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高中数学|抛物线存在性定值题:圆过定点给垂直,垂足自己画圆,定点就是圆心
靖競｜高中数学
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01导语
“是否存在定点，使得某个动点到它的距离为定值”——这类题最忌讳上来就猜坐标。正确的打开方式是：别找点，找轨迹。这道题里，“圆过定点”翻译成垂直，垂直通过定点弦把垂足按在一张圆上，圆心一亮相，答案就出来了。第一问还藏着一个二重根的小设计，值得留意。
02原题
已知抛物线的焦点为F，点A(2,m)在抛物线上，且满足，其中O为坐标原点。
1.求抛物线C的标准方程；
2.直线l与抛物线C相交于M、N两点，以MN为直径的圆过点P(1,2)，作PD⊥ MN，D为垂足。是否存在定点Q，使得|DQ|为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
1.C:y²=4x；(2)存在定点Q(3,0)，使得为定值．
03解析
(1)焦半径+比值方程。
A(2,m)在C上，则m²=4p。由焦半径公式（抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离）：
，。
代入：，两边平方：
，即，配方得。
二重根p=2，故C:y²=4x（此时，两点均可，不影响方程）。比值条件恰好给出一组解，这是设计好的——如果解出两个p，还要逐个回检。
(2)第一步｜圆条件翻译成垂直。
以MN为直径的圆过点P，由直径所对的圆周角是直角，等价于（当M或N与P重合时点积也为零，这类平凡情形后面单独交代）。
第二步｜设线、韦达、化简。
设l:x=my+n。注意抛物线y²=4x与任何水平线y=c只有一个公共点，构成弦的直线必不水平，所以这个设法不漏解（m=0恰好覆盖竖直线）。代入C:y²=4x：
y²−4my−4n=0，设M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂)，则y₁+y₂=4m，y₁y₂=−4n，
x₁x₂=(my₁+n)(my₂+n)=m²y₁y₂+mn(y₁+y₂)+n²=n²（中间两项正好抵消），x₁+x₂=4m²+2n。
第三步｜点积因式分解——两族直线现形。
=x₁x₂−(x₁+x₂)+1+y₁y₂−2(y₁+y₂)+4=n²−4m²−6n−8m+5=0。
因式分解：(n−5−2m)(n−1+2m)=0，两族解：
族①n=5+2m：l:x=my+5+2m，无论m取何值都过定点Q₀(5,−2)；
族②n=1−2m：l:x=my+1−2m，恒过P(1,2)本身——此时M、N中恰有一点与P重合，圆条件平凡成立。
第四步｜垂足的轨迹——D自己画圆。
看族①：Q₀∈MN，而PD⊥ MN，所以恒成立。由圆的直径性质（逆用），D始终在以PQ₀为直径的圆上：
圆心是PQ₀的中点，半径。
所以为定值。
再看族②：D与P重合，而|P(1,2)到——两族在同一个圆心上合流，答案没有分叉。
第五步｜为什么Q只有(3,0)。
族①中D随l变动取遍该圆上的无穷多位置（如数值验证：l:x=5时D(5,2)，l:y=x−7时D(5,−2)，均），这些点不共线，能使|DQ|恒为定值的定点只能是圆心。
综上：存在定点Q(3,0)，使得为定值。
04思维升华
方法总结（存在性定值题的通法）：
1.轨迹优先：凡是”是否存在定点使|DQ|为定值”，先求动点的轨迹——轨迹是圆，定点就是圆心；轨迹是线段，定点就是中点。不要先猜坐标硬凑。
2.两个关键翻译：圆过定点⟺直径对直角⟺向量点积为零；“垂足+定点弦”⟺直径圆上的直角（Thales定理逆用）。本题两次翻译环环相扣。
3.因式分解出的两族要全讨论：族②（直线过P）是平凡情形，容易漏——漏了它，“两族合流”的完整论证就断了。平凡族验证后与主族同解，往往是题目设计精密的信号。
4.设线形式的合法性要交代：x=my+n不含水平线，但抛物线与水平线只有一个交点、构不成弦，所以不漏解——一句话堵住扣分点。
对照第一问：比值方程给出二重根(p/2−1)²=0，与第二问”两族解合流于一个圆心”呼应——好题的答案常常是唯一的，命题人先把唯一性做进条件里。
