文档文本内容
第 02 讲 导数与函数的单调性(精讲）
目录
第02讲 导数与函数的单调性(精讲）...............................................1
第一部分：知识点必背............................................................2
4、含参问题讨论单调性.......................................................2
第二部分：高考真题回归..........................................................3
第三部分：高频考点一遍过........................................................4
高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参）..............................4
高频考点二：已知函数 在区间 上单调...................................6
高频考点三：已知函数 在区间 上存在单调区间.............................8
高频考点四：已知函数 在区间 上不单调..................................10
高频考点五：已知函数 的单调区间为（是） ..............................12
高频考点六：已知函数 的单调区间的个数...................................13
高频考点五：函数单调性的应用...............................................15
角度1：导函数与原函数图象的单调性.......................................15
角度2：比较大小.........................................................18
角度3：构造函数解不等式.................................................20
高频考点六：含参问题讨论单调性.............................................24
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）.........................24
角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型...........26
角度3：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型...........................29
第四部分：高考新题型...........................................................32
①开放性试题...............................................................32
第五部分：数学思想方法.........................................................33
①分类讨论的思想...........................................................33
②转化与化归思想...........................................................34
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第一部分：知识点必背
1、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）条件 恒有 结论
在 内单调递增
函数 在区
在 内单调递减
间 上可导
在 内是常数函数
2、求已知函数（不含参）的单调区间
①求 的定义域
②求
③令 ，解不等式，求单调增区间
④令 ，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令 （或 ）不跟等号.
3、由函数 的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数 在区间 上单调
①已知 在区间 上单调递增 ， 恒成立.
②已知 在区间 上单调递减 ， 恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数 在区间 上存在单调区间
①已知 在区间 上存在单调增区间 令 ，解不等式，求单调增区间 ，则
②已知 在区间 上存在单调减区间 令 ，解不等式，求单调减区间 ，则
（3）已知函数 在区间 上不单调 ，使得 (其中 是变号零点）
4、含参问题讨论单调性
第一步：求 的定义域
第二步：求 （导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于 进行求导得到 ，对 初步处理（如通分），提出 的恒正部分，将该部分
省略，留下的部分则为 的有效部分（如： ，则记 为
的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定 的正负.
第四步：确定导函数有效部分 的类型：
① 为一次型（或可化为一次型）② 为二次型（或可化为二次型）第五步：通过分析导函数有效部分，讨论 的单调性
第二部分：高考真题回归
1．（2022·北京·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
【答案】(1)
(2) 在 上单调递增.
【详解】（1）解：因为 ，所以 ，
即切点坐标为 ，
又 ，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为 ，
所以 ，
令 ，
则 ，
∴ 在 上单调递增，
∴
∴ 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递增.
2．（2022·全国（新高考Ⅱ）·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
【答案】(1) 的减区间为 ，增区间为 .
【详解】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，故 的减区间为 ，增区间为 .
3．（2022·浙江·高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
【答案】(1) 的减区间为 ，增区间为 .
【详解】（1） ，
当 ， ；当 ， ，
故 的减区间为 ， 的增区间为 .
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参）
典型例题
例题1．（2023春·天津滨海新·高二汉沽一中校考阶段练习）函数 的单调递减区间是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知 ，
时， ， 时， ，
所以 的减区间是 ，增区间是 ；
故选：A．
例题2．（2023春·内蒙古兴安盟·高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）函数 的单调递
减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，函数定义域为 ， ，
令 ，得 ，所以函数 的单调递减区间是 .故选：A.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）函数 的单调递增区间为__________.
【答案】
【详解】函数 ，则 ，
令 解得 ，
当 时, ,函数 单调递减，
当 时, ,函数 单调递增，
当 时, ,函数 单调递减，
故答案为： .
练透核心考点
1．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习）函数 的单调递增区间为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，得 或 ，
又函数的定义域为 ，所以函数的单调递增区间为 ，
故选：C
2．（2023春·广东茂名·高二信宜市第二中学校考阶段练习）函数 的单调递减区间是
_______________.
【答案】
【详解】由题设 ，令 ，解得 ，
因此，函数 的单调递减区间是 .故答案为：
3．（2023·高三课时练习）写出函数 的严格增区间：____________．
【答案】 ，
【详解】由题意 ，解得 ， ，
故函数 的严格增区间为 ， .
