中考复习第14讲 | 二次函数的应用：利润·方案·拱桥·球类·面积（12题精练）

初中数学 · 中考一轮复习 · 第14讲

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📌 本讲导读
上一讲把抛物线的"长相"复习完了，这一讲是它在中考卷上最值钱的用法——应用题大题。中考卷里它几乎必考一道解答题，分值 8～12 分，翻来覆去就是五张面孔：利润最值、方案选择、拱桥隧道、球类飞行、图形面积。
解法万变不离其宗：建模型 → 画范围 → 求最值 → 检验作答。这一讲额外加三个中考特色考点：分段讨论（成本、销量分段变）、整数点最值（顶点不是整数怎么办）、存在性问题（"是否存在点 P"）。
12 题全按中考口径命制，最后一道是压轴常见的"抛物线上动点三角形面积最大"。

一、知识清单

① 五大应用题型地图（拿到题先对号入座）
利润：W=单件利润×销量，设涨价/降价/天数；方案：两种方案各列一个函数，比大小或求公共范围；拱桥隧道：建系→代点求解析式→查净空；球类飞行：顶点式起步，落点令 y=0、过网代 x；图形面积：设一边长，另一边用相似/周长表示，列 S(x)。
每类题最后一步都一样：写范围、验实际、带单位作答。

② 分段讨论：中考大题的"标配动作"
成本、销量常按时间分段变化（如前 4 天一个规律、之后另一个规律），利润 W 也要分段列式：
每段各自求最值 → 放在一起比大小 → 全局最大在胜出的那段。
只算一段就下结论是这一题型的头号失分点——两段都要算，还要明写"比较"。

③ 整数点最值：顶点取不到时往两边找
销量、件数、定价必须取整数时，若对称轴 x=15.5 不是整数，最值取不到，只能取离对称轴最近的两个整数点（x=15 和 16），分别代入比大小。
对称轴离哪个整数近，哪个点函数值就大（开口向下时）。

④ 拱桥/隧道三步走 + 设计型问法
第一步：按题意建系（顶点放原点或 y 轴上最省事）；第二步：代两个已知点求解析式；第三步：把"限制条件"翻译成代入求值或解不等式。
设计型问法（"最多能设计几条赛道/通道"）：解不等式求出可用半宽 x_max，可用宽度=2x_max，再除以单宽向下取整。

⑤ 存在性问题：先假设，再列式，后检验
"是否存在点 P 使……"——直接假设存在，用坐标表示线段/面积，列出方程求 P；
求出后代回检验：是否在图象有效范围内、是否与已知点重合、是否符合"不重合/不共线"等要求。答案可能不止一个，逐个列出。

二、题型精讲

题型一分段利润问题（中考大题标准款）
某玩具厂促销期 20 天：第 1～4 天售价 y=2x+28 元、日销量 t=20x+80 个；第 5～20 天固定售价 36 元，日销量 t=−2(x−14)²+400 个。成本 20 元/个。(1) 求第 5～20 天日利润 W 与 x 的关系；(2) 哪一天日利润最大？最大多少？

思路：(1) 第 5～20 天单件利润 36−20=16 元 ⇒ W=16[−2(x−14)²+400]=−32(x−14)²+6400（5≤x≤20）。
(2) 分段算，再比：
· 第 1～4 天：W=(2x+28−20)(20x+80)=(2x+8)(20x+80)=40x²+320x+640，对称轴 x=−4 在左侧，W 随 x 增大而增大 ⇒ x=4 时最大 2560 元；
· 第 5～20 天：顶点 x=14 在 [5，20] 内 ⇒ 最大 6400 元（第 14 天，日销 400 个）。
6400＞2560 ⇒ 第 14 天日利润最大，为 6400 元。

题型二方案选择：分配问题
某批 12 件货品分给甲、乙两家店销售：给甲店 x 件，甲店总利润 w₁=−x²+24x（元）；乙店每件利润 3 元。x 为多少时两家店总利润最大？最大多少元？

思路：乙店卖 (12−x) 件 ⇒ W=−x²+24x+3(12−x)=−x²+21x+36=−(x−10.5)²+146.25。
x 取整数（件数），顶点 10.5 取不到 ⇒ 比较 x=10 与 x=11：W(10)=−100+210+36=146 元；W(11)=−121+231+36=146 元。
∴ x=10 或 11 时总利润最大，均为 146 元。
整数点最值的标准动作：算出顶点 → 判断是否整数 → 不是就取左右最近两个整数点代入比较。

题型三拱桥设计：赛道数量
桥拱以水面中点为原点时，解析式为 y=−x²/9+4（跨度 12 m，拱高 4 m）。龙舟最高处离水面 1 m，要求过桥时龙舟与桥拱的竖直距离至少 0.5 m。每条赛道宽 2 m，桥下最多能设计几条赛道？

