备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考）
第11讲 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
考试要求
1.掌握圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题的求解策略；
2.培养考生的逻辑思维、运算能力、数形结合以及等价转化能力。
1.直线 过定点 ，曲线
对任意的实数m,n过定点
2.已知点 是椭圆 上任意一点（不与左右顶点重合），则点 与椭圆
左右顶点连线的斜率乘积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，根据斜率公式，结合 可化简得到结果.【详解】设 ，则 ，
点 与椭圆左右顶点连线的斜率乘积为
.
3.（多选题）已知 是抛物线 的弦， 是抛物线的焦点，点
，下列结论正确的是（ ）
A 若直线 过焦点 ，则 ；
B若直线 是过抛物线 的对称轴上的定点 ，则 是定
值
C若 是常数），直线 过定点
D 若直线 过焦点 ，则过A、B两点切线的交点在定直线上
【答案】ABCD
4.已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线交于 、 两点， ，
记直线 、 的斜率分别为 、 ，则
【详解】已知抛物线 的焦点为 ，
若直线 的斜率不存在，则直线 与抛物线 只有一个公共点，不合乎题意.
所以，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
由 以及直线 的斜率存在可知 ， ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，所以，
.
题型一 定值问题
例1（2023年山东部分重点中学10月联考）设椭圆 : 的离心率为
,焦距为 ,过右焦点 的直线 与椭圆交于 , 两点,点 ,设直线 与直线
的斜率分别为 , . (1)求椭圆 的方程; (2)随着直线 的变化, 是否为定
值?请说明理由.
【解析】(1)因为焦距 ,所以 ,因为离心率 ,所以 , 所以
,所以椭圆 的方程为 . (2)当直线 斜率为 ,即为 轴时,则
,所以 ; 当直线 斜率不为 时,设直线 的方程为: ,
, , 将直线 与椭圆联立 ,消 整理得
, , 所以 ,
, 所以 , , 所以
.综上所述: 为定值 .
【对点演练1】（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐101中学校考开学考试）已知双曲线： ，点P为曲线 在第三象限一个动点，以下两个命题，则（ ）
①点P到双曲线两条渐近线的距离为 ， ，则 为定值.
②已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为
， ，则 为定值.
A．①真②真 B．①假②真
C．①真②假 D．①假②假
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，借助点到直线距离计算 判断①，
利用斜率坐标公式计算判断②作答.
【详解】依题意，设 ，且有 ，双曲线 的渐近线为
，
因此 为定值，①真；
设 ，则 ，且 ，显然 ，
否则， 之一垂直于y轴，由双曲线对称性知另一条必垂直于x轴，其斜率不存在，
不符合题意，
则 为定值，
②真，
所以①真②真.
故选：A
【对点演练2】 已知过原点的动直线 与椭圆 交于 两点, 为椭圆 的上顶点,若直线 , 的斜率存在且分别为 , ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题知 ,可设 , ,则
, 又 在椭圆上,故 ,即 ,所以
. 故答案为: .
【 对 点 演 练 3 】 已 知 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 , 动 点 满 足
.
(1)求动点 的轨迹 的方程:
(2)已知点 , ,当点 与 不重合时,设直线 的斜率分别为 ,证
明: 为定值.
【答案】见解析
【解析】(1)由椭圆 知:
所以左、右焦点分别为
因为动点 满足 ,所以动点 在以 为焦点的双曲线上,
设动点 的方程为:
由双曲线的定义得:
所以
所以动点 的方程为: .
(2)设则
由
所以
所以 .
【对点演练4】 已知离心率为 的椭圆 经过点 .
(1)求椭圆 的方程.
(2)不经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 相交于 , 两点,若直线 与直线
的斜率之积为 ,试问 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
【答案】见解析
【解析】(1)由题可知, ,解得, ,
故椭圆 的方程为 ;
(2)直线 的方程为 , , ,联立方程组 整理得 ,
则 ,
由题意,必须有 ,即 , ,必须满足 ,
此时, , .
