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专题01 统计与成对数据的统计分析
题型1 简单随机抽样
1.简单随机抽样需满足：（1）被抽取的样本总体的个体数有限；（2）逐个抽取；（3）是等可能抽取.
2.简单随机抽样常用抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、随机数法（适用于个体数较多的情
况）.
注：应用随机数表法的两个关键点
1、确定以表中的哪个数(哪行哪列)为起点，以哪个方向为读数的方向；
2、读数时注意结合编号特点进行读取．若编号为两位数字，则两位两位地读取；若编号为三位数字，则
三位三位地读取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去，这样继续下去，直到获取整个样本．
1．（2025·福建泉州·模拟预测）从一个含有
个个体的总体中抽取一容量为
的样本，当选取抽签法、随
1
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机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为
，三者关系可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高一·福建福州·期末）用抽签法从学号为1 到50 的50 名学生（其中含学生李华）中不放回抽取
5 名学生进行问卷调查，每次抽取一个号码，共抽取5 次，设李华第一次被抽到的概率为
，第五次被抽
到的概率为
，则（ ）
A．a =
，
B．a =
，
C．a =
，
D．a =
，
3．（2025 高三·辽宁·期末）某厂质检员利用随机数表对生产的600 个产品进行抽样调查，先将这600 个产
品进行编号：001，002，003，…，600．从中抽取120 个样本，下图是随机数表的第2 行到第3 行，若从随
机数表的第2 行第5 列开始从左向右读取数据，则得到的第5 个编号是（ ）
32 12 67 12 31 02 37 02 14 72 31 09 81 47 80 25 13 25 46 08
71 20 34 51 19 72 01 38 47 18 04 92 51 28 02 31 27 46 51 30
A．098
B．147
C．513
D．310
4．（2025·云南贵州·模拟预测）本次月考分答题卡的任务由高三16 班完成，现从全班55 位学生中利用下
面的随机数表抽取10 位同学参加，将这55 位学生按01、02、
、55 进行编号，假设从随机数表第1 行第
2 个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6
个号码所对应的学生编号为（ ）
0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011
1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607
0140 0523 2617 3726 3890 5124 5179 3014 2310 2118 2191
A．51
B．25
C．32
D．12
题型2 分层随机抽样
分层随机抽样问题的类型及解题思路
（1）求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算；
（2）已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层随机抽样就是按比例抽样，列比例式进行计
算；
（3）分层随机抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中，抽样比＝样本量
总样本量＝各层样本数量
各层个体数量.
2
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（4）在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均数为
x；第二层的样本量为n，平均数为y，则样本的平均数为m x +n y
m+n
．
5．（2025·山东·模拟预测）某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远
郊区，各区的人口比例为
．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取
的人数为300，则从核心区抽取的人数为（ ）
A．90
B．120
C．180
D．200
6．（2025 高三·河北邢台·期末）某校有男生
人，女生
人，现按性别采用分层抽样的方法从该校学
生中抽取
人进行调查，则男生被抽取的人数是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·江西宜春·模拟预测）某地为促进消费，向当地市民随机发放了面值10 元、20 元、50 元的线下
消费满减电子券，每位市民可以领取一张，且每笔消费仅能使用一张.某支持使用该消费券的大型商场统计
到某日使用了10 元、20 元、50 元消费券的消费账单的数量之比为5 3 2
∶∶，若对这些账单用等比例分层随机
抽样的方法进行抽样调查，抽取一个容量为50 的样本，则样本中使用了50 元消费券的消费账单的份数为
（ ）
A．5
B．10
C．20
D．30
8．（2025·河南驻马店·模拟预测）电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社
区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480 人，其中老年人200 人，中年人200 人，青少年80 人，
若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36 人作为代表，则中年人比青少年多（ ）
A．6 人
B．9 人
C．12 人
D．18 人
9．（2025·甘肃张掖·模拟预测）某中学从高一学生中抽取了50 名男生，50 名女生调查高一学生身高的情
况.已知所有这100 名学生身高的方差为48，其中50 名男生身高的平均数为
，方差为16，50 名女
生身高的平均数为
，则50 名女生身高的方差为（ ）
A．15
B．24
C．30
D．36
题型3 统计图表
3
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常见统计图表的特点与区别
(1) 扇形图：用于直观描述各类数据占总数的比例，易于显示每组数据相对于总数的大
小．
(2) 条形图：主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，适用于描述离散型
数据．
(3) 直方图：主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，直方图适用于描述
连续型数据．
(4) 折线图：主要用于描述数据随时间的变化趋势．
10．（2025 高二·广东阳江·阶段练习）随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅
游部门从2024 年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄
段中自助游比例，如图所示，则估计2024 年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的（
）
A．45%
B．30%
C．13.5%
D．13%
11．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）下图1 是2020-2024 年国内生产总值及其增长速度，图2 是2020-2024
年三次产业增加值占国内生产总值比重（三次产业包括第一产业，第二产业，第三产业）.根据图1，图
2，以下描述不正确的是（ ）
4
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A．2022 年第二产业增加值较2021 年有所减少
B．2020-2024 年国内生产总值呈逐年增长的趋势
C．2022 年与2024 年国内生产总值的增长速度较上一年有明显回落
D．2020-2024 年第三产业增加值占国内生产总值比重的极差为
12．（2025·四川成都·模拟预测）居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称CPI），是度量一定时期
内居民消费商品和服务价格水平总体变动情况的相对数，综合反映居民消费商品和服务价格水平的变动趋
