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5.3 三角函数的性质（精讲）
一.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图:“五点法”作图原理：
1.正弦函数与余弦函数的图像画法
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点
1
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x
－
－＋
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin (ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，
x [0
∈
，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
二．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x x≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
三．伸缩平移
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2.由y＝sin ωx 到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ 个单位长度.
2
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一．求三角函数周期的方法
1.定义法；
2.公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T
＝；
3.图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期．
二．三角函数的定义域
求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象．
三．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
1.形如y＝asin x＋bcos x＋c 的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；
2.形如y＝asin2x＋bsin x＋c 的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；
3.形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t 的二次函数求值
域(最值)；
4，形如y＝，ac≠0 的函数的值域，可以用分离常量法，也可以利用正弦函数的有界性建立关于y 的不等式
反解求值域(最值)．
四．三角函数的单调性
①先把ω 化为正数
②化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间
③把ωx＋φ 看作一个整体代入y＝sin x 的相应单调区间内解x．
五．三角函数的对称性
1.对称轴：对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令
ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x 即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝
kπ(k∈Z)，求x 即可.
2.对称中心：对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝
(k∈Z)，求x 即可.
六．三角函数的奇偶性
3
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七．三角函数的伸缩平移
八．三角函数中的ω 的求解
1.若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立ω 所满足的不等式(组)求解；
2.若已知函数的对称性，则根据三角函数的对称性研究其周期性，进而可以研究ω 的取值；
3.若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω 的不等式(组)，
进而求出ω 的值或取值范围.
九．易错点：
对于y＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
考法一 三角函数的周期
【例1-1】（2023·北京）在下列四个函数，①
②
（3）
④
4
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中，最小正周期为π 的所有函数为（ ）
A．①②③
B．②③④
C．②③
D．③④
【例1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-3】（2022 秋·河北）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023·湖南）给出下列函数：
①
；②
；③
；④
．
其中最小正周期为
的有（ ）
A．①②③
B．①③④
C．②④
D．①③
2．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
3．（2023 北京）下列函数中，最小正周期为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，
则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
考法二 三角函数的对称性与奇偶性
【例2-1】（2023·海南）设函数
的图象关于直线
对称，则
等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-2】（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数
的图象关于点
对称，那么
的最小值为________．
【例2-3】（2023·广东）函数
是（ ）
A．最小正周期为π 的奇函数
B．最小正周期为π 的偶函数
C．最小正周期为
的奇函数
D．最小正周期为
的偶函数
【例2-4】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数
为偶函数，则
的
( )
2cos(3
)
f x
x
4π ,0
3
6
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一个值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数
，若对于任意实数x，都有
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．8
2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数
图象的对称轴可以是
（ ）
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）若函数
的图象关于坐标原
点对称，则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022 秋·辽宁锦州·高三校考阶段练习）函数
是偶函数，则
____．
考法三 三角函数的定义域与值域
【例3-1】（2023 春·上海静安）函数
的定义域是__________.
π
( )
sin(
)(
0)
3
f x
x
π
( )
(
)
3
f x
f
x
5
2
π
π
sin 2
,(0
)
6
2
f x
x
3
log
2cos
3
y
x
7
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【例3-2】（2023 春·北京昌平）
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-3】（2023 云南）函数
在
的最大值是（ ）
A．2
B．0
C．1
D．
【例3-4】（2023·全国·高三专题练习）函数
是（ ）
A．奇函数，且最大值为
B．偶函数，且最小值为
C．奇函数，且最小值为
D．偶函数，且最大值为
【例3-5】（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数
的最大值为__________．
【例3-6】（2023·安徽）设函数
定义域为
，值域为
，则
的最大值为______
【一隅三反】
1．（2023 春·辽宁本溪）函数
的定义域为________．
2．（2023 春·辽宁沈阳）函数
的定义域为______．
2 3sin
2cos
f x
x
x
2
4
6
8
cos
3sin
f x
x
x
π
0, 2
3
cos
cos2
f
x
x
x
2
9
8
9
8
9
8
sin2
2sin
y
x
x
sin
y
x
,a b
1
1,
2
b
a
2
π
1
tan
4
4
y
x
x
tan
1
π
tan
6
x
y
x
8
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3.（2023·福建）函数
最大值为（ ）
A．2
B．5
C．8
D．7
4．（2023 春·四川南充）函数
的值域为______.
