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第 02 讲 导数与函数的单调性 (分层精练）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
1．（2023春·天津和平·高二校考阶段练习）函数 的单调递减区间为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 的定义域是 ，
，
所以 在区间 单调递减.
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）如图是函数 的导函数 的图象，则下列判断正确的是
（ ）
A．在区间 上， 是增函数
B．当 时， 取到极小值
C．在区间 上， 是减函数
D．在区间 上， 是增函数
【答案】D
【详解】由导函数图象知，在 时， ， 递减，A错； 时， 取得极大值（函
数是先增后减），B错； 时， ， 递增，C错； 时， ， 递增，D
正确．
故选：D.
3．（2023春·广东东莞·高二校考阶段练习）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】解：由题意，
在 中，
当 时，解得 （舍）或
当 即 时，函数单调递减
∴单调递减区间为
故选：B.
4．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习）若函数 在R上是增函数，
则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵函数 在R上是增函数， 在R上恒成立，
∴ .
故选：B.
5．（2023秋·江苏常州·高二江苏省奔牛高级中学校考期末）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，
他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横
坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义.设 是函数 的导
函数，若 ，且对 ， ，且 总有 ，则下列选项正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 在 上单调递增，因为 ，所以 ，
故A不正确；
对 ， ，且 ，总有 ，可得函数的图象是向下凹，可用如图的图象
来表示，由 表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，
随着 的增大， 的图象越来越陡峭，即切线的斜率越来越大，
所以 ，故B不正确；
，表示点 与点 连线的斜率，
由图可知 ，所以D正确，C不正确.
故选：D
6．（2023·全国·高二专题练习）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令 ，则 ，
令 恒成立，
即 在定义域 单调递增，
且
因此在区间 上必然存在唯一 使得 ，
所以当 时 单调递减，当 时 单调递增，
故A，B均错误；
令 ， ，
当 时， ，
∴ 在区间 上为减函数，∵ ，∴ ，即 ，
∴选项C正确，D不正确.
故选:C.
7．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 ，则 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
又 ， ， ，
所以 ，即 .
故选：D.
8．（2023春·云南昆明·高二安宁中学校考阶段练习）函数 ，则满足不等式
的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，令 ，则 ，
因为 在R上恒成立，所以 在R上单调递增，
又 ，故当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，
由 得到 ，解得： ，
所以满足不等式 的实数x的取值范围是 .
故选：D
二、多选题9．（2023·全国·高二专题练习）若函数 在区间 上不单调，则实数 的值可能
是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】BC
【详解】 的定义域为 ，所以 ，A错误；
由题意可得 ，令 解得 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
因为 在区间 上不单调，所以 ，即 ，
选项B：当 时， ，正确；
选项C：当 时， ，
所以 ，正确；
选项D：当 时， ，错误；
故选：BC
10．（2023·全国·高三专题练习）设函数 在区间 上的导函数为 ， 在区间 上的
导函数为 ，若区间 上 ，则称函数 在区间 上为“凸函数”．已知
在 上为“凸函数”则实数m的取值范围的一个必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】由题， ， ，
若 在 上为“凸函数”，则 在 上成立，
即 ， ，令 ， ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，为充要条件，
由选项可知，必要不充分条件可以是： 或 ，
故选：AD.
三、填空题
11．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）已知函数 ，若
，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【详解】因为 恒成立，所以函数 在 上单调递增，若 ，
则 ，解得 .
故答案为：
12．（2023·全国·高三专题练习）若函数 恰有三个单调区间，则实数 的取值范围为
______.
【答案】
【详解】由题意有 ，
函数 恰有三个单调区间，则函数 有两个极值点，
的图像抛物线与 轴有两个交点，则判别式 ，解得 或 .
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
四、解答题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．求函数 的单调区间
【答案】单调递增区间为 ，无单调递减区间
【详解】定义域为 ， ， ，
则 在 恒成立，所以 在 单调递增，
故 的单调递增区间为 ，无单调递减区间
14．（2023秋·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）已知：函数 .(1)若 ，求 的单调性；
(2)若 在 上是增函数，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2) .
