第02讲 导数与函数的单调性
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
f′(x)>0 f(x)在(a，b)上单调递增
函数y＝f(x)在区
f′(x)<0 f(x)在(a，b)上单调递减
间(a，b)上可导
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
2．利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出
函数
y＝f(x)在定义域内的单调性．
3．函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)
越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)一．函数图象与导函数图象的关系
例1．（1）设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
【答案】D
【详解】由函数的图象可知：当x＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，
即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
（2）已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )
【答案】D
【详解】从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数单调递增；在区间内，导数单调递减．
即函数f(x)的图象在内越来越陡，
在内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合．
（3）已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给的四个图象中，y＝f(x)的图
象大致是( )【答案】C
【详解】当0<x<1时，xf′(x)<0，
∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上单调递减；
当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，
故y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
故选C.
（4）已知 上可导函数 的图像如图所示，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据原函数单调性与导函数符号之间的关系，分类讨论，结合一元二次不等式的解法运算求解.
【详解】由 的图像可得：
x
0 0
对于 可得：当 时，则 ，
∴ ，解得 ；
当 时，则 ，故 ，不合题意，舍去；
当 时，则 ，
∴ ，解得 ；
当 时，则 ，故 ，不合题意，舍去；
当 时，则 ，
∴ ，解得 ；
综上所述：不等式 的解集为 .
故选：D.
（5）已知定义在 上的奇函数 的导函数是 ，当 时， 的图象如图所示，则
关于x的不等式 的解集为______.
【答案】
【分析】先判断出 的单调性，然后求得 的解集.
【详解】依题意 是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知， 在区间 递减， ；
在区间 递增， .
所以 的解集 .
故答案为：
【复习指导】：(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝
f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是
常数函数，不具有单调性．
(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．
一．不含参的函数的单调性
例2．（1）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求导数 ，令 求解不等式可得答案.
【详解】由题可知 ，由 ，解得 .
所以单调递减区间为 .
故选：A.
（2）函数 的单调递增区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出导函数 ，令 ，解不等式即可得答案.
【详解】解：因为函数 ，所以 ，令 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，
故选：C.
（3）函数 的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出导函数 ，解不等式 可得减区间．
【详解】函数的定义域为 ，
由 ， ，故 的单调递减区间为 ，
故选：
（4）若函数 ，则 的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对函数进行求导，令 即可求解
【详解】由 可得 ，
令 ，解得 ，
所以 的单调递增区间是 ，
故选：B
（5）函数 的单调递减区间为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的定义域，根据 即可求解.
【详解】函数 的定义域为 ， ，
由 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ．
故选： ．
（6）已知函数 ， ，则 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数的导函数 ，令 ，求得x的范围，即可得出答案.
【详解】解：由 ，则 ，
令 ，则 ，
又 ，则 ，
所以 的单调递增区间为 .
故选：B.
【复习指导】：确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调的步骤即可，但应注意一是不能遗忘求函
数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
二．含参的函数的单调性例3．（1）求函数 的单调区间．
【答案】答案见解析
【分析】利用导函数与函数单调性的关系求解.
【详解】 的定义域是 ．
，
当 时，令 ，解得 或 ；
令 ，解得 或 ；
当 时， 恒成立．
所以当 时， 的单调递增区间为 和 ；
单调递减区间为 和 ．
当 时， 的单调递增区间为 和 ．
（2）已知函数 ，其中 ．讨论 的单调性．
【答案】 在 上单调递减，在 上单调递增
【分析】根据函数求出函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负来讨论函数的单调性即可求解.
【详解】函数 的定义域为 ， ．
当 时，由于 在 上单调递增，所以 至多有一解；
又 ，则当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
（3）已知函数 . 讨论 的单调性．
【答案】答案见解析【分析】求出函数的定义域，再求出导函数 ，对参数 分类讨论即得.
【详解】由题可得 的定义域为 ，且 ，
当 时， 成立，所以 在 上单调递增；
当 时，由 ，可得 ，所以 在 上为增函数；
由 ，可得 ，所以 在 上为减函数.
综上， 时，函数 在 上为增函数； 时，函数 在 上为增函数，函数 在
上为减函数.
（4）已知函数 ．讨论 的单调性．
【答案】答案见解析
【分析】求定义域，求导，分 与 两种情况下，讨论得到函数的单调性.