5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）当
时，函数
的值
域是
，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考法四 三角函数的单调性
【例4-1】（2023 湖北）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-2】（2023·辽宁朝阳）（多选）下列函数中，以
为最小正周期，且在区间
上单调递增的是
（ ）
π
3sin
2
0
2
y
x
x
2
cos
( )
2
cos
x
f x
x
π ,
6
x
m
π
cos 3
3
f
x
x
3
1,
2
π 7π
,
9 18
2π 7π
,
9
18
π 5π
,
9 18
2π 5π
,
9
18
π
3sin 2
6
y
x
π
5π
π
, π
,
3
6
k
k
k
Z
π
π
π
, π
,
6
3
k
k
k
Z
π
5π
2 π
,2 π+
,
3
6
k
k
k
Z
π
π
2 π
,2 π
,
6
3
k
k
k
Z
9
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A．
B．
C．
D．
【例4-3】（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知
，则
的大小关系
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023 春·山东）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 春·广西）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．
在
上单调递增
C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
4．（2023 春·上海长宁）在下列函数中，既是
上的严格增函数，又是以
为最小正周期的偶函数的函
数是（ ）
A．
B．
C．
D．
sin0.9,
0.9,
cos0.9
a
b
c
, ,
a b c
a
b
c
b
c
a
b
a
c
c
b
a
sin
3 cos
0,π
f x
x
x x
5
0,
π
6
5
π
π,
6
6
π ,0
3
π ,0
6
2
2
( )
cos
sin
2
2
x
x
f x
f
x
π
π
,
2
6
f
x
π
π
,
4 12
f
x
π
0, 3
f
x
2
π 7
, π
4 1
π
0, 2
π
sin 2
y
x
cos2
y
x
sin
y
x
sin
y
x
10
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考法五 函数的伸缩平移
【例5-1】（2022·江西·南昌十中高三阶段练习）将函数
的图象沿
轴向左平移
个单位后，得到关于
轴对称的图象，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-2】（2022·陕西·二模）要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移是
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向右平移登
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【例5-3】（2023·全国·高三专题练习）把函数
的图象向右平移
个单位长度，再把横
坐标压缩到原来的
倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，则
（ ）
A．最小正周期为
B．奇函数
C．偶函数
D．
【一隅三反】
1．（2023·北京·高三专题练习）已知的
图象向左平移
个单位长度后，得到函数
的图象，且
的图象关于y 轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
cos 2
3
f x
x
3
1
2
g x
g x
2
2
3
g
x
g x
( )
sin
3 cos
f x
x
x
( )
g x
( )
g x
|
|
π
12
π
6
π
3
5π
12
11
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2．（2022·全国·模拟预测）为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象
（ ）
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）将函数
图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍，再
向右平移
个单位，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间
上单调递增 B．在区间（
，
）上单调递减
C．图象关于点（
，0）对称 D．图象关于直线
对称
4．（2022·安徽滁州）若将函数
图象上各点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），再
向下平移一个单位得到函数
的图象，则函数
（ ）
A．图象关于点
对称
B．图象关于
对称
C．在
上单调递减
D．最小正周期是
考法六 由图象确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
【例6-1】（2022·山东·烟台二中）若函数
的部分图象如图所示，则
和
的值是（ ）
12
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A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【例6-2】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，某地一天6~14 时的温度变化曲线近似满足函数
，则这段曲线的函数解析式可以为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【例6-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）（多选）函数
的
部分图象如图所示，则下列关于函数
的说法正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
π
( )
sin(
)
0,|
|
2
f x
x
f
x
f
x
π
13
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B．
的图象关于
中心对称
C．
在
上单调递减
D．把
的图像向右平移
个单位长度，得到一个奇函数的图象
【一隅三反】
1．（2022·甘肃武威）函数
（A，ω，φ 为常数，A>0，ω>0，
）的部分图象如图
所示，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·陕西省洛南中学）已知函数
的部分图象如图所示，
则
的解析式是（ ）
f
x
7π ,0
12
f
x
7π
π
,
12
6
f
x
π
12
14
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A．
B．
C．
D．
3（2022·广东·佛山市顺德区容山中学）已知函数
的部分图象如图所示，则函数
的解析式可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022·四川南充·二模）函数
的部分图像如图所示，
，则
（ ）
A．
关于点
对称 B．
关于直线
对称
C．
在
上单调递减 D．
在
上是单调递增
15
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考法七 三角函数的综合运用
【例7-1】（2023·新疆·统考二模）如图所示的曲线为函数
的部分
图象，将
图象上的所有点的横坐标伸长到原来的
倍，再将所得曲线向左平移
个单位长度，得
到函数
的图象，则（ ）
A．直线
为
图象的一条对称轴
B．点
为
图象的一个对称中心
C．函数
的最小正周期为2π
D．函数
在
上单调递减
【一隅三反】
1．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）将函数
的图像上所有点横
坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数
的图像，有下述四个结论：
16
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①
②函数
在
上单调递增
③点
是函数
图像的一个对称中心
④当
时，函数
的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②③
B．②③
C．①③④
D．②④
2．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）（多选）已知函数
，其
图象相邻对称轴间的距离为
，点
是其中的一个对称中心，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
图象的一条对称轴方程是
C．函数
在区间
上单调递增
D．将函数
图象上所有点横坐标伸长原来的2 倍，纵坐标缩短原来的一半，再把得到的图象向左平移
个单位长度，可得到正弦函数
的图象
3．（2023·山东滨州·统考二模）（多选）已知函数
，满足
，则下列
结论正确的是（ ）
A．
的值域为
B．
的最小值为2
17
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C．
的图象关于直线
对称
D．
是偶函数
考法八 ω 的求法
【例8-1】（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数
，若
在
上的值域为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8-2】．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）若函数
在区间
上恰有唯一
极值点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8-3】（2023 春·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知函数
在
上单调
递减，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
18
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C．
D．
【例8-4】（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知函数
，
若
，
在
内有极小值，无极大值，则
可能的取值个数（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【一隅三反】
1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数
，若对于任意实数x，都有
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．8
2．（2023·四川绵阳·统考三模）已知函数
是区间
上的增函数，则正实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数
是偶函数，
且
在
上单调，则
的最大值为（ ）
19
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A．1
B．3
C．5
D．
4．（2023 春·湖北）已知
，如果存在实数
，使得对任意的实数
x，都有
成立，则
的最小值为______.
20