势和变动程度.下图是2024 年11 月9 日国家统计局公布的2024 年10 月各类商品及服务价格同比和环比涨
跌幅情况（同比
，环比
），下列结论正确的是
（ ）
A．2024 年10 月份食品烟酒类价格低于2023 年10 月份食品烟酒类价格
B．2024 年10 月份教育文化娱乐类价格低于2024 年9 月份教育文化娱乐类价格
C．2024 年9 月份医疗保健类价格高于2023 年10 月份医疗保健类价格
D．2024 年9 月份居住类价格高于2023 年10 月份居住类价格
13．（2025·四川德阳·模拟预测）中国人口
亿人口中肠胃病患者高达
亿，慢性胃炎发病率高达
，
5
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消化性溃疡病发率也高达
，是全世界当之无愧的“胃病大国”.根据随机对
名青少年随机抽查，
的青少年表示自己患有胃病，
的青少年不清楚自己是否患有胃病，只有
明确自己没
有胃病.肠胃病的严重程度，一般可体现在排便量、排便时长上. 某高中为了了解学生肠胃病占比和严重程
度，对
年高一高二学生单日单次的排便时长进行了统计(记排便
分钟内为正常，排便
分钟为
轻度肠胃病，排便
分钟以上为重度肠胃病)，并将结果制成统计图(如图所示)，若高一学生
人，高
二学生
人，占比百分数均保留整数，下列说法正确的是（ ）
A．高二学生的肠胃病人数比高一年级少
B．高一年级的各肠胃病区间人数占比都比高二年级少
C．高一年级重度肠胃病人数占比比高二年级少
D．高一肠胃质量参数比高二高(肠胃质量参数
)
14．（2025·湖北孝感·模拟预测）某保险公司销售某种保险产品，根据2023 年全年该产品的销售额(单位：
万元)和该产品的销售额占全年总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法
正确的是（ ）
A．2023 年第四季度的销售额为280 万元
B．2023 年上半年的总销售额为500 万元
6
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C．2023 年2 月份的销售额为60 万元
D．2023 年12 个月的月销售额的众数为50 万元
题型4 频率分布直方图
频率分布直方图的相关结论
（1）频率分布直方图中纵轴表示频率
组距，故每组样本的频率为组距×频率
组距，即矩形的面积；
（2）频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1；
（3）频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数.
15．（2025·辽宁·模拟预测）为了了解学校质量监测成绩，现随机抽取该校200 名学生的成绩作为样本进
行分析，并绘制频率分布直方图，若该频率分布直方图的组距为10，且样本中成绩在区间
这一
组内的学生有40 人，则在频率分布直方图中该组数据对应的矩形高度为（ ）
A．0.02
B．0.2
C．0.04
D．0.4
16．（25-26 高三·河北邢台·阶段练习）从某小区抽取100 户居民用户进行月用电量（单位：
）调查，
将得到的数据按
分为6 组，画出的频率分布直
方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在
内的户数为（ ）
A．35
B．40
C．42
D．45
17．（2025·广东深圳·模拟预测）某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200 分到
450 分之间的1000 名学生的成绩，并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩
7
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在
内的学生人数为（ ）
A．300
B．400
C．600
D．1200
18．（2025·湖北·模拟预测）某工厂生产了500 件产品，质检人员测量其长度 (单位: 厘米)，将测量数据
分成6 组， 整理得到如图所示的频率分布直方图. 如果要让 90% 的产品长度不超过
厘米，根据直方图
估计，下列最接近
的数是（ ）
A．93.5
B．94.1
C．94.7
D．95.5
19．（2025·陕西渭南·模拟预测）在某次高中数学模拟考试中，对800 名考生的考试成绩进行统计，得到
如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间分别为
，
，
，
，
，
.若考生成绩在
内的人数为
，考生成绩在
内的人数为
，则
（ ）
A．20
B．10
C．60
D．40
8
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题型5 总体百分位数的估计
1.求一组n 个数据的第p 百分位数的步骤
第1 步：按从小到大排列原始数据；
第2 步：计算i＝n×p％；
第3 步：若i 不是整数，而大于i 的比邻整数为j，则第p 百分位数为第j 项数据；若i 是整数，则第p 百
分位数为第i 项与第（i＋1）项数据的平均数.
2.由频率分布直方图求第p 百分位数的方法
确定要求的p％分位数所在分组[A，B），由频率分布直方图可知，样本中小于A 的频率为a，小于B 的
频率为b，所以p％分位数＝A＋组距× p %−a
b－a .
20．（2025·福建漳州·模拟预测）样本数据
的下四分位数为（ ）
A．3
B．3.5
C．10
D．11
21．（2025·河北唐山·模拟预测）数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的
分位数是（ ）
A．2.5
B．3
C．3.5
D．4
22．（2025·山西·模拟预测）某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21 克的太
阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行.为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社
团在校内进行选拔赛，8 名参赛学生的成绩依次为
，
，
，
，
，
，
，
，则这组数据的
上四分位数为（ ）
A．93
B．92
C．91.5
D．93.5
23．（2025 高三·全国·专题练习）由诺贝尔自然科学奖的历史数据表明，交叉学科是自然科技领域的重要
发展趋势之一，跨学科研究也成为推动科学进步的关键力量．下图是连续5 年我国交叉学科的建设情况统
计图，则下列关于这5 年我国交叉学科建设情况的说法正确的是（ ）
9
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A．交叉学科总数的第75 百分位数为616
B．交叉学科高校数的平均数为186.8
C．交叉学科高校数的极差为78
D．每年的交叉学科总数与交叉学科高校数的差值越来越小
24．（2025·河北·模拟预测）为了解某病毒的致病潜伏期，通过简单随机抽样，获取100 名患者的相关信
息，并制作了如图所示的频率分布直方图：
根据图中数据，估计病毒潜伏天数的样本数据的68%分位数是（ ）
A．6
B．7
C．7.2
D．8
25．（2025·黑龙江·模拟预测）某学校为了拓展学生的国际视野，培养学生的创新精神，让学生学有动力，
学有信心，举办了英语手抄报比赛.为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为
的部分考生成绩，得到如
图所示的频率分布直方图，则估计考生成绩的第70 百分位数为（ ）
10
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A．74
B．75
C．76
D．77
题型6 总体集中趋势的估计
1.求众数、中位数、平均数的方法
（1）众数：由定义知，一组数据中出现次数最多的数，即为众数，若有两个或几个数据出现的次数最
多，且出现的次数一样，这些数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，
则认为这组数据没有众数；
（2）中位数：若一组数据为奇数个，按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于中间位置的数据
就是这组数据的中位数；若一组数据为偶数个，按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于中间位
置的两个数据的平均数就是这组数据的中位数；
（3）平均数：利用x＝1
n ∑
i=1
n
xi求解.