【详解】定义域为R，
．
当 时，则 ， 在R上单调递增，
当 时，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增．
综上，当 时， 在R上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增．
（5）已知函数 ．求函数 的单调区间．【答案】答案见解析
【分析】根据题意，求导得 ，然后根据 与 两种情况进行分类讨论，即可得到其单调区间.
【详解】函数 的定义域为
则
当 ， 时， 恒成立，所以 单调递减；
当 时，令 ，解得 或 （舍去），
令 ， ，令 ，
所以 在 上单调递减； 上单调递增．
综上所述：当 时， 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
（6）求函数 的单调区间.
【答案】见解析
【分析】求导分 与0的大小关系分别讨论导函数的正负区间与原函数的单调性即可.
【详解】因为 ，所以 .
由 ，解得x＝0或x＝2a.
当a＝0时， ，所以f（x）在R上严格增，单调增区间为 ；
当 时，当 时， ；当 时， ，
所以f（x）的单调增区间为 及 ，单调减区间为（0，2a）；
当 时，当 时， ；当 时， ，所以f（x）的单调增区间为 及 ，单调减区间为（2a，0）.
【复习指导】：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
三．函数单调性的应用
命题点1 比较大小或解不等式
例4．（1）已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为( )
A．f >f(1)>f
B．f(1)>f >f
C．f >f(1)>f
D．f >f >f(1)
【答案】A
【详解】因为f(x)＝xsin x，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以f ＝f .又
当x∈时，f′(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函数f(x)在上是增函数，所以f <f(1)<f ，即f >f(1)>f ，故选A.
（2）已知实数 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知 的结构特征，构造函数 ， ,求导判断其单调性，从而可判断 的
大小关系.
【详解】令 ， ,则 ，
∴ 在 上单调递减,
而 ,故 ，
又因为 ，则 ，则 ，
故选：C.（3）已知 ， ， ，其中a，b， ，则（ ）
A．c<b<a B．c<a<b C．a<b<c D．a<c<b
【答案】B
【分析】构造函数 利用导数讨论单调性结合题设即可比较大小.
【详解】构造函数 ，
令 解得 ，令 解得 ，
所以 在 单调递减， 单调递增，
因为 ，所以 即 ，
所以 ，
因为 ，所以 即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
即 ，
因为 在 单调递增，
所以 ，所以 ，
所以 ，又因为 在 单调递减，
且 a，b， ，所以 ，
故选：B.
（4）若 为奇函数，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据奇函数的性质求出 ，再利用导数求出函数的单调性，最后即可求解不等式.
【详解】因为 为奇函数，则 ，解得 .则即 .，而 .则 ，可得 ， ，即 在定义
域内单调递减.那么 根据单调性可得 ，即 .
故选：D
（5）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先判断函数的单调性，再根据单调性，解不等式.
【详解】 恒成立，所以函数单调递增，
若 ，则 ，即 ，解得： .
故选：D
（6）已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)>1的解集为 ．
【答案】
【详解】f(x)＝ex－e－x－2x＋1，定义域为R，
f′(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，
当且仅当x＝0时取“＝”，
∴f(x)在R上单调递增，
又f(0)＝1，
∴原不等式可化为f(2x－3)>f(0)，
即2x－3>0，解得x>，
∴原不等式的解集为.
命题点2 根据函数的单调性求参数的值(范围)
例5．（1）若函数 有三个单调区间，则实数a的取值范围是( )A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 有两个不相等的实数根求得 的取值范围．
【详解】 ，
由于函数 有三个单调区间，
∴ 有两个不相等的实数根，∴ ．
故选：C．
（2）若函数 在R上是增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】原命题等价为 在R上恒成立，结合二次函数的性质列不等式求解即可.
【详解】∵函数 在R上是增函数， 在R上恒成立，
∴ .
故选：B.
（3）若函数 在 上单调递增，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求导得到 在 上恒成立，即 ，设 ，计算值域得到答案.
【详解】 ， 在 上恒成立，
即 ，设 ， ，故 ，故 .
故选：A（4）已知函数 在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得 在 上恒成立，可转化为 .求出 的最小值，即
可得出实数a的取值范围.
【详解】由已知，函数 的定义域为 ， .
由 在定义域内单调递减，所以 在 上恒成立，
即 ，可转化为 在 上恒成立，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
因此实数a的取值范围是 ．
故选：D．
【点睛】思路点睛：求出函数的导函数，然后根据函数的单调区间得到不等式恒成立的问题.分离参数或二
次求导求出最值即可得出答案.
