文档文本内容
第 03 讲 导数与函数的极值、最值(精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高考真题回归..............................................2
第三部分：高频考点一遍过............................................5
高频考点一：函数图象与极值（点）的关系...........................5
高频考点二：求已知函数的极值（点）..............................10
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数..........................12
高频考点四：求函数的最值（不含参）..............................16
高频考点五：求函数的最值（含参）................................21
高频考点六：已知函数的最值求含参................................27
高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用..................32
第四部分：数学文化（高观点）题.....................................39
第五部分：数学思想方法.............................................42
①数形结合的思想................................................42
②分类与整合的思想..............................................45
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背
1、函数的极值
一般地，对于函数 ，
（1）若在点 处有 ，且在点 附近的左侧有 ，右侧有 ，则称
为 的极小值点， 叫做函数 的极小值.
（2）若在点 处有 ，且在点 附近的左侧有 ，右侧有 ，则称
为 的极大值点， 叫做函数 的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
2、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小
值.
设函数 在 上连续，在 内可导，求 在 上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求 在 内的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值.
3、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间 的整体而言；
（2）在函数的定义区间 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个
（或者没有）；
（3）函数 的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（乙卷文）·高考真题）函数 在区间 的最小值、最大值分
别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】 ，
所以 在区间 和 上 ，即 单调递增；
在区间 上 ，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
2．（2022·全国（甲卷理）·高考真题）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以
，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减，
时取最大值，满足题意，即有 ．
故选：B.
3．（多选）（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】AC
【详解】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A正
确；
因 ， ， ，所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：AC.
4．（2022·全国（乙卷理）·高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的
极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是____________．
【答案】
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为 ，所以方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当时 ， ，即 图象在 上方
当 时， ，即 图象在 下方
，图象显然不符合题意，所以 ．
令 ，则 ，
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
设函数 ，则 ，
若 ，则 在 上单调递增，此时若 ，则 在
上单调递减，在 上单调递增，此时若有 和 分别是函数
且 的极小值点和极大值点，则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递减，此时若 ，则 在 上单调递增，在 上单
调递减，令 ，则 ，此时若有 和 分别是函数 且
的极小值点和极大值点，且 ，则需满足 ， ，即
故 ，所以 .
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数图象与极值（点）的关系
典型例题例题1．（2023春·山西·高二校联考阶段练习）已知函数 的导函数 的图象如图所示，
则（ ）
A． 在区间 上单调递增
B． 在区间 上有且仅有2个极值点
C． 在区间 上有且仅有3个零点
D． 在区间 上存在极大值点
【答案】D
【详解】由图可知， 在区间 为负， 单调递减，
在区间 为正， 单调递增，故A错误；
在区间 上有3个零点，且零点附近左右两边 的值一正一负，
故 有3个极值点，故B错误；
由选项B可知，只能判断 在区间 上有3个极值点，
当 的3个极值都小于0时， 至多只有1个零点，
当 的3个极值有正有负时， 至少有1个零点，
所以无法判断 零点个数，故C错误；
在区间 上为正， 单调递增，
在区间 上为负， 单调递减，
则 为极大值点，故D正确；
故选：D.
例题2．（2023·高二校考课时练习）定义在区间 上的函数 的导函数 的图象如图所示，
则下列结论正确的是（ ）A．函数 在区间 上单调递增
B．函数 在区间 上单调递减
C．函数 在 处取得极大值
D．函数 在 处取得极大值
【答案】A
【详解】在区间 上 ，故函数 在区间 上单调递增，故A正确；
在区间 上 ，故函数 在区间 上单调递增，故B错误；
当 时， ，可知函数 在 上单调递增，故 不是函数 的极值点，故C错误；
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，故函数 在
处取得极小值，故D错误，
故选：A.
例题3．（多选）（2023·高二单元测试）如图是导函数 的图象，则下列说法错误的是
（ ）
A． 为函数 的单调递增区间
B． 为函数 的单调递减区间
C．函数 在 处取得极大值
D．函数 在 处取得极小值
【答案】BC
【详解】由图可知，当 时， ，故 单调递减；当 ， ，故 单调
递增；当 ， ，故 单调递减；当 ， ，故 单调递增，
且 ， ， ，
则该函数在 和 处取得极小值；当 处取得极大值.
故选：BC.
