四 圆柱和圆锥
一、认识圆柱、圆柱的组成部分
1.圆柱的形成:圆柱是以长方形的一条边为轴旋转得到
的;也可以由长方形卷起来得到。
2.生活中常见的圆柱:
3.圆柱各部分的名称及其特征:
(1)圆柱的上、下两个面都是圆形的,大小相同,叫做底
面。
(2)圆柱周围的面是曲面,我们叫它侧面。
(3)圆柱两底之间的距离叫做高,一个圆柱有无数条高,它
们都相等。
二、圆柱的侧面以及侧面积的求法
1.圆柱的侧面展开图及其形状:
(1)沿着高展开,展开图是长方形,长方形的长等于圆柱的
底面周长,长方形的宽等于圆柱的高;当底面周长和高相等时
(h=2πr),侧面展开图为正方形。
(2)如果不沿着高展开,展开图形是平行四边形或不规则
图形。
(3)无论如何展开都得不到梯形。
2.圆柱的侧面展开后各个部分与圆柱的关系:
展开后长方形的长等于圆柱的底面周长,宽等于圆柱的
高。
3.圆柱的侧面积=底面的周长×高,即S 侧
=Ch=πd×h=2πr×h。
三、圆柱的表面积的计算
1.圆柱的侧面积加上两个底面的面积就是圆柱的表面
积。
2.圆柱的表面积=2×底面积+侧面积,即S 表=S 侧+S 底
×2=2πr×h+2πr2。
3.圆柱的切割引起表面积的变化:
(1)横切:切面是圆,表面积增加2 个底面积,即S 增=2πr2。
巧记
小圆柱直挺挺,上、下底
面都相同,可以看作是由长方
形旋转而成的,还可以看作是
由平面卷曲而成的。
易错点:1.圆柱的侧面是
曲面,高有无数条,不是1 条。
2.高指圆柱两底面之间
的距离。
易错点:1.如果底面周长
和高相等,展开图为正方形。
2.底面直径和高相等,侧
面展开图不是正方形。
巧记规律
沿高剪,圆柱侧面展开是
长方形,侧面积是底面周长和
高的积。
易混点:1.计算圆柱的表
面积时,不要忘记底面积乘2
后再加侧面积。
2.无论是纵切圆柱还是
横切圆柱,切一刀会增加2 个
切面。
(2)竖切(过直径):切面是长方形(如果h=2r,切面为正方
形),该长方形的长是圆柱的高,宽是圆柱的底面直径,表面积增
加两个长方形的面积,即S 增=4rh。
四、圆柱表面积的计算在实际生活中的应用
在实际生活中,有时需要计算圆柱的表面积,如制作水桶
时,不要上底面;制作圆柱形通风管时,不需要两个底面,这时需
要计算圆柱的侧面积。
五、圆柱的体积以及计算公式的推导和应用
1.圆柱的体积:圆柱所占空间的大小,叫做这个圆柱的体
积。
2. (1)圆柱切拼成近似的长方体,分的份数越多,拼成的图
形越接近长方体。
(2)长方体的底面积等于圆柱的底面积,长方体的高等于
圆柱的高。因为长方体的体积=底面积×高,所以圆柱的体积=
底面积×高,用字母表示为V 柱=Sh=πr2h。
3.不规则物体体积的计算。
如计算左图这样的不规则图形的体积时,一般将两个完
全一样的图形拼成一个圆柱,求出圆柱的体积后,再除以2。
4.计算空心圆柱的体积时,一般用底面圆环的面积乘高来
计算。
六、容积的意义
容器的容积:容器所能容纳物体的多少叫做容器的容
积。
七、容积与体积的区别
1.意义不同:体积是指物体所占空间的大小。容积是指容
器(杯子、盒子、油桶等)所能容纳物体的大小(即内部体
积)。
2.度量方法不同:计算体积时是从物体的外面去测量。例
如:计算用玻璃做成的长方体鱼缸的体积,就要从外面去分别
测量出长方体鱼缸的长、宽、高;如果要计算这个长方体鱼
缸的容积(或容量),就必须从鱼缸的里面去测量,因为做鱼缸的
玻璃是有一定厚度的。
3.计量单位不同:计算物体的体积,必须使用体积单位
“立方米、立方分米、立方厘米”等。计算容积一般使用容
积单位“升、毫升”;但计算较大物体的容积时,也拿体积单
位“立方米”来通用,因为升和毫升只限于计量液体,如桶装
的汽油、小瓶装的药水。
八、容积的计算、运用容积的计算解决问题
1.容积的计算:计算容器的容积时,要从里面测量圆柱形
容器的底面直径和高。
2.计算容器的容积的方法一般采用计算体积的方法来计
易错点:解答制作圆柱类
问题时,都要用进一法保留最
后结果。
易混点:1.圆柱的体积=底
面积×高
2.圆柱的侧面积=底面周
长×高
方法巧记
1.圆柱的高(h)=V 柱÷S=V
柱÷(πr2)
2.圆柱的底面积(S)=V 柱
÷h
巧记
容积体积本不同,容积度
量内部量,体积度量外部量;容
积单位:升、毫升或立方米,体
积单位:立方米、立方分米、
立方厘米。
易混点:求不规则图形的体积
时,可以利用“转化”思想将
不规则图形转化为规则图形,
算。
3.不规则物体的体积或容积的计算:利用转化思想,化不
规则图形为规则图形。
九、圆锥的认识、圆锥体积的计算
1.圆锥的认识:
(1)底面:圆锥的底面是一个圆。
(2)侧面:圆锥的侧面是一个曲面,展开图是扇形。
(3)高:从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高,圆
锥只有一条高。
2.圆锥的体积:一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥
的体积。
3.一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积
的1
3。根据圆柱体积公式V=Sh(V=πr2h),得出圆锥体积公
式:V=1
3Sh。
4.圆柱与圆锥的关系:
(1)与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。
(2)体积和高都相等的圆锥与圆柱,圆锥的底面积是圆柱
的3 倍。
5.计算组合图形的体积时,一般先分别求出基本图形的体
积,再相加求和。
十、运用圆柱、圆锥的体积计算解决简单的实际问题
1.运用圆锥的体积解决简单的实际问题时要注意单位的
统一。
2.解答有关等积变形问题时,一般利用数学的转化思想,
抓住体积不变,形状改变来计算。
十一、木材加工问题
1.求圆木的体积可以根据“圆柱的体积=底面积×高”来
计算。
2.横截面是正方形的木材叫做方木,方木的体积=2r2h。
也就是数学中常说的“等积
变形”。
易错点:圆锥只有1 条
高。
易错点:圆锥的体积等于
和它等底等高的圆柱体积的
1
3。
易错点:体积和底面积都
相等的圆锥与圆柱,圆锥的高
是圆柱的高的3 倍。
易混点:“等积变形”就
是说形状不同,但是体积相
等。
易混点:圆木的底面积是
πr2,方木的底面积是2r2。
