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第 03 讲 导数与函数的极值、最值(精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高考真题回归..............................................2
第三部分：高频考点一遍过............................................3
高频考点一：函数图象与极值（点）的关系...........................3
高频考点二：求已知函数的极值（点）...............................5
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数...........................6
高频考点四：求函数的最值（不含参）...............................7
高频考点五：求函数的最值（含参）.................................9
高频考点六：已知函数的最值求含参................................10
高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用..................12
第四部分：数学文化（高观点）题.....................................14
第五部分：数学思想方法.............................................15
①数形结合的思想................................................15
②分类与整合的思想..............................................16
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背
1、函数的极值
一般地，对于函数 ，
（1）若在点 处有 ，且在点 附近的左侧有 ，右侧有 ，则称
为 的极小值点， 叫做函数 的极小值.
（2）若在点 处有 ，且在点 附近的左侧有 ，右侧有 ，则称
为 的极大值点， 叫做函数 的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
2、函数的最大（小）值
一般地，如果在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小
值.
设函数 在 上连续，在 内可导，求 在 上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求 在 内的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值.
3、函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间 的整体而言；
（2）在函数的定义区间 内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个
（或者没有）；
（3）函数 的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（乙卷文）·高考真题）函数 在区间 的最小值、最大值分
别为（ ）
A． B． C． D．2．（2022·全国（甲卷理）·高考真题）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
3．（多选）（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
4．（2022·全国（乙卷理）·高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的
极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是____________．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数图象与极值（点）的关系
典型例题
例题1．（2023春·山西·高二校联考阶段练习）已知函数 的导函数 的图象如图所示，
则（ ）
A． 在区间 上单调递增
B． 在区间 上有且仅有2个极值点
C． 在区间 上有且仅有3个零点D． 在区间 上存在极大值点
例题2．（2023·高二校考课时练习）定义在区间 上的函数 的导函数 的图象如图所示，
则下列结论正确的是（ ）
A．函数 在区间 上单调递增
B．函数 在区间 上单调递减
C．函数 在 处取得极大值
D．函数 在 处取得极大值
例题3．（多选）（2023·高二单元测试）如图是导函数 的图象，则下列说法错误的是
（ ）
A． 为函数 的单调递增区间
B． 为函数 的单调递减区间
C．函数 在 处取得极大值
D．函数 在 处取得极小值
练透核心考点
1．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下
列判断正确的是（ ）A． 在区间 上单调递增
B． 在区间 上单调递增
C． 为 的极小值点
D． 为 的极大值点
2．（2023春·天津和平·高二校考阶段练习）函数 的导函数 的图象如图所示，则（ ）
A． 为函数 的零点
B．函数 在 上单调递减
C． 为函数 的极大值点
D． 是函数 的最小值
3．（2023春·天津红桥·高二天津三中校考阶段练习）如图是 的导函数 的图象，则下列说法
正确的个数是（ ）
① 在区间 上是增函数；
② 是 的极小值点；
③ 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数；
④ 是 的极大值点.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
高频考点二：求已知函数的极值（点）
典型例题例题1．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数 ，
则 的极小值为（ ）
A．2 B． C． D．
例题2．（多选）（2023春·广东东莞·高二校考阶段练习）已知函数 ，下列说法
正确的是（ ）
A． 有两个极值点 B． 的极大值点为
C． 的极小值为 D． 的最大值为
例题3．（2023·高二校考课时练习）已知函数 ，则 的极大值为
________________
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，则（ ）
A．1为 的极大值点 B．1为 的极小值点
C．－1为 的极大值点 D．－1为 的极小值点
2．（2023·高二校考课时练习）函数 （ ）
A．有最大（小）值，但无极值 B．有最大（小）值，也有极值
C．既无最大（小）值，也无极值 D．无最大（小）值，但有极值
3．（多选）（2023·高二校考课时练习）若函数 ，则（ ）
A．函数 只有极大值没有极小值 B．函数 只有最大值没有最小值
C．函数 只有极小值没有极大值 D．函数 只有最小值没有最大值
高频考点三：根据函数的极值（点）求参数
典型例题
例题1．（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）已知函数
的两个极值点分别为 和2，若 的极大值为1，则 的值为
（ ）
A． B．0 C．2 D．4例题2．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）若函数 有两个
不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题3．（多选）（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）已知函数 在
处取得极值 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 一定有两个极值点 D． 的单调递增区间是
例题4．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）已知
在 处取得极值，则 的最小值为__________.
练透核心考点
1．（2023·高二校考课时练习）当 时，函数 取得极小值4，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（多选）（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）设函数 ，若函数 有两个极值点，则实数
a的值可以是（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）若函数 在
处取得极大值10，则 的值为___________.
