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第七章《立体几何与空间向量》
第01讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
互相平行且相
母线 相交于一点 延长线交于一点
等，垂直于底面
轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
2．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′
轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于 x轴和z轴的线段在直观图中保
持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S ＝2πrl S ＝πrl S ＝π(r＋r)l
圆柱侧 圆锥侧 圆台侧 1 2
4．柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
表面积 体积
几何体
柱体(棱柱和柱) S ＝S ＋2S V＝Sh
表面积 侧 底
锥体(棱锥和圆锥) S ＝S ＋S V＝Sh
表面积 侧 底
S ＝S ＋S ＋S
表面积 侧 上
台体(棱台和圆台) V＝(S ＋S ＋)h
上 下
下
球 S＝4πR2 V＝πR3
一．基本立体图形
命题点1 结构特征
例1．（1）下列说法正确的有（ ）
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
②以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④圆锥的轴截面是等腰三角形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】对于①：利用棱台的定义进行判断；
对于②：以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥.即可判断；
对于③：举反例：底面的菱形，各侧面都是正方形的四棱柱不是正方体. 即可判断；
对于④：利用圆锥的性质直接判断.
【详解】对于①：棱台是棱锥过侧棱上一点作底面的平行平面分割而得到的.而两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体中，把梯形的腰延长后，有可能不交于一点，就不是棱台.故①错误；
对于②：以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥.故②错误；
对于③：各侧面都是正方形的四棱柱中，如果底面的菱形，一定不是正方体.故③错误；
对于④：圆锥的轴截面是等腰三角形.是正确的.故④正确.
故选：A
（2）下列说法中正确的个数为（ ）
①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；
②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；
③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正棱锥定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于①，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，①错误；
对于②，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，②错误；
对于③，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，③错误；
对于④，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面射影为底面中心，满足正棱锥定
义，④正确.
故选：D.
（3）以下结论中错误的是（ ）
A．经过不共面的四点的球有且仅有一个 B．平行六面体的每个面都是平行四边形
C．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直
【答案】D
【分析】由空间几何体的概念对选项逐一判断
【详解】对于A，经过不共面的四点的球，即为该四面体的外接球，有且仅有一个，故A正确，
对于B，平行六面体的每个面都是平行四边形，故B正确，
对于C，正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直，故C正确，
对于D，棱台的每条侧棱延长线交于一点，侧棱中有可能与底面垂直，故D错误，
故选：D
（4）下列说法正确的是（ ）
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形B．以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥
C．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
D．空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球
【答案】A
【分析】对于A，根据棱柱的定义可判断；对于B，以直角三角形的斜边为旋转轴；对于C，用垂直于底面
的平面去截圆锥；对于D，由球的定义可判断.
【详解】解：对于A，根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边
形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，得棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，
故A正确；
对于B，以直角三角形的斜边为旋转轴，旋转所得的旋转体不是圆锥，故B不正确；
对于C，用垂直于底面的平面去截圆锥，得到的是不是一个圆锥和一个圆台，故C不正确；
对于D，空间中，到一个定点的距离等于定长的点的集合是球面，而不是球体，故D不正确，
故选：A．
命题点2 直观图
例2．（1）如图所示，一个水平放置的平面图形 的斜二测直观图是平行四边形 ，且
，则平面图形 的周长为（ ）
A．12 B． C．5 D．10
【答案】D
【分析】根据斜二测画法得到平面图形，即可得解；
【详解】根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如下图所示，且长 ，宽 .故该平面图形的周长为 .
故选：D
（2）如图，△ 是水平放置的△ABC的直观图，其中 2， ， 分别与 轴， 轴
平行，则BC=（ ）
A．2 B．2 C．4 D．
【答案】D
【分析】根据斜二测画图法有 ， ，余弦定理求得 ，再由 求
即可.
【详解】由斜二测画图法知： ， ，
而 ，则 ，
所以 或 （舍），
由题设，原图中 ，故 .
故选：D
（3）已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据斜二测画法的知识确定正确答案.
【详解】正三角形的高为 ，
根据斜二测画法的知识可知，
直观图的面积为 .
故选：B
（4）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边 与 平行于 轴.已知四边形
的面积为 ，则原平面图形的面积为__________ .
【答案】
【分析】作出原图形，根据原图形与直观面积之间的关系求解．
【详解】根据题意得 ，原四边形为一个直角梯形，
且 ， ， ，
，
则 ，所以， .
故答案为： .
命题点3 展开图
例3．（1）已知某圆台的高为1，上底面半径为1，下底面半径为2，则侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意求得展开图为圆环的一部分，求出小圆和大圆半径即可求出答案．
【详解】由题意知圆台母线长为 ，且上底面圆周为 ，下底面圆周为 ，
圆台侧面展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为 ，
则圆环所在的大圆半径为 ，
所以侧面展开图的面积 ，
故选： ．
（2）如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，
则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（ ）．
A． B． C．3 D．2
【答案】B【分析】画出圆柱的侧面展开图，解三角形即得解.