练透核心考点
1．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下
列判断正确的是（ ）
A． 在区间 上单调递增
B． 在区间 上单调递增
C． 为 的极小值点
D． 为 的极大值点
【答案】D
【详解】对于A，当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，A错误；
对于B，当 时， ， 在 上单调递减，B错误；
对于C， 在 上单调递减， 不是 的极小值点，C错误；
对于D，当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， 是 的极大值点，D正确.
故选：D.
2．（2023春·天津和平·高二校考阶段练习）函数 的导函数 的图象如图所示，则（ ）A． 为函数 的零点
B．函数 在 上单调递减
C． 为函数 的极大值点
D． 是函数 的最小值
【答案】B
【详解】根据函数零点的概念可判断A；根据导数与函数单调性的关系判断B；根据函数极值点以及最值
与导数的关系可判断C，D.
由 的图象可知 ，当 时， ，
当 时， ，故 为函数 的极大值点，A错误；
当 时， ，故函数 在 上单调递减，B正确；
当 时， ，当 时， ，
故 为函数 的极小值点，C错误；
当 时， ，当 时， ，
故 为函数 的极小值点，而 也为函数 的极小值点，
与 的大小不定，故 不一定是函数 的最小值，D错误,
故选：B
3．（2023春·天津红桥·高二天津三中校考阶段练习）如图是 的导函数 的图象，则下列说法
正确的个数是（ ）
① 在区间 上是增函数；
② 是 的极小值点；
③ 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数；④ 是 的极大值点.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】解：由导函数 的图象可知，当 时 ，
当 时 ，当 时 ，当 时 ，
所以 在区间 上单调递减，故①错误；
在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 上单调递增，
在 和 处取得极小值， 处取得极大值，故②③正确，④错误；
故选：C．
高频考点二：求已知函数的极值（点）
典型例题
例题1．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数 ，
则 的极小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】函数 的定义域为 ，
因为
所以 ，
令 ，则 ，解得 或 （舍），
x 2
－ 0 ＋
极小
单调递减 单调递增
值
由此表可知，当 时， 的取得极小值为 .
故选：D.
例题2．（多选）（2023春·广东东莞·高二校考阶段练习）已知函数 ，下列说法
正确的是（ ）A． 有两个极值点 B． 的极大值点为
C． 的极小值为 D． 的最大值为
【答案】AB
【详解】函数 的定义域为R，求导得 ，
由 得： 或 ，由 得： ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
于是函数 在 处取极大值 ，在 处取极小值 ，C错误；
函数 有两个极值点 ，且 是 的极大值点，A正确，B正确；
显然 ，D错误.
故选：AB
例题3．（2023·高二校考课时练习）已知函数 ，则 的极大值为
________________
【答案】
【详解】由函数 得函数 ，
令 ，则 或 ，
当 时， ，当 时， ，当 时，
故 为函数 的极大值点，极大值为 ，
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，则（ ）
A．1为 的极大值点 B．1为 的极小值点
C．－1为 的极大值点 D．－1为 的极小值点
【答案】D
【详解】由 ，可得f′(x)＝(x＋1)ex，
令f′(x)>0可得x>－1，即函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数；
令f′(x)<0可得x<－1，即函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，
所以x＝－1为f(x)的极小值点．
故选：D2．（2023·高二校考课时练习）函数 （ ）
A．有最大（小）值，但无极值 B．有最大（小）值，也有极值
C．既无最大（小）值，也无极值 D．无最大（小）值，但有极值
【答案】C
【详解】 ，当 时， ，所以 在 上单调递减，
因此函数 无最大值和最小值，也无极值，
故选：C
3．（多选）（2023·高二校考课时练习）若函数 ，则（ ）
A．函数 只有极大值没有极小值 B．函数 只有最大值没有最小值
C．函数 只有极小值没有极大值 D．函数 只有最小值没有最大值
【答案】CD
【详解】 ，单调递增，由 ，
则 .
∴函数 有唯一极小值，即最小值，没有极大值、最大值.
故选：CD.
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数
典型例题
例题1．（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）已知函数
的两个极值点分别为 和2，若 的极大值为1，则 的值为
（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】B
【详解】由 可知 ，
因为函数 的两个极值点分别为 和2，所以 和2是 的零点，
故 和2是 的实数根， ， ， ．
当 ，即 时，当 ， 当 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
此时极大值为 ， ， ；
当 ，即 时，
当 ， 当 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时极大值为 ， ， ，
只要 ，无论a取何值， 始终成立，
故选：B．
例题2．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）若函数 有两个
不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 有两个不同的极值点，
所以 在 上有2个不同的零点，且零点两侧异号，
所以 在 有2个不同的实数根 ，且根据二次函数的性质可知这两根的两侧函数值
异号，
所以 ，解得 .