4．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）若函数 有小于0的极值点，则a的范围是
________．
高频考点四：求函数的最值（不含参）
典型例题
例题1．（2023·高二校考课时练习）函数 在区间 上的最大值是（ ）A．0 B． C． D．
例题2．（2023春·浙江杭州·高二学军中学校考阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 在点 处的切线方程；
(2)求函数 在 的最大值和最小值．
例题3．（2023春·山东·高二校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)求 的极值；
(2)求 在区间 上的最大值与最小值.
例题4．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知函数
在 处有极值6.
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 在 上的最大值与最小值.
练透核心考点
1．（2023春·天津滨海新·高二汉沽一中校考阶段练习） 在 上的最大值是________.
2．（2023春·山东菏泽·高二校考阶段练习）已知 的一个极值点为2.
(1)求函数 的单调区间.
(2)求函数 在区间 上的最值.
3．（2023春·天津武清·高二校考阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；(2)求 在 上的最值.
4．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数 在点
处的切线斜率为 ，且在 处取得极值．
(1)求函数 的解析式；
(2)当 时，求函数 的最值．
高频考点五：求函数的最值（含参）
典型例题
例题1．（2023·高二课时练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求 在区间 上的最小值．
例题2．（2023·高二课时练习）已知函数 ．
(1)若函数 在 处取得极值，求实数 的值；
(2)当 时．求函数 的最大值．
例题3．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若函数 的最小值为 ，求 的最大值．练透核心考点
1．（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）已知 .
(1)若 在 处有极大值，求 的值；
(2)若 ，求 在区间 上的最小值.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)设 在区间 上的最小值为 ，求 及 的最大值．
高频考点六：已知函数的最值求含参
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）若函数 的最大值为 ，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023·全国·模拟预测）已知 ，函数 在 上的最小值为2，则实数__________.
例题3．（2023·高二课时练习）设 是函数 的一个驻点，曲线 在
处的切线斜率为9．
(1)求 的单调区间；
(2)若 在闭区间 上的最大值为20，求 的值．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）若 ，试判断 在定义域内的单调性；
（2）若 在 上的最小值为 ，求实数 的值.
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 上的最大值为4，则 的值为（ ）
A．7 B． C．3 D．4
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)设 在区间 上的最小值为 ，求 及 的最大值．3．（2023春·江苏扬州·高二校考开学考试）已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的单调区间；
（3）设 ， ，若 时， 的最小值是3，求实数 的值.（ 是自然对数
的底数）
高频考点七：函数的单调性、极值、最值的综合应用
典型例题
例题1．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数 的极
值点均不大于2，且在区间 上有最小值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范
围是______.
例题3．（2023·北京丰台·统考一模）设函数 若 存在最小值，则 的一个取值
为_______； 的最大值为________．
例题4．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若函数 的最小值为 ，求 的最大值．练透核心考点
1．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）若函数 在区间 上存在单调递减区间，
则实数 的取值范围是________ ．
2．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知函数 ，其中 为常数， 为自然对数的底
数.
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 在区间 上的最大值为 ，求 的值.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若 且 存在零点，求实数a的取值范围；
(2)若 ，求 的最大值.
4．（2023·高三课时练习）已知函数 ，曲线 在点 处切线方程为
．
（1）求 的值；
（2）讨论 的单调性，并求 的极大值．第四部分：数学文化（高观点）题
1．（2023春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）设函数 在区间 上的导
函数为 ， 在区间 上的导函数为 ，若在区间 上 恒成立，则称函数
在区间 上为“凸函数”；已知 在 上为“凸函数”，则实数 的取
值范围是_____.
2．（2023全国·高二专题练习）声音的波长变化曲线一般都可用多个形如 的函数的和来描述，
因此，我们通常将用函数 的和构成的函数称为声音函数，例如，某段音乐形成的波长曲线（如
图所示）可用若干个声音函数来描述．已知某声音函数 ，则 在区间
上的最小值与最大值之积为______．
3．（2023·河北石家庄·高二石家庄二中校考）材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现
行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限
次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数 ，我们可以
作变形： ，所以 可看作是由函数 和 复合而
成的，即 为初等函数.根据以上材料：
（1）直接写出初等函数 极值点
（2）求初等函数 极值.4．（2023·高二单元测试）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线
之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 是 的导函数，
是 的导函数，则曲线 在点 处的曲率 ．
（1）若曲线 与 在 处的曲率分别为 ，比较 大小；
（2）求正弦曲线 曲率的最大值．
第五部分：数学思想方法
①数形结合的思想
1．（2023·高二校考课时练习）已知函数 有且仅有一个极值点，则实数m的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数 （ 且 ）有唯一极值点，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．3．（2023·河南·高三校联考阶段练习）若 是函数 的两个极值点，且 ，
则实数 的取值范围为_____________．
②分类与整合的思想
1．（2023·山东威海·高三校考阶段练习）已知函数 （ ， 为自然对数的底
数）．
(1)若 是 的极值点，求 的取值范围；
2．（2023·山东临沂·高二统考）已知实数 ，且函数 的定义域为
．
(1)求 的导数 ；
(2)当 时，求 的最大值．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 在区间 上的最小值．