故答案为： ， .
高频考点二：已知函数 在区间 上单调
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在区间 上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： ，则 在 上恒成立，即
恒成立，又 在 上单调递减，故 ，
所以 ，当 时，导数不恒为0，
故选：D.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上为单调递增函数，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，
因为 在 上为单调递增函数，
所以 在 上恒成立，
令 ，要满足 ①，或 ②，
由①得： ，由②得： ，
综上：实数m的取值范围是 .
故选：D
例题3．（2023·高二课时练习）若 在 上是减函数，则实数 的取值范围
是_________.
【答案】
【详解】 ，
因为 在 上是减函数，
所以 在 上恒成立，
即 ，
当 时， 的最小值为 ，所以 ，
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，又 在 上单调递增，故 在 上恒成立，而 时，
易见 ，只需要 即可，故 .
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 单调递增的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题得 ，
函数 在区间 单调递增，
在区间 上恒成立．，
而 在区间 上单调递减，
．
选项中只有 是 的必要不充分条件. 选项AC是 的充分不必要条件，选项B是充要条件.
故选：D
3．（2023·高二课时练习）已知函数 在 上是单调函数，则实数 的取值范
围是________．
【答案】
【详解】由题意得 在 上恒成立，
因此 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： .
高频考点三：已知函数 在区间 上存在单调区间
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）若函数 存在单调递减区间，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】函数 的定义域为 ，且其导数为 ．由 存
在单调递减区间知 在 上有解，即 有解．因为函数 的定义域为 ，
所以 ．要使 有解，只需要 的最小值小于 ，所以 ，即 ，所以实
数 的取值范围是 ．
故选:B．例题2．（2023·全国·高二专题练习）若函数 在区间 内存在单调递增区间，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 可得： .
因为函数 在区间 内存在单调递增区间，
所以 在 上有解，即 在 上有解.
设 ，由 在 上恒成立，所以 在 单调递增，所以
.
所以 .
故选：D
练透核心考点
1．（2023·安徽滁州·高三校考阶段练习）若函数 存在递减区间，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题设， ，由 存在递减区间，即存在 使 ，
∴ ，可得 或 .
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）设f(x)＝－ x3＋ x2＋2ax，若f(x)在 上存在单调递增区间，求a的
取值范围.
【答案】
【详解】由 f ′(x)＝－x2＋x＋2a＝ ，当 时，f ′(x)的最大值为
令 ，得 .
所以，当 时，f(x)在 上存在单调递增区间．
高频考点四：已知函数 在区间 上不单调
典型例题
例题1．（2023·高二课时练习）“当 时，函数 在区间 上不是单调函数”为真命
题的 的一个取值是__________．
【答案】5（答案不唯一，只要是大于4的实数即可）
【详解】∵ ，∴ ，
函数 在区间 上不是单调函数，
∴ 在区间 上有解,∵ ，∴ ,∴ ,
故答案为：5（答案不唯一，只要是大于4的实数即可）.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上不单调，则 的取值范围是
______.
【答案】
【详解】
因为函数 在 上不单调
所以 必有解
当 只有一个解时，
得出函数 在 上单调递增，与题干矛盾，故 必有两个不等实根
则 ，解得 或
故答案为
练透核心考点
1．（2023·高二课时练习）已知函数 ．若 在 内不单调，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【详解】由 ，得 ，
当 在 内为减函数时，则 在 内恒成立，
所以 在 内恒成立，
当 在 内为增函数时，则 在 内恒成立，
所以 在 内恒成立，
令 ，因为 在 内单调递增，在 内单调递减，
所以 在 内的值域为 ，所以 或 ，
所以函数 在 内单调时，a的取值范围是 ，
故 在 上不单调时，实数a的取值范围是 ．
故答案为： ．
2．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）若函数 在区间(1，4)上不单调，则实
数a的取值范围是___________.
