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第 03 讲 导数与函数的极值、最值 (分层精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·河北保定·高二校联考阶段练习）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则 的
极小值点为（ ）
A． 和 B． C． D．
【答案】D
【详解】因为当 ， ，所以 单调递增；当 时， ，当
时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 的极小值点
为 .
故选：D.
2．（2023·高二校考课时练习）函数 的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】C
【详解】由题意可得 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 的最小值是 ．
故选:C.
3．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 处有极值，则（ ）
A． B．
C． D．a不存在【答案】B
【详解】解：因为函数 ，故
又函数 在 处有极值，故 ，
解得 .经检验满足题意
故选：B.
4．（2023春·天津武清·高二校考阶段练习）若函数 在区间 内既存在最大值也
存在最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 得 或 ，
可以判断 在 处取得极小值 ，在 处取得极大值 .
令 ，得 或 ，令 ，得 或 ，
由题意知函数 在开区间 内的最大、最小值只能在 和 处取得，
结合函数 的图象可得： ，解得 ，
故 的取值范围是 .
故选：A5．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的导函数为 ，则“ 在 上有两个零点”是“
在 上有两个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】只有当 在 上有两个变号零点时， 在 上才有两个极值点，故充分性不成立；
若 在 上有两个极值点，则 在 上有两个变号零点，则 在 上至少有两个零点，
故必要性不成立.综上，“ 在 上有两个零点”是“ 在 上有两个极值点”的既不充分也
不必要条件，
故选：D.
6．（2023·高二校考课时练习）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【详解】当 时，函数 取得最大值-2，
所以 ，即 ， ，定义域为 ，
又因为 在 处取得最大值，所以 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
则 ，所以 .
故选：A.
7．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）如图，可导函数y＝f(x)在点 处
的切线为l：y=g(x)，设 ，则下列说法正确的是（ ）
A． ， 是h(x)的极大值点
B． ， 是h(x)的极小值点C． ， 不是h(x)的极值点
D．
【答案】B
【详解】依题意，切线 ，即 ，
则 ，求导得： ，
显然 ，观察图象知，函数 的导函数 单调递增，即函数 单调递增，
则当 时，有 ，当 时，有 ，
所以 是 的极小值点，选项ACD错误，B正确.
故选：B
8．（2023·全国·高三专题练习）设直线 与函数 ， 的图象分别交于点M，N，则
当|MN|达到最小时t的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】设函数 ，求导数得
因为 ，故当 时， ，函数在 上为单调减函数，
当 时， ，函数在 上为单调增函数
所以x 为 的极小值点.故当|MN|达到最小时t的值为 ．
故选：B．
二、多选题
9．（2023·全国·高二专题练习）下列关于极值点的说法正确的是（ ）
A．若函数 既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值
B． 在任意给定区间 上必存在最小值
C． 的最大值就是该函数的极大值
D．定义在 上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点
【答案】BCD
【详解】A选项，例如 ，在 处取得极小值 ，在 处取得极大值 ，而
，故极大值不一定大于极小值，A错误，C选项， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
根据极值的定义可知： 在 处取得极大值，也是最大值，C正确；
对于D， 无极值点， 有无数个极值点，D正确；
在R上为连续函数，因为连续函数在闭区间上必定存在最值，所以B正确；
故选：BCD．
10．（2023春·云南曲靖·高二校考阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B． 有两个极值点
C． 的极小值为 D． 在 上的最大值为
【答案】ABD
【详解】因为 ，所以 ，
当 时， ；当 时， ，
故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
则 有两个极值点，B正确；
且当 时， 取得极小值，A正确；
且极小值为 ，C错误；
又 ， ，所以 在 上的最大值为 ，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
11．（2023·高二课时练习）函数 的极值点的个数是______个．
【答案】
【详解】因为 恒成立，
所以 在R上是单调递增函数，所以函数 不存在极值点．
故答案为：
12．（2023·高二校考课时练习）已知函数 的最小值为0，则实数a的值为__________．
【答案】1【详解】 的定义域为 ，
，
当 时， ， 在区间 上递增，没有最小值.
当 时， 在区间 递减；在区间 递增.
所以 在区间 上的最小值为 .
故答案为：
四、解答题
13．（2023春·山东菏泽·高二统考阶段练习）已知函数 且在 处取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)求函数 在 的最大值与最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） ，
依题意 ，解得 .