故选：C.
例题3．（多选）（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数 在
处取得极值 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 一定有两个极值点 D． 的单调递增区间是
【答案】BC【详解】 ，且 在 处取得极值 ，
，解得： 或 ；
当 ， 时， ，
则当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
是 的极小值点，满足题意；
当 ， 时， ，
在 上单调递增，不合题意；
综上所述： ， ；
对于AB， ，A错误，B正确；
对于C， 和 分别为 的极大值点和极小值点，C正确；
对于D，当 ， 时， ，
， ，
，即 不满足在 单调递增，
的单调递增区间应为 和 ，D错误.
故选：BC.
例题4．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）已知
在 处取得极值，则 的最小值为__________.
【答案】8
【详解】解：由 ，
因为函数 在 处取得极值，所以有 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，当且仅当 ，结合 ，即 时取等号.
故答案为：8
练透核心考点
1．（2023·高二校考课时练习）当 时，函数 取得极小值4，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【详解】 ， ，
根据题意有 ，且 ，解得 ， ， .
此时 ， ，
当 时， ，函数单调递减；当 时， ，函数单调递增.
函数在 处取极小值，满足.
故选：A
2．（多选）（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）设函数 ，若函数 有两个极值点，则实数
a的值可以是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】BD
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
因为函数 有两个极值点，则方程 ，即 在 内有两个变号零点，
令 ， ，则 ，令 ，
当 时， ， 的取值集合是 ，当 时， ，
若 ，即 ，函数 对 单调递增， 的取值集合是 ，
若 ，即 ，函数 对 单调递减， 的取值集合是 ，
依题意，方程 在 内有两个不等实根，即直线 与函数 的图象有
两个公共点，在同一坐标系内作出直线 与函数 的部分图象，如图，
观察图象知，当 或 时，直线 与函数 的图象有两个公共点，
于是当 或 时， 在 内有两个变号零点，
所以实数a的取值范围是 或 ，即a的值可以是 ， ，选项AC不满足，BD正确.
故选：BD
3．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）若函数 在
处取得极大值10，则 的值为___________.
【答案】 ##
【详解】由题意可知： ,则有 ,解得 或 ．
检验：当 时， ， 时， ， 时， 或
，则 为极小值点，不符合题意；
当 时， 在 处取得极大值10，所以 .
故答案为：
4．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）若函数 有小于0的极值点，则a的范围是
________．
【答案】
【详解】由函数 ，则求导可得 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，故 ，由 恒成立，则当 时， 恒成立，
因此，当 时， ，
由函数 有小于0的极值点，则 有小于 的零点，且零点的左右符号不同，
根据函数的平移变换，可得 ，
故答案为： .
高频考点四：求函数的最值（不含参）
典型例题
例题1．（2023·高二校考课时练习）函数 在区间 上的最大值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，
所以 ，
令 或 ，
又 ，所以
当 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以函数有极大值 ，
又 ，
所以函数在 上的最大值为： ，
故选：C.
例题2．（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 在点 处的切线方程；(2)求函数 在 的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为 ，最小值为
【详解】（1）易知，函数 的定义域为 ；
所以 ，则切点为
又 ，
则 在点 处的切线斜率 ，
所以，切线方程为 ，整理可得
即函数 在点 处的切线方程为 .
（2）由（1）可知，当 时， ， 在 上单调递减；
或 时， ， 在 或 上单调递增；
函数 在 上的单调性列表如下：
1 3
极大值 极小值
所以， 的极大值为 ，极小值为 ；
又 ， ；
综上可得，函数 在 上的最大值为 ，最小值为
例题3．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)求 的极值；
(2)求 在区间 上的最大值与最小值.
【答案】(1)极大值是 ，极小值是
(2)最大值为2，最小值为
【详解】（1）∵ ，
∴ ，x 1 3
+ 0 - 0 +
极小值
单调递增 极大值2 单调递减 单调递增
故 的极大值是 ，极小值是 ；
（2）由（1）知：
x 1 2
+ 0 -
单调递增 极大值2 单调递减
即函数 在区间 , 上的最大值为2，最小值为 .
例题4．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知函数
在 处有极值6.
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 在 上的最大值与最小值.
