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§8.12 圆锥曲线中定点与定值问题
题型一 定点问题
例1 (2022·全国乙卷)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A(0，－
2)，B 两点．
(1)求E 的方程；
(2)设过点P(1，－2)的直线交E 于M，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点
T，点H 满足MT＝TH.证明：直线HN 过定点．
(1)解 设椭圆E 的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且m≠n)，
由椭圆E 过A(0，－2)，B 两点，
得解得
∴椭圆E 的方程为＋＝1.
(2)证明 当直线MN 的斜率不存在时，lMN：x＝1，
由得y2＝，
∴y＝±.
结合题意可知M，N，
∴过M 且平行于x 轴的直线的方程为y＝－.
易知点T 的横坐标xT∈，
直线AB 的方程为y－(－2)＝×(x－0)，即y＝x－2，
由得xT＝3－，
∴T.
∵MT＝TH，∴H，
lHN：y－＝(x－1)，
即y＝x－2.
此时直线HN 过定点(0，－2)．
当直线MN 的斜率存在时，如图，
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设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
lMN：y＝kx＋m(由直线MN 过点P(1，－2)可得k＋m＝－2)．
由
得(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，Δ>0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
过M 且平行于x 轴的直线的方程为y＝y1，
与直线AB 的方程联立，得
得xT＝，
∴T.
∵MT＝TH，∴H(3y1＋6－x1，y1)，
lHN：y－y2＝(x－x2)，
即y＝x＋y2－·x2.
令x＝0，得y＝y2－
＝
＝.
∵y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝，
y1＋y2＝(kx1＋m)＋(kx2＋m)
＝k(x1＋x2)＋2m＝，
x1y2＋x2y1＝x1(kx2＋m)＋x2(kx1＋m)＝2kx1x2＋m(x1＋x2)＝，
∴－(x1y2＋x2y1)＋3y1y2＝＋＝＝，
－(x1＋x2)＋6＋3(y1＋y2)＝＋6＋＝＝，
∴y＝＝－2，
∴直线HN 过定点(0，－2)．
综上，直线HN 过定点(0，－2)．
思维升华 求解直线或曲线过定点问题的基本思路
(1)把直线或曲线方程中的变量x，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那
么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于
x，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定
点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
跟踪训练1 (2023·郑州质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点和两焦点构成的三角形为
等腰直角三角形，且面积为2，点M 为椭圆C 的右顶点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若经过点P(t,0)的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，实数t 取何值时以AB 为直径的圆恒过
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点M?
解 (1)由题意知解得b＝c＝，
又a2－b2＝c2，则a＝2，
所以椭圆C 的方程为＋＝1.
(2)由(1)知M(2,0)，
若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x＝t(－2<t<2)，
此时A，B，
由MA·MB＝0 得·＝0，
解得t＝或t＝2(舍)，即t＝.
若直线l 的斜率存在，不妨设直线l：y＝k(x－t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
得(1＋2k2)x2－4k2tx＋2k2t2－4＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
由题意知MA·MB＝0，即(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝0，
易得(1＋k2)x1x2－(2＋k2t)(x1＋x2)＋4＋k2t2＝0，
即(1＋k2)(2k2t2－4)－(2＋k2t)·4k2t＋(4＋k2t2)(1＋2k2)＝0，
整理得k2(3t2－8t＋4)＝0，因为k 不恒为0，
故解得t＝或t＝2(舍)，
综上，当t＝时，以AB 为直径的圆恒过点M.
题型二 定值问题
例2 (2022·蚌埠模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，直线2x－y＝0 为双曲
线C 的一条渐近线．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)记双曲线C 的左、右顶点分别为A，B，过点T(2,0)的直线l 交双曲线C 于点M，N(点M
在第一象限)，记直线MA 的斜率为k1，直线NB 的斜率为k2，求证：为定值．
解 (1)∵虚轴长为4，∴2b＝4，即b＝2，
∵直线2x－y＝0 为双曲线C 的一条渐近线，
∴＝2，∴a＝1，
故双曲线C 的标准方程为x2－＝1.
(2)由题意知，A(－1,0)，B(1,0)，
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由题可知，直线l 的斜率不能为零，故可设直线l 的方程为x＝ny＋2，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝，
∴ny1y2＝－(y1＋y2)，
∵直线MA 的斜率k1＝，
直线NB 的斜率k2＝，
∴＝＝＝＝＝－，为定值．
思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可
得出定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条
件化简、变形求得．
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形
即可求得．
跟踪训练2 (2022·郑州模拟)已知点F(0,1)，直线l：y＝4，P 为曲线C 上的任意一点，且|
PF|是P 到l 的距离的.
(1)求曲线C 的方程；
(2)若经过点F 且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C 于M，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y
轴于点H，求证：为定值．
(1)解 设P(x，y)，由已知得＝|y－4|，整理得＋＝1，即为曲线C 的方程．
(2)证明 设经过点F 且斜率为k(k≠0)的直线的方程为y＝kx＋1，与曲线C 的方程联立得消
去y 整理得(4＋3k2)x2＋6kx－9＝0，Δ＝36k2＋4×9×(4＋3k2)＝144(1＋k2)>0 恒成立，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则|MN|＝|x1－x2|＝×＝，
x1＋x2＝－，
设线段MN 的中点为T(x0，y0)，则x0＝＝－，y0＝kx0＋1＝，
线段MN 的垂直平分线的斜率为－，方程为y－＝－，
令x＝0，解得y＝，即为点H 的纵坐标，
∴|FH|＝1－＝，
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∴＝＝，
即为定值.