（5）设函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数单调递增，可得 在 上恒成立，孤立参数 ，再设
，确定 的单调性求最值，即可得实数 的取值范围.
【详解】解：函数 在 上单调递减，则 在 上恒成立，所以 ，在 上恒成立，设函数 ，则 ，
所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，所以 ，所以 ，
则实数 的取值范围是 .
故选：D.
（6）已知函数 ,当 时,不等式 恒成立,则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将不等式恒等变形成 ,从而同构函数 ,并可判断 在
上单调递增,再利用 恒成立,分离参数即可求解.
【详解】因为 时,不等式 恒成立,
所以 即 ,
令 ,则 ,又因为 ,
所以 在 上单调递增,
所以 在 上恒成立,
分离参数得 恒成立,
令 ,则只需 ,而 ,
令 得 ,令 ,得
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ,故 ,即 .
故选:D.
（7）已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上存在单调递减区间，求a的取值范围．
【详解】因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，
则f′(x)=－ax－2<0在[1,4]上有解，
所以当x∈[1,4]时，a>－有解，
又当x∈[1,4]时， ＝－1(此时x＝1)，
min
所以a>－1，又因为a≠0，
所以a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．
【复习指导】：(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即 f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数
性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
(2)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
1．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
【答案】D
【详解】利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)>0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)<0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合．
2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝sin 2x B．g(x)＝x3－x
C．h(x)＝xex D．m(x)＝－x＋ln x
【答案】C
【详解】h(x)＝xex，定义域为R，
∴h′(x)＝(x＋1)ex，
当x>0时，h′(x)>0，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
3．已知函数f(x)满足 ，则f(x)的单调递减区间为（ ）
A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞)
【答案】A
【分析】对 求导得到关于 、 的方程求出它们的值，代入原解析式，根据 求单调
减区间.
【详解】由题设 ，则 ，可得 ，
而 ，则 ，
所以 ，即 ，则 且 递增，
当 时 ，即 递减，故 递减区间为(-,0).
故选：A
4．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由导数 求单调递增区间.
【详解】因为定义域是 ，且 ，令 ，解得： ，故单调递增区间是 ，
故选: .
5．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出函数 的定义域，利用导数可求得函数 的单调递减区间.
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
令 ，解得 ，所以 的单调递减区间是 ．
故选：B．
6．设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图象判断函数值的正负，根据函数的单调性判断导数值的正负，即可求得答案.
【详解】由函数图象可知当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
故 的解集是 ，
故选:C.
7．函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求导，进而利用导数与函数的单调性的关系即可求解.
【详解】 函数 ，
，
由 ， ，可得 ，
解得 ，
所以函数的单调递增区间为 .
故选：D
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、解三角不等式，解题的关键是利用导数的运算法则求出
导函数，属于基础题.
8．函数 的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用导数求得函数 的单调递减区间，利用赋值法可得出结果.【详解】 ，该函数的定义域为 ，
，
，可得 ，
令 ，可得 ，即 ，解得 .
所以，函数 的单调递减区间为 .
当 时，函数 的一个单调递减区间为 ，
，
对任意的 ， ， ，
，
故函数 的一个单调递减区间为 .
故选：A.
【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，考查计算能力，属于中档题.
思路点睛：若 ，所求区间为 的单调增区间；
（2）若 ，则所求区间为 的单调减区间.
9．已知 是定义在R上的偶函数，当 时， ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】利用导函数证明 在 单调递增，再根据奇偶性和单调性解不等式即可.
【详解】当 时， ，
因为 ，所以 恒成立，
所以 在 单调递增，
又因为 是定义在R上的偶函数，所以 在 单调递减，
所以 ，
所以由 可得 ，解得 ，
故选:D.
10．设 ， ，若 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用函数单调性进行求解即可.
【详解】不等式 等价于 ，
令 ，则
∴不等式 等价于 ，
∵ ，
∴当 时， ， 在区间 上单调递增，
∴若 ，则 ，由 有 ；
若 ，则 ，由 ，有 .综上所述，设 ， ，若 ，则有 .
故选：B.
11．已知函数 ，对于实数a，使 成立的一个必要不充分条件
是（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】C
【分析】先求得使 成立的的实数a的取值范围，再去选择使其成立的一个必要不充
分条件即可.