,
整理得 ,
因为 不经过点 ,所以 ,所以 ,即 ,
故 为定值,且该定值为 ;
综上,椭圆 的方程为 , 为定值,且该定值为 .
例2 已知椭圆 ： 的离心率为 ，直线 与圆
相切.（1）求椭圆 的方程；
（2）设 ，过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，证明： 为定值.
【详解】
解：（1）∵椭圆 的离心率为 ，
∴ ,
∵直线 与圆 相切，
∴ ，
∴ ，
∴椭圆 的方程为 .
（2）设 ， ，
当直线 与 轴不重合时，设 的方程： .
由 得 ， ，
∴ ， ，
.当直线 与 轴重合时， .
∴故 为定值 .
【对点演练1】双曲线 ， 分别为曲线 的左、右顶点， 分别为曲线
的左、右焦点， 为坐标平面内一点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方法一：通过向量之间计算直接对 求解；
方法二：求得双曲线的左右顶点和左右焦点，设 ，运用向量的数量积的坐标表示，
计算可得所求值.
【详解】
方法一：由题意，得，
故选：D
方法二：由题可知，， ， ， ，
设 ，则
，
故选：D.
【对点演练 3】 过 轴上点 的直线与抛物线 交于 , 两点,若
为定值,则实数 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设直线 的方程为 ,
代入 ,得 ,
设 , ,则 , .
,
同理, ,
∴
,
∵ 为定值是与 无关的常数,
∴ ,
故选:D.
【对点演练3】（2023·全国·高二专题练习）已知点 在抛物线 上，过点 的直线 与 相交于 两点，直线 分别与 轴相交于点 .
(1)当弦 的中点横坐标为3时，求 的一般方程;
(2)设 为原点，若 ，求证: 为定值.
【答案】(1) 或
(2)证明见解析
【分析】（1）先求抛物线的方程，再利用根与系数的关系可得直线的斜率，然后可得方程；
（2）利用向量相等表示出参数，进而通过根与系数的关系整体代入消掉变量即得结果.
【详解】（1）由点 在抛物线 上，所以 ，
所以抛物线 的方程为 .设直线 的方程为 .
由 ，得 .依题意 ，
解得 且 .且 .
因为弦 的中点横坐标为3，所以 ，即 ，
解得 或 ，所以 的一般方程为 或 .
（2）直线 的方程为 ，
又 ，令 ，得点 的纵坐标为 .所以 ，
同理得点 的坐标为 .
由 ，得 ， .所以 .
所以 ，即 为定值 .
题型二 定点问题
角度1 直线过定点问题
例3（2017·全国·高考真题）已知椭圆C： （a>b>0），四点P （1,1），P
1 2
（0,1），P （–1， ），P （1， ）中恰有三点在椭圆C上.
3 4
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线l不经过P 点且与C相交于A，B两点.若直线P A与直线P B的斜率的和为–
2 2 2
1，证明：l过定点.
【答案】(1) .
(2)证明见解析.
【详解】试题分析：（1）根据 ， 两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过 ，
两点.另外由 知，C不经过点P ，所以点P 在C上.因此 在椭圆上，
1 2
代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P A与直线P B的斜率分别为k ，
2 2 1k ，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l： （
2
），将 代入 ，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x +x ，
1 2
x x ，进而表示出 ，根据 列出等式表示出 和 的关系，从而判断出直线
1 2
恒过定点.
试题解析：（1）由于 ， 两点关于y轴对称，故由题设知C经过 ， 两点.
又由 知，C不经过点P ，所以点P 在C上.
1 2
因此 ，解得 .
故C的方程为 .
（2）设直线P A与直线P B的斜率分别为k ，k ，
2 2 1 2
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知 ，且 ，可得A，B的坐标分别为（t，
），（t， ）.
则 ，得 ，不符合题设.
从而可设l： （ ）.将 代入 得
由题设可知
.设A（x ，y ），B（x ，y ），则x +x = ，x x = .
