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专题04 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
一、定点问题
1.求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量
，
视作常数，把方程一
边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样
就得到一个关于
，
的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
2.常用方法：一是引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数
何时没有关系，找到定点；二是特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与
变量无关.
二、定值问题
1.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或
某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．常见定值
问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常
数.
2. 定值问题的处理技巧：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般
情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
三、定直线问题
定直线问题是证明动点在 定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为 求轨迹方程的方
法，如定义法、消参法、交轨法等．
二、典型题型
题型一：定点问题
1．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）椭圆
的离心率为
，上、下顶点与一个焦点
围成的三角形的面积为
．
(1)求椭圆C 的方程：
(2)过点
作椭圆
的两条切线，切点分别为
，
，求证：直线
过定点．
1
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2．（2024 上·湖北·高二湖北省武汉市汉铁高级中学校联考期末）已知抛物线
，点
为
的焦点，过点
且斜率为
的直线交抛物线于
两点，
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)过点
的直线与抛物线
相交于
两点，已知点
，且以线段
为直径的圆与直线
的另一个交点为
，试问在
轴上是否存在一定点.使直线
恒过此定点.若存在，请求出定点坐标，若不
存在，请说明理由.
3．（2024 上·山东泰安·高二统考期末）已知双曲线
的左焦点
，一条渐近
线方程为
，过
做直线与双曲线左支交于两点
，点
，延长
与双曲线右支交
于
两点．
(1)求双曲线
的方程；
(2)判断直线
是否过定点?若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．
题型二：定值问题
1．（2024 上·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校联考期末）已知点
，动点
满足
.
(1)求点
的轨迹
的方程；
2
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(2)若轨迹
的左右顶点分别为
，直线
与直线
交于点
，直线
与轨迹
交于相异的两点
，当点
不在
轴上时，分别记直线
与
的斜率为
，
，求证：
是定值.
2．（2024 上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）已知双曲线
：
（
，
）的一条渐近
线与双曲线
：
的一条渐近线垂直，且
的一个焦点到
的一条渐近线的距离为2．
(1)求
的方程；
(2)若
上任意一点
关于直线
的对称点为
，过
分别作
的两条渐近线的平行线，与
分别交于
求证：
为定值．
3．（2024 上·浙江舟山·高二统考期末）拋物线
上的
到焦点
的距离为
4，直线
经过
与抛物线相交于
两点，
是直线
与
轴的交点，直线
分别交
轴于
两点．
(1)求抛物线方程；
(2)求证：
为定值．
3
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题型三：定直线问题
1．（2023 上·山东济南·高二山东师范大学附中校考期中）已知圆F：
，点
，点G
是圆F 上任意一点，线段EG 的垂直平分线交直线FG 于点T，点T 的轨迹记为曲线C．
(1)求曲线C 的方程；
(2)已知曲线C 上一点
，动圆N：
，且点M 在圆N 外，过点M 作圆
N 的两条切线分别交曲线C 于点A，B
①求证：直线AB 的斜率为定值；
②若直线AB 与
交于点Q，且
时，求直线AB 的方程．
2．（2024 上·福建福州·高二校联考期末）设A，B 两点的坐标分别为
，
，直线
，
相交于
点P，且它们的斜率之积为
，动点P 的轨迹为Γ.
(1)求Γ 的方程，
(2)动直线
与Γ 相交于不同的两点C，D，若直线
与直线
相交于点M，判断点M 是否位
于一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
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3．（2024 上·河北邯郸·高二统考期末）已知抛物线
的焦点为
，准线与
轴的交点为
，
过点
的直线与抛物线
交于不同的两点
，且当
为
的中点时，
.
(1)求抛物线
的方程.
(2)记抛物线
在
两点处的切线的交点为
，是否存在直线使
与
的面积相等？若存在，
求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
三、专项训练
1．（2024 上·江西鹰潭·高二统考期末）如图所示，
、
分别为椭圆
的左、右顶点，离
心率为
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过
点作两条互相垂直的直线
、
与椭圆交于
、
两点，证明直线
过定点，并求
面积
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的最大值．
2．（2024 上·四川成都·高二校联考期末）已知圆的方程
,
,
，抛物线过
两点，
且以圆的切线为准线.
(1)求抛物线焦点的轨迹C 的方程；
(2)已知
， 设x 轴上一定点
， 过T 的直线交轨迹C 于
两点（直线
与
轴
不重合），求证：
为定值.
3．（2024 上·江苏苏州·高三统考期末）在平面直角坐标系
中，已知椭圆
经过
点
，直线
与
轴交于点
，过
的直线与
交于
两点（异于
），记直线
和直线
的斜率分别为
.
(1)求
的标准方程；
(2)求
的值；
(3)设直线
和直线
的交点为
，求证：
在一条定直线上.
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4．（2024 上·云南·高二统考期末）已知双曲线
实轴端点分别为
、
，右焦点为
，离心率为
，过
点的直线与双曲线
交于另一点
，已知
的面积
为
．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点
的直线
与双曲线
交于
、
两点，试探究直线
与直线
的交点
是否在某条定直
线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
5．（2024 上·河北·高三校联考期末）已知抛物线
，过焦点
的直线与
交于
两点，
且
的最小值为2．
(1)求
的方程；
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(2)过
且与垂直的直线交
于
两点，设直线
的中点分别为
，过坐标原点
作直线
的垂线，垂足为
，是否存在定点
，使得
为定值，若存在，求出点
坐标，若不存在，请说明理由．
6．（2024 上·云南昆明·高二统考期末）已知抛物线
上的点
到焦点
的距离为
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)点
在抛物线上，直线与抛物线交于
两点（第一象限），过点
作
轴的垂线交于点
，直
线
与直线
、
分别交于点
（
为坐标原点），且
，证明：直线过定点．
7．（2024 上·湖北·高二校联考期末）已知抛物线
的焦点为
，设动点
的坐标为
．
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(1)若
，求过点
与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；
(2)设过动点
的两条直线
均与
相切，且
的斜率分别为
，满足
．证明：动点
在一条定直线上．
8．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）已知双曲线
的左、
右焦点分别为
，
，
的一条渐近线的倾斜角为
，直线
与
轴的交点为
，且
.
(1)求
的方程；
(2)过点作斜率为的直线与交于，两点，为线段的中点，过点且与垂直的直线交轴于点，求证：为定值.
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