【详解】当 时， ，则 ，则 是增函数，
当 时， ，则 是增函数，又 ，
∴函数 在R上是增函数，
∵ ，
∴ ，则 ，
即 ，解得 ，
则 成立的充要条件是
∴使 成立的一个必要不充分条件的a的范围对应的集合应真包含 ，故排除
ABD，选C.
故选：C．
12．已知函数 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】求导得到 ，函数单调递增，得到大小关系.
【详解】 ，故 ，所以 在 上递增，
，所以 ，
故选：D
13．函数 ，则满足不等式 的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】二次求导，得到 的单调性，再由 ， ，求出 ，解出实
数x的取值范围,
【详解】 ，令 ，则 ，
因为 在R上恒成立，所以 在R上单调递增，
又 ，故当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，
由 得到 ，解得： ，
所以满足不等式 的实数x的取值范围是 .
故选：D
14．函数 在区间 上单调递减，则实数k的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得 在区间 上恒成立，解出即可.
【详解】 ， 函数 在区间 上单调递减，
∴ 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立，
而 在区间 上单调递减， ，∴k的取值范围是 ，
故选：B．
15．已知函数f(x)＝sin x＋cos x－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln 2)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>a>c D．c>b>a
【答案】A
【详解】f(x)的定义域为R，
f′(x)＝cos x－sin x－2＝cos－2<0，
∴f(x)在R上单调递减，
又2e>1,0<ln 2<1，
∴－π<ln 2<2e，
故f(－π)>f(ln 2)>f(2e)，
即a>c>b.
16．已知 ，若 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到 ，
，通过指数函数单调性得 ，再根据幂函数性质证明出 ，同取对数得到，则有 ，再利用 单调性即可得到大小关系.
【详解】因为 ，定义域关于原点对称，
，所以 为 上的偶函数，
当 时, ，设 ，
则 ， ， ，
所以 即 在 上单调递增，所以 ,
所以 在 上单调递增，又因为 为偶函数,
所以 在 上单调递减，
又因为 ,所以 ,
又因为 ,
因为 , ，所以 ,
所以 ，即 ,
所以 ,
所以 ,
即 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对 进行一定的变形得 ， ,然后就是比较 的大小关
系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问
题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩.
17．（多选）已知 （其中e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】首先构造函数 ，并利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较大小，其中注意
.
【详解】构造函数 ， ，
，得 ，当 ， ， 单调递增，
当 ， ， 单调递减，
，因为 ，所以 ，
即 ， .
故选：BC
18．（多选）若 为正实数，且 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据幂函数与对数函数单调性分别判断AB；构造函数 ，进而研究其单调性判断C；构造函数 ，进而研究其单调性判断D.
【详解】解：对于A选项，因为函数 在 上单调递减，故当 时， ，故A选项错
误；
对于B选项，由于函数 在 上单调递增，故当 时， ，故B选项正确；
对于C选项，令 ，则 ，
故当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 与 大小不定，故C选项错误；
对于D选项，令 ，则 在 上恒成立，故函数 在 上单调递增，
所以，当 时， ，即 ，故D选项正确.
故选：BD
19．（多选）已知函数 ，则函数 在下列区间上单调递增的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】由导函数大于0求出单调递增区间，得到答案.
【详解】因为 的定义域为R，
，
令 得： 或 ，
所以 在区间 ， 上单调递增．
故选：AC．20．（多选）若函数 ，则存在 （其中 ，且 ），使下列式子对任意的
恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】首先将 赋值，利用导数判断函数的单调性，根据单调性判断AB；
根据对称性判断CD.
【详解】 ，当 时， ，则 在 上单调递增，又 ，
∴ ，∴A正确；此时， ，则 ，
∴ ，∴B正确；
由 ，则
当 时C式子成立，∴C正确；
若任意 满足 ，则函数 关于点 对称，但是 的唯一对称中心为 ，
∴D错误，
故选：ABC
21．(多选)若函数 g(x)＝exf(x)(e＝2.718…，e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)
具有M性质．下列函数不具有M性质的为( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝x
【答案】ACD
【详解】对于A，f(x)＝，则g(x)＝，g′(x)＝，当x<1且x≠0时，g′(x)<0，当x>1时，g′(x)>0，
∴g(x)在(－∞，0)，(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
对于B，f(x)＝x2＋1，则g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋1)，
g′(x)＝ex(x2＋1)＋2xex＝ex(x＋1)2>0在实数集R上恒成立，
∴g(x)＝exf(x)在定义域R上是增函数；对于C，f(x)＝sin x，则g(x)＝exsin x，g′(x)＝ex(sin x＋cos x)＝exsin，显然g(x)不单调；
对于D，f(x)＝x，则g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex.当x<－1时，g′(x)<0，所以g(x)在R上先减后增；
∴具有M性质的函数的选项为B，不具有M性质的函数的选项为A，C，D.
