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第02讲 导数与函数的单调性
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
f′(x)>0 f(x)在(a，b)上单调递增
函数y＝f(x)在区
f′(x)<0 f(x)在(a，b)上单调递减
间(a，b)上可导
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
2．利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出
函数
y＝f(x)在定义域内的单调性．
3．函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)
越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)一．函数图象与导函数图象的关系
例1．（1）设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
（2）已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )
（3）已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给的四个图象中，y＝f(x)的图
象大致是( )
（4）已知 上可导函数 的图像如图所示，则不等式 的解集为（ ）A． B．
C． D．
（5）已知定义在 上的奇函数 的导函数是 ，当 时， 的图象如图所示，则
关于x的不等式 的解集为______.
【复习指导】：(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝
f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是
常数函数，不具有单调性．
(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．
一．不含参的函数的单调性
例2．（1）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
（2）函数 的单调递增区间（ ）A． B． C． D．
（3）函数 的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
（4）若函数 ，则 的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
（5）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
（6）已知函数 ， ，则 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【复习指导】：确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调的步骤即可，但应注意一是不能遗忘求函
数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
二．含参的函数的单调性
例3．（1）求函数 的单调区间．（2）已知函数 ，其中 ．讨论 的单调性．
（3）已知函数 . 讨论 的单调性．
（4）已知函数 ．讨论 的单调性．
（5）已知函数 ．求函数 的单调区间．
（6）求函数 的单调区间.
【复习指导】：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
三．函数单调性的应用
命题点1 比较大小或解不等式
例4．（1）已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为( )
A．f >f(1)>f B．f(1)>f >f
C．f >f(1)>f D．f >f >f(1)（2）已知实数 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
（3）已知 ， ， ，其中a，b， ，则（ ）
A．c<b<a B．c<a<b C．a<b<c D．a<c<b
（4）若 为奇函数，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
（5）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
（6）已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)>1的解集为 ．
命题点2 根据函数的单调性求参数的值(范围)
例5．（1）若函数 有三个单调区间，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
（2）若函数 在R上是增函数，则实数a的取值范围为（ ）A． B． C． D．
（3）若函数 在 上单调递增，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（4）已知函数 在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（5）设函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（6）已知函数 ,当 时,不等式 恒成立,则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
（7）已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上存在单调递减区间，求a的取值范围．【复习指导】：(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即 f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数
性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
(2)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
1．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝sin 2x B．g(x)＝x3－x
C．h(x)＝xex D．m(x)＝－x＋ln x
3．已知函数f(x)满足 ，则f(x)的单调递减区间为（ ）
A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞)
4．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．6．设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
8．函数 的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
9．已知 是定义在R上的偶函数，当 时， ，则不等式 的解集是（
）
A． B．
C． D．
10．设 ， ，若 ，则下列选项正确的是（ ）A． B． C． D．
11．已知函数 ，对于实数a，使 成立的一个必要不充分条件
是（ ）
A． B．
C． D． 或
12．已知函数 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．函数 ，则满足不等式 的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．函数 在区间 上单调递减，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数f(x)＝sin x＋cos x－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln 2)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>a>c D．c>b>a16．已知 ，若 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
17．（多选）已知 （其中e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
18．（多选）若 为正实数，且 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
19．（多选）已知函数 ，则函数 在下列区间上单调递增的有（ ）
A． B． C． D．
20．（多选）若函数 ，则存在 （其中 ，且 ），使下列式子对任意的
恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
21．(多选)若函数 g(x)＝exf(x)(e＝2.718…，e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)
具有M性质．下列函数不具有M性质的为( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝sin x D．f(x)＝x
22．(多选)若0<x<x<1，则( )
1 2
A．x＋ln x>x＋ln x B．x＋ln x<x＋ln x
1 2 2 1 1 2 2 1
C． > D． <
23．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0
的解集是________________．
24．若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的单调递减区间是，则实数m的值为______________，函数f(x)的单调递增区
间是________________．
25．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集
为__________________．
26．已知函数 ， 则不等式 的解集是___________.
27．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为__________.
28．已知函数 ，则不等式 的解集为______________．29．若函数 在 上严格减，则a的取值范围是________．
30．若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围为___________.
31．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是________．
32．设函数 ，若函数 在 上是单调减函数，则k的取值范围是______．
33．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为____________.
34．若函数 在区间 上单调递减，则实数m的取值范围为______．
35．若函数 在 上单调递增，则实数t的取值范围是__________.
36．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是 ．
37．若函数f(x)＝ln x＋ex－sin x，则不等式f(x－1)≤f(1)的解集为 ．38．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集
为__________________．
39．已知函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2，则不等式f(ln x)＋f <2f(1)的解集为 ．
40．函数 ．讨论函数 的单调性．
41．已知函数 ，讨论 的单调性．
42．已知函数 ，求证：当 时， .
43．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调增区间．
(2)讨论函数 的单调性．44．设函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的值．
45．已知函数 ， ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性．
46．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求 在 上的最大值与最小值．
47．已知函数 ， ， ．(1)若函数 在 上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若函数 存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
48．已知函数 .
(1)若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)讨论函数 的单调性.
49．已知函数 .
(1)若函数 单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若 恰有两个零点，求实数 的取值范围.
50．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，
函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t,3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围．