【详解】解：圆柱的侧面展开图如图所示，由题得 ,
所以 .
所以在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为 .
故选：B
（3）如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为 的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的
下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为 ，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出圆锥的母线 ，进而根据圆锥、圆台的轴截面，即可得出答案.
【详解】假设圆锥半径 ，母线为 ，则 .设圆台上底面为 ，母线为 ，则 .
由已知可得， ，所以 .
如图，作出圆锥、圆台的轴截面则有 ，所以 .
所以圆台的侧面积为 .
故选：C.
（4）若圆锥的底面半径为3，体积为 ，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆锥底面半径和体积可计算出圆锥的母线，再根据侧面展开图的特征利用弧长公式即可得出
圆心角.
【详解】设圆锥的高为 ，母线为 ；
将半径 代入体积公式 可得， ；
则母线长 ，
设此圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，
则其侧面展开图的半径为 ，弧长为圆锥底面周长 ，
所以圆心角 .
故选：D
（5）如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为 的正 ，粮堆母线 的中点P处有一老鼠正在
偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是
__________m．
【答案】
【分析】结合圆锥的侧面展开图，根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得到 ，利用勾股定理，即可求解.
【详解】如图所示，根据题意可得 为边长为 的正三角形，
所以 ，
所以圆锥底面周长 ，
根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，可得 ，
故 ，则 ，
所以 ，
所以小猫所经过的最短路程是 ．
故答案为：
（6）如图，已知正三棱柱 的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A点沿表面经过棱 、
爬到点 ，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱 爬到点 ．设 ， ，若两只蚂蚁各自爬过的
路程最短，则 ______
【答案】【分析】根据三棱柱的侧面展开图确定两只蚂蚁各自爬过的路程最短，当取等号时求 即可.
【详解】如图所示，
将三棱柱沿着侧棱 展开，又因为正三棱柱 的底面边长与侧棱长相等，则 同理
所以 ，
又因为 ，所以
所以 .
故答案为： .
（7）在正三棱锥 中， ， ，一只蚂蚁从点 出发沿三
棱锥的表面爬行一周后又回到 点，则蚂蚁爬过的最短路程为___________．
【答案】
【分析】沿棱 将正三棱锥展开，做出展开图，由题中条件，结合展开图，即可得出结果.
【详解】将正三棱锥 沿棱 展开，得到如下图形，
由展开图可得，沿 爬行时，路程最短；
因为 ， ，
所以 ，
因此 .
故答案为： .
二．表面积与体积
命题点1 表面积
例4．（1）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.
如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径 ，圆柱体部分的高 ，圆锥体
部分的高 ，则这个陀螺的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知求出圆锥的母线长，从而可求出圆锥的侧面积，再求出圆柱的侧面积和底面面积，进而
可求出陀螺的表面积
【详解】由题意可得圆锥体的母线长为 ，
所以圆锥体的侧面积为 ，
圆柱体的侧面积为 ，圆柱的底面面积为 ，
所以此陀螺的表面积为 （ ），故选：C
（2）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（ ）．
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】先求出底面圆周长，再计算圆锥侧面积即可.
【详解】
如图，由题意知 为等腰直角三角形，则 ，底面圆周长为 ，
故圆锥的侧面积为 .
故选：D.
（3）如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知
，则该青铜器的表面积为（ ）（假设上、下底面圆是封闭的）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据圆柱和圆台的侧面积公式分别求解侧面积，再加上底面积，即可得该青铜器的表面积
【详解】解：因为 ，，
所以该青铜器的表面积 .
故选：A.
（4）如图，某学具可看成将一个底面半径与高都为 的圆柱挖去一个圆雉（此圆锥的顶点是圆柱的下
底面圆心、底面是圆柱的上底面）所得到的几何体，则该学具的表面积为_________ ．
【答案】
【分析】直接利用圆锥、圆柱的侧面积公式即可求出学具的侧面积，再加上圆柱的一个底面积即可求出学
具的表面积.
【详解】因为圆柱的底面半径与高都为 ，所以挖去的圆雉的母线长为 ，半径为
10，
则圆锥的侧面积为 ，
又圆柱的侧面积为 ，圆柱的一个底面积为 ,
所以学具的表面积为 .
故答案为：
命题点2 体积
例5．（1）某药厂制造一种药物胶囊，如图所示，胶囊的两端为半球形，半径 ，中间可视为圆柱，
若该种胶囊的表面积为 ，则该种胶囊的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设圆柱高为 ，左、右两端半球形半径为 ，其表面积为S，胶囊的体积为 ，由圆柱侧面积和
球的表面积公式列出等式，用 表示出 ，然后由圆柱与球体积公式求得 并代入已知可得．
【详解】设圆柱高为 ，左、右两端半球形半径为 ，其表面积为S，胶囊的体积为 ，依题意，
，故 ，将 代入可得
，
故选：A
（2）已知直角三角形ABC， ， ， ，现将该三角形沿斜边AB旋转一周，则旋转形
成的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意作出旋转体由两个圆锥构成，利用等面积法求出底面圆的半径，即可根据圆锥的体积公式
求出旋转体的体积.
