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2022 届高三一轮复习“8+4+4”小题强化训练(50)
（圆锥曲线的综合问题（1）定点、定值问题）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1.若AB 是过椭圆
中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM､BM 与两坐
标轴均不平行，kAM､kBM分别表示直线AM､BM 的斜率，则kAM·kBM=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，
，
，
，
则
，
，则
,
，
在
椭圆上，
，
，两式相减得
，即
，
所以
，所以
，
即
. 故选：B.
2.过抛物线
焦点F 的直线，与抛物线交于A、B 两点，设
，
，则
（ ）
A．-4
B．4
C．4
D．-4
【答案】A
【解析】设直线
的方程为
，设
，联立
，消去
化为
，所以
，所以
，所以
， 故选：A.
3.设F 为椭圆
的右焦点，过点
的直线与椭圆C 交于
两点,设直线
的斜率分别为
，
，则
为（ ）
A．-1
B．1
C．4
D．-4
【答案】B
【解析】设
，设直线
，代入椭圆方程可得：
.
所以
.故
.又
均不为0，故
，即
为定值
故选：B.
4.过原点的直线与双曲线
交于A,B 两点，点P 为双曲线上一点，若直线PA 的斜率为
2，则直线PB 的斜率为（ ）
A．4
B．1
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可设
，
，
，
则
，
，即有
，即
，
由
，
，可得
，
因为
，所以
. 故选：C.
5.设抛物线
：
的焦点为
，点
是抛物线
上一点，且
．
设直线与抛物线
交于
、
两点，若
（
为坐标原点）．则直线过定点( )．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵
是抛物线
上一点，且
．∴
，
解得
，即抛物线
的方程为
.
设直线的方程为
，
，
，
由
消去
得
，则
，
．
因为
，所以
，即
．
化简得
．由
得
，所以直线的方程为
，
所以直线经过定点
．故选:C
6.已知离心率为
的椭圆
内有个内接三角形
，
为坐标原点，边
的中点分别为
，直线
的斜率分别为
，且均不为
0，若直线
斜率之和为，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可得
，所以
不妨设为
.设
，
，
，
，
，
，
，两式作差得
，则
，
，同理可得
，所以
， 故选：C.
7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一
些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾
2+股
2=弦
2”，设直线
交抛物线
于
，
两点，若
，
恰好是
的“勾”“股”（
为坐标
原点），则此直线恒过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设直线
的方程为
，
，
，由
得
，由根与系数的关系可得：
，
，若
，
恰好是
的“勾”“股”（
为坐标原点），可得
，所以
，即
，所以
，
，
所以
，即
，解得
或
（舍）所以直线
的方程为
，恒过点
，
8.已知椭圆
的左右顶点分别为
，过
轴上点
作一直线
与椭圆交
于
两点（异于
），若直线
和
的交点为
，记直线
和
的斜率分别为
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．2
【答案】A
【解析】设
，
，
，设直线
的方程：
由
和
三点共线可知
，
解得：
，
，（*）
联立
，得
，
，
，
代入（*）得
，
，
，
.
故选：A
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求,全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分．
9.已知
为坐标原点，过点
作两条直线分别与抛物线
：
相切于点
、
，
的中点为
，则下列结论正确的是（ ）
A．直线
过定点
；
B．
的斜率不存在；
C．
轴上存在一点
，使得直线
与直线
关于
轴对称；
D．
、
两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值.
