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圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练
考点目录
定点问题
定值问题
定直线问题
考点一 定点问题
例3．（25-26 高二上·河北·期末）已知椭圆
：
，过点
作两条动直线
，
，分别交
于两
点
，
（
，
与
不重合），且满足
，其中
，
分别为直线
，
的斜率.
(1)若直线
的斜率为1，求线段
的长度；
(2)求直线
的斜率；
(3)设直线
与
分别交
轴于点
，
，求证：
的中点为定点.
例4．（25-26 高三上·河北邢台·月考）已知直线：
与椭圆
：
交于
，
两点，
，
的中点为
.
(1)求证：直线
（O 为坐标原点）的斜率与直线斜率之积为定值；
(2)（i）若直线过右焦点
，直线
与直线
交于点
，判断以线段
为直径的圆是否过定点，如果圆过
定点求出该定点坐标，如果不过定点，请说明理由；
（ii）若
，求点
的轨迹方程.
变式1．（25-26 高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知双曲线
的离心率
，右焦
点
到渐近线的距离为
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)已知点
，过点
的直线与双曲线
的左、右两支分别交于点
，
，直线
与双曲线
交于另一点
，设直线AM，AN 的斜率分别为
，
.
（i）求证：
为定值；
（ii）求证：直线MP 过定点，并求出该定点的坐标.
变式2．（25-26 高二上·辽宁·期末）已知动圆
与圆
内切，同时与圆
外切，
圆心
的轨迹为
，斜率为
的动直线与轨迹
相交于不同的两点
，坐标原点为
.
(1)求轨迹
的方程；
(2)若
中点的横坐标等于1，求
面积的最大值，并求出取最大值时
的值；
(3)若以
为直径的圆经过点
，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标.
变式3．（25-26 高二上·湖北·月考）已知点
在曲线
上运动，动点
与定点
的距离与
到定直线
的距离之比为2.
(1)求曲线
的方程；
(2)若过点
的直线与曲线
的两个交点
分别在
轴两侧.求直线斜率的取值范围；
(3)若动直线过点
，且与
交于
，
两点（
在第一象限，
在第四象限），过点
作直线
的垂线，
垂足为
.求证：直线
过定点并求定点坐标.
变式4．（25-26 高三上·江西抚州·期末）已知椭圆
的离心率为
，且过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若点
，点
为椭圆
上的不同两点（异于上下顶点）且
，直线
与椭圆
的另一个交点为
，直线
与椭圆
的另一个交点为
.
（ⅰ）求直线
的方程，并判断直线
与椭圆
的位置关系；
（ⅱ）试判断直线
是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
例1．（25-26 高二上·北京·期末）已知椭圆
的长轴长为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆
经过椭圆的两个焦点，点
分别是椭圆C 的左、右顶点．
(1)求圆
和椭圆C 的方程；
(2)已知
分别是椭圆C 和圆
上的动点（
位于
轴两侧），且直线
与
轴平行，直线
，
分别
与
轴交于点
，
．求证：
为定值．
例2．（25-26 高三上·重庆·月考）在平面直角坐标系
中，已知动点
到点
的距离和E 到直线
的距离之比是常数
.
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)过点
的动直线(斜率
存在)与曲线C 交于
，
两点，在x 轴上存在点
，使得
,试
问
是否为定值，若是，求出
的值；若不是，请说明理由.
考点二 定值问题
例3．（25-26 高三上·上海奉贤·月考）已知双曲线
，
的离心率为
，长轴长为
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)设点是双曲线
上的动点，
是圆
上的动点，且直线
与圆
相切，求
的最小值；
(3)如图，
、
是双曲线
上两点，点
也在双曲线上，直线
、
与
轴分别交于点
、
，点
在
直线
上．若
、
关于原点对称，且
，证明：存在点
，使得
为定值．
例4．（25-26 高三上·山东德州·期末）已知双曲线
的左右顶点为
，
，且
，双
曲线
的一条渐近线的斜率为
，过点
的直线交双曲线
于
，
两点（其中
在第一象限，且
，
异于
点），
为坐标原点．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)过
分别作
，
的垂线，垂足分别为
，
，记
，
的面积为
，
，若
，求
的最大值；
(3)设圆
上一点
处的切线
．若
与双曲线左右两支分别交于
，
，问
是否为定值，若是，
求出此定值；若不是，说明理由．
变式1．（2026·四川遂宁·一模）已知双曲线
分别是
的左、右焦点．
在直线
上，且
到其中一条渐近线的距离为
.抛物线
：
上的一个动点
到
的距
离与点
到
的准线的距离之和的最小值为
.