【详解】解：将直角三角形ABC沿斜边AB旋转一周，旋转形成的几何体的如图所示，
，，
，
故选：C.
（3）已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 互相垂直， 与圆锥底面所成角为 ，若 的面积为 ，
则该圆锥的体积为__________．
【答案】8π
【详解】分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线 ，高 ，底面圆半径 的长，代入公式
计算即可.
详解：如下图所示，
又 ，
解得 ，所以 ，
所以该圆锥的体积为 .
点睛：此题为填空题的压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解
相应线段长，代入圆锥体积公式即可.
三．与球有关的切、接问题
命题点1 简单几何体的外接球例6．（1）已知三棱锥 的底面 是边长为1的正三角形，侧棱 两两垂直，若此三棱
锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题知三棱锥 的外接球即为侧棱 为邻边的正方体的外接球，再求正方体的体
对角线即可得半径计算表面积.
【详解】解：由题知三棱锥 的外接球即为侧棱 为邻边的正方体的外接球，
因为三棱锥 的底面 是边长为1的正三角形，
所以 ，
以 为邻边的正方体的体对角线长为 ，
所以，其外接球的直径 ，表面积为 .
故选：D
（2）若棱长均相等的正三棱柱的体积为 ，且该三棱柱的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正三棱柱的几何性质可知其外接球的球心在正三棱柱的中截面上，即可根据勾股定理进行求
解.
【详解】设该正三棱柱棱长为 ，底面三角形的外接圆半径为 ，则 ，则底面
三角形的外接圆的半径为 .设三棱柱的外接球 半径为 ，则 .
故选：D
（3）将长、宽分别为4和2的长方形 沿对角线 折成直二面角，得到四面体 ，则四面体
的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得到外接球半径，然后利用球的表面积公式求表面积即可.
【详解】根据题意可得，四面体 外接球的球心在 中点处，半径为 ，所以
外接球的表面积为 .
故选：A.
（4）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的
体积为________．
【答案】61π
【详解】截面图如图所示，下底面半径为5，圆周直径为10.
则圆台的下底面位于圆周的直径上，OC＝OB＝5，O′C＝4，∠OO′C＝，
则圆台的高为3，V＝h(S＋＋S)＝25π＋16π＋20π＝61π.
1 2
命题点2 简单几何体的内切球
例7．（1）已知圆锥的底面半径为2，高为 ，则该圆锥内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据圆锥与内切球的轴截面图，列出等量关系，即可求解.
【详解】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点 为球心，内切球的半径为 ， 为切点，设
，
即 ，
由条件可知， ，
在 中， ，即 ，解得： ，
所以圆锥内切球的体积 .
故选：D
（2）下图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2cm､底面边长为1cm的正三棱锥，后段
是高为0.6cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出内切圆半径为r，再分别利用三棱锥体积与圆柱体积公式即可求出总体积.
【详解】因为正三棱锥的底面边长为1，设其内切圆半径为r，由等面积法，可得：
，解得： ，所以其内切圆半径为 .由三棱锥体积与圆柱体积公式可得： .
故选：D.
（3）如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD－ABC D 的内切球，则平面ACD 截球O的截面面积为(
1 1 1 1 1
)
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】平面ACD截球O的截面为△ACD 的内切圆，
1
∵正方体棱长为1，
∴AC＝CD＝AD＝.
1 1
∴内切圆半径r＝tan 30°·AE＝×＝.
∴S＝πr2＝π×＝，故选C.
（4）如图，已知圆柱的底面直径和高都等于球 的直径，圆柱的表面积为 ，则球 的体积为______．
【答案】
【分析】设球的半径为r,根据圆柱的表面积可求得r，利用球的体积公式即可求得答案.
【详解】设球的半径为r，则圆柱的底面直径和高皆为 ，
故圆柱的表面积为 ，
故球的体积为 ，
故答案为：1．给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;
④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据圆柱母线的定义可判断命题①的正误；根据棱锥的定义可判断②的正误；根据圆锥的形成可
判断命题③的正误；根据棱台的定义可判断命题④的正误.
【详解】①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;
②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图(1)所
示;
③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图(2)所示,它
是由两个同底圆锥组成的几何体;
④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.
故选：A
2．下列说法错误的是（ ）
A．球体是旋转体 B．圆柱的母线垂直于其底面
C．斜棱柱的侧面中没有矩形 D．用正棱锥截得的棱台叫做正棱台【答案】C
【分析】利用空间几何体的结构特征可得.
【详解】由旋转体的概念可知，球体是旋转体，故A正确；
圆柱的母线平行于圆柱的轴，垂直于其底面，故B正确；
斜棱柱的侧面中可能有矩形，故C错误；
用正棱锥截得的棱台叫做正棱台，故D正确.