1 1 2 2 1 2 1 2
而
.
由题设 ，故 .
即 .
解得 .
当且仅当 时， ，欲使l： ，即 ，
所以l过定点（2， ）
手电筒模型
椭圆 ，点 是椭圆上一定点，A、B是椭圆上两个动点，
直线PA、PB的斜率分别为 .
（1） ,则AB斜率为定值；
（2） ,则AB过定点；
（3） ，则AB斜率为定值；
（4） 则AB过定点.【对点演练1】（2022秋·山东淄博·高二校联考阶段练习）已知椭圆 ：
的长轴为双曲线 的实轴，且椭圆 过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)点 、 是椭圆 上异于点 的两个不同的点，直线 与 的斜率均存在，分别记为
， ，且 ，求证：直线 恒过定点，并求出定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点为 .
【分析】（1）由题意得 ，再根据椭圆上的一点即可求标准方程；
（2）分直线 的斜率存在和不存在两种情况讨论，利用韦达定理求出 与 的斜率，
并结合 ，列方程可得参数之间的关系，进而可求定点.
【详解】（1）因为椭圆 ： 的长轴为双曲线 的实轴，
所以 ，所以椭圆 ： ，
又因为椭圆 过点 ，所以 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 .（2）
①当直线 的斜率存在时，设其方程为
由 得
所以 ，所以
，
因为 ，
所以 ，
所以
即 ，
化简得
所以 即
所以 ，或 ，
当 时，直线 的方程为 ，
直线 恒过定点 ，不满足题意；当 时，直线 的方程为
直线 恒过定点 ，满足题意；
所以直线 恒过定点 .
②当直线 的斜率不存在时，设其方程为 ，
由 得 ，所以 ，
所以 ，
解得 （舍去）或 ，
所以直线 也过定点 .
综上，直线 恒过定点 .
【对点演练2】（2023·新疆克拉玛依·克拉玛依市高级中学校考模拟预测）已知中心在原点
O的椭圆E的长轴长为 ，且与抛物线 有相同的焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若点H的坐标为(2，0)，点 、 ( )是椭圆E上的两点，点A，B，H
不共线，且∠OHA=∠OHB，证明：直线AB过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据长轴长与焦点坐标即可求解 ，从而求出方程；（2）设直线 的方程为 ，代入椭圆方程，由 得 ，
结合韦达定理即可证明结论．
【详解】（1）∵抛物线 的焦点为 ，∴ 的焦点为 ，即 ，焦点在 轴
又 ，∴ ，
∴椭圆 的方程为
（2）设直线 的方程为 ，则 ， ，
由 得， ．
即
则 ，
∵ ， ∴
∴ ，即
∴ ，∴ 满足题意
∴直线 恒过定点 ．
【对点演练3】（2023年西安高三长安一中校考）椭圆 ： （ ）的
离心率为 ，其左焦点到点 的距离为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 ： 与椭圆 相交于 ， 两点（ ， 不是左右顶点），且以
为直径的圆过椭圆 的右顶点.求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1） ；（2）证明见解析， .
【解析】（1）由左焦点到P点的距离及离心率可求解；
（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可得 和 ，把 用 和 表
示化简可得出答案.
【详解】（1），设左焦点 ，
∴ ，解得 ，
， ，由 ，
∴椭圆方程为 .
（2）由（1）可知椭圆右顶点 ，
设 ， ，∵以 为直径的圆过 ，
∴ 即 ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ①
联立直线与椭圆方程：
，整理得
∴ ， ，
∴ ，，代入到①
，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 或 ，
当 时， ： ，∴ 恒过
当 时， ： ，∴ 恒过 ，但 为椭圆右顶点，不符题
意，故舍去，
∴ 恒过 .
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系，
第二问关键点是由韦达定理得到 和 ，利用 和 表示 ，考查了学
生分析问题、解决问题和运算能力，属于中档题.