(1)求
的方程和
的方程；
(2)若过
的直线与
的左、右两支分别交于
两点，与
交于
两点.问是否存在常数
，使得
为定值？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．
变式2．（25-26 高三上·安徽·期末）已知椭圆
的离心率为
，其左、右顶点分别为
，
，
，过点
的直线交椭圆
于另外一点
，点
是直线
上不同于
的一点，且满足
，
为坐标
原点．
(1)求
的方程；
(2)若
，求直线的方程；
(3)若直线
的斜率不为0，直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，问
是否为定值？如果是，求出定
值；如果不是，请说明理由．
变式3．（25-26 高三上·天津河西·期末）已知椭圆
的左、右顶点分别为
、
，上顶点为
B，离心率
，
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点D 是椭圆C 上非顶点的一动点，直线
交x 轴于点P，直线
交直线
于点Q，
是否是定值？
若是，求出这个值；若不是，说明理由．
变式4．（24-25 高二下·贵州遵义·月考）以直线：
和直线
：
为渐近线的双曲线C 过点
．
(1)求双曲线C 的标准方程．
(2)
，
是C 的两个顶点，P 是C 上的动点，过点P 且垂直于
的直线与C 交于另一点Q，设直线
和
相交于点H．
①求点H 的轨迹
的方程；
②在①的条件下，设
，
，直线
与
相交于点R，直线
与
相交于点T，且
，
．求证：
为定值．
例1．（25-26 高二上·四川眉山·期末）已知椭圆
的离心率为
，左右焦点分别为
，
，
M 是椭圆上一点，
，
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
的直线与椭圆
交于P，Q 两点，R 为线段
中点.
（ⅰ）求点R 的轨迹方程；
（ⅱ）点O 为坐标原点，射线
与椭圆交于点S，点G 为直线
上一动点，且
，求证：点G 在
定直线上.
例2．（25-26 高三上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，椭圆
的左、右顶点分别为
，
上、下顶点分别为
是椭圆C 在第一象限上的动点．已知椭圆C 过点
且
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线
分别与x 轴和y 轴交于点
．记
的面积分别为
，求
的值；
(3)直线
与直线
交于点D，过D 且与
平行的直线交直线
于点E．证明：点E 在定直线上，并求出
该直线方程．
考点三 定直线问题
例3．（25-26 高三上·福建厦门·月考）已知A，B 分别是双曲线
的左、右顶点，P 是C 上
异于A，B 的一点，直线
，
的斜率分别为
，且
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知过点
的直线
，交C 的左，右两支于D，E 两点（异于A，B）．
（i）求m 的取值范围；
（ii）设直线
与直线
交于点Q，求证：点Q 在定直线上．
例4．（25-26 高三上·浙江宁波·月考）已知
，
分别是双曲线
：
的上顶点，
下焦点．
(1)求
的标准方程；
(2)过
的直线与
的上、下支分别交于
两点（
异于
），直线
平分线段
与
的下支交于点
，证
明：直线
与直线
的交点在定直线上．
变式1．（24-25 高二下·广东惠州·月考）已知抛物线
的焦点
关于直线
的对称点为
．
(1)求
的方程；
(2)若
为坐标原点，过焦点
且斜率为1 的直线交
于
两点，求
；
(3)过点
的动直线交
于不同的
两点，
为线段
上一点，且满足
，证明：点
在某定直线上，并求出该定直线的方程．
变式2．（25-26 高二上·辽宁大连·期末）已知
和
是椭圆
的左、右顶点，椭
圆
上的点到其焦点距离的最大值为5，直线与椭圆
相交于
两点，直线不经过坐标原点
，且不与坐标
轴平行.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设点
，若
，求实数
的取值范围；
(3)直线OM 与椭圆
的另外一个交点为S，直线
与直线
相交于点
，直线OP 与直线相交于点
，证明：
点
在一条定直线上，并求出该定直线的方程.
变式3．（25-26 高三上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：
（
）的右焦点为
，点
在C
上，直线l 经过F 且与C 交于
两点（不在x 轴上）.
(1)求C 的方程；
(2)若直线l 的斜率为
，求
；
(3)设
分别为C 的左，右顶点，直线
与
交于点T.证明：点T 在定直线上.
变式4．（25-26 高三上·湖北·开学考试）已知椭圆
，左右焦点分别为
，左右顶点为
，离心率为
，点
在椭圆
上．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线
与椭圆
交于
两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于x 轴．
（i）设直线
和
的斜率分别为
，用
表示
；
（ii）设
点关于原点的对称点为点，直线
与直线
交于
点，直线
与直线交于
点，其中
为坐标
原点，证明：点
在一条定直线上．