【答案】(1) 的单调增区间是 ，单调减区间是
(2)最大值为 ，最小值为
【详解】（1）由题意可得 ，故 ，
即 ，得 ，
得 或1，
当 和 时， ，当 时， ，
故 的单调增区间是 ，单调减区间是 ，
满足 在 处取得极值；
（2）由（1）知， ，且 在 单调递减， 单调递增，
又 ，时， .
练透核心考点
1．（2023春·天津滨海新·高二汉沽一中校考阶段练习） 在 上的最大值是________.
【答案】 ##
【详解】因为 ，所以 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值即最大值，所以 .
故答案为：
2．（2023春·山东菏泽·高二校考阶段练习）已知 的一个极值点为2.
(1)求函数 的单调区间.
(2)求函数 在区间 上的最值.
【答案】(1) 的递增区间为 ，递减区间为
(2)函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
【详解】（1）由题意可得： ，则 ，解得 ，
当 时， ， ，
令 ，解得 或 ，
则 的递增区间为 ，递减区间为 ，
可得 为极小值点，即 符合题意，
故 的递增区间为 ，递减区间为 .
（2）∵ ，由（1）可得： 在 上单调递增，在 上单调递减，
则函数 在区间 上的最大值为 ，
又∵ ，即 ，
则函数 在区间 上的最小值为 ，故函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
3．（2023春·天津武清·高二校考阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)求 在 上的最值.
【答案】(1)函数 在 上单调递增，在 上单调递减
(2)最大值 ，最小值 ，
【详解】（1）函数 ，则 ，
当 时， ，当 ， ，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减
（2）由（1）可得函数 在 上单调递增，在 上单调递减
且 ， ，
则 在 上的最大值 ，最小值 ，
4．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数 在点
处的切线斜率为 ，且在 处取得极值．
(1)求函数 的解析式；
(2)当 时，求函数 的最值．
【答案】(1) ；
(2) ， ．
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
由题意可知， ， ， ，
所以 ，解得 ， ， ，
所以函数 的解析式为 ，经检验适合题意，
所以 ；
（2）由（1）知 ，令 ，则 ，解得 ，或 ，
当 时， ； 当 时， ；
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 取的极大值为 ，
当 时， 取得极小值为 ，
又 ， ，
所以 ， ．
高频考点五：求函数的最值（含参）
典型例题
例题1．（2023·高二课时练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求 在区间 上的最小值．
【答案】(1)当 时， 在R上单调递增；当 时， 在 ， 上单调递增，在
上单调递减；当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
(2)①当 时， 在 上的最小值为 ；当 时， 在 上的最小值
为 ．
【详解】（1）因为 ，所以 ．
①当 时， ，则 在R上单调递增；
②当 时，令 ，解得 或 ，
则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
③当 时，令 ，解得 或 ，
则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
（2）由（1）知，当 时， 或 ．
①当 ，即 时，
在 上单调递减，在 上单调递增，此时 在 上的最小值为 ；
②当 ，即 时， 在 上单调递减，
此时 在 上的最小值为 ．
例题2．（2023·高二课时练习）已知函数 ．
(1)若函数 在 处取得极值，求实数 的值；
(2)当 时．求函数 的最大值．
【答案】(1)a=1
(2)答案见解析
【详解】（1）由题意可知 ，
所以 ，即3-3a=0解得a=1，
经检验a=1，符合题意．
所以a=1．
（2）由（1）知 ，
令 ， ，
当 即 时，f（x）和 随x的变化情况如下表：
x －2 1
＋ 0 － 0 ＋
－7+6a 单调递增 单调递减 单调调增 2－3a
，
由上可知，所以 的最大值为 ．
当 即 时，f（x）和 随x的变化情况如下表：
x －2 1
＋ 0 －
－7+6a 单调递增 单调递减 2－3a
，
由上可知，所以f（x）的最大值为 ．
当 即 时， 恒成立，即f（x）在［－2，1]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（－2）=－7+6a，
综上所述，当 时，f（x）的最大值为 ；
当 时，f（x）的最大值为－7+6a．
例题3．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若函数 的最小值为 ，求 的最大值．
【答案】(1)0
(2)1
【详解】（1）当 时，令 ， ，
则 ，
令 ， ，则 ，
易知 在 上单调递增，且 ，
∴当 时， ， 在区间 上单调递减，且 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，且 ，
∴当 时， ， 在区间 上单调递减，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
当 时， 取得极小值，也是最小值， ，
∴当 时，函数 的最小值为 .