例4（2020·全国·校联考二模）已知椭圆 的离心率为 ，
是椭圆 上的一点．（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 与椭圆 交于不同两点 、 ， 点关于 轴的对称点为 ，
问直线 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是．请说明理由．
【答案】（1） ；（2）直线 过定点 .
【分析】（1）将点 代入椭圆方程根据离心率公式， ，即可得出椭
圆 的方程；
（2）设出直线 的方程及 的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，由判别式大于0
得出 取值范围，由韦达定理得出 ，由点斜式写出直线 方程，将 代入
直线 方程，化简即可得出结论.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，∴
将 代入椭圆
∴ ，∴ ．
（2）显然 斜率存在，设 为
，∴
设 ， ，∴ ，
∵
∴ 时
∴直线 过定点 ．
【对点演练1】（2023秋·高二课时练习）设椭圆C： 的左、右顶点分
别为A、B，且焦距为2．点P在椭圆上且异于A、B两点．若直线PA与PB的斜率之积为
．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 作不与 轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：
，过点M作 垂直于直线 ，交 于点E．判断直线 是否过定点，并说明理
由．
【答案】(1)
(2)过定点 ，理由见解析
【分析】（1）由焦距为2，直线PA与PB的斜率之积为 ，列方程求出 ，可得椭圆
C的标准方程；（2）设 的直线方程，与椭圆联立方程组，结合韦达定理表示出直线 ，令 可求
得直线所过的定点.
【详解】（1）由题意有 ， ，
设 ， ，化简得 ,结合 ，
可得 ，由椭圆焦距为2，有 ，得 ， ，
椭圆C的标准方程为 ；
（2）设直线 方程： ， ， ， ，
联立方程 ，得 ，
所以 ， ，
所以 ，
又 ，
所以直线 方程为： ，
令 ，则 ．所以直线 过定点 .
例5 （2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知点 ， ，动点 满足
．记点 的轨迹为曲线 ．
（1）求 的方程；
（2）设 为直线 上的动点，过 作 的两条切线，切点分别是 ， ．证明：直
线 过定点．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）把已知条件用坐标表示，并化简即得 的方程；
（2）设 ， ， ，利用导数得出切线 的方程，由 在切线
上，从而可得直线 的方程，由直线方程可得定点坐标．
【详解】（1）设 ，则 ， ，
， ，
所以， 可以化为 ，
化简得 ．
所以， 的方程为 ．
（2）由题设可设 ， ， ，
由题意知切线 ， 的斜率都存在，
由 ，得 ，则 ，
所以 ，
直线 的方程为 ，即 ，①因为 在 上，所以 ，即 ，②
将②代入①得 ，
所以直线 的方程为
同理可得直线 的方程为 ．
因为 在直线 上，所以 ，
又 在直线 上，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
故直线 过定点 ．
【点睛】关键点点睛：本题考查直接法求动点轨迹方程，考查抛物线中的直线过定点问题，
解题方法是设出切线坐标，由导数的几何意义写出切线方程，再由 在切线上，根据直线
方程的意义得出直线 方程，然后得定点坐标．
【对点演练1】（2023·全国·高二课堂例题）定义：若点 在椭圆
上，则以 为切点的切线方程为： .已知椭圆
，点 为直线 上一个动点，过点 作椭圆 的两条切线 ，
，切点分别为 ， ，则直线 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ， ，即可表示出 的方程，又 在 上，
即可得到 ，即可得到直线 的方程，从而求出直线 过的定点；【详解】解：因为点 在直线 上，设 ， ， ，所
以 的方程为 ，又 在 上，所以 ①，同理可得
②；
由①②可得 的方程为 ，即 ，即
，所以 ，解得 ，故直线恒过定点
故选：C
【对点演练2】（2023春·广东深圳·高三校联考阶段练习）已知直线 与椭圆
过直线 上一点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 求证：直线
恒过定点；
【详解】（1）证明：设 ， ，
当 时，不妨设 ，
由 可得 ，
则 ， ，
所以椭圆 在A点处的切线方程为 ，
整理可得 ，
同理可得椭圆 在 点处的切线方程为 ，当 时，椭圆 在A点处的切线方程 满足方程 ，
同理 也满足，
因为椭圆 在A点处的切线经过点 ，所以 ，
同理椭圆 在 点处的切线也经过点 ，所以 ，
所以直线 既经过点A，又经过点 ，
所以直线 的方程为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
由 ，可得 ，
所以直线 恒过定点 ；
角度2 动圆过定点
例6（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 关于 轴对称，且经过点 .