2.频率分布直方图中的数字特征
(1) 众数估计值：最高矩形的底边中点的横坐标．
(2) 中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．
(3) 平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．
26．（2025·湖南长沙·模拟预测）对于数据
，下列说法错误的是（ ）
A．平均数为5
B．众数为6
C．极差为10
D．中位数为6
27．（2025·甘肃平凉·模拟预测）一组数据1，7，5，2，
，2，且
，
，若该组数据的众数
是中位数的
，则该组数据的平均数为（ ）
A．3
B．3.5
C．4
D．4.5
28．（2025·河北保定·模拟预测）一组数据按从小到大排列为2，4，6，a，13，14，如果该组数据的中位
数与这组数据的第60 百分位数相等，则该组数据的平均数为（ ）
A．7.5
B．6
C．4.5
D．3
29．（2025·安徽池州·模拟预测）春季是流感的高发季节，某医院对8 名甲型流感患者展开临床观察，记
录了从开始服药到痊愈所需的天数，具体数据如下（单位：天）：7，4，6，5，8，5，6，4.则下列说法正
确的是（ ）
11
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A．这组数据的众数为5
B．这组数据的平均数为5
C．这组数据的第60 百分位数为6
D．这组数据的极差为5
30．（2025·湖北武汉·模拟预测）某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，
下列说法中正确的是（ ）
A．
B．评分的众数估值为70
C．评分的第25 百分位数估值为67.5
D．评分的平均数估值为76
31．（2025 高三·江苏南通·阶段练习）某人通过手机
记录锻炼情况，得到11 月份每天的锻炼时间（单
位：
如下表：
锻炼时间
小于0.5
不小于2
天数
2
6
10
8
4
据表中数据，下列结论一定正确的是（ ）
A．30 天锻炼时间的中位数不超过
B．30 天锻炼时间的平均数不低于
C．30 天锻炼时间的极差不超过
D．30 天锻炼时间的众数不低于
32．（2025·重庆·模拟预测）国际学生评估项目测试是世界经济合作与发展组织对各国中学生阅读、数学、
科学能力评价测试. 从
年开始，每年进行一次测试评估. 在评估研究时将测试成绩按一定规则转换
成等级赋分，赋分范围是
至
分，如图是
年的某地中学生参加阅读测试后用赋分数据绘制成的不
完整频率分布直方图. 据图中数据，下面说法正确的是（ ）
12
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A．该地学生成绩的中位数一定大于
B．该地学生成绩的众数介于
至
之间
C．该地学生成绩的极差介于
至
之间
D．该地学生成绩没有超过
分学生所占比例为
33．（2025·广东韶关·模拟预测）众数平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据
､
的分布形态有关.根据某小区1000 户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，
记该组数据的众数为
，中位数为
，平均数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
34．（2025 高三·贵州贵阳·开学考试）平均数中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的
､
大小关系和数据分布的形态有关在下图分布形态中，a，b，c 分别对应这组数据的平均数中位数和众数，
､
则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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35．（25-26 高二·四川成都·期中）已知
，
，
，
这四个数的平均数为1，则
，
，
，
这四个数的平均数为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
题型7 总体离散程度的估计
标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离
散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．
36．（2025·广西·模拟预测）李老师家有3 名人员，3 名人员的年龄与2 年后的年龄相比较，一定不会发生
变化的是（ ）．
A．平均数
B．中位数
C．方差
D．众数
37．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知
组数据“
”和
组数据“
”（
）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若
，则由
这两组数据构
成的所有数据的总体方差为（ ）
A．15
B．32
C．35
D．42
38．（2025 高三·河南·阶段练习）已知一个样本容量为10 的样本的平均数为6，方差为2.现将样本中的5
个数据去掉，这5 个数据的平均数为5，方差为1，则余下的5 个数的方差为（ ）
A．1.2
B．0.8
C．1
D．2
39．（2025·江苏南通·模拟预测）已知9 个数据：
，
，
，
，
的均值为
，方差为2，现将
加
入，则新数据的方差为（ ）
A．
B．2
C．
D．18
40．（2025·湖北·模拟预测）若一组数据
的平均值
，方差
，若删去一个数之后，平
14
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均值没有改变，方差变为40，则这组数据的个数
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
41．（2025·河南·模拟预测）某钢管车间生产的无缝钢管的直径规格为45mm，现从生产的钢管中随机抽取
10 根，测得10 根钢管的平均直径为45.3mm，方差为
，若再加入1 根直径为45.3mm 的钢管，则这
11 根钢管直径的（ ）
A．平均数变小
B．平均数变大
C．方差变小
D．方差变大
42．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知甲、乙两组数据如下表所示，则下列结论中表述正确的是（ ）
序
号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
82
83
81
82
76
91
83
88
89
93
乙
68
80
88
72
89
88
95
74
90
71
A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差B．甲组数据的方差小于乙组数据的方差
C．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数D．甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数
题型8 变量间的相关关系
判定两个变量正、负相关的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下
角，两个变量负相关．
(2)样本相关系数：r＞0 时，正相关；r＜0 时，负相关．
(3)经验回归方程^y＝^bx＋^a中：^b>0 时，正相关；^b<0 时，负相关．
43．（2025 高二·辽宁丹东·期中）对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（
）
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A．图1、图2 两组数据都具有线性相关关系
B．图1 数据正相关，图2 数据负相关
C．图1 相关系数
小于图2 相关系数
D．图1 相关系数和图2 相关系数之和小于0
44．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）医疗研究者会创建散点图来显示少女的体重指数（BMI）和身体脂肪百
分比之间的相关关系，如图，下列说法正确的是（ ）
A．BMI 越大，脂肪百分比越大
B．BMI 越大，脂肪百分比越小
C．BMI 与脂肪百分比正相关
D．BMI 与脂肪百分比负相关
45．（2025·天津·模拟预测）为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量
和气温
之间是否具有线性相关关系，
统计该店（2025 年2 月6 日至3 月24 日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（
轴表
示气温，
轴表示热奶茶销售量），由散点图可知
与
的相关关系为（ ）
16
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A．正相关，相关系数的值为0.8
B．负相关，相关系数的值为0.8
C．正相关，相关系数的值为
D．负相关，相关系数的值为
46．（2025 高二·河南南阳·阶段练习）有一散点图如图所示，在六组数据
中去掉
点后
重新进行回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．样本数据的两变量
正相关
B．相关系数的绝对值更接近于0
C．去掉
点后，回归直线的效果变弱
D．变量
与变量
相关性变强
题型9 样本相关系数
样本相关系数r 的统计含义及应用
（1）由r 的正、负可判断成对样本数据中两相关变量是正相关还是负相关；
（2）可根据｜r｜的大小从量的角度判断成对样本数据是否具有线性相关性，进而可知能否用经验回归
方程进行分析和预测；
（3）当｜r｜≤0.25 时，即便求得了经验回归方程也没有任何统计意义.