故选：C.
3．如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形 ，则原四
边形 的面积是（ ）
A． B． C．16 D．8
【答案】B
【分析】根据斜二测画法规则求出 ，判断 的形状，确定 ，由此求出原四边形
的面积.
【详解】在正方形 中可得 ，
由斜二测画法可知 ， ，
且 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ．
故选：B.
4．用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】D
【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积.【详解】根据斜二测画法的原则可知 ，
所以对应直观图的面积为 .
故选：D.
5．如图正方形OABC边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少cm？
（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】根据直观图与原图形的关系可知原图为平行四边形，且 ，利用勾股定理计算出其边长
即可求得结果.
【详解】根据直观图可画出原图形如下图所示：
根据斜二测画法可知，原图四边形 为平行四边形，且
易知 ， ，所以 ，
因此 的周长为 .
故选：B
6．如图，在三棱锥 中， ， ，过点 作截面 ，则
周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】沿着侧棱 把正三棱锥 展开在一个平面内，利用平面上两点间的线段距离最短，通过解
三角形求解即可．
【详解】如图．沿着侧棱 把正三棱锥 展开在一个平面内，如下图所示：
则 即为 的周长的最小值，又因为 ，
所以 ，在 中， ，由勾股定理得：
．
故选：C．
7．用一张长为 ，宽为 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（ ）
A． B． C． 或 D． 或【答案】C
【分析】分别讨论矩形的长与宽为圆柱的底面周长的两种情况，可得结果.
【详解】设圆柱底面圆的半径为 ，则
当矩形的长为圆柱的底面周长，有 ，得 ；
当矩形的宽为圆柱的底面周长，有 ，得 ；
综上： 或 .
故选：C.
8．两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为 ，则它们的体
积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设圆锥母线长为 ，小圆锥半径为 、高为 ，大圆锥半径为 ，高为 ，根据侧面积之比可得
，再由圆锥侧面展开扇形圆心角的公式得到 ，利用勾股定理得到 关于 的表达式，从而将
两个圆锥的体积都表示成 的表达式，求出它们的比值即可.
【详解】设圆锥母线长为 ，侧面积较小的圆锥半径为 ，
侧面积较大的圆锥半径为 ，它们的高分别为 、 ，
则 ，得 ，
因为两圆锥的侧面展开图恰好拼成一个圆，
所以 ，得 ，
再由勾股定理，得 ，
同理可得 ，
所以两个圆锥的体积之比为：
.
故选：A.9．已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为 ，
则圆台的高为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】首先画出几何体，根据几何关系，求解圆台的高.
【详解】如图，将圆台还原为圆锥，
上底面圆的半径为 ，下底面圆的半径为 ，底面圆周长为 ，
因为圆台的母线长为4，根据上下底面圆的半径为为1：3，所以上圆锥的母线长为2，
则圆台所在圆锥的母线长为6，
因为圆台展开图所在扇形的圆心角为 ，所以 ，得 ，
如图，圆台的高
故选：B
10．已知一个圆锥的体积为 ，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式，即可求出结果.
【详解】设底面半径为 ，高为 ，母线为 ，如图所示：则圆锥的体积 ，所以 ，即 ，
，则 ，
又 ，所以 ，故 ．
故选：C．
11．已知圆柱的上、下底面的中心分别为 ， ，过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的
正方形，则该圆柱的表面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，
从而利用相关公式求得圆柱的表面积.
详解：根据题意，可得截面是边长为 的正方形，
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是 的圆，且高为 ，
所以其表面积为 ，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关
量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积
的和.
12．在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块.如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有
一定量的水.若在高脚杯内放入一个球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积与球的体积之比是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，设球的半径为 ，根据勾股定理求得 ，结合圆锥和球的体积公式计算即可求解.
【详解】如图，圆 与AB切于点D，设球的半径为 ，
则 ，且 ，
有 ，即 ，得 ，
所以水的体积 ，
所以水的体积与球的体积之比是 .
故选：D.
13．如图l，在高为h的直三棱柱容器 中， ， ，现往该容器内灌进一些
水，水深为 ，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好
为 （如图2），则 =（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意结合体积公式分析运算即可.
【详解】设柱体的底面积为 ，则柱体的体积 ，注入水的体积为 ，
容器倾斜后，上半部分三棱锥的体积 ，
则可得 ，整理得 .
故选：A.
14．已知圆锥SO，其侧面展开图是半圆，过SO上一点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆
柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上，且圆柱PO的侧面积与圆锥SO的侧面积的比为 ，则圆柱PO
的体积与圆锥SO的体积的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，用圆锥的底面圆半径 表示其母线 ，再用 表示圆柱的底面圆半径 及母线 ，
结合圆柱、圆锥体积公式求解作答.
【详解】设圆锥 的底面圆半径为 ，母线为 ，依题意， ，即有 ，高 ，
如图，设圆柱的底面圆半径为 ，母线为 ，则有 ，由 得： ，
又 ，即 ，于是 ，
所以圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比为 .
