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6.1平方根
算术平方根的定义
x a x2 a x a
如果一个正数 的平方等于 ，即 ,那么这个正数 叫做 的算术平方根（规定0的算术平方根
a a a a
还是0）； 的算术平方根记作 ，读作“ 的算术平方根”， 叫做被开方数.
a a a a
注意：当式子 有意义时， 一定表示一个非负数，即 ≥0， ≥0.
题型1：求一个数的算术平方根
1.求下列各数的算术平方根：
（1）49；
（2） ；
（3）（﹣0.7）2；
（4） ．
【变式1-1】（2022春•工业园区校级月考）求下列各数的算术平方根．
（1）169；
（2） ；
（3）0.09；
（4）（﹣3）2．【变式1-2】求下列各数的算术平方根：
（1）121；
（2） ；
（3）1 ；
（4）0.36；
（5） ．
题型2：利用算术平方根求字母的值
2.（2022秋•吴江区校级月考）已知2a﹣1的算术平方根为3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2的平
方根．
【变式2-1】（2022春•汉阴县月考）已知a﹣3是16的算术平方根，求a的值．
【变式2-2】已知2a+1的算术平方根是0，b﹣a的算术平方根是 ，求 ab的算术平方根．
题型3：估算平方根的取值范围
3.估算： ≈ ．（结果精确到1）
≈ （结果精确到1）．
【变式3-1】估算： （结果精确到1）．
≈ （结果精确到1）．
【变式3-2】估算：
（1） ≈ ．（结果精确到1）
（2） ≈ ．（结果精确到1）
（3） ≈ ．（结果精确到0.1）
【变式3-3】已知a，b为两个连续整数，且a<√7<b，则a+b=
题型4：求算术平方根的整数部分和小数部分
4.（2022春•乌拉特前旗校级月考）28的算术平方根的整数部分是（ ）A．5 B．6 C．4 D．7
【变式4-1】若 的整数部分是 ，小数部分是 ，则式子 的值是
A． B．9 C．19 D．
【变式4-2】若 的小数部分为 ， 的小数部分为 ，则 的值为
A．0 B．1 C． D．2
题型5：算术平方根的应用
5.如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是 12.56和25.12，求圆环的宽度d（ 取3.14，结果保留
小数点后两位）．
π
【变式5-1】（2022春•岳池县期末）某小区有一块面积为500平方米的长方形空闲草地，其长、宽之比是
5：4，准备在空闲草地里开辟一个正方形的花坛来种花．如果要使开辟的正方形花坛面积最大，那么正
方形花坛的边长为多少？
【变式5-2】（2022春•宁南县校级月考）某次比赛要求足球场的长在 100m到110m之间，宽在64m到
75m之间．某地建设了一个长方形的足球场，其长是宽的 1.5倍，面积是7560m2．请你判断这个足球场
能否作为这次比赛的赛场？并说明理由．
【变式5-3】（2021春•海淀区校级期末）湿地公园原有一块形状为正方形且面积为 169m2的草坪，根据实
际需要，计划对这块草坪进行扩建，扩建后的正方形草坪的面积为原来的 16倍，求扩建后正方形草坪
的边长．
平方根的定义
x2 a x a a
如果 ，那么 叫做 的平方根.求一个数 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆
a a a(a0) a a
运算. ( ≥0)的平方根的符号表达为 ，其中 是 的算术平方根.
平方根和算术平方根的区别与联系注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方
根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可
以利用算术平方根来研究平方根.
题型6：平方根的定义
6. 的平方根是± ，用数学式子表示为（ ）
A． ＝± B． ＝ C．± ＝± D．± ＝
【变式6-1】下列说法中，正确的是（ ）
A．64的平方根是8 B．2的平方根是2
C．0没有平方根 D．16的平方根是4和﹣4
【变式6-2】下列说法中不正确的个数是（ ）
①（﹣5）2的平方根是±5；②﹣a2没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④因为负数没有平
方根，所以平方根不可能为负；⑤0和1的平方根等于本身．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式6-3】（2021秋•本溪期中）下列说法中不正确的个数是（ ）
①（﹣5）2的平方根是±5；②﹣a2没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④因为负数没有平
方根，所以平方根不可能为负；⑤0和1的平方根等于本身．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型7：求一个数的平方根
7.判断下列各数有没有平方根，若有，求其平方根．若没有，说明为什么？（1）0.81
（2）2
（3）（﹣2 ）2
（4）0
（5）﹣100
（6）10．
【变式7-1】（2022春•赵县月考）求下列各数的平方根：
（1）100；
（2）64；
（3） ；
（4）1.21．
【变式7-2】计算：± ．
平方根的性质
a a 0
a2 |a|0 a 0
a a0 a 2 a a0
，
平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
62500 250 625 25 6.25 2.5 0.0625 0.25
例如： ， ， ， .