47．（2025·广东深圳·模拟预测）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同
国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布.下表是2017-2021 年五年
17
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《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比（
%）：
年份
2017 年
2018 年
2019 年
2020 年
2021 年
年份代码
1
2
3
4
5
6.4
5.5
5.0
4.8
3.8
(1)求2017-2021 年年份代码
与
的样本相关系数（精确到0.01）；
(2)预测2026 年的酸雨区面积占国土面积的百分比．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
．
样本相关系数
，
．
48．（2025·河北沧州·模拟预测）粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.
小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了
相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.我国于2020 年打赢了脱贫攻坚战，其中小麦发挥了重大
作用.以2020 年为第1 年，我国连续5 年小麦产量如下：
年份
1
2
3
4
5
产量/千万吨
13.4
13.7
13.8
13.6
14.0
现规定
表示第i 年的年份，
表示第i 年的产量，经计算得
，
，
.
(1)求样本
（
，2，…，5）的相关系数（精确到0.01）；
(2)现从这5 年中随机抽取2 年，记这2 年中共有X 年的小麦产量不低于13.7 千万吨，求X 的分布列与期望.
18
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附：样本相关系数
，
.
49．（2025·广东广州·模拟预测）经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上
m 处的直径）越大，
树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关
系时，某林场收集了某种树的一些数据，并根据数据作出如下的散点图.
经计算得
，
，
，
，
.
(1)推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数（精确到
），并推断它们的相关程度；
(2)试根据以上数据建立树高关于胸径的经验回归方程（系数精确到
），并预测胸径为
cm 的树高.
附：相关系数
，回归方程
中，
，
.
50．（25-26 高三·重庆·开学考试）电影《哪吒2》上映以来引起了全社会甚至全世界的关注，全球票房突
破百亿．“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式，某景点宣传投入金额（单位：万元）与游客满意度评分
（满分：100 分）之间可能存在一定的关系，以下是随机抽取的6 个不同线上宣传投入金额和游客满意度
评分的数据：
线上宣传投入金额
（万元）
20
30
40
50
60
70
游客满意度评分
（分）
60
65
70
78
80
85
(1)根据表中所给数据，用相关系数加以判断
与
两个变量线性相关性的强弱.（精确到小数点后两位）；
(2)《哪吒2》中更是蕴含着丰富的中国传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决
赛采用“五局三胜制”，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为
；
19
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①当
时，设比赛结束时甲、乙比赛的局数为
，求
的分布列和期望；
②甲以
获胜的概率为
，求
的最大值．
参考公式：相关系数
，参考数据：
．
题型10 一元线性回归模型
线性回归分析问题的解题策略
（1）利用公式，求出回归系数^b；
（2）利用经验回归直线过样本点的中心求系数^a；
（3）利用经验回归方程进行预测，把回归方程看作一次函数，将解释变量x 的值代入，得到预测变量^y
的值.
51．（2025·河南新乡·模拟预测）某企业产品的广告费用与销售量的统计数据如表所示：根据表中各数据
可得回归方程
，其中
，假设该企业广告费用为6 万元时，则销售额为（ ）
广告费用（万
元）
4
2
3
5
销售额（万元）
49
26
3
9
54
A．63，6 万元
B．65，5 万元
C．67，7 万元
D．72，0 万元
52．（2025 高二·河南南阳·期中）对于变量
，其部分成对的观测值如下表所示：
1
2
3
4
5
2
6
7
8
12
已知
具有线性相关关系，且根据最小二乘法得到的线性回归方程为
，则
（ ）
A．0.2
B．0.4
C．0.8
D．1.2
53．（2025·重庆·模拟预测）已知变量
和
的统计数据如下表.