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，利用轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键.
15．如图，四边形ABCD为正方形， 平面ABCD， ， ，则三棱锥 的
体积为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据线线垂直可得 平面 ，进而根据等体积法即可求解.【详解】
连接 交 于 ,连接 ， ，
， ， ，
易得 ，则有 ，
由四边形 为正方形，则 ，又 平面 ， 平面 ， 则有 ，
平面 ， 则有 平面 ，
平面 ,所以 ，
平面 ,
故有 平面 ，
，
则有三棱锥 的体积 ，
故选：C
16．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭
的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥
的高与底面边长的比为 ，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出相关棱长，利用面积公式求出正六棱锥与正六棱柱的侧面积，然后可得答案.
【详解】设正六边形的边长为 ，由题意正六棱柱的高为 ，
因为正六棱锥的高与底面边长的比为 ，所以正六棱锥的高为 ，正六棱锥的母线长为 ，
正六棱锥的侧面积 ；
正六棱柱的侧面积 ，
所以 .
故选：B.
17．若圆锥高的平方等于其底面圆的半径与母线的乘积，则称此圆锥为“黄金圆锥”.现有一个黄金圆锥，
则该黄金圆锥侧面积与表面积的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意以及勾股定理可得 ，进而根据圆锥的侧面积以及表面积公式即可求解.
【详解】设该黄金圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，高为h，则 .因为 ，所以，所以 .因为该圆锥的侧面积 ，表面积 ，所以
，则 .
故选：A
18．如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的体积为 ，则该半球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设半球的半径为 ，连接 交于点 ，连接 ，利用四棱锥的体积公式求出半径 ，再代
入球的体积公式即可求解.
【详解】依题意，设半球的半径为 ，
连接 交于点 ，连接 ，如图所示：
则有 ，易得 ，
所以正四棱锥 的体积为：
，解得： ，
所以半球的体积为： .
故选：C.
19．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，
将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马， ，
， ， ．则该阳马的外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题目条件有 ，则阳马的外接球与以 为长宽高的
长方体的外接球相同.
【详解】因 ， 平面ABCD， 平面ABCD，
则 ，又因四边形ABCD为矩形，则 .
则阳马的外接球与以 为长宽高的长方体的外接球相同.
又 ， ， ．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：
，
则外接球的表面积为：
故选：B20．如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体,设圆锥部分的高为 米,圆柱部分的高为 米,底面
圆的半径为 米,则该组合体体积为( )
A． 立方米 B． 立方米 C． 立方米 D． 立方米
【答案】C
【分析】由题知底面圆的半径 ，圆柱高 ，圆锥高 ，代入圆柱，圆锥体积公式计算，再相加
即可.
【详解】由题知底面圆的半径 ，圆柱高 ，圆锥高 .
圆柱的体积 .
圆锥的体积 .
所以该组合体体积 （立方米）.
故选：C
21．萧县皇藏峪国家森林公园位于萧县城区东南30公里，是中国历史文化遗产､中国最大古树群落､国家
AAAA级旅游景区､国家森林公园.皇藏峪有“天然氧吧”之称.皇藏峪，原名黄桑峪.汉高祖刘邦称帝前，曾
因避秦兵追捕而藏身于此，故改名皇藏峪.景区内古树繁多，曲径通幽，庭院错落有致.一庭院顶部可以看
成一个正四棱锥，其底面四边形的对角线长是侧棱长的 倍，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之
比为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件和正四棱锥的定义，以及面积公式即可求解.
【详解】如图所示，
将庭院顶部可以看成一个正四棱锥 ,
是正四棱锥 的高，
设底面边长为 ，则底面四边形的对角线长为 ，侧棱长为 ，
则底面面积为 ，侧面 是正三角形，其面积 ，
.
故选：B.
22．已知圆台的上､下底面圆的半径之比为 ，侧面积为 ，在圆台的内部有一球 ，该球与圆台的上､下
底面及母线均相切，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由圆台的侧面积公式及球的表面积公式计算即可.
【详解】设圆台的上底面圆半径为 ，则底面圆半径为 ，母线长为 ，
如图所示，作出圆台与球的轴截面.由于球 与圆台的上下底面及母线均相切，故
.
根据圆台的侧面积公式 ，可得 ，所以球的直径为 ，故半径为 ，表面积为：
故选：C
23．已知球 与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球 ，则球 与球 的表面积之比为
（ ）
A．2：3 B．3：2 C． D．
【答案】A
【分析】设正方体棱长为 ，分别求出与正方体的各条棱相切的球的半径以及正方体外接球的半径，再求
其表面积之比.
【详解】设正方体棱长为 ，
因为球 与正方体的各条棱相切，所以球 的直径大小为正方体的面对角线长度，
即半径 ；
正方体内接于球 ，则球 的直径大小为正方体的体对角线长度，即半径 ；
所以球 与球 的表面积之比为 .