（2）由已知， 的定义域为 ，
若函数 的最小值为 ，则有 ，∴ ， ，
令 ，即 的最小值为 ，
由第（1）问知，当且仅当 时， 取最小值 ，
∴当且仅当 时， 取得最小值 ，又∵ ，
∴只需令 有解，即 有解，
令 ， ，则 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
∴ ，
综上所述，若函数 的最小值为 ，则 的最大值为 .
练透核心考点
1．（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）已知 .
(1)若 在 处有极大值，求 的值；
(2)若 ，求 在区间 上的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题知， ，
由题意， ，得 或 ，
当 时，在 上 ，在 上 ，
此时， 在 处有极小值，不符题意；
当 时，在 上 ，在 上 ，
此时， 在 处有极大值，符合题意.
综上， .
（2）令 ，得 或 ，
由 ，则在 上 ，在 上 ，即 在 上单调递增，在 上单调递减.
由题意， ，
当 时， 在区间 上单调递减，则 ，
当 时， 在区间 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
当 时， 在区间 上单调递增，则 ，
综上， .
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)设 在区间 上的最小值为 ，求 及 的最大值．
【答案】(1)极大值 ，极小值0
(2) ， 的最大值为0，
【详解】（1）当 时， ，
，
当 或 时， ，
当 时， ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
的极大值为 ，极小值为 ，
（2） ， ，
当 时， ， 在 上单调递增， 在区间 上的最小值为 ，当 时，当 或 时， ，
当 时， ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
在区间 上的最小值为 ，
当 时，同理得 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
若 ， 在区间 上的最小值为 ，
若 ， 在区间 上的最小值为
综上，
令 ，则 ，
故 在 上单调递增，
可知 在 上单调递增，故 的最大值为0，
高频考点六：已知函数的最值求含参
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）若函数 的最大值为 ，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当x＜0时， ，当且仅当x＝−1时，f（x）取得最大值f（−1）＝a−2，
由题意可得x＞0时， 的值域包含于（−∞，a−2]，
即 在x＞0时恒成立
即 在x＞0时恒成立
即
设
当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，
故选：C．
例题2．（2023·全国·模拟预测）已知 ，函数 在 上的最小值为2，则实数
__________.
【答案】1
【详解】 ，
，
当 时，即 时，
则 在 上恒成立，则 在 上单调递增，
在 上的最小值为 ，解得 ，
当 时，即 时，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
在 上的最小值为 ，舍去，综上所述： ，
故答案为：1.
例题3．（2023·高二课时练习）设 是函数 的一个驻点，曲线 在
处的切线斜率为9．
(1)求 的单调区间；
(2)若 在闭区间 上的最大值为20，求 的值．
【答案】(1)单调递增区间是 ，单调递减区间是 和
(2)
【详解】（1） ，由已知得 ，得 ，
解得 ， ．经验证可知符合题意，
于是 ，
由 ，得 ，由 ,得 或 ，
所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 和 ．
（2）由（1）知 ，因为 在区间 上是单调递减函数，在 上是单调
递增函数，又
所以其最大值为 ，解得 ．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）若 ，试判断 在定义域内的单调性；
（2）若 在 上的最小值为 ，求实数 的值.
【答案】（1）f（x）在（0，＋∞）上单调递增；（2）a＝－ .
【详解】（1）由题意得f（x）的定义域是（0，＋∞），且f′（x）＝ ，
因为a＞0，所以f′（x）＞0，
故f（x）在（0，＋∞）上单调递增.
（2）由（1）可得f′（x）＝ ，因为x∈［1，e］，
①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′（x）≥0在［1，e］上恒成立，
此时f（x）在［1，e］上单调递增，
所以f（x） ＝f（1）＝－a＝ ，所以a＝－ （舍去）；
min②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′（x）≤0在［1，e］上恒成立，
此时f（x）在［1，e］上单调递减，
所以f（x） ＝f（e）＝1－ ＝ ，
min
所以a＝－ （舍去）.
③若－e＜a＜－1，令f′（x）＝0，得x＝－a，
当1＜x＜－a时，f′（x）＜0，f（x）在（1，－a）上单调递减；
当－a＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）在（－a，e）上单调递增，
所以f（x） ＝f（－a）＝ln（－a）＋1＝ ，所以a＝－ .
min
综上，a＝－ .