【答案】(4，5)
【详解】解： 函数 ， ，
若函数 在区间 上不单调，则 在 上存在变号零点，
由 得 ，
令 ， ， ，
在 递减，在 递增，而 ， ， ，
所以 .
故答案为： .高频考点五：已知函数 的单调区间为（是）
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 的单调递减区间为 ，则
（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由 得 ，又 的单调递减区间是 ，所以 和1是方程
的两个根，代入得 .经检验满足题意
故选：B.
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 的单调递减区间是
，则 （ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】函数 ，则导数
令 ，即 ，
∵ ， 的单调递减区间是 ，
∴0，4是方程 的两根，
∴ ， ，
∴
故选：B.
例题3．（2023·高二课时练习）已知函数 的单调递减区间是 ，则 的值
为______.
【答案】
【详解】由题设， ，由 单调递减区间是 ，
∴ 的解集为 ，则 是 的解集，∴ ，可得 ，故 .
故答案为：
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（ ）
A．－12 B．－10 C．8 D．10
【答案】A
【详解】 ＝3x2＋2bx＋c，由题意知，－1<x<3是不等式3x2＋2bx＋c<0的解，
∴－1，3是 ＝0的两个根，∴b＝－3，c＝－9，∴b＋c＝－12.
故选：A．
2．（2023·高二课时练习）已知函数 的单调递减区间为 ，则 的值为________．
【答案】
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
由题意可知，不等式 的解集为 ，所以， ，解得 .
故答案为： .
高频考点六：已知函数 的单调区间的个数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 存在三个单调区间，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意，函数 ，可得 ，
因为函数 存在三个单调区间，可得 有两个不相等的实数根，
则满足 ，解得 或 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：C.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 有三个单调区间，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【详解】试题分析：函数有3个单调区间，等价于导函数有2个不同零点，
例题3．（2023·全国·高三对口高考）设函数 恰有三个单调区间，试确定a的取值范围．
【答案】 .
【详解】由题可知 的定义域为R， ，
若 ，则 恒成立，此时 在R上单调递增，即只有一个单调区间，不符题意；
若 ，由 解得 ，
由 解得 或 ，
此时 在 上单调递增，在 与 上单调递减，共有三个单调区间，
符合题意；
所以a的取值范围是 ．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数 恰好有三个单调区间，则实数 的取值范围
是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵函数f（x）＝ax3﹣3x2+x+1，
∴f′（x）＝3ax2﹣6x+1，
由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，
∴3ax2﹣6x+1＝0满足：a≠0，且△＝36﹣12a＞0，解得a＜3，
∴a∈（﹣∞，0）∪（0，3）．
故选D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 恰好有三个不同的单调区间，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】由题意得 ，
函数 恰好有三个不同的单调区间， 有两个不同的零点，
所以， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故选：D.
高频考点五：函数单调性的应用
角度1：导函数与原函数图象的单调性
典型例题
例题1．（2023秋·山西阳泉·高二统考期末）已知函数 的导函数 图象如下图所示，则
原函数 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由图可知，当 时， ，则函数 在 上为增函数，
当 时， 单调递增，故函数 在 上的增长速度越来越快，
当 时， 单调递减，故函数 在 上的增长速度越来越慢.
B选项中的图象满足题意.故选：B.
例题2．（多选）（2023春·山西运城·高二校联考阶段练习）设 是函数 的导函数，将
和 的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】对选项A，若图中的直线为 的图象，曲线为 的图象，
因为 的图象先负后正， 的图象先减后增，故A可能正确.
对选项B，若图中上面的曲线为 的图象，下面曲线为 的图象，
因为 的图象在 处先负后正， 的图象在 处先减后增，
故B可能正确.
对选项C，若图中上面的曲线为 的图象，下面曲线为 的图象，
因为 恒成立， 的图象为增函数，故C可能正确.