故选：A.
24．如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形
ABFE和四边形DCFE是两个全等的等腰梯形， ， 和 是两个全等的正三角形.已知
该多面体的棱BF与平面ABCD所成的角为45°， ， ，则该屋顶的表面积为（ ）A．100 B． C．200 D．
【答案】D
【分析】过点F作 平面ABCD，O为垂足，作 于点N，连接OB，ON，通过线面垂直的性质
定理可得 ，通过几何关系可算出 ，即可得到答案
【详解】如图，过点F作 平面ABCD，O为垂足，作 于点N，连接OB，ON，
则 ，
因为 平面ABCD， 平面ABCD，
所以 ，
易知 ，∴ .
在直角三角形FON中，易知 ，∴ ，
∴在直角三角形FBN中， ，
∴ ，∴ ， ，∴该屋顶的表面
积为 ，
故选：D.
25．如图是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成.其中，圆锥的底面和球
的直径都是0.6m，圆锥的高是0.4m.要对这个台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶200克，则共需
胶（ ）克.A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出圆锥的侧面积和半球面的表面积后，然后乘以200即可．
【详解】由题意圆锥的母线长为 ，
所以台灯表面积为 ，
需胶重量为 （克）．
故选：B．
26．某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为
这个时段的降雨量（单位： ）．24h降雨量的等级划分如下：
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过
程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【答案】B
【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.
【详解】由题意，一个半径为 的圆面内的降雨充满一个底面半径为 ，高为 的圆锥，
所以积水厚度 ，属于中雨.
故选：B.
27．如图，一个底面边长为 cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁
制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则
该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由水上升的体积得圆锥体积，然后求得圆锥的高、母线得侧面积．
【详解】依题意可得圆锥的体积 ，
又 （其中h为圆锥的高），则 cm，
则圆锥的母线长为 cm，故圆锥的侧面积为 ．
故选：A．
28．已知某圆台的高为 ，上底面半径为 ，下底面半径为 ，则其侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】可得展开图为圆环的一部分，求出小圆和大圆半径即可求出.
【详解】易知母线长为 ，且上底面圆周为 ，下底面圆周为 ，易知展开
图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为3，则大圆半径为6，
所以面积 .
故选：C.
29．(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委
米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥
的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米
的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有
A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
【答案】B
【详解】试题分析：设圆锥底面半径为r，则 ，所以 ，所以米堆的体积为
= ，故堆放的米约为 ÷1.62≈22，故选B.
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式
30．（多选）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的高是 B．圆锥的母线长是4C．圆锥的表面积是 D．圆锥的体积是
【答案】BD
【分析】根据圆锥侧面展开图可求得圆锥母线和高，进而得到其体积和表面积，即可判断出正确选项.
【详解】设圆锥母线为 ，高为 ，
侧面展开图的弧长与底面圆周长 相等，由弧长公式得 ，即 ；
所以圆锥的母线长是4，即B正确；
高为 ，所以选项A错误；
圆锥的表面积是 ，故C错误；
圆锥的体积是 ，即D正确.
故选：BD
31．（多选）已知某圆锥的母线长为1，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（
）
A．圆锥的体积为
B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为 的扇形
D．圆锥的内切球表面积为
【答案】ABC
【分析】根据勾股定理求出圆锥的底面半径，再由圆锥的体积公式以及表面积公式可判断A、B；根据圆锥
侧面展开图与圆锥的数量关系，可得扇形的半径以及弧长，即可求得圆心角，即可判断C项；根据圆锥的
轴截面，可知圆锥内切球的半径 即等于 内切圆的半径.根据等面积法即可求得外切圆的半径（即外
切球的半径），代入球的表面积公式可判断D.【详解】
如图1为圆锥的轴截面，圆锥母线 ，且 .则 ，
所以底面半径 ，圆锥的高 .
对于A项，圆锥的体积 ，故A正确；
对于B项，圆锥的表面积 ，故B正确；
对于C项，圆锥的侧面展开图的半径 ，弧长为 ，则圆心角 ，
故C正确；
对于D项，如图2，作出圆锥及其内切球的轴截面，设圆锥的内切球半径为 ，
易知，圆锥内切球的半径 即等于 内切圆的半径.
，
又
，所以 ，所以 .
圆锥的内切球表面积 ，故D错误.
故选：ABC.
