα cos 2π
3 +sin α sin 2π
3 =-
❑√5
3 ×(- 1
2)+ 2
3 ×
❑√3
2 =
❑√5+2❑√3
6
.
【点拨】本题考查三角函数的实际应用，利用三角函数的定义求出点A的坐标，求出θ并利用差角
的余弦化简是解题的关键.