（1）求抛物线 的标准方程及其准线方程；
（2）设 为原点，过抛物线 的焦点 作斜率不为0的直线 交抛物线 于两点 、 ，
抛物线的准线分别交直线 、 于点 和点 ，求证：以 为直径的圆经过 轴上的
两个定点.
【答案】（1）标准方程为 ，准线方程为 ；（2）证明见解析
【分析】（1）设抛物线C：x2＝﹣2py，代入点（2，﹣1），解方程可得p，求得抛物线的
方程和准线方程；（2）抛物线x2＝﹣4y的焦点为F（0，﹣1），设直线方程为y＝kx﹣1，
联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A，B的坐标，可得AB为
直径的圆方程，可令x＝0，解方程，即可得到所求定点．
【详解】（1）设抛物线C：x2＝﹣2py，经过点（2，﹣1）．可得4＝2p，即p＝2，可得抛物线C的方程为x2＝﹣4y，准线方程为y＝1；
（2）抛物线x2＝﹣4y的焦点为F（0，﹣1），
设直线方程为y＝kx﹣1，联立抛物线方程，可得x2+4kx﹣4＝0，
设M（x，y），N（x，y），
1 1 2 2
可得x+x＝﹣4k，xx＝﹣4，
1 2 1 2
直线OM的方程为y x，即y x，
直线ON的方程为y x，即y x，
可得A（﹣ ，1），B（﹣ ，1），
可得AB的中点的横坐标为﹣2（ ）＝﹣2• ﹣2k，
即有AB为直径的圆心为（﹣2k， 1），
半径为 | |＝2• 2 ，
可得圆的方程为（x+2k）2+（y﹣1）2＝4（1+k2），
化为x2+4kx+（y﹣1）2＝4，
由x＝0，可得y＝﹣1或3．
则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（0，﹣1），（0，3）．
【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方
程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
【对点演练1】（2023·辽宁鞍山·校联考一模）已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴
为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且 .
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线 分别交
直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意知抛物线开口向右可设其抛物线方程 ，焦点为
，抛物线上点A的横坐标为1，可设出点 坐标含有未知数 ，再由 可
列出 ，再由 ，代入即可解得 ，即可求出抛物线方程.
（2） 由题意设直线l： ， ， ，再把抛物线与直线
进行联立消 ，得 .直线OM的方程为 ，与 联立可得： ，同
理可得 ，可写出圆心和半径进而写出圆的方程，在令 ，即可求出以AB为直
径的圆经过x轴上的两个定点.
【详解】（1）由题意可设抛物线方程为 ， ､ ，
由 .可得 ，即 .解得
抛物线方程为： .
（2）设直线l： ， ， ，由 联立得， .
则 .
直线OM的方程为 ，与 联立可得： ，同理可得 .
以AB为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，则圆的方程为
. 令 .则 .
即 ，解得 或 .
即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点 ， .
