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圆周运动的多解问题及竖直面的圆周
【例1】如图为测定子弹速度的装置，两个薄圆盘分别装在
个快速转动的轴上
两盘平行
若圆盘以转速
一个快速转动的轴上，两盘平行。若圆盘以转速
3600r/min 旋转，子弹以垂直圆盘方向射来，先打
穿第
个圆盘
再打穿第
个圆盘
测得两盘相距
穿第一个圆盘，再打穿第二个圆盘，测得两盘相距
1m，两盘上被子弹穿过的半径夹角15°，则子弹
的速度的大小为___。
【变式1】
如图所示是
种粒子测量器
圆柱形容器半径为R
容器
如图所示是一种粒子测量器，圆柱形容器半径为R，容器
壁有一槽正对的位置是B，P是喷射高速粒子流的喷口，
其喷射方向沿着直径
现使容器以角速度旋转
则喷射
其喷射方向沿着直径。现使容器以角速度ω旋转，则喷射
高速粒子流可以从A槽口中进入容器，最后落在B′上，测
得BB′弧长为s，求喷射高速粒子流的速度。
【变式2】
质点P以O为圆心做半径为R的匀速圆周运动，如图所示，
质点P以O为圆心做半径为R的匀速圆周运动，如图所示，
周期为T。当P经过图中D点时，有一质量为m的另一质点
Q受到力F的作用从静止开始做匀加速直线运动
为使P
Q受到力F的作用从静止开始做匀加速直线运动。为使P、
Q两质点在某时刻的速度相同，则F的大小应满足什么条
件？
件？
绳球
绳子和杆的模型
受力与运动情况分析
绳--球
G
FT
FT
G
G
FT
O
FT
FT
G
G
1
脱离现象
0
v
r
S＝?
内脱离与外脱离现象
绳系着装水的桶，在竖直平面内做圆周运动，水的
质量m＝0 5kg
绳长＝40cm
求
【例2】
质量m＝0.5kg，绳长＝40cm。求
⑴桶在最高点水不流出的最小速率？
⑵水在最高点速率
3
/ 时水对桶底的压力？( 取
⑵水在最高点速率＝3m/s时水对桶底的压力？(g取
10m/s2)
【变式1】
如图所示
长为l的细绳一端固定于O点
另一端拴一小
如图所示，长为l的细绳
端固定于O点，另
端拴
小
球，使小球绕O点在竖直面内做圆周运动。已知小球经过
最高点时速度大小为
经过最低点时速度大小为
则
最高点时速度大小为v1 ，经过最低点时速度大小为v2 ，则
小球经过最高点和最低点时的向心力之比F1：F2＝____，
相应的细绳拉力之比
相应的细绳拉力之比FT1：FT2＝
。
2
【变式2】
在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0 8m的
在倾角为α
30
的光滑斜面上，有
根长为L
0.8m的
细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2kg的小
球
沿斜面作圆周运动
试计算
球，沿斜面作圆周运动，试计算：
⑴小球通过最高点A的最小速度
⑵若细绳的抗断拉力为Fmax＝10N，小球在最低点B的最
大速度是多少？
大速度是多少？
【变式3】
一内壁光滑的环形细圆管
位于竖直平面内
环的半径为
内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为
R(比细管的半径大得多)，圆管中有两个直径与细管内径
相同的小球(可视为质点)
A球的质量为
B球的质量为
相同的小球(可视为质点)。A球的质量为m1，B球的质量为
m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都
为
设球运动到最低点时
球恰好运动到最高点
若
为v0。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若
要此时两球作用于圆管的合力为零，
那么m1，m2，R与v0应满足关系式是
。
【变式4】
固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD，其A点与圆心
固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道
C ，其点与圆心
等高，D点为轨道最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE
为水平面，今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A
为水平面，今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A
点进入圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保
证小球最终通过最高点D
则小球在通过D点后( )
证小球最终通过最高点D，则小球在通过D点后( )
A．一定会落到水平面AE上
B
一定会再次落到圆轨道上
B．一定会再次落到圆轨道上
C．可能会落到水平面AE上
D
可能会再次落到圆轨道上
D．可能会再次落到圆轨道上
【变式5】
半径为R
内径很小的光滑半圆管竖直放置
AB段平直
半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，AB段平直，
质量为m的小球以水平初速度v0射入圆管。
⑴若要小球能从C端出来
初速度
多大？
⑴若要小球能从C端出来，初速度v0多大？
⑵在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情
况
初速度
各应满足什么条件？
况，初速度v0各应满足什么条件？
3
轻杆长2L，中点装在水平轴O点，两端分别固定着
小球A和B，A球质量为m，B球质量为2m，两者一起在竖
【变式6】
小球A和B，A球质量为m，B球质量为2m，两者
起在竖
直平面内绕转轴O做圆周运动。求：
⑴A球在最高点时
杆A端恰好不受力
求此时O轴的受力
【变式6】
⑴A球在最高点时，杆A端恰好不受力，求此时O轴的受力
大小和方向。
⑵若B球到最高点时的速度等于第⑴问中A球到达最高点
时的速度，则B球运动到最高点时，O轴的受力大小和
时的速度，则B球运动到最高点时，O轴的受力大小和
方向又如何？
⑶在杆的转速逐渐变化的过程中
能否出现O轴不受力的
⑶在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的
情况？若不能，说明理由；若能，求出此时A、B的速
度大小
度大小。
【变式7】
一般的曲线运动可以分成很多小段
每小段都可以看成圆
般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆
周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆
弧来代替
如图(a)所示
曲线上的A点的曲率圆定义为
弧来代替。如图(a)所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：
通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一
圆，在极限
情况下
这个圆就叫做A点的曲率圆
其半径叫做A点的
情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的
曲率半径。
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