22．(多选)若0<x<x<1，则( )
1 2
A．x＋ln x>x＋ln x B．x＋ln x<x＋ln x
1 2 2 1 1 2 2 1
C． > D． <
【答案】AC
【详解】令f(x)＝x－ln x，
∴f′(x)＝1－＝，
当0<x<1时，f′(x)<0，
∴f(x)在(0,1)上单调递减．
∵0<x<x<1，
1 2
∴f(x)<f(x)，
2 1
即x－ln x<x－ln x，
2 2 1 1
即x＋ln x>x＋ln x.
1 2 2 1
设g(x)＝，
则g′(x)＝＝.
当0<x<1时，g′(x)<0，
即g(x)在(0,1)上单调递减，
∵0<x<x<1，∴g(x)<g(x)，
1 2 2 1
即 < ，
∴ > ，故选AC.
23．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0
的解集是________________．
【答案】(－∞，－1)∪(0,1)
【详解】因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(x)为偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝0，
且f(x)在(－∞，0)上单调递减，
f(x)的草图如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
24．若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是，则实数m的值为______________，函数f(x)的单调递增区
间是________________．
【答案】－ ，(1，＋∞)
【详解】f′(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，
因为f(x)的单调递减区间是，
所以f′(x)＝0的两个根分别为x＝－，x＝1，
1 2
即解得m＝－.
由f′(x)＝ex
＝(x－1)(2x＋3)ex，
得f′(x)>0时，x<－或x>1.
25．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集
为__________________．
【答案】∪(2,3)
【详解】因为y＝f(x)在区间和区间(2,3)上单调递减，所以在区间和区间(2,3)上f′(x)<0.
26．已知函数 ， 则不等式 的解集是___________.
【答案】
【分析】由题可得函数为奇函数，利用导数可得的单调性进而即得.
【详解】因为 ，定义域为R，
故 为奇函数，又 ，
所以 为增函数，由 ，可得 ，
则 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为： .
27．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【分析】根据导数确定函数的单调性，即可得 ，解一元二次不等式即可.
【详解】因为 恒成立，所以函数 在 上单调递增，若
，则 ，解得 .
故答案为：
28．已知函数 ，则不等式 的解集为______________．
【答案】
【分析】先根据函数特点构造 ，得到其奇偶性和单调性，再对不等式
变形得到 ，根据单调性得到 ，解不等式求出答案.
【详解】令 ，定义域为R，
且 ，
所以 为奇函数，
变形为 ，
即 ，其 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 在R上单调递增，
所以 ，解得： ，
所以解集为 .
故答案为：
29．若函数 在 上严格减，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】求导得到 ，则 在 恒成立，得到答案.
【详解】由题意知 ，则 在 恒成立，即 ，故 .
故答案为：
30．若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】求出函数 的导数，结合导函数正负以及定义域即可得到结论．
【详解】 ，
又 在 上是减函数，
在 上恒成立，即 ，
即故答案为： .
31．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【分析】由 在 上恒成立分离常数 ，结合三角函数的值域求得正确答案.
【详解】因为 在 上单调递增，
则 恒成立，
即 恒成立，
由于 ，
所以 ，
即 的取值范围是 .
故答案为：
32．设函数 ，若函数 在 上是单调减函数，则k的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据已知条件得 恒成立，运用分离参数求最值即可.
【详解】解：∵ 定义域为 ， ， 在 上是单调减函数，
∴ 恒成立；
∴ ， ，
∵ ， ，
，当且仅当 时取等号.∴ ，
∴ ，即：k的取值范围是 ．
故答案为： .
33．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为____________.
【答案】
【分析】根据偶函数的定义判断函数 的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，利用函数性质化简不
等式求其解.
【详解】因为函数 的定义域为 ，
所以函数 的定义域关于原点对称，
又
所以 为偶函数,
当 时, ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
在 上是增函数,
由 得, ,
, 解得 或
所以实数 的取值范围为 .故答案为： .