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 上的最大值为4，则 的值为（ ）
A．7 B． C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：∵ ，∴
∴ 导数 在 时， ， 单调递减；
导数 在 时， ， 单调递增；
∵ ， ，
∴ 在 处取得最大值为 ，即 ，
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)设 在区间 上的最小值为 ，求 及 的最大值．
【答案】(1)极大值 ，极小值0(2) ， 的最大值为0，
【详解】（1）当 时， ，
，
当 或 时， ，
当 时， ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
的极大值为 ，极小值为 ，
（2） ， ，
当 时， ， 在 上单调递增， 在区间 上的最小值为 ，
当 时，当 或 时， ，
当 时， ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
在区间 上的最小值为 ，
当 时，同理得 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
若 ， 在区间 上的最小值为 ，
若 ， 在区间 上的最小值为
综上，令 ，则 ，
故 在 上单调递增，
可知 在 上单调递增，故 的最大值为0，
3．（2023春·江苏扬州·高二校考开学考试）已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的单调区间；
（3）设 ， ，若 时， 的最小值是3，求实数 的值.（ 是自然对数
的底数）
【答案】（1） ；（2） 的增区间是 ，减区间是 ；（3） .
【详解】（1）因为函数 ，
所以 ， ，
所以 在点 处的切线方程 ，
即 .
（2） 定义域是 ，
由（1）知，当 时， ，当 时， ，
所以 的增区间是 ，减区间是 .
（3）因为 ，
所以 ，
当 ，即 时， ，所以 在 上递减，
所以 ，解得 （舍去），
当 即 时，当 时， ，当 时， ，
所以 ，解得 .满足条件，
综上：实数 的值是 .高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数 的极
值点均不大于2，且在区间 上有最小值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】易知最小值只能在极小值处取得， ，
解得导数零点为 ，根据题意可得 ．
当 时，在 上 ， 在 上单调递增，无最值；
当 时，在 上 ， 上 ， 上 ，
所以 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增，
所以 在 取得极小值 ，又极小值必须为最小值，
所以 ，即 ，
所以 ；
当 时，在 上 ， 上 ，
所以 在 上单调递减， 上单调递增，此时函数 有最小值满足条件，
综上所述， 的取值范围为 ．
故选：A．
例题2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范
围是______.
【答案】
【详解】 ，
若函数 有两个极值点，则 和 在 上有2个交点，
，
时，即 ， 递增， 时， ， 递减，
故 （1） ，而 时， 恒成立， 时， 恒成立，
所以 ，
故答案为： ．
例题3．（2023·北京丰台·统考一模）设函数 若 存在最小值，则 的一个取值
为_______； 的最大值为________．
【答案】 1（≤1的任一实数，答案不唯一）； 1
【详解】记函数 ，则 .
令 ，解得： .
列表得：
+ 0 - 0 +
单增 单减 单增
对于函数 ，当 时， 不能取得最小值，
所以 存在最小值， 的最小值只能在 时， 时取得.
当 时， 在 单减，在 单增，在 单减，在 单增.所以
的最小值为 ，即存在最小值；
当 时， 在 单减，在 单减，在 单增.所以 的最小值为
，即存在最小值；当 时， 在 单减，在 单减，在 单增.所以
的最小值为 ，即存在最小值；
当 时， 在 单减，在 单增.所以 的最小值为 ，即存在最小值；
当 时， 在 单减，在 单增，且 ，所以
的最小值为 ，即存在最小值；
当 时， 在 单减，在 单增，且 ，不能取得最小值.
综上所述：当 时函数 存在最小值.
故答案为：①1（ 的任一实数，答案不唯一）；②1.
例题4．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若函数 的最小值为 ，求 的最大值．
【答案】(1)0
(2)1
【详解】（1）当 时，令 ， ，
则 ，
令 ， ，则 ，
易知 在 上单调递增，且 ，
∴当 时， ， 在区间 上单调递减，且 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，且 ，
∴当 时， ， 在区间 上单调递减，
当 时， ， 在区间 上单调递增，当 时， 取得极小值，也是最小值， ，
∴当 时，函数 的最小值为 .
（2）由已知， 的定义域为 ，
若函数 的最小值为 ，则有 ，∴ ， ，
令 ，即 的最小值为 ，
由第（1）问知，当且仅当 时， 取最小值 ，
∴当且仅当 时， 取得最小值 ，
又∵ ，
∴只需令 有解，即 有解，
令 ， ，则 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
∴ ，
综上所述，若函数 的最小值为 ，则 的最大值为 .
