备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考）
第11讲 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
考试要求
1.掌握圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题的求解策略；
2.培养考生的逻辑思维、运算能力、数形结合以及等价转化能力。
1.直线 过定点 ，曲线
对任意的实数m,n过定点
2.已知点 是椭圆 上任意一点（不与左右顶点重合），则点 与椭圆
左右顶点连线的斜率乘积为（ ）
A． B． C． D．
3.（多选题）已知 是抛物线 的弦， 是抛物线的焦点，点
，下列结论正确的是（ ）
A 若直线 过焦点 ，则 ；B若直线 是过抛物线 的对称轴上的定点 ，则 是定
值
C若 是常数），直线 过定点
D 若直线 过焦点 ，则过A、B两点切线的交点在定直线上
4.已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线交于 、 两点， ，
记直线 、 的斜率分别为 、 ，则
题型一 定值问题
例1（2023年山东部分重点中学10月联考）设椭圆 : 的离心率为
,焦距为 ,过右焦点 的直线 与椭圆交于 , 两点,点 ,设直线 与直线
的斜率分别为 , . (1)求椭圆 的方程; (2)随着直线 的变化, 是否为定
值?请说明理由.
【对点演练1】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐101中学校考开学考试）已知双曲线
： ，点P为曲线 在第三象限一个动点，以下两个命题，则（ ）
①点P到双曲线两条渐近线的距离为 ， ，则 为定值.
②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为
， ，则 为定值.
A．①真②真 B．①假②真
C．①真②假 D．①假②假
【对点演练2】 已知过原点的动直线 与椭圆 交于 两点, 为椭圆 的
上顶点,若直线 , 的斜率存在且分别为 , ,则 ( )A. B. C. D.
【 对 点 演 练 3 】 已 知 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 , 动 点 满 足
.
(1)求动点 的轨迹 的方程:
(2)已知点 , ,当点 与 不重合时,设直线 的斜率分别为
,证明: 为定值.
【对点演练4】 已知离心率为 的椭圆 经过点 .
(1)求椭圆 的方程.
(2)不经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 相交于 , 两点,若直线 与直线
的斜率之积为 ,试问 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
例2 已知椭圆 ： 的离心率为 ，直线 与圆
相切.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 ，过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，证明： 为定值.
【对点演练1】双曲线 ， 分别为曲线 的左、右顶点， 分别为曲线
的左、右焦点， 为坐标平面内一点，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【对点演练 3】 过 轴上点 的直线与抛物线 交于 , 两点,若
为定值,则实数 的值为( )
A. B. C. D.
【对点演练3】（2023·全国·高二专题练习）已知点 在抛物线 上，
过点 的直线 与 相交于 两点，直线 分别与 轴相交于点 .
(1)当弦 的中点横坐标为3时，求 的一般方程;
(2)设 为原点，若 ，求证: 为定值.
题型二 定点问题
角度1 直线过定点问题
例3（2017·全国·高考真题）已知椭圆C： （a>b>0），四点P （1,1），P
1 2
（0,1），P （–1， ），P （1， ）中恰有三点在椭圆C上.
3 4
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线l不经过P 点且与C相交于A，B两点.若直线P A与直线P B的斜率的和为–
2 2 2
1，证明：l过定点.
【对点演练1】（2022秋·山东淄博·高二校联考阶段练习）已知椭圆 ：
的长轴为双曲线 的实轴，且椭圆 过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)点 、 是椭圆 上异于点 的两个不同的点，直线 与 的斜率均存在，分别记为
， ，且 ，求证：直线 恒过定点，并求出定点的坐标.【对点演练2】（2023·新疆克拉玛依·克拉玛依市高级中学校考模拟预测）已知中心在原点
O的椭圆E的长轴长为 ，且与抛物线 有相同的焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若点H的坐标为(2，0)，点 、 ( )是椭圆E上的两点，点A，B，H
不共线，且∠OHA=∠OHB，证明：直线AB过定点．
【对点演练3】（2023年西安高三长安一中校考）椭圆 ： （ ）的
离心率为 ，其左焦点到点 的距离为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 ： 与椭圆 相交于 ， 两点（ ， 不是左右顶点），且以
为直径的圆过椭圆 的右顶点.求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标.