【对点演练2】（2013秋·陕西汉中联考）在平面直角坐标系 中，动点 到定点 的
距离与它到直线 的距离相等．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）设动直线 与曲线 相切于点 ，与直线 相交于点 ．
证明：以 为直径的圆恒过 轴上某定点．
【答案】（1） ；（2）
【详解】试题分析：（1）设出动点 的坐标为 ，然后直接利用抛物线的定义求得抛
物线方程；（2）设出直线 的方程为： （ ），联立直线方程和抛物线方程化
为关于 的一元二次方程后由判别式等于 得到 与 的关系，求出 的坐标，求出切点坐
标，再设出 的坐标，然后由向量 的数量积为0证得答案，并求得 的坐标．
试题解析：（1）解：设动点E的坐标为 ，由抛物线定义知，动点E的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，
所以动点E的轨迹C的方程为 ．
（2）证明：由 ，消去 得： ．
因为直线l与抛物线相切，所以 ，即 ．
所以直线l的方程为 ．
令 ，得 ．所以Q ．
设切点坐标 ，则 ，
解得： ， 设 ，
所以当 ，即 ，所以
所以以PQ为直径的圆恒过 轴上定点 ．
题型三 定直线问题
例7（2023·全国·高二专题练习）如图，在 中， ，若以 所
在直线为 轴，以 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系.设动顶点 .(1)求顶点A的轨迹方程；
(2)记第（1）问中所求轨迹曲线为 ，设 ，过点 作动直线 与曲线
交于 两点（点 在 轴下方）.求证：直线 与直线 的交点 在一条定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据椭圆的定义，求得椭圆的 的值，可得答案；
（2）根据联立直线 与椭圆 写出的韦达定理，表示出直线 的直线方程，联立
整理方程，可得答案.
【详解】（1）由 ，则A的轨迹为以 为焦点的椭圆，且 ， ；
由 ，则 ， ，即 ，
故A的轨迹方程为 .
（2）直线 方程可设为 ，
联立可得 ，消去 可得： ，
显然成立，设 ，则 ，即 ，
设 ， ，
联立上述两方程，消去 可得 ，
， ，
， ，
由 ，则 ，
，解得 ；
综上所述，动点 的轨迹方程为直线 .
要证明动点恒在一条定直线上，即需要求出动点的横、纵坐标始终满足同一种
关系，不受参数的影响.这类问题的一般解题过程都是先把动点的横、纵坐标都用参数表示
出来，然后再消去参数，求出横、纵坐标满足的关系，即为动点所恒在的直线方程.
【对点演练1】（2023·高三专题练习）已知 为 的两个顶点， 为
的重心，边 上的两条中线长度之和为6.
(1)求点 的轨迹 的方程.
(2)已知点 ，直线 与曲线 的另一个公共点为 ，直线 与
交于点 ，求证：当点 变化时，点 恒在一条定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】（1）由三角形重心的性质与椭圆的定义求解即可；
（2）设直线 的方程为： ， ，联立直线与椭圆，再表示出直
线又直线 与 的方程，联立求出交点，即可求解
【详解】（1）因为 为 的重心，且边 上的两条中线长度之和为6，
所以 ,
故由椭圆的定义可知 的轨迹 是以 为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且 ，所以 ，
所以 的轨迹 的方程为 ；
（2）设直线 的方程为： ， ，
联立方程 得： ，
则 ，
所以 ，
又直线 的方程为： ，
又直线 的方程为： ，
联立方程 得： ，
把 代入上式得：
，所以当点 运动时，点 恒在定直线 上
【对点演练2】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的右顶点为 ，点
是椭圆 上异于 的一点， 轴于点 ， 是 的中点，过动点
的直线 与直线 交于点 ．
（1）当 时，求证：直线l与椭圆 只有一个公共点；
（2）求证：点 在定直线上运动．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】(1)要证明直线l与椭圆 只有一个公共点，只需将直线的方程与椭圆的方程联立，
方程组有一组解即可；
(2)由 是 的中点，可求出 点的坐标，然后可求出直线 的方程，将其与直线 的方
程联立 消去即可得证.
【详解】(1)不妨设 ，当 时，由 得 ，
所以直线l方程为 ，即 ，
由 ，解得 ，故直线l与椭圆 的交点坐标为 ，
所以直线l与椭圆P只有一个公共点．
(2)因为 轴，B是 的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，所以直线 的方程为 ，即 ，联立 ，得 ，
又因为 ，所以 ，
因此 ，即 ，
所以 ，所以点C在定直线 上运动.