32．（多选）如图，圆台OO 中，母线AB与下底面所成的角为60°，BC为上底面直径，OA=6OB=6，则
2 2 2 1
（ ）
A．圆台的母线长为10
B．圆台的侧面积为
C．由点A出发沿侧面到达点C的最短距离是
D．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是4
【答案】ABD
【分析】对A，根据轴截面分析即可；
对B，根据圆台的侧面积公式求解即可；
对C，将圆台侧面展开，再计算 即可；
对D，计算圆台内能放下的最大球的直径，再根据该球为此正方体外接球求解即可
【详解】对A，母线长为 ，故A正确；对B，由A母线长为10，则根据圆台的侧面积公式 ，故B正确；
对C，由题意，侧面全展开的圆心角为 ，因为此时 ，但线段 有小部分不
在扇环上，故由点A出发沿侧面到达点C的最短距离大于 ，故C错误；
对D，由题意，该圆台的轴截面可补全为一个边长为12的正三角形，故圆台中能放下的最大球的半径为
，直径为 ，故在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体为该球的内接正方体，
棱长为 ，故D正确；
故选：ABD
33．(多选)沙漏，据《隋志》记载：“漏刻之制，盖始于黄帝”．它是古代的一种计时装置，由两个形状
完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到
下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 （细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下
的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（
）
A．沙漏的侧面积是
B．沙漏中的细沙体积为
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm
D．该沙漏的一个沙时大约是837秒
【答案】BD
【分析】A选项，求出圆锥的母线长，从而利用锥体体积公式求出沙漏的侧面积；B选项，根据细沙形成
的圆锥的高度得到此圆锥的底面半径，得到细沙的体积；C选项，由B选项求出的体积公式得到细沙全部
漏入下部后此锥形沙堆的高度；D选项，利用细沙的体积和沙漏漏下的速度求出时间.
【详解】A选项，设下面圆锥的母线长为 ，则 cm，
故下面圆锥的侧面积为 ，故沙漏的侧面积为 ，故A错误；
B选项，因为细沙全部在上部时，高度为圆锥高度的 ，
所以细沙形成的圆锥底面半径为 cm，高为 cm，
故底面积为 ，所以沙漏中的细沙体积为 ，B正确；
C选项，由B选项可知，细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的体积为 ，其中此锥体的底面积为，故高度为 cm，C错误；
D选项， 秒，故该沙漏的一个沙时大约是837秒，D正确.
故选：BD
34．（多选）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的
是（ ）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为
【答案】CD
【分析】根据圆柱、圆锥的侧面积、表面积、体积等知识求得正确答案.
【详解】A选项，圆柱的侧面积为 ，A选项错误.
B选项，圆锥的母线长为 ，
圆锥的侧面积为 ，B选项错误.
C选项，球的表面积为 ，
所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C选项正确.
D选项，圆柱的体积为 ，
圆锥的体积为 ，
球的体积为 ，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为 ，D选项正确.
故选：CD
35．已知 表示水平放置的 的直观图，且 的面积是 ，则 的面积是
__________.
【答案】6
【分析】根据给定条件，利用斜二测画法水平放置的三角形直观图与原三角形的面积关系直接求解作答.
【详解】在斜二测画法规则中，水平放置的三角形直观图与原三角形的面积之比是 ，
所以 的面积 .
故答案为：6
36．如图所示，一个水平放置 的斜二测画法画出的直观图是 ，则原 的周长是
___________.
【答案】
【分析】由直观图还原得到原 ，根据边的长度，即可求得答案.
【详解】由直观图还原得到原 ，如下图所示为等腰三角形，底边 ，高 ，
所以， ,
所以，原 的周长是 .
故答案为： .
37．已知圆锥的母线长度为3，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出
发点的最短距离为3，则此圆锥的底面圆半径为____________．
【答案】 ##0.5
【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，对应的弧长是底面圆的周长，对应的弦是最短距离，由此求出底面圆
的半径．
【详解】解：把圆锥的侧面展开形成一个扇形，
则对应的弧长是底面圆的周长，对应的弦是最短距离，
如图所示，由 ，得 ，
所以 ；
设底面圆的半径为 ，则 ，
解得 ，
即底面圆的半径为 ．
故答案为： ．
38．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为 则该圆锥的侧面积为________.
【答案】
【分析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵
∴
∴
∴ .
故答案为： .
39．已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为45°，若 的
面积为 ，则该圆锥的侧面积为__________．
【答案】
【分析】先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公
式求出结果.
【详解】因为母线 ， 所成角的余弦值为 ，所以母线 ， 所成角的正弦值为 ，因为
的面积为 ，设母线长为 所以 ，
因为 与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为 ，
因此圆锥的侧面积为 ．
【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式
求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解．40．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有
西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等． 其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台 (即圆锥用平行于底面的
平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据 (单位:cm)，那么该壶的容量约为_________．
(A) (B) (C) (D)
【答案】（C） .
【分析】方法1：运用圆台体积公式计算即可.
方法2：运用大圆锥体积减去小圆锥体积即可为圆台体积计算即可.
【详解】方法1：由题意知，圆台上底面半径为4，下底面半径为5，高为4，
则 .
方法2：如图，
设大圆锥的高为h，则 ，解得： ，
所以 .
故答案为：（C） .
41．已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为________．
【答案】【分析】设圆柱底面圆的半径 ，外接球的半径为 ，得到 ，结合圆柱和球的体积公式，即看求解.