20
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80
90
100
110
120
y
120
140
165
180
若
，
线性相关，经验回归方程为
，则
（ ）
A．155
B．158
C．160
D．162
54．（2025·福建宁德·模拟预测）由如表所示的变量
之间的一组数据，得
之间的线性回归方程为
，则（ ）
6
8
10
12
7
5.5
4.5
A．点
一定在回归直线上
B．
每增加1 个单位，
大约增加0.5 个单位
C．
D．去掉
这组数据后，求得的回归直线方程斜率将变大
55．（2025·江西·模拟预测）已知变量
和
的统计数据如下表：
400
500
600
700
800
3
4
6
6
7
若
线性相关，且经验回归方程为
，则据此可以预测当
时，
（ ）
A．18.2
B．19.2
C．20.2
D．21.2
56．（2025·陕西汉中·模拟预测）2024 年全民健身运动的主题“全民健身与奥运同行”，为了满足群众健身
需求，某健身房近几年陆续购买了几台
型跑步机，该型号跑步机已投入使用的时间
（单位：年）与当
年所需要支出的维修费用
（单位：千元）有如下统计资料：
2
3
4
5
6
2.2
3.8
5.5
6.5
7
根据表中的数据可得到线性回归方程为
，则（ ）
A．
与
的样本相关系数
21
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B．
C．表中维修费用的第60 百分位数为6.5
D．该型跑步机已投入使用的时间为10 年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38 万元
57．（2025 高二·陕西宝鸡·期末）如图是某采矿厂的污水排放量
单位：吨与矿产品年产量
单位：吨
的折线图：
(1)依据折线图计算相关系数
精确到
，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？若
，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合
(2)若可用线性回归模型拟合
与
的关系，请建立
关于
的线性回归方程，并预测年产量为10 吨时的污
水排放量．
相关公式：
，参考数据：
．
回归方程
中，
58．（2025·浙江金华·模拟预测）近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统
计了2021 年到2024 年某地新能源汽车销量（单位：千辆）
年份
2021
202
2
2023
2024
年份代号
1
2
3
4
销量
33
69
93
129
22
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附：相关系数
；
回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
，
(1)试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量
与年份代号
的线性相关性强弱（
，则认为
与
的线性相关性较强，
，则认为
与
的线性相关性较弱）；（精确到0.001）
(2)建立
关于
的线性回归方程，并预测该地2025 年的新能源汽车销量．
59．（2025·云南丽江·模拟预测）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了
次试验，得到数据如下：
零件的个数x
（个）
2
3
4
5
加工的时间y
（小时）
2.5
3
4
4.5
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式
，
(1)求
关于
的线性回归方程
；
(2)求各样本的残差；
(3)试预测加工
个零件需要的时间.
60．（2025·河南洛阳·模拟预测）网购是现代年轻人重要的购物方式，截止到2021 年12 月，我国网络购
物用户规模达8.42 亿，较2020 年12 月增长5968 万，占网民整体的81.6%，某电商对其旗下的一家专营店
近五年来每年的利润额
（单位：万元）与时间第年进行了统计得如下数据：
1
2
3
4
5
23
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2.
6
3.
1
4.
5
6.
8
8.
0
(1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合
与的关系？请计算相关系数并加以说明（计算
结果精确到0.01）.（若
，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2)试用最小二乘法求出利润
与时间的回归方程，并预测当
时的利润额.
附：
，
，
参考数据：
，
，
，
.
61．（2025·河北·模拟预测）一般来说，广告投入的增加有助于提高产品的知名度和消费者的购买意愿，
从而可能带来销量的提升.某商家统计了7 个月的月广告投入
（单位：万元）与月销量
（单位：万件）
的数据如表所示：
月广告投入
（万元）
1
2
3
4
5
6
7
月销量
（万件）
28
32
35
45
49
52
60
(1)已知可用线性回归模型拟合
与
的关系，请用相关系数加以说明，并求
关于
的线性回归方程；
(2)根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破70 万件.
参考数据：
，
，
.
相关系数
；
回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
24
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题型11 非线性回归模型
1．建立非线性回归模型的基本步骤：
(1)确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；
(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(是否存在非线性
相关关系)；
(3)由经验确定非线性回归方程的类型(如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比
例函数、指数函数、对数函数模型等)；
(4)通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；
(5)按照公式计算经验回归方程中的参数(如最小二乘法)，得到线性回归方程；
(6)消去新元，得到非线性回归方程；
(7)得出结果后分析残差图是否有异常，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是
否合适等．
2．常见的非线性回归方程的转化：
曲线方程
变换公式
变换后的线性关系式
y＝axb
c＝lna，v＝lnx，u＝lny
u＝c＋bv
y＝aebx
c＝lna，u＝lny
u＝c＋bx
y＝ae
c＝lna，v＝，u＝lny
u＝c＋bv
y＝a＋blnx
v＝lnx
y＝a＋bv
62．（2025 高二·江西抚州·期中）细胞在适宜环境下的繁殖通常符合
类型的模型，假设某种细胞
的初始数量为
，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过
个单位时间后，细胞总数
（万个）会呈指数增长．设
，变换后得到线性回归方程
，已知该回归方程的样本中心
25
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为
，则
（ ）
A．
B．0.596
C．
D．0.206
63．（2025·河南·模拟预测）已知变量
与变量
的关系可以用模型
（
，
为常数）拟合，设
，变换后得到一组数据如下：
2
3
4
5
6
1.02
1.20
1.42
1.62
1.84
由上表可得经验回归方程为
，则
（ ）
A．0.206
B．
C．0.596
D．
64．（2025·山东烟台·模拟预测）近年来，新能源汽车因其动力充沛、提速快、用车成本低等特点得到民
众的追捧．某机构为研究汽油价格x（单位：元/升）与新能源汽车的月销售量y（单位：万辆）之间的关
系，收集整理得到如下数据：
x
6
6.5
7
7.5
8
y
1.5
2
3
4.5
6.8
(1)若用模型
模拟x 与y 之间关系，求出回归方程；
(2)根据建立的回归方程，预测当汽油价格上涨至9 元/升时，新能源汽车的销量；
(3)假设当汽油价格为9 元/升时，实际销量超过预测值的概率为0.6．现进行5 次独立观测，记这5 次观测
中销量超过预测值的次数为
，求
的数学期望．
参考数据和公式：
．
，
．
令
，
，
，
．
对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
26
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，
．
65．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数
（单位：个）和平均温度
（单位：
）有关.现收集到一只蝗虫的产卵数
（个）和温度
的8 组观
测数据，制成图1 所示的散点图.现用两种模型①
，②
分别进行拟合，由此得到相应的
回归方程并进行残差分析，进一步得到图2 所示的残差图.