练透核心考点
1．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）若函数 在区间 上存在单调递减区间，
则实数 的取值范围是________ ．
【答案】
【详解】 ，则 ，
函数 在区间 上存在减区间，
只需 在区间 上有解，
又 ，则 ，所以 在区间 上有解，所以 ， ，
令 ， ，则 ，
令 ，则 在区间 恒成立，
所以 在 上单调递增，所以 ，即 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
2．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知函数 ，其中 为常数， 为自然对数的底
数.
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 在区间 上的最大值为 ，求 的值.
【答案】(1)函数 增区间为 ，减区间为
(2)
【详解】（1）函数 的定义域为
当 时， ， ，
令 得， ；令 得， 或 ，结合定义域得 ，
∴函数 增区间为 ，减区间为 ；
（2）
①当 时， ，∴ ，∴函数 在 上是增函数，
∴ ，∴ ，∴ 符合题意；
②当 且 时，令 得 ，
+ 0 -增函数 极大值 减函数
∴ ，∴ ，∴ 不符合题意，舍去；
③若 ，即 时，在 上 ，
∴ 在 上是增函数，故 在 上的最大值为 ，
∴ 不符合题意，舍去，
综合以上可得 .
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若 且 存在零点，求实数a的取值范围；
(2)若 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2) .
【详解】（1）因为 ，所以 ，
①当 时， ，此时 在 单调递增，
所以 在 存在唯一零点，
所以 在 存在唯一零点；
②当 时， ，所以 在 无零点；
③当 时， ， ，
此时 在 单调递减， 单调递增，
所以 ，且 ，
若 存在零点，则只需要 即可，
所以 ，
由①②③可得，实数 的取值范围 ；
（2）①当 时， ，此时 在 单调递增，
当 时 与 恒成立矛盾；
②当 时， ，则 ，所以 ，
③当 时， ， ，
此时 在 单调递减， 单调递增，所以 ，
令 ，所以 ，
， ，
所以 在 单调递增， 单调递减，
，所以
由①②③可得， 的最大值为 .
4．（2023·高三课时练习）已知函数 ，曲线 在点 处切线方程为
．
（1）求 的值；
（2）讨论 的单调性，并求 的极大值．
【答案】（1） ；（2）见解析.
【详解】试题分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线 在点 处切线方程为
，建立方程，即可求得 ， 的值；（2）利用导数的正负，可得 的单调性，从而可求
的极大值．
试题解析：（1） ．
由已知得 ， ．
故 ， ．
从而 ， ．
（2）由（1）知， ，
．
令 得， 或 ．
从而当 时， ；
当 时， ．
故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
当 时，函数 取得极大值，极大值为 ．
第四部分：数学文化（高观点）题
1．（2023春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）设函数 在区间 上的导函数为 ， 在区间 上的导函数为 ，若在区间 上 恒成立，则称函数
在区间 上为“凸函数”；已知 在 上为“凸函数”，则实数 的取
值范围是_____.
【答案】
【详解】∵ ，
∴ ， ，
若 在 为“凸函数”，
则 ， ，
即 ， ，
设 ，则 ，
∴ 在区间 单调递增，
当 时， ，
∴实数 的取值范围是 .
故答案为：[2,+∞)
2．（2023全国·高二专题练习）声音的波长变化曲线一般都可用多个形如 的函数的和来描述，
因此，我们通常将用函数 的和构成的函数称为声音函数，例如，某段音乐形成的波长曲线（如
图所示）可用若干个声音函数来描述．已知某声音函数 ，则 在区间
上的最小值与最大值之积为______．
【答案】
【详解】当 时，由 ，得 ，
令 ，得 ，解得 或 ．当 时， ， 单调递减；当 时， ，单调递增，
则 在区间 上的最小值是 ，
且 ，所以 在区间 上的最小值为 ，
因为 ，
所以 是奇函数，
所以 在区间 上的最大值是 ，最小值为 ．
所以 在区间 上的最小值与最大值分别为 ， ，
故所求最大值与最小值之积为 ，
故答案为： ．
3．（2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考）材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现
行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限
次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数 ，我们可以
作变形： ，所以 可看作是由函数 和 复合而
成的，即 为初等函数.根据以上材料：
（1）直接写出初等函数 极值点
（2）求初等函数 极值.
【答案】（1））极小值点为 ，无极大值点；（2）极大值且为 ，无极小值.
【详解】（1）极小值点为 ，无极大值点.
（2） ，
所以 ，
令 得 ，当 时， ，此时函数 单调递增；
当 时， ，此时函数 单调递减.