【详解】如图所示，作出圆柱与外接球的组合体的轴截面，
设圆柱底面圆的半径 ，外接球的半径为 ，则 ，
所以 ，可得 ，
所以外接球的体积 ，
圆柱的体积为 ，
所以该球与圆柱的体积之比为 .
故答案为： .
42．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA＝2，AB＝1， ，则三棱锥P－ABC外
接球的表面积为___．
【答案】
【分析】由题意结合球心的性质确定三棱锥 的外接球的球心的位置，求得球的半径，即可求外接
球的表面积
【详解】由题意，在三棱锥 中， 平面 ， 平面 ，
所以 ， ,又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
设 的中点为 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 为三棱锥 外接球的球心，
因为 ， ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 ，
设三棱锥 外接球的为 ，所以 ，
所以三棱锥的外接球的表面积为 ．
故答案为： .
43．已知正三棱锥 的顶点P，A，B，C都在直径为 的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，
则该正三棱锥的体积为______.
【答案】
【分析】由题可知，该正三棱锥的外接球与其所在的正方体外接球相同，补正方体后根据直径列出方程，
求出棱长，根据三棱锥体积公式求解即可.
【详解】解：将正三棱锥补形成正方体，如图所示，
设 ，由于正三棱锥的外接球和正方体的外接球相同，正方体的体对角线即为外接球的直
径，
∴ ，∴正三棱锥的体积为 ，
故答案为 .
44．已知在三棱锥 中， 平面 ，且 ，则三棱锥
外接球的体积为_______.
【答案】
【分析】将三棱锥 补成直三棱柱，根据直三棱柱的外接球运算求解.
【详解】因为 平面 ，
我们可以将三棱锥 补成直三棱柱如图所示，该直三棱柱的外接球就是三棱锥 的外接球，
而直三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圆圆心连线的中点上，
设 外接圆半径为 ，直三棱锥 的外接球半径为 ，
由正弦定理可得： ，所以 ，
则 ，所以直三棱锥 外接球的体积为 .
故答案为： .
45．将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一周所得圆锥的内切球的表面积为
__________．
【答案】
【分析】作圆锥的轴截面，利用等面积法求出内切球的半径，即可求得内切球的表面积.
【详解】依题意，作圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
截得其内切球的大圆是此等腰直角三角形的内切圆，圆锥的底面半径为2，则其母线长为 ，
设圆锥的内切球半径为r，
则 ，所以 ，
所以内切球的表面积为
故答案为：
46．如图截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的
多面体.如图，将棱长为 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为 的截角四面
体.则该截角四面体的表面积是______.
【答案】
【分析】根据截面四面体特征可知其是由 个边长为 的等边三角形和 个边长为 的正六边形拼接而成，
分别求得正六边形和等边三角形面积，加和即可得到结果.
【详解】由题意知：该截角四面体的表面积是 个边长为 的等边三角形和 个边长为 的正六边形的面积
之和；
将每个正六边形拆分为如下图所示的两个三角形和一个矩形，正六边形每个内角均为 ， ，
每个正六边形的面积为 ，
又每个等边三角形面积为 ，
该截角四面体的表面积为 .
故答案为： .
47．圆锥SD（其中S为顶点，D为底面圆心）的侧面积与底面积的比是 ，若圆锥的底面半径为3，则
圆锥SD的内切球的表面积为_________.
【答案】
【分析】先由题给条件求得若圆锥的母线长为9，再求得圆锥SD的内切球的半径为 ，进而求得该球
的表面积
【详解】设圆锥SD的底面半径为r，高为h，母线长为l，则
则 ，解之得 ，则
设圆锥SD的内切球的半径为R，
则圆锥SD的轴截面面积
解之得 ，则圆锥SD的内切球的表面积为
故答案为：
48．已知圆台的轴截面面积为10，母线与底面所成的角为 ，则圆台的侧面积为___．
【答案】
【分析】作出圆台的轴截面图形，根据其几何特征写出轴截面面积的表达式，再根据圆台的侧面积公式直
接代入求解即可.
【详解】如图所示，依题意，
设下底面圆半径为 ，上底面圆半径为 ，圆台的高为 ，
过点 作 交 于点 ，
在 中， ， ， ， ，
则圆台轴截面的面积 ，
则圆台的侧面积 .
故答案为： .
49．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【答案】
【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.
【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中 ，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为 ，由于 ，故 ，
设内切圆半径为 ，则：
，
解得： ，其体积： .
故答案为： .
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的
位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中
心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于
球的直径.
50．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特
殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所
示的“鳖臑”四面体PABC，其中 平面 ， ， ，则四面体PABC的外接球的
表面积为______．【答案】
【分析】确定外接球球心求得球半径后可得表面积．
【详解】由于 平面 ，因此 与底面上的直线 都垂直，
从而 与 不可能垂直，否则 是锐角三角形，由于 ，因此有 ，
而 与 是平面 内两相交直线，则 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 的中点 到 四个点的距离相等，即为四面体PABC的外接球球心．
， ，
所以所求表面积为 ．
故答案为： ．