，
所以 在区间 上 递增；
在区间 上 递减.
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，符合题意.
（2） ，
，
由（1）知， 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
14．（2023秋·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期末）已知函数 在 处有极值2．
（1）求 ， 的值；
（2）求函数 在区间 上的最值．
【答案】（1） ， ；（2）最小值是-2，最大值是2．
【详解】解：（1） ，∵函数 在 处取得极值2，
∴ ， 解得 ，
，经验证在 处取极值2，故 ，
（2）由 ，令 ，解得
令 ，解得 或 ，
因此， 在 递减，在 递增， 的最小值是
而 ，故函数 的最大值是2．
15．（2023秋·湖南长沙·高二校考期末）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 上的最大值和最小值；
(2)若函数 在区间 内存在极小值，求实数 的取值范围.
【答案】(1)最大值为 ，最小值为
(2)
【详解】（1）当 时，则函数 ， ，
令 ，解得 或 ，
当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递增，
∴ 在 时取得极小值为 ，且 ，
故 在 上的最大值为 ，最小值为 .
（2）∵ ，则
①当 时， ，函数 单调递增，无极值，不合题意，舍去；
②当 时，令 ，得 或 ，
∴ 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
故函数 在 时取得极大值，在 时取得极小值，∴ ；
③当 时，令 ，得 或 ，
∴ 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故函数 在 时取得极大值，在 时取得极小值，
∴ ，解得 .
综上所述：实数 的取值范围是 .
B能力提升
1．（多选）（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）设 ，若 为函数
的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.依题意，
为函数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的.
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：由图可知 ， ，故 .
综上所述， 成立.
故选：BCD.
2．（多选）（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数 在 处
取得极值 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 一定有两个极值点 D． 的单调递增区间是
【答案】BC
【详解】 ，且 在 处取得极值 ，
，解得： 或 ；
当 ， 时， ，
则当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
是 的极小值点，满足题意；
当 ， 时， ，
在 上单调递增，不合题意；
综上所述： ， ；
对于AB， ，A错误，B正确；
对于C， 和 分别为 的极大值点和极小值点，C正确；
对于D，当 ， 时， ，
， ，
，即 不满足在 单调递增，
的单调递增区间应为 和 ，D错误.
故选：BC.
3．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）若函数 在处取得极大值10，则 的值为___________.
【答案】 ##
【详解】由题意可知： ,则有 ,解得 或 ．
检验：当 时， ， 时， ， 时， 或
，则 为极小值点，不符合题意；
当 时， 在 处取得极大值10，所以 .
故答案为：
4．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数 在区间 上有零点，则
的最小值为___________.
【答案】
【详解】设 为 在 上的一个零点，则 ，
所以 在直线 上，
又 为坐标原点，
易知 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 .
所以 的最小值为 .
故答案为： .C综合素养
1．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）若函数 有两个不同的极
值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 有两个不同的极值点，
所以 在 上有2个不同的零点，且零点两侧异号，
所以 在 有2个不同的实数根 ，且根据二次函数的性质可知这两根的两侧函数值
异号，
所以 ，解得 .
故选：C.
2．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）已知 ， 均为正实数，不等式 恒成立，则
的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】
又 ， 均为正实数，所以 在 单增
当 ， ，当 ，
∴ ， ，
当 时， ，当 时，
故当 时， 取最小值，
又 ，得 ，所以
∴
即： ，故选：C
3．（2023春·陕西榆林·高二校考阶段练习）设函数 ．
(1)若 时函数 有三个互不相同的零点，求 的取值范围；
(2)若函数 在 内没有极值点，求 的取值范围；
(3)若对任意的 ，不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) .
【详解】（1）当 时，
∵ 有三个互不相同的零点，
，即 有三个互不相同的实数根．
令 则 ,
∵在 和 上， ， 为减函数；
在 上， ， 为增函数，
且极小值 极大值
所以 的取值范围是 ;
（2）由题设可知，方程 在 上没有实数根，
因为对称轴 ，
则 ，解得 ，
即 的取值范围为 ；
（3） ，且 ，
∴当 或 时， ；当 时， ，
∴函数 的递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，当 时， 又 ，
，
而 ，
∴ ，
又 在 上恒成立，
，即 ，
即 在 上恒成立．
∵ 在 上单调递减，所以 的最小值为 ，