课时精练
1．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)与圆O：x2＋y2＝12 相交于A，B 两点，且点A 的横坐标为
2.F 是抛物线C 的焦点，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点M，N.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点M，N 作抛物线C 的切线l1，l2，P(x0，y0)是l1，l2的交点，求证：点P 在定直线上．
(1)解 点A 的横坐标为2，代入圆O 得y＝2，
所以A(2，2)，
代入解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y.
(2)证明 抛物线C：y＝，
则y′＝，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以切线PM 的方程为y－y1＝(x－x1)，
即y＝x－，
同理切线PN 的方程为y＝x－，
联立解得点P，
设直线MN 的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y，
得x2－4kx－4＝0，所以x1x2＝－4，
所以点P 在y＝－1 上，结论得证．
2．已知双曲线C 的渐近线方程为y＝±x，且过点P(3，)．
(1)求C 的方程；
(2)设Q(1,0)，直线x＝t(t∈R)不经过P 点且与C 相交于A，B 两点，若直线BQ 与C 交于另
一点D，证明：直线AD 过定点M.
解 (1)因为双曲线C 的渐近线方程为y＝±x，
则可设双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)，
将点P(3，)代入得－＝λ，
解得λ＝，
所以双曲线C 的方程为－y2＝1.
(2)显然直线BQ 的斜率不为零，
设直线BQ：x＝my＋1，B(x1，y1)，D(x2，y2)，A(x1，－y1)，
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联立消去x，整理得(m2－3)y2＋2my－2＝0，
依题意得m2－3≠0，且Δ＝4m2＋8(m2－3)>0，
即m2>2 且m2≠3，
y1＋y2＝－，y1y2＝－，
直线AD 的方程为y＋y1＝(x－x1)，
令y＝0，
得x＝＋x1
＝
＝
＝
＝＝＝3.
所以直线AD 过定点M(3,0)．
3．(2023·吉林模拟)在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A(－，0)，B(，0)，动点E(x，y)满足
直线AE 与BE 的斜率之积为－，记E 的轨迹为曲线C.
(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
(2)过点D(2,0)的直线l 交C 于P，Q 两点，过点P 作直线x＝3 的垂线，垂足为G，过点O 作
OM⊥QG，垂足为M.证明：存在定点N，使得|MN|为定值．
(1)解 由A(－，0)，B(，0)，E(x，y)可得kAE＝，kBE＝，
由题意得×＝－，
化简得＋＝1(|x|≠)，
所以曲线C 是中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(不含左右顶点)．
(2)证明 由(1)知直线l 与x 轴不重合，可设l：x＝my＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立得(m2＋3)y2＋4my－2＝0.
Δ＝24m2＋24>0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
故有m＝.
因为G(3，y1)，Q(my2＋2，y2)，所以直线QG 的斜率为＝＝2y1，
则直线QG 的方程为y－y1＝2y1(x－3)，
即y＝2y1，
故直线QG 过定点H.
因为OM⊥QG，所以△OHM 为直角三角形，
取OH 的中点N，则|MN|＝|OH|＝，
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即|MN|为定值．
综上，存在定点N，使得|MN|为定值．
4.(2022·杭州质检)如图，已知椭圆C1：＋＝1，椭圆C2：＋＝1，A(－2,0)，B(2,0)，P 为椭圆
C2上的动点且在第一象限，直线PA，PB 分别交椭圆C1于E，F 两点，连接EF 交x 轴于Q
点，过B 点作BH 交椭圆C1，C2于G，H 点，且BH∥PA.
(1)证明：kBF·kBG为定值；
(2)证明：直线GF 过定点，并求出该定点；
(3)若记P，Q 两点的横坐标分别为xP，xQ，证明：xPxQ为定值．
(1)证明 设P(x0，y0)，则＋＝1，可得y＝9－，
则kPA＝，kPB＝，则kPA·kPB＝＝＝－，
因为BG∥PA，所以kBF·kBG＝kPA·kPB＝－.
(2)解 当直线GF 的斜率存在时，设GF 的方程为y＝k(x－t)(k≠0)，
则联立消去y 得(4k2＋3)x2－8k2tx＋4k2t2－12＝0.
则Δ＝64k4t2－16(4k2＋3)(k2t2－3)＝48(4k2＋3－k2t2)>0，
设G(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
由kBF·kBG＝·＝＝－，
得＝－，
约去k2 并化简得t2－3t＋2＝0，解得t＝1(t＝2 不符合题意，舍去)，此时直线GF 过定点
(1,0)；
当直线GF 的斜率不存在时，设GF 的方程为x＝m，其中m≠2，
联立解得y＝±，
则F，G，
所以kBF·kBG＝－＝－，解得m＝1.
综上，直线GF 过定点(1,0)．
(3)证明 设PA 的方程为y＝k1(x＋2)(k1>0)，
则解得E 点的坐标为.
由(1)知P(x0，y0)，y＝9－，
由k1＝，则E 点的坐标为.
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同理，记PB 的斜率为k2，则F 点的坐标为，
由k2＝，则F 点的坐标为，
则EF 的斜率kEF＝＝，
所以直线EF 的方程为y＋＝·.
令y＝0，得xQ＝，又xP＝x0，故xPxQ＝x0·＝4.
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