【答案】BCD
【解析】设
，
，∵
，∴
，∴过点
的切线方程为
，即
，∴
，同理过点
的切线方程为
，将
分别代入上式，得
，
，∴直线
的方
程为
，∴直线
过定点
，故A 选项错误，符合题意；
联立方程
得：
，
，则
，
，
∴点
的横坐标为
，∴
轴，故B 选项正确，不符合题意；设
，由题
意得
，
，设直线
、
的斜率分别为
、
，
则
，当
时，
，即
直线
与直线
关于
轴对称，C 选项正确，不符合题意；∵点
到准线的距离为
，点
到准线的距离为
，
∴
，D 选项正确，
不符合题意. 故选：BCD
10.已知双曲线
（
，
），
，
是其左、右顶点，
，
是其左、右
焦点，
是双曲线上异于
，
的任意一点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．直线
，
的斜率之积等于定值
C．使得
为等腰三角形的点
有且仅有8 个
D．
的面积为
【答案】ABC
【解析】A，根据双曲线方程以及双曲线的定义可得
，所以A 正确；
B，设点
，
有
，
，
直线
的斜率之积
，所以B 正确；
C，根据双曲线对称性分析：要使
为等腰三角形，则
必为腰，
在第一象限双曲线上有且仅有一个点
使
，
此时
为等腰三角形，
也且仅有一个点
使
，此时
为等腰三角形，
同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，所以C 正确；
D，
，
设
，
，由双曲线的定义可得
，
则
，①
由余弦定理可得
，②
②
①得，
，
则
，所以D 不正确. 故选：ABC
11.已知
为坐标原点，过点
作两条直线分别与抛物线
：
相切于点
、
，
的中点为
，则下列结论正确的是（ ）
A．直线
过定点
；
B．
的斜率不存在；
C．
轴上存在一点
，使得直线
与直线
关于
轴对称；
D．
、
两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值.
【答案】BCD
【解析】设
，
，∵
，∴
，∴过点
的切线方程为
，即
，∴
，同理过点
的切线方程为
，将
分别代入上式，得
，
，∴直线
的方
程为
，∴直线
过定点
，故A 错误；
联立方程
得：
，
，则
，
，
∴点
的横坐标为
，∴
轴，故B 正确；
设
，由题意得
，
，设直线
、
的斜率分别为
、
，
则
，当
时，
，即
直线
与直线
关于
轴对称，故C 正确；
∵点
到准线的距离为
，点
到准线的距离为
，
∴
，D 选项正确，
不符合题意. 故选:BCD
12.已知椭圆
的离心率为
，
的三个顶点都在椭圆上，设它的三条
边
，
，
的中点分别为
，
，
，且三条边所在直线的斜率分别
，
，
，且
，
，
均不为0．
为坐标原点，则（ ）
A．
B．直线
与直线
的斜率之积为
C．直线
与直线
的斜率之积为
D．若直线
，
，
的斜率之和为1，则
的值为
【答案】CD
【解析】椭圆
的离心率为
，
，
，故
错；
设
，
，
，
．
，
．
，
，
两式相减可得：
．
，
同理
，
，故
错，
正确．
又
，故选：CD．
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，多空题，第一空2 分，第二空3 分，共20 分．
13.已知点
为椭圆
上任一点,点
是抛物线
的准线上的任意一点，以
为直径的圆过原点
，试判断
=_____________
【答案】
为定值，且定值为1．
【解析】抛物线
的标准方程为
，其准线方程为：
，
设
，
，
因为以
为直径的圆过原点，所以
，所以
，
所以
，即
，
所以
，
又因为
，
，
所以
，
所以
为定值，且定值为1．故答案为:1
14.如图，已知椭圆
，矩形ABCD 的顶点A，B 在x 轴上，C，D 在椭圆
上，点D 在第
一象限．CB 的延长线交椭圆
于点E，直线AE 与椭圆
､y 轴分别交于点F､G，直线CG 交椭圆
于
点H，DA 的延长线交FH 于点M,设直线AE､CG 的斜率分别为
､
，则
=_______；
【答案】
【解析】由对称性，设
，
，
，
则
，得
，故
，
，则
，故答案为:
15.已知双曲线
，点
，在双曲线上任取两点
、
满足
，则直线
恒过定点__________；
【答案】
【解析】设
的方程为
,则由
.
设
,则
是该方程的两根,∴
,
.
又
,
,故
,∴
,
又
,
,∴
,
代入
,
得：
整理得：
,∴
,
∴
或
.当
时,
过
与题意不符,故舍去。当
时,
过定点
.
故答案为:
16.已知双曲线
的右焦点为
，过点
的直线与双曲线相交于
、
两点，若以
线段
为直径的圆过定点
，则
______．
【答案】3
【解析】点
的坐标为
，双曲线的方程可化为
，
①当直线的斜率不存在时，点
、
的坐标分别为
、
，此时以线段
为直径的圆
的方程为
；
②当直线的斜率存在时，设点
、
的坐标分别为
，
，记双曲线
的左顶点的
坐标为
，直线的方程为
，联立方程
，消去
后整理为
，
,
即
时，有
，
，
，
，
．故以线段
为直径的圆过定点
，
．故答案为:3