对选项D，若图中上面的曲线为 的图象，下面曲线为 的图象，
因为 的图象先负后正， 的图象为增函数，不符合，
若图中上面的曲线为 的图象，下面曲线为 的图象，
因为 恒成立， 的图象为增函数，不符合，故D错误.
故选：ABC
练透核心考点
1．（2023春·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）已知函数 的图象如图所示（其
中 是函数 的导函数），则下面四个图象中， 的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题给函数 的图象，可得
当 时， ，则 ，则 单调递增；
当 时， ，则 ，则 单调递减；
当 时， ，则 ，则 单调递减；
当 时， ，则 ，则 单调递增；
则 单调递增区间为 ， ；单调递减区间为
故仅选项C符合要求.
故选：C
2．（2023·高二课时练习）设 是函数 的导函数，在同一个直角坐标系中， 和
的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】对A， 和 可满足，故A可能成立；
对B， 和 可满足，故B可能成立；
对C， 和 可满足，故C可能成立；
对D，因为导函数为原函数的斜率函数，易得若任一一个函数图象为导函数，则原函数的切线斜率应该恒
非负或非正，故不满足，故D错误；
故选：D
角度2：比较大小
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在R上的函数 ，其导函数 的大致图象如图所
示，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由 图像可知f(x)图像大致如下：
由图可知f(a)>f(b)，f(b)<f(c)<f(d)<f(e)，故仅有D选项是正确的．
故选：D．
例题2．（2023春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考阶段练习）已知函数 的图象如图所示，那么下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由 图象知， 递减，即 ，但 图象的切线斜率随着 的增大而增大，导函数
是递增的，
因此 ．
故选：A．
练透核心考点
1．（2023·高二课时练习）已知函数 的图象如图所示， 是函数 的导函数，则下列数值
排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由函数 的图象可知，
当 时， 单调递增，
所以 ， ， ，
由此可知， 在 上恒大于0，
因为直线的斜率逐渐增大，
所以 单调递增，结合导数的几何意义，故 ，
所以 ，
故选：A．
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象如图所示，记 、 、 ，则 、 、
最大的是________.
【答案】
【详解】根据导数的几何意义， 、 、 分别为 处的切线斜率，
又 与 处的切线单调递增， 处的切线单调递减，且 处的切线比 处的切线更陡峭，
∴ ，
故最大为 .
故答案为：
角度3：构造函数解不等式
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上可导且满足 ，则下列不
等式一定成立的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】构造函数 ，
在 时恒成立，
所以 在 时单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，故选:C.
例题2．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数 是定义在 上的偶
函数，其导函数为 ，且当 时， ，则不等式 的
解集为______．
【答案】 或
【详解】令 ，
则 ，
由当 时， ，
所以当 时，
即 在 上是增函数，
由题意 是定义在 上的偶函数，
所以 ，
所以 ，
所以 是偶函数，在 递减，
所以 ，
，
即不等式等价为 ，
所以 ，所以 或 .
故答案为： 或 .
例题3．（2022春·安徽合肥·高二合肥市第六中学校考期中）已知函数 是其导
函数，恒有 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，
由 得 ，所以 .构造函数 ， ，
则 ，所以 在 上为增函数，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，故A错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，故B错误；
因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，故C错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，故D正确.
故选：D
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且满足 ，
，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】构造函数 ，
，
所以 在 上递增， ，
由于 ，
根据 的单调性解得 ，
所以 的解集 .
故选：D
2．（2023·全国·高二专题练习）已知 是函数 的导数， 则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令 ，则 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
设 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，
所以 等价于 ，
则 ，即 ，解得 ．
所以不等式 的解集是 ．
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时, ，且f（3）＝
0，则不等式f（x）≥0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） B．[﹣3，3]
C．（﹣∞，﹣3]∪[0，3] D．[﹣3，0]∪[3，+∞）
【答案】D
【详解】设 ，（x＞0），则其导数 ，
而当x＞0时 ，所以g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上为增函数，
又由f（3）＝0，则 0，所以 区间（0，3）上，g（x）＜0，在区间（3，+∞）上，
g（x）＞0，则在区间（0，3）上，f（x）＜0，在区间（3，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）是定义在R
上的奇函数，则f（0）＝0， ，
且在区间（﹣∞，﹣3）上，f（x）＜0，在区间（﹣3，0）上，f（x）＞0，综合可得：不等式f（x）≥0的解集为[﹣3，0]∪[3，+∞）．
故选：D.