思路：赛道必须铺在拱高≥1+0.5=1.5 m 的水面段上：−x²/9+4≥1.5 ⇒ x²≤22.5 ⇒ x≤√22.5≈4.74。
可用宽度=2×4.74≈9.5 m；每条 2 m ⇒ 9.5÷2=4.7 ⇒ 最多 4 条（4×2=8≤9.5，5 条要 10 m＞9.5 ✗）。
关键动作：解不等式得半宽 → 乘 2 得总宽 → 向下取整。

题型四球类飞行：过网与落点
篮球从离地 2 m 处出手，水平距离 3 m 时达到最大高度 3.5 m。(1) 求 h 关于 x 的解析式；(2) 球网在离出手点水平距离 5 m 处，网高 2.4 m，球能否过网？(3) 求落点到出手点的水平距离（保留根号）。

思路：(1) 顶点 (3，3.5)，代 (0，2)：9a+3.5=2 ⇒ a=−1/6 ⇒ h=−(x−3)²/6+3.5。
(2) y(5)=−4/6+3.5=−2/3+7/2=17/6≈2.83＞2.4 ⇒ 能过网。
(3) 落地：−(x−3)²/6+3.5=0 ⇒ (x−3)²=21 ⇒ x=3±√21，取正根 3+√21≈7.6 m。

题型五压轴铺垫：抛物线上动点三角形面积最大
抛物线 y=−x²+2x+3 与 x 轴交于 A、B（A 在左），与 y 轴交于 C。P 是第一象限内抛物线上的动点，求 △PBC 面积的最大值及此时 P 的坐标。

思路：A(−1，0)、B(3，0)、C(0，3)。直线 BC：y=−x+3。
P 在抛物线上（横坐标 x），P 到直线 BC 的竖直方向"铅垂高"=抛物线−直线=(−x²+2x+3)−(−x+3)=−x²+3x（0＜x＜3 时为正）。
S△PBC=½×BC水平宽×铅垂高? 用"宽高法"：以 B、C 横坐标差为宽（3−0=3），P 到直线的铅垂距离为高：S=½×3×(−x²+3x)=−3x²/2+9x/2。
顶点 x=3/2 ⇒ S 最大=27/8，此时 y_P=−9/4+3+3/4=15/4 ⇒ P(3/2，15/4)。
口诀："水平宽 × 铅垂高 ÷ 2"——把斜三角形拆成"宽"和"高"，不必求斜线段长。

三、考点速查表

四、巩固练习（12 题）

1. 某商品第 x 天（1≤x≤28，x 为整数）日销量 t=−2x²+60x 个。哪一天日销量最大？最大多少个？
2. 某厂第 5～24 天日销量 t=−2(x−12)²+300 个，售价 30 元、成本 18 元。(1) 哪天日销量最大？(2) 日利润最大多少元？
3. 10 件货品分给两家店：给甲店 x 件，甲店总利润 w₁=−x²+10x 百元；乙店每件利润 4 百元。x 为多少时两家店总利润最大？最大多少百元？
4. 在复习第 3 题的条件下，若两家店总利润不低于 46 百元，x 的整数值有哪些？
5. 桥拱以水面中点为原点，跨度 16 m，拱高 4 m。(1) 求解析式；(2) 货船桅杆顶离水面 3.2 m，要求与桥拱竖直距离至少 0.5 m（桅杆在船中央、船从正中通过），能否通过？
6. 桥孔抛物线 y=−x²/9+4（水面为 x 轴）。水位上涨后水面宽恰为 6 m，求水位上涨了多少米。
7. 铅球从离地 2 m 处出手，水平距离 4 m 时达到最大高度 3.6 m。(1) 求 h 关于 x 的解析式；(2) 求落地点到出手点的水平距离。
8. 用 40 m 篱笆靠墙围成三个并排的小矩形（隔栏都垂直于墙，墙足够长）。设垂直于墙的一边长 x m，问 x 为多少时总面积最大？最大多少平方米？
9. 某产品定价 p 元（10≤p≤20，p 为整数）时日利润 w=−(p−15.5)²+480 元。定价多少元时日利润最大？最大多少元？
10. 抛物线 y=x²−4x+3 与 x 轴交于 A、B（A 在左），与 y 轴交于 C。求 A、B、C 的坐标及 △ABC 的面积。
11. 抛物线 y=−x²+2x+3 与 x 轴交于 A、B（A 在左）。是否存在抛物线上的点 P，使 △PAB 的面积等于 4？若存在，求出所有 P 的坐标。
12. （压轴）抛物线 y=−x²+2x+3 与 x 轴交于 A、B（A 在左），与 y 轴交于 C，P 是第一象限内抛物线上的动点。当 △PBC 的面积最大时，求 P 的坐标及最大面积。