所以 有极大值且为 ，无极小值.4．（2023·高二单元测试）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线
之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 是 的导函数，
是 的导函数，则曲线 在点 处的曲率 ．
（1）若曲线 与 在 处的曲率分别为 ，比较 大小；
（2）求正弦曲线 曲率的最大值．
【答案】（1） ；（2）1．
【详解】（1） ， ，所以 ，
， ， ，所以 ；
（2） ， ，
所以 ，
，
令 ，则 ，
设 ，则 ，
显然当 时， ， 递减，所以 ． 最大值为1，
所以 的最大值为1．第五部分：数学思想方法
①数形结合的思想
1．（2023·高二校考课时练习）已知函数 有且仅有一个极值点，则实数m的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题可得，函数 的定义域为 ， ，
若函数 有且仅有一个极值点，则 在 上有且仅有一个变号零点，
令 ， ，则问题转化为函数 与 的图象在 上只有一个交点，且交点
左右 的符号不同，
①当 时， ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是 的极大值点，符合题意；
②当 时，若函数 ， 的图象在 上只有一个交点，则函数 ， 的图象相切，
作出函数 和 的大致图象，如图1所示，数形结合可得交点左右 的符号相同，
不符合题意；
③当 时，无论m为何值，函数 与 的图象在 上都有且只有一个交点，
作出函数 和 的大致图象，如图2所示，数形结合可得交点左右 的符号不同，
符合题意；
综上，m的取值范围为 .
故选：A.2．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数 （ 且 ）有唯一极值点，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知： 定义域为 ， ，
令 得： ；
在平面直角坐标系中，作出 与 的图象如下图所示，
由图象可知：当 时， 与 有唯一交点 ，
则当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
是 唯一的极值点，满足题意；
当 时， 恒成立，即 恒成立，
在 上单调递减，无极值点，不合题意；
综上所述：实数 的取值范围为 .故选：C.
3．（2023·河南·高三校联考阶段练习）若 是函数 的两个极值点，且 ，
则实数 的取值范围为_____________．
【答案】
【详解】 ， 是 的两个极值点，
是 的两根，又当 时，方程不成立，
与 有两个不同的交点；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
则 图象如下图所示，
由图象可知： 且 ；
， ；
当 时，不妨令 ，则 ，即 ， ，解得： ，
当 时， ，
若 ，则 ，即 的取值范围为 .
故答案为： .②分类与整合的思想
1．（2023·山东威海·高三校考阶段练习）已知函数 （ ， 为自然对数的底
数）．
(1)若 是 的极值点，求 的取值范围；
【答案】(1) ；
（1）根据题意，得 ，
当 时， ，令 ，得 ；令 ，得 ，
此时 在 上单调递减， 在 上单调递增，即 是 的极值点；
当 时，令 ，解得 或 ，
当 ，即 时，由 得， ；由 得， 或 ，
此时 在 上单调递减， 在 和 上单调递增，即 是 的极值点；
当 时， ， 在 上单调递增，即 不是 的极值
点，不满足题意；
当 ，即 时，由 得， ；由 得， 或 ，
此时 在 上单调递减， 在 和 上单调递增，即 是 的极值点；
综上： ，即 的取值范围为 .
2．（2023·山东临沂·高二统考）已知实数 ，且函数 的定义域为
．
(1)求 的导数 ；
(2)当 时，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)见解析.
(1)
解：因为 ，所以
，
即 ；
(2)
解：当 时， ，
且 ，
因为 的定义域为 ，
令 ，得 ， ，
①若 ，则当 时， ，
为单调递减函数，所以 的最大值为 ；
②若 ，则当 时， ；
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
所以 的最大值为 与 中的较大值，
考虑 ，
易知当 时， ，即 ，
所以 的最大值为 ；
当 时， ，即 ，
所以 的最大值为 ，
综上所述，当 时， 的最大值为2；
当 时， 的最大值为 ．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 在区间 上的最小值．
【答案】(1) 在 ， 上递增，在 递减
(2)当 时，函数 在区间 上的最小值为 ；当 时，函数 在区
间 上的最小值为 ．（1） 则
令 ，则 或
∴ 在 ， 上递增，在 递减
（2）由（1）可知： 在 上递增，在 递减
当 时， 在 递减
∴函数 在区间 上的最小值为 ；
当 时， 在 上递增，在 递减
∴函数 在区间 上的最小值为 ．
综上所述：当 时，函数 在区间 上的最小值为 ；
当 时，函数 在区间 上的最小值为 ．