高频考点六：含参问题讨论单调性
角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
典型例题
例题1．（2023春·广东茂名·高二信宜市第二中学校考阶段练习）已知函数 ，讨论函数
的单调性；
【答案】当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在 上单调递减，在
上单调递增.
【详解】 ， ，
①当 时， ，函数 在 上单调递增；
②当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以函数 在 上单调递减； 在 上单调递增.
综上所述，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处曲线的切线方程；
(2)求函数 的单调区间.
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
，所以切点为 ，
又因为 ，所以 ，即切线的斜率等于2，
根据点斜式得 ，整理得 .（2） ,
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，
当 时，令 即 解得 ，
令 即 解得 ，
所以 在 单调递增， 单调递减.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）设函数 ，求 的单调区间．
【答案】答案见解析
【详解】 的定义域为 ， ．
若 ，则 ，所以 在 上单调递增．
若 ，则当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
综上所述，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
练透核心考点
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 .讨论 的单调性；
【答案】答案见解析
【详解】由题可得 的定义域为 ，且 ，
当 时， 成立，所以 在 上单调递增；
当 时，由 ，可得 ，所以 在 上为增函数；
由 ，可得 ，所以 在 上为减函数.
综上， 时，函数 在 上为增函数； 时，函数 在 上为增函数，函数 在
上为减函数.
2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 ，其中 .讨论函数 的单调性；
【答案】答案见解析
【详解】由 ，得 ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递增；当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增.
角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设函数 .当 时，讨论函数 的
单调性；
【答案】见解析
【详解】由题知，函数 的定义域为 ，
所以求导得 ，
若 ，
由 得 或 ，
由 得 ，
所以函数 在 ，和 上单调递增，在 上单调递减，
若 ，恒有 ，当且仅当 时取等号，因此函数 在 上单调递增，
若 ，
由 得 或 ，
由 得 ，
所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
例题2．（2023·高二课时练习）已知函数 ．讨论 的单调性；【答案】答案见解析
【详解】定义域为R，
．
当 时，则 ， 在R上单调递增，
当 时，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增．
综上，当 时， 在R上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，讨论 的单调性；
【答案】答案见解析
【详解】函数 定义域R，
求导得 ，
若 ，
当 时， ，当 或 时， ，
即 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
若 ，恒有 .即 在 上单调递增；
若 ，
当 时， ；当 或 时， ，即 在 上单调递减，在 和
上单调递增，
所以当 时，函数 的递减区间是 ，递增区间是 和 ；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 的递减区间是 ，递增区间是 和 .
练透核心考点1．（2023·高二课时练习）已知函数 ．求函数 的单调区间；
【答案】答案见解析
【详解】函数 的定义域为
则
当 ， 时， 恒成立，所以 单调递减；
当 时，令 ，解得 或 （舍去），
令 ， ，令 ，
所以 在 上单调递减； 上单调递增．
综上所述：当 时， 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， .讨论 的单调性；
【答案】答案见解析
【详解】 ，
当 即 时， 或 ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 即 时， ， 在 上单调递增；
当 即 时， 或 ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
综上可知： 时，故 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
时， 在 上单调递增；
时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
3．（2023·高二课时练习）已知函数 ，讨论函数 的单调性；
【答案】答案见解析
【详解】解：因为 ，所以
若 时， ， 在 上单调递增；
若 时， ，当 或 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
若 时， ，当 或 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数.
综上， 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
角度3：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型
典型例题
例题1．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数 .
(1)若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)讨论函数 的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1） 在 上单调递增， 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
当 时， ， ， ，
即实数 的取值范围为 .