【详解】（1） ， ，
， ， .
将 代入得 ，令 得 或 .
3
0 0
在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）方法1： 在 上是增函数，
在 上恒成立，
，
当 时， 是增函数，其最小值为 ，
.实数 的取值范围是 .
方法2： 在 上是增函数，
在 上恒成立，
， .
实数 的取值范围是 .
15．（2023·高二课时练习）函数 ．讨论函数 的单调性；
【答案】答案见解析
【详解】函数 ，当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，此时 单调递减，
令 ，此时 单调递增；
综上可得：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上
单调递减.
B能力提升
1．（2023·四川达州·四川省开江中学校考模拟预测）已知 为函数 的导函数，且
，则不等式 的解 集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令 ，所以 ，
所以 为 上的增函数，由 ，所以 ，
则不等式等价于 ，则不等式的解为 。
故 选 ：C.
2．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）已知函数 ，对任
意的 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意知，对任意的 ， 恒成立
不妨设 ，可得 ，即 ，
设函数 ，则 在 上的单调递减函数，
又由 ，所以 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
令 ，
由二次函数的性质，可得 在 上为单调递减函数，所以 ，所以 ，所以 ，
解得 ，即实数 的取值范围为 .
故选：A.
3．（多选）（2023春·贵州黔西·高二校考阶段练习）定义在 上的函数 的导函数为 ，且
恒成立，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】设函数 ， ，
则 ，因为 恒成立，所以 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
故AC正确，BD错误.
故选：AC.
4．（多选）（2023秋·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考期末）已知函数 的定义域为 ，其导函数
满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 为 上的增函数，则 ，即 ，所以， ，A错B对；
因为 ，则 ，即 ，所以， ，C对D错.
故选：BC.
5．（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）已知 是定义在 上的奇函数，
是 的导函数，当 时， ，若 ，则不等式 的解集是
________．
【答案】【详解】解：构造函数 ，其中 为奇函数且 ，
则 ，
所以，函数 为奇函数，且 ， ，
当 时， ，
所以，函数 在 上是单调递增函数，
因为函数 为奇函数，故函数 在 上是严格增函数，
故 ，
当 时， ，可得 ；
当 时， ，可得 ．
综上所述，不等式 的解集为 ．
故答案为：
C综合素养
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，使得
， 的取值范围为_________．
【答案】
【详解】不妨设 ,
∵ ，
即 ， ,
构造函数 ，
∴ 在 是单调递增函数，
∴ ,∴
当 时， ， ，所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围为
故答案为：2．（2023春·广东广州·高二广东番禺中学校考阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当 时， ， ，
，所以 ，又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2） ，
当 ，令 得 ，由 得 ，由 得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
当 ，令 得 ，
当 时，由 得 或 ，由 得 ，
所以 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 时， ，所以 的单调增区间为 ，无单调减区间；
当 时，由 得 或 ，由 得 ，
所以 的单调增区间为 和 ，单调递减区间为 .
3．（2023春·重庆忠县·高二忠县中学校考阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时， 求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ， 试讨论函数 的单调性
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意 时， 函数 ，则有 ，
故所求切线方程为 ，即 ；
（2） ， 且 ，
当 时， ， 此时 在 单调递增．
当 时， 时， ， 此时 单调递增；
时， ， 此时 单调递减；
时， ， 此时 单调递增．
综上， 当 时， 函数 单调递增区间为 ，
当 时， 函数 单调递增区间为 ；
函数 单调递减区间为 ．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．讨论 在 上的单调性；
【答案】答案见解析
【详解】由题意得 ．
因为 ，所以 ．
当 时， ， ，所以 在 上单调递减．
当 时，令 ，则 ．
①若 ，则 ，当 时， ，所以 在 上单调递增；
②若 ，则 ，当 时， ，所以 在 上单调递减；当
时， ，所以 在 上单调递增．
综上，
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