例4（2020·全国·校联考二模）已知椭圆 的离心率为 ，
是椭圆 上的一点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 与椭圆 交于不同两点 、 ， 点关于 轴的对称点为 ，
问直线 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是．请说明理由．
【对点演练1】（2023秋·高二课时练习）设椭圆C： 的左、右顶点分
别为A、B，且焦距为2．点P在椭圆上且异于A、B两点．若直线PA与PB的斜率之积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 作不与 轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：
，过点M作 垂直于直线 ，交 于点E．判断直线 是否过定点，并说明理
由．
例5 （2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知点 ， ，动点 满足
．记点 的轨迹为曲线 ．
（1）求 的方程；
（2）设 为直线 上的动点，过 作 的两条切线，切点分别是 ， ．证明：直
线 过定点．
【对点演练1】（2023·全国·高二课堂例题）定义：若点 在椭圆
上，则以 为切点的切线方程为： .已知椭圆
，点 为直线 上一个动点，过点 作椭圆 的两条切线 ，
，切点分别为 ， ，则直线 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【对点演练2】（2023春·广东深圳·高三校联考阶段练习）已知直线 与椭圆
过直线 上一点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 求证：直线
恒过定点；
角度2 动圆过定点
例6（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 关于 轴对称，且经过点 .（1）求抛物线 的标准方程及其准线方程；
（2）设 为原点，过抛物线 的焦点 作斜率不为0的直线 交抛物线 于两点 、 ，
抛物线的准线分别交直线 、 于点 和点 ，求证：以 为直径的圆经过 轴上的
两个定点.
【对点演练1】（2023·辽宁鞍山·校联考一模）已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴
为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且 .
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线 分别交
直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.
【对点演练2】（2013秋·陕西汉中联考）在平面直角坐标系 中，动点 到定点 的
距离与它到直线 的距离相等．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）设动直线 与曲线 相切于点 ，与直线 相交于点 ．
证明：以 为直径的圆恒过 轴上某定点．
题型三 定直线问题
例7（2023·全国·高二专题练习）如图，在 中， ，若以 所
在直线为 轴，以 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系.设动顶点 .
(1)求顶点A的轨迹方程；
(2)记第（1）问中所求轨迹曲线为 ，设 ，过点 作动直线 与曲线交于 两点（点 在 轴下方）.求证：直线 与直线 的交点 在一条定直线上.
【对点演练1】（2023·高三专题练习）已知 为 的两个顶点， 为
的重心，边 上的两条中线长度之和为6.
(1)求点 的轨迹 的方程.
(2)已知点 ，直线 与曲线 的另一个公共点为 ，直线 与
交于点 ，求证：当点 变化时，点 恒在一条定直线上.
【对点演练2】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的右顶点为 ，点
是椭圆 上异于 的一点， 轴于点 ， 是 的中点，过动点
的直线 与直线 交于点 ．
（1）当 时，求证：直线l与椭圆 只有一个公共点；
（2）求证：点 在定直线上运动．
1．（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知椭圆 ，直线 与椭圆交于
两点， 分别为椭圆的左､右两个焦点，直线 与椭圆交于另一个点 ，则直线
与 的斜率乘积为（ ）
A． B． C． D．2．（2023·高三课时练习）已知 是椭圆 的两焦点，过点 的直线交椭圆于
点 ，若 ,则
A．9 B．10 C．11 D．12
3. 已知某直线与抛物线 交于 、 两点,且两交点纵坐标之积为 ,则直线恒过
点( )
A. B. C. D.
4．（2022秋·山东青岛·高二统考期末）已知动点 在椭圆 上，点 到定点
的距离记为 ，到定直线 的距离记为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·内蒙古通辽·高二校联考开学考试）已知 ， 是椭圆 长
轴上的两个端点， 是椭圆上一点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，若椭圆的离心
率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知 是椭圆 的右顶点，焦距
为 ，直线 交 于 、 两点，若直线 与直线 的斜率之积为 ，则椭
圆 的方程为（ ）A． B．
C． D．
7. 已知 为坐标原点, 为双曲线 上一点，已知点 , ,设直
线 , 的斜率分别为 , ,则 = .
【解析】设 ,则 ,因为 , ,所以 ,
, .
8.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的方程为 .
(1)直线 与双曲线的一支有两个不同的交点，求 的取值范围；
(2)过双曲线 上一点 的直线分别交两条渐近线于 两点，且 是线段
的中点，求证： 为常数.
9.（2023·全国·高二专题练习）已知点 为直线 上的动点，过点 作射线 （点
位于直线 的右侧）使得 ，设线段 的中点为 ，设直线 与 轴的交点
为 .
(1)求动点 的轨迹 的方程.
(2)设过点 的两条射线分别与曲线 交于点 ，设直线 的斜率分别为，若 ，请判断直线 的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定
值，请计算出定值；若过定点，请计算出定点.
10.（2023·高二课时练习）已知抛物线 ， ， 是C上两个不同的
点．
(1)求证：直线 与C相切；
(2)若O为坐标原点， ，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．
11.已知椭圆 )的离心率为 ,且与直线 相切.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)若直线 : 与椭圆 交于 两点,点 是 轴上的一点,过点 作直线
的垂线,垂足为 ,是否存在定点 ,使得 为定值?若存在,求出点 的坐标;若
不存在,请说明理由.
12．（2023·全国·模拟预测）抛物线 ： ，双曲线 ： 且离心率 ，
过曲线 下支上的一点 作 的切线，其斜率为 .
(1)求 的标准方程；