五、逐题解析

1. 第 15 天，450 个
   。t=−2(x−15)²+450，顶点 x=15 在 [1，28] 内 ⇒ 第 15 天，450 个。
2. (1) 第 12 天，300 个；(2) 3600 元
   。(1) 顶点 x=12 在 [5，24] 内 ⇒ 日销量最大 300 个。(2) 单件利润 12 元 ⇒ W=12[−2(x−12)²+300]=−24(x−12)²+3600，最大 3600 元（第 12 天）。
3. x=3 时最大 49 百元
   。W=−x²+10x+4(10−x)=−x²+6x+40=−(x−3)²+49，x=3 为整数且在 0≤x≤10 内 ⇒ 甲店 3 件、乙店 7 件，总利润最大 49 百元。
4. x=2、3、4
   。−x²+6x+40≥46 ⇒ x²−6x+6≤0，根 x=(6±√12)/2=3±√3≈1.27、4.73 ⇒ 1.27≤x≤4.73，整数 x=2、3、4。
5. (1) y=−x²/16+4；(2) 能通过
   。(1) 顶点 (0，4)，代 (8，0)：64a+4=0 ⇒ a=−1/16。(2) 桅杆在船中央，即 x=0 处：拱高 4，竖直距离 4−3.2=0.8 m≥0.5 m ⇒ 能通过。（船从正中走，中央拱最高，是最安全位置。）
6. 3 米
   。水面宽 6 ⇒ 水面与拱交于 x=±3：y=−9/9+4=3，水面从 y=0 涨到 y=3 ⇒ 上涨 3 米。（验证：y=3 处拱与水面恰交于 x=±3，宽 6 ✓）
7. (1) h=−0.1(x−4)²+3.6；(2) 10 m
   。(1) 代 (0，2)：16a+3.6=2 ⇒ a=−0.1。(2) −0.1(x−4)²+3.6=0 ⇒ (x−4)²=36 ⇒ x=10 或 −2（舍）⇒ 10 m。
8. x=5 时最大 100 m²
   。篱笆=4 条竖边（左右各 1、隔栏 2）+1 条平行边：4x+L=40 ⇒ L=40−4x。S=x(40−4x)=−4(x−5)²+100，x=5 在 0＜x＜10 内 ⇒ 最大 100 m²（此时 L=20）。回验：4×5+20=40 ✓。
9. 定价 15 元或 16 元，最大 479.75 元
   。顶点 p=15.5 不是整数 ⇒ 取最近整数点 p=15、16：w(15)=w(16)=−0.25+480=479.75 元。（两对称点函数值相同，都取到最大。）
10. A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)；S△ABC=3
    。x²−4x+3=0 ⇒ x=1、3；x=0 ⇒ y=3。AB=2，OC=3 ⇒ S=½×2×3=3。
11. 存在，共 4 个：(1+√2，2)、(1−√2，2)、(1+√6，−2)、(1−√6，−2)
    。A(−1，0)、B(3，0)，AB=4。S=½×4×|y_P|=4 ⇒ |y_P|=2。
    y=2：−x²+2x+3=2 ⇒ x²−2x−1=0 ⇒ x=1±√2；
    y=−2：−x²+2x+3=−2 ⇒ x²−2x−5=0 ⇒ x=1±√6。
    四个点都在抛物线上且不与 A、B 共线（|y|=2＞0），全部成立。回验：½×4×2=4 ✓。
12. P(3/2，15/4)，最大面积 27/8
    。B(3，0)、C(0，3)，直线 BC：y=−x+3。铅垂高=(−x²+2x+3)−(−x+3)=−x²+3x＞0（0＜x＜3）。
    S=½×水平宽×铅垂高=½×3×(−x²+3x)=−3x²/2+9x/2=−3/2(x−3/2)²+27/8。
    x=3/2 ⇒ y_P=−9/4+3+3/4=15/4 ⇒ P(3/2，15/4)，S 最大 27/8。回验：x(3−x)=3/2×3/2=9/4，S=½×3×9/4=27/8 ✓。

🧠 方法速记卡
① 先对号入座：利润/方案/拱桥/球类/面积，五张面孔五套模板，最后都落到"范围+检验+作答"；
② 分段必两段都算：每段求最值，放一起比大小，全局最大在胜出段；
③ 整数点最值：顶点非整数时取两侧最近整数点比较，对称点函数值相同；
④ 设计型问法：解不等式→半宽→×2→除以单宽→向下取整；
⑤ 过网别用最高点：把网所在横坐标代进解析式再比；
⑥ 宽高法求斜三角形面积：½×水平宽×铅垂高，铅垂高=抛物线−直线；
⑦ 存在性问题：假设→设坐标→列方程→逐个检验，解可能不止一个；
⑧ 作答三件套：单位、实际结论、"第几天/定价多少元"要说完整。

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后续预告　不只这一讲，后面还有一整套
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