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第五章 复习与小结 -A基础练
一、 选择题
1．（2021·福建莆田一中高二期末）设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，
则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】 ,直线 的斜率为-a.所
以a=-2, 故选D
2．（2021·湖北黄石高二期末）若f(x)= 上是减函数，则b的取值范
围是( )
A．[-1，+∞] B．（-1，+∞） C．（-∞，-1] D．（-∞，-1）
【答案】C
【解析】由题意可知 ，在 上恒成立，即 在
上恒成立，由于 ，所以 ，故Ｃ为正确答案．
3．（2021·广东湛江高二期末）设 ，若函数 ， 有大于零的极值点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，若函数在x∈R上有大于零的极值点．
即 有正根，当有 成立时，显然有 ，此时 ．由 ，得参数a的范围为 ．故选B．
4．（2021·陕西宝鸡高二期末）已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋
f(x)≤0，对任意的0<a<b，则必有( )
A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)
【答案】A
【解析】因为xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，所以 ′＝ ≤ ≤0，
则函数 在(0，＋∞)上单调递减．由于0<a<b，则 ，即af(b)≤bf(a)
5．（多选题）（2020·江苏南通市高二期中）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系
统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020
年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是
信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数 近似模拟其信号，则下
列结论中正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为 B．函数 的图象关于点 对称
C．对任意 ，都有 D．函数 的最小值为-3
【答案】BCD
【详解】A.因为 的周期分别是 ，其最小公倍数为 ，所
以函数函数 的最小正周期为 ，故错误；
B.因为 ，故正确；
C. ，故正确；
D. ,故正确；故选：BCD6．（多选题）（2021·山东泰安一中高二期末）已知函数f(x)= ,下列结论中正确的
是（ ）
A． , f( )=0
B．函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C．若 是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减
D．若 是f（x）的极值点，则 ( )=0
【答案】ABD
【解析】由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数
值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定∃x
0
∈R，f(x
0
)＝0，选项
A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通
过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原
点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为
正值，故函数如果存在极值点x，x，则极小值点x＞x，即函数在－∞到极小值点的区间上是先
1 2 2 1
递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确.
二、 填空题
7．（2018·全国高考）曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ________．
【答案】
【详解】解： 则 ，所以 故答案为-3.
8．（2021·湖南郴州市高二期末）已知函数 在区间 上存在最小值，
则a的取值范围为_______．
【答案】
【详解】 ， 时， 或 ，
当 或 时， ，当 时， ，所以函数的单调递增区间是 和 ，函数的单调递减区间是 ，
所以函数的极大值点是 ，极小值点是0，且 ，
那么当 ，解得： 或
所以函数在区间 上存在最小值，
则 ，解得： .
9．（2020·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，已知 ，A，B是圆C：
上的两个动点，满足 ，则△PAB面积的最大值是__________．
【答案】
【详解】
设圆心 到直线 距离为 ，则
所以
令 （负值舍去）
当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最大值，即 取最大
值为 .
10．（2021·福州三中高二期末）设函数 ，其中 ，若存在唯一的
整数 ，使得 ，则 的取值范围是________．
【答案】【详解】设 ， ，
由题意知，函数 在直线 下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当 时， ；当 时， .
所以，函数 的最小值为 .又 ， .直线 恒
过定点 且斜率为 ，故 且 ，解得 ，故选D.
三、 解答题
11．（2021·北京大兴高二期末）已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式
中即可；（2）设 ，求 ，根据 确定函数
的单调性，根据单调性求函数的最大值为 ，从而可以知道 恒成立，
所以函数 是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（1）因为 ，所以 .
又因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）设 ，则 .
当 时， ，
所以 在区间 上单调递减.
所以对任意 有 ，即 .
所以函数 在区间 上单调递减.
因此 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
12．（2021·天津静海中学高二期末）设函数
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，若函数 有三个不同零点，求c的取值范围；
（3）求证： 是 有三个不同零点的必要而不充分条件.
【解析】试题分析：（1）求函数f（x）的导数，根据 ， 求切线方程；
（2）根据导函数判断函数f（x）的单调性，由函数 有三个不同零点，求c的取值范围；
（3）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数.
试题解析：（1）由 ，得 ．
因为 ， ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）当 时， ，所以 ．
令 ，得 ，解得 或 ．
与 在区间 上的情况如下：
所以，当 且 时，存在 ， ，
，使得 ．
由 的单调性知，当且仅当 时，函数 有三个不同零点．
（3）当 时， ， ，
此时函数 在区间 上单调递增，所以 不可能有三个不同零点．
当 时， 只有一个零点，记作 ．
当 时， ， 在区间 上单调递增；
当 时， ， 在区间 上单调递增．
所以 不可能有三个不同零点．综上所述，若函数 有三个不同零点，则必有 ．
故 是 有三个不同零点的必要条件．
当 ， 时， ， 只有两个不同零点，所
以 不是 有三个不同零点的充分条件．
因此 是 有三个不同零点的必要而不充分条件．