根据收集到的数据，计算得到如下值：
24
2.9
646
168
422688
50.4
70308
表中
，
，
，
；
(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型_____比较合适？根据所选择的模型，利用上表中的参
考数据，求出
关于
的回归方程.
(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到
以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他
情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到
以上的概率为
，该地今后
年恰好需要2 次人工防治的概率为
.
27
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①求
取得最大值时对应的概率
；
②当
取最大值时，设该地今后5 年需要人工防治的次数为
，求
的均值和方差.
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.
66．（2025·云南·模拟预测）自2020 年以来，某地区人工智能核心产值规模呈快速增长态势，下表给出了
近5 年该地区的人工智能核心产值规模
（单位：亿元）.
年份
2020
2021
2022
202
3
2024
年份编号
1
2
3
4
5
核心产值规模
1.5
2.5
3.4
4.9
7.8
(1)若用
作为回归模型，并已求得
，
，
，求此模型下的决定系数
（精确到0.01）.
(2)若用
作为回归模型，
①求
的值；
②已知该模型下的决定系数
，请说明哪种回归模型拟合效果更好，并用拟合效果好的模型预测
2025 年该地区的人工智能核心产值规模.
参考数据：
3
4.02
16.16
104.91
1.24
22.54
1.1
1.5
11.4
附：（1）上表中
；
28
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（2）一组数据
，其经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分
别为
，
，决定系数
.
67．（2025·福建泉州·模拟预测）泉州少年郎团队从2024 年10 月份以来，通过深度整合AI 算法、大数据
分析和自动化技术，不断优化产品与服务，显著提升了运营效率和市场竞争力，推动团队收入持续攀升.该
团队在近7 个月的经济收入（单位：百万元）的数据如下表：
月份编号
1
2
3
4
5
6
7
收入
（百万元）
6
11
21
34
66
101
196
(1)根据以上数据绘制散点图，并根据散点图判断，
与
（
均为大于零的常数）哪
一个适宜作为该团队经济收入y 关于月份x 的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）并根据你
的判断结果及表中的数据，求出y 关于x 的回归方程；
(2)请你根据所求的回归方程，预测该团队下一个月的经济收入；
(3)试从统计学角度分析，如果用所求的回归方程预测该团队接下来1 年的经济收入情况是否合理？
参考数据：
435
10.78
2535
50.12
2.82
3.47
其中设
，
29
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参考公式：
，
.
68．（2025 高二·辽宁丹东·期中）
年初，哈尔滨利用冰雪资源成功吸引了大批游客前来旅游.
年
底，第二十六届哈尔滨冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，再次邀请广大游客共赴冰雪之约.统计
年这年月份来哈尔滨的游客数量（单位：万），并绘制散点图，如图所示（年份代码对应
）.
(1)经计算得出下表中的数据，根据散点图，在模型①：
与模型②：
（
均为常
数）中，选择一个更适合作为每年月份来哈尔滨的游客数量
关于年份代码
的回归直线方程类型，并求
出
关于
的回归直线方程.
其中
，
.
附：对于一组数据
、
、
、
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分
别为
，
.参考数据：
.
(2)根据所求的回归直线方程预测
年月份来哈尔滨的游客数量.
题型12 经验回归分析
30
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刻画回归效果的四种方法
(1)残差图法：残差点比较均匀地落在水平带状区域内说明选用的模型比较合适．
(2)残差平方和法：残差平方和
(yi－y)2越小，模型的拟合效果越好．
(3)决定系数R2法：R2越接近1，表明模型的拟合效果越好．
(4)样本相关系数．
69．（2025·海南·模拟预测）已知由样本数据
组成的一个样本，得到经验回归方程为
，且
，增加两个样本点
和
后，得到新样本的经验回归方程为
．在
新的经验回归方程下，样本
的残差为（ ）
A．
B．
C．
D．2
70．（2025·上海浦东新·模拟预测）研究变量x，y 得到一组成对数据
，
，先进行一次线
性回归分析，接着增加一个数据
，其中
，
，再重新进行一次线性回归
分析，则下列说法正确的是（ ）
A．变量
与变量
的相关性变强
B．相关系数的绝对值变小
C．线性回归方程
不变
D．拟合误差Q 变大
71．（2025·江西新余·模拟预测）样本点数据
，且
大致呈线性分布，其经验回
归方程为
，若
，数据
的80%分位数为7，则当
时，随机误差的残差为：
（ ）．
A．-0.5
B．0.5
C．-1.5
D．1.5
72．（2025·山东泰安·模拟预测）对于响应变量
，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程
31
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得到的
称为预测值，观测值减去预测值称为残差.将某公司新产品自上市起的月份
与该月的对应销量
（单位：万件）整理成如下表格：
月份
x
1
2
3
4
5
销量
y
0.5
1
1.4
建立y 与x 的线性回归方程为
，则第2 个月和第4 个月的残差和为（ ）
A．-0.919
B．-0.1
C．0.1
D．0.919
73．（2025·云南·模拟预测）已知变量x，y 线性相关，其一组样本数据
，满足
，用最小二乘法得到的经验回归方程为
．若增加一个数据
后，得到修正后的回归
直线的斜率为2.1，则数据
的残差为（ ）
A．
B．
C．0.1
D．0.2
74．（2025 高二·山东青岛·期中）根据变量Y 和x 的成对样本数据，由一元线性回归模型
得到经验回归模型
，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归
模型中对随机误差假设的是（ ）
A．
B．
32
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C．
D．
75．（2025·广东·模拟预测）一组样本数据
．其中
，
，
，求得其经验回归方程为：
，残差为
．对样本数据进行处理：
，得到新的数据
，求得其经验回归方程为：
，其残差为
．
，
分布如图所示，且
，则下列说法错误的是（ ）
A．样本
负相关
B．
C．
D．处理后的决定系数变大
76．（2025·浙江·模拟预测）为研究光照时长
（小时）和种子发芽数量
（颗）之间的关系，某课题研究
小组采集了9 组数据，绘制散点图如图所示，并对
，
进行线性回归分析.若在此图中加上点
后，再次
对
，
进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
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A．
，
不具有线性相关性
B．决定系数
变大
C．相关系数变小
D．残差平方和变小
77．（2025·广东茂名·模拟预测）一只药用昆虫的产卵数
与一定范围内的温度
有关，现收集了该种药用
昆虫的6 组观测数据如下表：
温度
21
23
24
27
29
32
产卵数
个
6
11
20
27
57
77
经计算得：
线性回归
模型的残差平方和
，其中
分别为观测数据中的温度和产卵数，
.