题型8：利用平方根的性质求值
8.（2022秋•南岗区校级期中）如果a的两个平方根分别是2x﹣1与3x﹣4，求a的值．
【变式8-1】（2022秋•南海区校级月考）已知某正数m的两个平方根分别是a﹣3和2a+15，求a和m的
值．
【变式8-2】（2021秋•西湖区期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2．
（1）求a和x的值；
（2）求3x+2a的平方根．题型9：利用平方根的性质解方程
9解方程：
（1）4x2＝16；
（2）9x2﹣121＝0．
【变式9-1】选择适合的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝3；
（2）（y﹣2）2＝y﹣2．
【变式9-2】解方程：16（x﹣1）2﹣9＝0．
题型10：平方根的性质综合应用
10.（2021秋•宁南县期末）阅读下列材料，完成问题．
一般的：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．
例如：∵42＝16，（﹣4）2＝16
∴4和﹣4是16的平方根，也可以说成16的平方根是4和﹣4．
同理64的平方根是8和﹣8．
根据以上材料，完成下面的问题．
（1）25的平方根是 ， 的平方根是 ；
（2）根据（1）的结论可得：一个正数的平方根有 个，它们互为 ；
（3）一个正数的两个不同的平方根是4a﹣5和2﹣3a，求a及这个正数．
【变式10-1】（1）若一个正数的平方根是5﹣m和2m﹣5，求这个正数．
（2）已知（a2+b2+3）2﹣25＝0，求a2+b2+2020的值．
【变式10-2】定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2的方程，叫做一元
二次方程．
如x2＝9，（x﹣2）2＝4，3x2+2x﹣1＝0…都是一元二次方程．根据平方根的特征，可以将形如 x2＝a
（a≥0）的一元二次方程转化为一元一次方程求解．
如：解方程x2＝9的思路是：由x＝± ，可得x ＝3，x ＝﹣3．
1 2
解决问题：
（1）解方程（x﹣2）2＝4．
解：∵x﹣2＝± ，
∴x﹣2＝2，或x﹣2＝ ．∴x ＝4，x ＝ ．
1 2
（2）解方程：（3x﹣1）2﹣25＝0．
题型11：规律问题
11.（2022秋•西安月考）（1）观察： ≈0.2646，则 ≈2.646， ≈26.46…发现规律：被
开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向 移动 位；
（2）应用：已知 ≈0.1732， ≈ ， ≈ ；
（3）拓展：已知 ≈2.449， ≈7.746，计算 和 的值．
【变式11-1】（1）先完成下列表格：
a …… 0.0001 0.01 1 100 10000 ……
…… 0.01 1 ……
（2）由上表你发现什么规律？
（3）根据你发现的规律填空：
①已知 ＝1.732 则 ＝ ＝
②已知 ＝0.056，则 ＝
【变式11-2】观察下列算式：
①
②
③
④ …
（1）根据以上规律计算： （注意计算技巧哦！）
（2）请你猜想： 的结果（用n的式子表示）．
一、单选题
1．（2021七下·东莞期末）9的算术平方根是（ ）
A．81 B．±3 C．﹣3 D．3
2．（2021七下·东丽期中）下列说法正确的是( )A．0没有平方根 B．−1的平方根是−1
C．4的算术平方根是2 D．(−3) 2的平方根是3
3．（2021七下·建华期末）4的平方根等于（ ）
1
A．2 B．−2 C． D．±2
4
4．（2019七下·白城期中）下列运算中正确是（ ）
√ 1 1
A．± √25 ＝5 B．﹣ √52 ＝±5 C．√(−2) 2 ＝2 D． 4 ＝2
4 2
5．（2021七下·绵阳期末）已知(2x−3) 2=4，则x的所有取值的和为（ ）
5
A．0 B．2 C． D．3
2
6．（2022七上·鄞州期中）已知|x|＝6，y2＝4，且xy＜0.则x+y的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．2或﹣2
二、填空题
7．（2021九上·防城期中）计算 √9 =
8．（2021七上·温江期中）x2=9，x＝ ，|−4|的相反数是
9．（2022七下·黄山期末）根据下面表格中的数据求出2.5921的平方根是 ．
x 16 16.1 16.2 16.3
x2 256 259.21 262.44 265.69
三、计算题
10．（2021七上·庆元月考） 计算
（1）-7+5-（-1）1 3
（2）√9+23×（ - ）
2 4
11．（2022八上·新城月考）求下列式子中的x：
3
（1）25(x﹣ )2＝49；
5
1
（2） (x+1)2＝32．
2
四、解答题
12．（2021八上·秦都月考）已知一个圆的半径为3，求与这个圆面积相等的正方形的边长.（ π 取 3
）
13．（2021七下·椒江期末）一个数的算术平方根为2m﹣6，它的平方根为±（m-1），求m的值.
14．（2021八上·四川月考）已知x、y满足√(x+1) 2+|y−3x−1|=0，求y2﹣5x的平方根．
五、综合题
15．（2022七下·连山月考）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a-9．
（1）求a的值；
（2）求这个正数m；
（3）求关于x的方程mx2−a=8的解．