1．（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知椭圆 ，直线 与椭圆交于
两点， 分别为椭圆的左､右两个焦点，直线 与椭圆交于另一个点 ，则直线
与 的斜率乘积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用两点连线斜率公式可表示出 ；根据 在椭圆上，将两方
程作差即可整理得到结果.
【详解】 直线 过原点， 可设 ，则 ，
；
， ， ， .
故选：B.2．（2023·高三课时练习）已知 是椭圆 的两焦点，过点 的直线交椭圆于
点 ，若 ,则
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】根据椭圆定义，求得三角形的周长，结合 的长度即可求得 ．
【详解】根据椭圆定义，
所以三角形周长为
所以
所以选C
3. 已知某直线与抛物线 交于 、 两点,且两交点纵坐标之积为 ,则直线恒过
点( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】易知直线 的斜率不为 ,设直线 的方程为 , , .
由 得 ,
所以 ,所以 ,所以 ,
所以直线恒过点 ,故选C.4．（2022秋·山东青岛·高二统考期末）已知动点 在椭圆 上，点 到定点
的距离记为 ，到定直线 的距离记为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的标准方程和两点间的距离公式即可求解.
【详解】设点 ，
则 ，
，
所以 .
故选：C.
5．（2023春·内蒙古通辽·高二校联考开学考试）已知 ， 是椭圆 长
轴上的两个端点， 是椭圆上一点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，若椭圆的离心率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据离心率求出 ，设 ，表示出 ， ，再代入计算可
得.
【详解】解：依题意可得 ， ，设 ，
所以 ， ， ，
因为椭圆的离心率为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：C
6．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知 是椭圆 的右顶点，焦距
为 ，直线 交 于 、 两点，若直线 与直线 的斜率之积为 ，则椭
圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】分析可知 、 两点关于原点对称，利用点差法可得出 的值，结合 的值可得
出 、 的值，由此可得出椭圆 的方程.
【详解】因为直线 交 于 、 两点，则 、 两点关于原点对称，
设点 ，则 ，易知点 ，
由题意可知，直线 、 的斜率存在且不为零，则 ，
且有 ，则 ，
所以， ，
又因为椭圆 的焦距为 ，即 ，所以， ，解得 ，
因此，椭圆 的标准方程为 .
故选：B.
7. 已知 为坐标原点, 为双曲线 上一点，已知点 , ,设直
线 , 的斜率分别为 , ,则 = .
【解析】设 ,则 ,因为 , ,所以 ,
, .8.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的方程为 .
(1)直线 与双曲线的一支有两个不同的交点，求 的取值范围；
(2)过双曲线 上一点 的直线分别交两条渐近线于 两点，且 是线段
的中点，求证： 为常数.
【答案】(1) ；
(2) ，证明见解析.
【分析】（1）直线 与双曲线 联立，得到关于 的方程满足：此方程是一元二次方程，
且有两个同号根.
（2）求出双曲线 的渐近线的方程，把 两点坐标只用 来表示,然后用 来表示
，把点 代入双曲线 化简整理得 .
【详解】（1）直线 与双曲线 即 联立得
即
由题意得 有两个同号根，则满足
即 ，即
解得：（2）双曲线 的方程为 ，所以双曲线 的渐近线为
则 ，所以 的中点
又因为点 在双曲线 上，即
即 ，即 .
9.（2023·全国·高二专题练习）已知点 为直线 上的动点，过点 作射线 （点
位于直线 的右侧）使得 ，设线段 的中点为 ，设直线 与 轴的交点
为 .
(1)求动点 的轨迹 的方程.
(2)设过点 的两条射线分别与曲线 交于点 ，设直线 的斜率分别为
，若 ，请判断直线 的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定
值，请计算出定值；若过定点，请计算出定点.
【答案】(1)
(2)是，定值1；定点 .