(1)若用线性回归方程，求
关于
的回归方程
（精确到0.1）；
(2)若用非线性回归模型求得
关于
回归方程为
，且相关指数
0.9522.
（i）试与（1）中的回归模型相比，用
说明哪种模型的拟合效果更好.
（ii）用拟合效果好的模型预测温度为
时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.
附：一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计为
；相关指数
.
78．（2025 高二·重庆·阶段练习）某公司为了解年研发资金
（单位：亿元）对年产值
（单位：亿元）
的影响，对公司近8 年的年研发资金
和年产值
（
，
）的数据对比分析中，选用了两个回
归模型，并利用最小二乘法求得相应的
关于
的经验回归方程：
34
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①
；②
．
(1)求的值；
(2)已知①中的残差平方和
，②中的残差平方和
，请根据决定系数选择拟合效果更好的经
验回归方程，并利用该经验回归方程预测年研发资金为20 亿元时的年产值．
参考数据：
，
，
，
．
参考公式；刻画回归模型拟合效果的决定系数
．
79．（2025·内蒙古包头·模拟预测）某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升
级投入
（万元）与科技升级直接收益
（万元）的数据统计如下：
序号
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
6
8
10
13
13
22
31
42
50
56
58
根据表格中的数据，建立了
与
的两个回归模型：模型①：
模型②：
.
(1)根据下列表格中的数据，比较模型①②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高更可靠的模型；
､
､
(2)根据（1）选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100 万元时的直接收益.
回归模型
模型①
模型②
回归方程
182.4
79.2
（附：刻画回归效果的相关指数
越大，模型的拟合效果越好）
题型13 分类变量与列联表
35
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分类变量的两种统计表示形式
（1）等高堆积条形图：根据等高堆积条形图的高度差判断两分类变量是否有关联及关联强弱；
（2）2×2 列联表：直接利用2×2 列联表中的数据进行计算分析，用定量的方式判断两分类变量是否有
关联及关联强弱.
80．（2025 高三·全国·专题练习）下面是
列联表：
合计
21
73
22
25
47
合计
46
120
则表中
，
的值分别为（ ）
A．94，72
B．52，50
C．52，74
D．74．52
81．（2025·贵州·模拟预测）为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才．某学校在不加重学
生负担的前提下．提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿
情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确
的是（ ）
A．样本中不愿意选该门课的人数较多
B．样本中男生人数多于女生人数
C．样本中女生人数多于男生人数
D．该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数
82．（2025·四川达州·模拟预测）四川省将从2022 年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高
考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一
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学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ）
A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C．样本中选择物理学科的人数较多
D．样本中男生人数少于女生人数
83．（2025 高二·宁夏银川·阶段练习）为考查
、
两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得
到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）
A．药物
的预防效果优于药物
的预防效果
B．药物
的预防效果优于药物
的预防效果
C．药物
、
对该疾病均有显著的预防效果
D．药物
、
对该疾病均没有预防效果
84．（2024 高三·北京·专题练习）
年
月
日太原地铁
号线开通，在一定程度上缓解了市内交通
的拥堵状况，为了了解市民对地铁
号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐
地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：
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根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ）
A．样本中男性比女性更关注地铁
号线开通
B．样本中多数女性是
岁及以上
C．样本中
岁以下的男性人数比
岁及以上的女性人数多
D．样本中
岁及以上的人对地铁
号线的开通关注度更高
题型14 分类变量关联性的判断
如果χ2＞xα，则“X 与Y 有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超
过α 的前提下不能推断“X 与Y 有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X 与Y 有
关系”.
