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第 04 讲 幂函数与二次函数 (精练（分层练习）
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·河北唐山·高一统考期末）若幂函数 的图象经过第三象限，则a的值可以是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】当 时， 为偶函数，图象在第一和第二象限，
不经过第三象限，A不合题意；
当 时， 为偶函数，图象过原点分布在第一和第二象限，
图象不经过第三象限，B不合题意；
当 时， ，图象过原点分布在第一象限，不经过第三象限，C不合题意；
当 时， 为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D符合题意，
故选：D
2．（2023秋·四川成都·高一统考期末）若函数 在 上是单调函数，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为 的对称轴为 ，且其图象开口向上，
所以 或 ，解得 或 ，所以 的取值范围是 .
故选：B.
3．（2023秋·青海西宁·高一统考期末）已知点 在幂函数 的图象上，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】 函数 是幂函数，，即 点 在幂函数 的图象上，
2，即 ，故 .
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f (x) ， ，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ,对称轴 ,当 , 又因为
,
所以函数的值域为 .
故选:D
5．（2023·高一课时练习）已知函数 在区间 上是单调函数，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 的图像的对称轴为 ，
因为函数 在区间 上时单调函数，
所以 或 ，
得 或 ，
即 的取值范围是 ，
故选：D
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 是方程 的两根，
则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】 为二次函数，开口向上，
因为 是方程 的两根，故 为图象与 轴的两个交点横坐标，
其中 ，
画出图象如下：
显然 ，
故选：C
7．（2023秋·辽宁鞍山·高一统考期末）函数 是幂函数，对任意 ，
且 ，满足 ，若 ，且 ， ，则 的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【答案】A
【详解】对任意的 ，且 ，满足 ，函数是单调增函数，
是幂函数，可得 ，解得 或 ，
当 时， ；当 时， ，不满足单调性，排除，
故 ， ．
， ，故 恒成立．
故选：A
8．（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）设二次函数 在 上
有最大值，最大值为 ，当 取最小值时， 的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．4【答案】A
【详解】由题意可得： ，即 ，
且 的对称轴为 ，
故 ，
令 ，则 ，
可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即当 时， 取最小值2.
故选：A.
二、多选题
9．（2023秋·四川成都·高一统考期末）若幂函数 的图像经过点 ，则（ ）
A． B．
C．函数 的定义域为 D．函数 的值域为
【答案】BD
【详解】因为 是幂函数,所以 ,解得 ,故B正确;
所以 ,又因的图像经过点 ,所以 ,所以 ,解得 ,故A错误;
因为 ,则其定义域,值域均为 ,故C错误,D正确.
故选:BD.
10．（2023·全国·高三专题练习）下列是函数 的单调减区间的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】由 解得 ，
所以 ，
函数图象如图所示，由图可知函数 的单调减区间为 和 ，
故选：AC
三、填空题
11．（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试）已知幂函数 的图
像不经过原点，则实数 __________.
【答案】
【详解】由已知函数 为幂函数，
得 ，解得 或 ，
当 时， ，定义域为 ，函数图像不经过原点，
当 时， ，定义域为 ，且 ，函数图像经过原点，
综上所述： ，
故答案为： .
12．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，若对于 ， 恒成立，则
实数 的取值范围为___________.
【答案】
【详解】由题意， 可得 ，即 ，
当 时， ，所以 在 上恒成立，
只需 ，
当 时 有最小值为1，则 有最大值为3，
则 ，实数 的取值范围是 ，
故答案为：
四、解答题13．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知幂函数 的图象经过点 ．
(1)求 的解析式，并指明函数 的定义域；
(2)设函数 ，用单调性的定义证明 在 单调递增．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【详解】（1）设 ，则 ， ，
则 ，
的定义域是 ；
（2）由（1）知 ，任取 ，则
，
， ， ， ，
，即 ，
在 上单调递增．
14．（2023秋·江西赣州·高一统考期末）已知幂函数 在 上单调递增.
(1)求 的解析式；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 是幂函数，所以 ，即
解得 或2，
因为 在 上单调递增，所以 ，即 ；
（2）由（1）知 即 ，要使此不等式在 上恒成立，
只需使函数 在 上的最小值大于0即可，
因为 在 上单调递减，所以 ，
由 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .
15．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知函数
(1)若函数 在区间 上单调，求实数 的取值范围；
(2)解不等式 ．
【答案】(1)
(2)当 时，不等式 的解集为 ，
当 时，不等式 的解集为 ，
当 时，不等式 的解集为 ，
【详解】（1）函数 的对称轴 ，
函数 在区间 上单调
依题意得 或 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
（2）由 ，
即 ，
即 ，
令
得方程的两根分别为 ，
当 ，即 时，不等式 的解集为 ，
当 ，即 时，不等式 的解集为 ，
当 ，即 时，不等式 的解集为 ，
综上，当 时，不等式 的解集为 ，
当 时，不等式 的解集为 ，
当 时，不等式 的解集为 ，
B能力提升
1．（2023春·福建泉州·高一福建省永春第一中学校考开学考试）若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】当 时，函数 在R上单调递增，即 在 上递增，则 ，
当 时，函数 是二次函数，又 在 上单调递增，由二次函数性质知， ，
则有 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
2．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知函数 在定义域 上的值域为
，则实数 的取值范围为____.
【答案】
【详解】函数f（x）＝x2﹣2x的对称轴方程为x＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，
当x≥1时，函数为增函数，且
∴要使函数f（x）＝x2﹣2x在定义域[﹣1，n]上的值域为[﹣1，3]，实数n的取值范围是[1，3]．
故答案为：[1，3]
3．（2023秋·河北唐山·高一统考期末）已知函数
①当 时，不等式 的解集为______；
②若 是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【详解】① 时， ，由 得 x无
解，或 .
故所求解集为 ；
② 是定义在R上的增函数等价于 单调递增， 单调递增，且
，则有 ，故实数m的取值范围为 .
故答案为： ； .
4．（2023秋·北京房山·高三统考期末）若函数 存在最小值，则 的一个取值
为______； 的最大值为______.
【答案】 0（答案不唯一） 4
【详解】对于 ，在 上递减， 上递增，在R上的最小值为0；
对于 ，开口向上且对称轴为 ，
所以，在 上递减， 上递增，在R上的最小值为 ；
综上，对于f(x)：当 时， 在 上递减， 上递增，
此时 恒成立，所以 不存在最小值；
当 时， 在 上递减， 上递增，此时最小值为0；
当 时， 在 上递减， , 上递增，且 ，
又 ，
若 时， ，此时最小值为0；
若 时， ，此时最小值为0；
若 时， ，此时最小值为0；
若 时， ，此时最小值为0；
若 时， ，此时 不存在最小值；
综上， ，故m的最大值为4.
故答案为：0（答案不唯一），4
C综合素养
1．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考期末）设 表示函数 在闭区间 上的最大值.
若正实数 满足 ，则正实数 的取值范围是______.
【答案】
【详解】函数 的图像如下：的对称轴为 ， ；当 时， ，
分类讨论如下：
（1）当 时， ， ,
依题意， ，而函数在 时是增函数，此时 ， 故不可能；
（2）当 时， ，
依题意， ，即 ，
令 ，解得： ，
则有： 并且 ，解得： ；
或者 并且 ，无解；
综上：
故答案为：
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 为常数，函数 在区间 上的最大值为 ，则
____．
【答案】 或 ##3或1
【详解】解：函数 的图象是由函数 的图象纵向对折变换得到的，
故函数 的图象关于直线 对称，
则函数的最大值只能在 或 处取得，
若 时，函数 取得最大值3，
则 ， ，
当 时， 时， ，满足条件；
当 时， 时， ，不满足条件；
若 时，函数 取得最大值3，
则 ， ，或 ，
当 时， 时， ，不满足条件；当 时， 时， ，满足条件；
综上所述： 值为1或3；
故答案为：1或3．
3．（2023秋·湖南衡阳·高一统考期末）二次函数 为偶函数， ，且 恒成立．
(1)求 的解析式；
(2) ，记函数 在 上的最大值为 ，求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）解：依题设 ，
由 ，得 ，
，得 恒成立，
∴ ，
得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
∴ ；
（2）解：由题意可得： ， ，
若 ，则 ，则 在[0,1]上单调递增，
所以 ；
若 ，当 ，即 时， 在[0,1]上单调递增，
当 ，只须比较 与 的大小，
由 ，得： ，此时 ，
时， ，此时 ，
综上， ，时， ，
时， ，
时， ，
综上可知： 的最小值为 ．
4．（2023秋·重庆铜梁·高一校联考期末）已知定义在 上的函数 ，满足 .
(1)求 的解析式.
(2)若 在区间 上的最小值为6，求实数 的值.
【答案】(1)
(2) 或 .
【详解】（1）由 ，
令 ，即 ， ，
则 ， ，
所以 .
（2）函数 对称轴为 ，
当 ，即 时，函数 在 上单调递减，
则此时， ，解得 或 （舍去）.
当 ，即 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则此时， ，不符合题意.
当 时，函数 在 上单调递增，
则此时， ，解得 （舍去）或 .
综上所述， 或 .