34．若函数 在区间 上单调递减，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【分析】由题意得到 在 上恒成立，参变分离，只需 ，求出 ，
从而得到答案.
【详解】 ，
由题意得 在 上恒成立，
因为 ，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，只需 ，
其中 ，所以 .
故答案为：
35．若函数 在 上单调递增，则实数t的取值范围是__________.
【答案】
【分析】问题转化为 在 恒成立，分离参数后求最大值即可求解.
【详解】若函数 在 上单调递增,
只需 在 恒成立，
故 在 恒成立,
而 在 递减,所以 ，
故 ,即实数t的取值范围是 .
故答案为：
36．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是 ．
【答案】(1,2]
【详解】易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－.
又x>0，由f′(x)＝x－≤0，得0<x≤3.
因为函数f(x)在区间[a－1，a＋1]上单调递减，
所以解得1<a≤2.
37．若函数f(x)＝ln x＋ex－sin x，则不等式f(x－1)≤f(1)的解集为 ．
【答案】(1,2]
【详解】f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝＋ex－cos x.
∵x>0，∴ex>1，∴f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(x－1)≤f(1)，
∴0<x－1≤1，
即1<x≤2，
原不等式的解集为(1,2]．
38．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集
为__________________．
【答案】 ∪(2,3)
【详解】因为y＝f(x)在区间和区间(2,3)上单调递减，所以在区间和区间(2,3)上f′(x)<0.
39．已知函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2，则不等式f(ln x)＋f <2f(1)的解集为 ．
【答案】
【详解】f(x)＝xsin x＋cos x＋x2是偶函数，
所以f ＝f(－ln x)＝f(ln x)．
则原不等式可变形为f(ln x)<f(1) f(|ln x|)<f(1)．
⇔又f′(x)＝xcos x＋2x＝x(2＋cos x)，
由2＋cos x>0，得当x>0时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴|ln x|<1 －1<ln x<1 <x<e.
⇔ ⇔
40．函数 ．讨论函数 的单调性．
【答案】答案见解析
【分析】由题可得导函数，分 和 两种情况讨论即得.
【详解】函数 ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，此时 单调递减，
令 ，此时 单调递增；
综上可得：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上
单调递减.
41．已知函数 ，讨论 的单调性．
【答案】答案见解析
【分析】求出函数的导数，再就 ， ， 分类讨论后可得函数的单调性.
【详解】函数 定义域R，
求导得 ，
若 ，
当 时， ，当 或 时， ，即 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
若 ，恒有 .即 在 上单调递增；
若 ，
当 时， ；当 或 时， ，即 在 上单调递减，在 和
上单调递增，
所以当 时，函数 的递减区间是 ，递增区间是 和 ；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 的递减区间是 ，递增区间是 和 .
42．已知函数 ，求证：当 时， .
【答案】证明见解析
【分析】利用导数，求函数单调性，证明不等式.
【详解】证明：
，函数定义域为 ，
，当 时， ，
∴ 在 上是增函数.
于是当 时， ．
43．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调增区间．
(2)讨论函数 的单调性．
【答案】(1)函数 的单调递增区间有 和 ；(2)答案见解析.
【分析】（1）求出导函数，根据导函数与函数的单调性的关系求单调递增区间；
（2）求出导函数，通过对a的分类讨论，结合导数与函数单调性的关系求解.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
当 时， ，
所以 .
故当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增；
所以函数 的单调递增区间有 和 ；
（2）由 可得： .
①当 时， ， 在 上单调递增；
②当 时， 时， 时， 在 上单调递增；
时， 时， 在 上单调递减；
时， ， 在 上单调递增；.
③当 时， ，且仅在 时， ，
所以函数 在 上单调递增；
④当 时， 时， 时， 在 上单调递增；
时， 时， 在 上单调递减；时， ， 在 上单调递增；.
综上所述，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
44．设函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的值．
【答案】(1)答案见解析；(2)
【分析】（1）利用导数的性质分类讨论进行求解即可；
（2）根据（1）的结论，结合构造函数法进行求解即可.