【分析】（1）设点 的坐标为 ，得到直线 的方程，从而求出 的坐标，再根据
，求出动点轨迹方程；
（2）设直线 的方程为 ， ， ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用斜率公式及 求出 的值或 、 的关系，即可得解.
【详解】（1）设点 的坐标为 ，点 ，
其中 、 的中点为 ，由此可得直线 的方程为 ，
可得点 的坐标为 ，再结合 可得 ，
整理得 ，所以动点 的轨迹 的方程为： .
（2）设直线 的方程为 ，联立直线 与 的方程可得： ，
设点 的坐标为 ，根据韦达定理可得 ， ，
其中 ，结合条件可得： ，
整理可得 ，
结合直线 的方程可化简为： ，
代入韦达定理可得 ，
通过分解因式可得 即可得 或 ，
当 时，直线 的斜率为定值 ；
当 时，直线 恒过定点 .
10.（2023·高二课时练习）已知抛物线 ， ， 是C上两个不同的
点．
(1)求证：直线 与C相切；
(2)若O为坐标原点， ，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）联立直线与抛物线的方程消元，利用 证明即可；
（2）设 ，由（1）可得出两条切线的方程，然后联立可得 ，然后由
可得 ，即可证明.
【详解】（1）联立 得 ，
因为 在C上，则 ，
所以 ，因此直线 与C相切．
（2）由（1）知，设 ，切线 的方程为 ，切线 的方程为
，
联立 得 ，
因为 ， ，所以 ．
又因为 ，所以 ，
解得 ，所以 ．
故点P在定直线 上．
11.已知椭圆 )的离心率为 ,且与直线 相切.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)若直线 : 与椭圆 交于 两点,点 是 轴上的一点,过点 作直线
的垂线,垂足为 ,是否存在定点 ,使得 为定值?若存在,求出点 的坐标;若
不存在,请说明理由.
【答案】见解析【解析】(1)由题知, ,
所以椭圆 为 ,即 ,
因为 与直线 相切,
所以 ,消去 得 ,
所以 ,
所以 ,得 ,
所以椭圆 的标准方程为 ;
(2)设 ,
由 ,得
所以 ,
所以
,
所以 ,解得 ,
所以存在点 ,使得 为定值 .12．（2023·全国·模拟预测）抛物线 ： ，双曲线 ： 且离心率 ，
过曲线 下支上的一点 作 的切线，其斜率为 .
(1)求 的标准方程；
(2)直线 与 交于不同的两点 ， ，以PQ为直径的圆过点 ，过点N作直线 的
垂线，垂足为H，则平面内是否存在定点D，使得DH为定值，若存在，求出定值和定点
D的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ；
(2)存在， ，定点 .
【分析】（1）写出切线方程并与抛物线方程联立求出点M坐标，再结合离心率求出双曲
线方程作答.
（2）当直线PQ不垂直于y轴时，设出直线方程并与 的方程联立，借助韦达定理及向量
数量积求出直线PQ过定点E，直线PQ垂直于y轴，验证也过定点E，取线段EN中点即
可作答.
【详解】（1）切线方程为 ，即 ，由 消
去y并整理得：
，则 ，解得 ，即 ，
由离心率 得 ，即 ，双曲线 ，则，
所以双曲线 的标准方程为： .
（2）当直线PQ不垂直于y轴时，设直线 方程为 ， ， ，
由 消去x并整理得： ，
有 ， ， ，
， ，因以 为直径的圆过点 ，则当P，Q与N都
不重合时，有 ，
，当P，Q之一与N重合时， 成立，于是得 ，
则有
，即 ，
整理得 ，即 ，
因此 ，解得 或 ，均满足 ，
当 时，直线 ： 恒过 ，不符合题意，
当 时，直线 ： ，即 恒过 ，符合题意，
当直线PQ垂直于y轴时，设直线 ，由 解得 ，
因以 为直径的圆过点 ，则由对称性得 ，解得 ，直线
过点 ，于是得直线 过定点 ，取EN中点 ，因 于H，从而
，
所以存在定点D，使得 为定值 ，点 .