（2）由题意得： ，则 ；
令 ，
①当 时， ， 在 上单调递增；
②当 时， ；若 ，即 时， 恒成立， 恒成立，
在 上单调递增；
若 ，即 且 时，令 ，解得： ， ；
（i）若 ，则 ，则 在 上恒成立，
恒成立， 在 上单调递增；
（ii）若 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减.
例题2．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
【答案】(1)当 时， 在 是增函数；
当 时， 在 单调递增，在 单调递减，在
单调递增.
【详解】（1）由已知得函数 的定义城为 ，
．当且仅当 时，等号成立，
当 时，恒有 ，所以 在 是增函数；
当 时，方程 有两个不等的正根 ， ，
由 ，即 ，解得 ，或 ．
由 ，即 ，解得 ，所以 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增．
综上，当 时， 在 是增函数；
当 时， 在 单调递增，在 单调递减，在
单调递增．
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .讨论函数 的单调性；
【答案】答案见解析
【详解】由 ，可知定义域 ，
，令 ，则 ，
①当 时， ，则 成立，即 成立，
所以 的单调增区间为 ；
②当 时，令 ，得 ，记 ，
，当 变化时， ， 的变化情况如下表
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 的增区间为 ， 上单调递增，减区间为 ，
综上，当 时， 的单调增区间为 ；
当 时， 的增区间为 ， 上单调递增，减区间为
.
2．（2023·全国·高三专题练习）讨论函数 的单调性【答案】答案见解析
【详解】由题可知，函数 的定义域为 ，
，
令 ， ，
当 时，
在 恒成立，
所以 在 恒成立，
所以函数 在 单调递增；
当 时， ，
在 恒成立，
所以 在 恒成立，
所以函数 在 单调递增；
当 时， ，
方程 的两个根记为 ，
有 ，可得 ，
由求根公式可得
所以当 时， ，
当 或 时， ；
综上，
(i) 当 时，函数 在 单调递增，
单调递减， 单调递增；
(ii) 当 时，函数 在 单调递增.第四部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）写出一个同时具备下列性质①②的函数 ：
__________．
① ；② ．
【答案】 （答案不唯一）
【详解】因为 是加变乘，所以考虑指数函数类型，又 是减函数，
满足要求；
故答案为： （答案不唯一）.
2．（2023·全国·高二专题练习）写出一个同时具有下列性质①②的函数 ___________.
① ；②当 时， ；
【答案】 （答案不唯一）
【详解】依题意，当 时， ，
即 在区间 上为减函数，
且 ，
对函数 ，在区间 上为减函数，
任取 ， ，符合题意.
故答案为： （答案不唯一）
第五部分：数学思想方法
①分类讨论的思想
1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 .讨论 的单调性
【答案】答案见解析
【详解】由题意可知：函数 的定义域为 ， .
①当 时，令 ，即 ，解得： .令 ，解得： ；令 ，解得： ；
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
②当 时，则 ，
所以函数 在 上单调递增；
综上所述：当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
当 时，函数 在 上单调递增.
2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 ，讨论函数 的单调性
【答案】答案见解析
【详解】因为函数 ，则 ，
注意到 ，令 ， ，
当 ，即 时，令 ，解得 ， ，且 ，
令 ，即 ，解得 或 ，令 ，即 ，解得 ，
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递
减；
当 ，即 时，则 在定义域内恒成立，故 在定义域内恒成立，
所以 在 上单调递增；
综上所述：当 时，函数 在 和 上单调递增，在
上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增.
②转化与化归思想
1．（2023·江西九江·高二统考）若函数 在定义域内单调，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】 ，
依题意可得：函数 在定义域内只能单调递增，
恒成立，即 恒成立，
，
，
故选：A
2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数 ，若 在 上是单调减函数，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由 ，得 ，
函数 在 上为单调减函数，
对 恒成立，
即 对 恒成立，
，解得 ，
的取值范围是 .
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ ）若对任意 ，
恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】条件等价于对任意 .
恒成立，设 （ ）.
则 在 上单调递减，
则 在 上恒成立，得 （ ）恒成立，
∴ （对 ， 仅在 时成立），
故 的取值范围是 .
故选：A.