【详解】（1） 的定义域为 ． ．
若 ，则 ， 在 上单调递增．
若 ，则当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
（2）由（1）知，若 ，则当 时， ，矛盾．
因此 ．由（1）知此时 ．
恒成立等价于 恒成立．
设 ，即 恒成立，则 ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，所以 ，
显然函数 在 处有唯一零点，且 ．
而 恒成立，所以 ，
所以 ．
45．已知函数 ， ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性．
【答案】(1) ；(2)答案见解析
【分析】（1）由导数几何意义可求得切线斜率 ，结合 可得切线方程；
（2）求导后，分别在 、 和 的情况下，根据 正负得到函数单调性.
【详解】（1）当 时， ，则 ， ，又 ，
在点 处的切线方程为： ，即 .
（2）由题意得： 定义域为 ， ；
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，若 ，则 ；若 ，则 ；
在 上单调递增，在 上单调递减；当 时，若 ，则 ；若 ，则 ；
在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
46．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求 在 上的最大值与最小值．
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
(2)最大值为1，最小值为 ．
【分析】（1）对参数 分类讨论，结合导数研究每一种情况下对应的单调性即可；
（2）根据（1）中所求函数的单调性，即可求得函数的最值.
【详解】（1）因为 ．
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，若 ， ；若 ， ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时，若 ， ；若 ， ．
所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减.
（2）当 时，由（1）知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上的最大值为 ．
因为 ， ，所以 在 上的最小值为 ．
综上所述： 的最大值为 ，最小值为 .
47．已知函数 ， ， ．
(1)若函数 在 上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若函数 存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由 在 上单调递减，得到 恒成立，用分离参数法求出实数a的
取值范围；
（2）由 在 上存在单调递减区间，得到 有解，用分离参数法求出实数a的取值范
围．
【详解】（1）因为 在 上单调递减，所以当 时， 恒成立，
即 恒成立，令 ，
则 ，而 ．
因为 ，所以 ．所以 （此时 ），所以 ．
当 时， ．因为 ，所以 ，即 在 上为减函数，
又 ，所以实数a的取值范围是 ．
（2）因为 ， ，所以 ．
因为 在 上存在单调递减区间，
所以当 时， 有解，即 有解．
设 ，所以只要 即可，而 ， ，
所以 ，此时 ，所以 ．
又 ，所以 或 ．
所以实数a的取值范围为 ．
48．已知函数 .
(1)若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)讨论函数 的单调性.
【答案】(1) ；(2)答案见解析
【分析】（1）将问题转化为 在 上恒成立，采用分离变量的方式，通过求解 在
的最大值得到 的范围；
（2）求导后，分别在 、 、 和 的情况下，根据 的正负确定 的单调性.
【详解】（1） 在 上单调递增， 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
当 时， ， ， ，
即实数 的取值范围为 .
（2）由题意得： ，则 ；
令 ，
①当 时， ， 在 上单调递增；
②当 时， ；
若 ，即 时， 恒成立， 恒成立，
在 上单调递增；
若 ，即 且 时，令 ，解得： ， ；
（i）若 ，则 ，则 在 上恒成立，
恒成立， 在 上单调递增；
（ii）若 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减；综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减.
49．已知函数 .
(1)若函数 单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若 恰有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由题意得 恒成立，即可求出结果；
（2）对 的取值范围进行讨论，研究 得单调性，根据 图像即可求出结果.
【详解】（1） ，
若函数 单调递增，可得 恒成立，
可化为 ，
由函数 的值域为 ，可得 ；
所以实数 的取值范围为 .
（2）①当 时， ，此时函数 单调递增，不可能有两个零点；
②当 时，令 ，可得 ，
可得函数 的减区间为 ，增区间为 ，
，
若函数 恰有两个零点，只需 ，可得 ，
令 ，有 ，
令 ，则 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
则 ，
可得函数 单调递增，
有 （当且仅当 时取等号），
可得当 时，不等式 成立.
故当 且 时，有 ，
可得 ，
又由 ，
可得此时函数 有且仅有两个零点.
由上知，若 恰有两个零点，实数 的取值范围为 .
50．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2·
在区间(t,3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围．
【详解】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，
当a>0时，f(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1，＋∞)；
当a<0时，f(x)的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0,1)；
当a＝0时，f(x)为常函数，无单调区间.(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，
∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝(x>0)．
∴g(x)＝x3＋x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，
即g′(x)在区间(t,3)上有变号零点．
由于g′(0)＝－2，∴
当g′(t)<0时，即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1,2]恒成立，
由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0，
即m<－5且m<－9，即m<－9，
又g′(3)>0，即m>－.
∴－<m<－9.
即实数m的取值范围是.