85．（25-26 高二·全国·单元测试）目前中国的新能源汽车技术日新月异，老百姓购买时参考的参数有所不
同，一部分人更看重汽车动力、扭矩、悬挂、底盘等技术参数，可以称为“技术流”；另一部分人更看重电
池续航、内饰材料、智能化程度等，可以称为“体验流”．现随机抽取100 名车主，针对他们对汽车的偏好
进行问卷调查，得到下表：
性别
对汽车的偏好
体验流
技术流
总计
男
30
50
女
40
总计
100
小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有数据都缩小为原来的
后再进行独立性检验，则下列说法正确的是（ ）
38
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A．若在样本中的女性中按分层随机抽样的方法再抽取10 人，则应从“体验流”中抽取6 人
B．小组成员甲认为对汽车的偏好与性别无关
C．小组成员甲、乙计算出的
值相同，他们得出的结论也相同
D．小组成员甲、乙计算出的
值不同，他们得出的结论也不同
86．（2025 高二·贵州安顺·期末）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时
间出差，在男、女职工中各随机抽取了100 人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差
的人数分别为40 和20，则下列结论正确的是（ ）
附表：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
附：
，其中
．
A．依据小概率值
的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B．依据小概率值
的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
C．根据小概率值
的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D．是否接受去外地长时间出差与性别无关
87．（2025 高二·广东广州·期末）为了解性别（变量x）与体育锻炼（变量y）是否有关，采取简单随机抽
样的方法抽取50 名学生，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示（单位：人），根据数据计算，
并依据小概率值
的独立性检验，附：
，
，
下列结论不正确的是（ ）
锻炼
合计
不经常
经常
女生
15
5
20
男生
10
m
n
合计
25
25
50
A．
39
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B．若从这50 人中随机抽取1 人，则经常锻炼的概率为
C．变量x 与变量y 独立，此推断犯错误的概率不超过0.005
D．变量x 与变量y 不独立，此推断犯错误的概率不超过0.005
88．（2025 高二·天津南开·期中）为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华
进行了深入的调查，并绘制丁下侧所示的2×2 列联表(个别数据暂用字母表示)：
数学成绩
性别
合计
男
女
优秀
27
70
非优秀
58
110
合计
180
临界值表如下：
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
经计算得：
，参照右上表，有如下结论：①
，②
；③可以在犯错误的概率不超过
5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关”；④没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关”，
则以上结论中正确的为（ ）
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．①②③④
89．（2025 高三·湖北襄阳·期末）某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准
确的是（ ）
男生
女生
篮球迷
90
20
非篮球迷
60
30
附：
0.10
0.05
0.01
0.005
k
2.706
3.841
6.635
7.789
40
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A．有
的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有
的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过0.1 的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.05 的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
题型15 独立性检验
独立性检验的方法：
(1) 构造2×2 列联表；
(2) 计算χ2；
(3) 查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．
注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数
值，再将该数值对应的xα值与求得的χ2值相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没
有关联的可能性p，所以其有关联的可能性为1－p．
90．（2025·湖南·模拟预测）近日，2025 年湖南省城市足球联赛（被球迷称为“湘超”）如火如荼地进行，
引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：
性别
不关注赛事
关注赛事
男性
25
150
女性
50
75
(1)列出
列联表并根据小概率值
的独立性检验，能否认为关注“湘超”赛事与性别有关？
(2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3 名市民参加“湘超”赛事
知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为
，
，每个人是否顺利完成相互独立．
求在有且仅有2 人顺利完成的条件下，这2 人的性别不同的概率．
附：
．
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
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91．（2025·福建泉州·模拟预测）为比较A、B 两种AI 教学系统在提升教师备课效率方面的差异，研究人
员在某地区随机招募了200 名教师，并随机分配其中100 名使用系统A，其余100 名使用系统B．经过一
个月的试用后，以“备课时间减少15%以上”作为备课效率显著提升的标准，经整理得到如下列联表：
备课效率使
用的教学系统
显著提升
没有显著提升
合计
系统A
75
25
100
系统B
55
45
100
合计
130
70
200
(1)记事件“该地区教师使用系统A 后，备课效率显著提升”的概率为
，求
的估计值；
(2)根据小概率值
的独立性检验，分析这两种AI 教学系统在显著提升教师备课效率方面是否存在
差异．
附：
，
0.05
0.005
0.001
3.841
7.879
10.828
92．（25-26 高三·河北衡水·开学考试）林芝第二十一届桃花旅游文化节于2024 年3 月31 日晚正式拉开帷
幕.某研究小组为了了解开幕式文艺演出时林芝市民的观看情况，从全市随机调查了50 名市民（男女各25
名），统计到全程观看、部分观看和没有观看的人数如下表：
观看情
况
全程观
看
部分观
看
没有观
看
男性人
数
9
4
女性人
数
18
4
(1)求出表中x，y 的值；
(2)从样本中没有观看的人中随机抽取2 人进一步了解情况，求恰好男女各1 人的概率；
(3)根据表中统计的数据，完成下面的2×2 列联表，依据小概率值
的独立性检验，分析全程观看是
否与性别有关?
42
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单位：人
性别
观看情况
合计
全程观看
非全程观看
男性
女性
合计
附：
，
.
0.10
0.05
0.01
2.70
6
3.84
1
6.63
5
题型16 独立性检验与其他知识综合
独立性检验综合解题核心是融合关联知识。先明确分类变量，构建 2×2 列联表，结合概率知识算期望
频数。再用统计公式求 χ² 值，关联临界值表判断关联性。可搭配回归分析、抽样调查等，规避假设混
淆、计算失误误区，聚焦数据关联与逻辑衔接，高效解题。
93．（25-26 高三·安徽合肥·开学考试）随着科技的发展，AI 技术已经深度介入普通人的生活，正在改变
着人们的生活和工作．为了调查AI 技术在普通人中的使用情况，一调查机构对此进行了调查，并从参与
调查的市民中分别抽取男，女各100 人进行统计分析，整理得到如下列联表：
性别
经常借助AI 技术
不经常借助AI 技术
合计
男
女
50
合计
120
(1)完成上述列联表，并根据小概率值
的独立性检验，分析是否经常借助AI 技术与性别有关联；
(2)采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从表中不经常借助AI 技术的人中抽取8 人，再从这8 人中随
43
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机抽取3 人，记3 人中男性人数为随机变量
，求
的分布列和数学期望．
参考公式：
，
．
0.050
0.010
0.005
3.841
6.635
7.879
94．（2025·安徽·模拟预测）为了研究“长期长跑”与“半月板损伤”之间的关系，研究人员在长跑爱好者中随
机抽取了1000 人进行调查，所得数据统计如下表所示：
组别
半月板的健康状况
合计
半月板正
常
半月板损伤
长期长跑
40
360
400
非长期长跑
460
140
600
合计
500
500
1000
(1)根据小概率值
的独立性检验，判断“长期长跑”与“半月板损伤”之间是否相关；
(2)若按照半月板的健康状况，使用分层随机抽样的方法从长期长跑的爱好者中随机抽取
人，再从这
人中随机挑选
人，记抽到的
人中半月板损伤的人数为
，求
的分布列与均值.
附：
，其中
.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
95．（2025·广东·模拟预测）为了研究生活习惯 M 与患有疾病N 的关系，某疾控中心随机调查了其他条
件都基本相同的340 人，调查数据如表所示．
无习惯M 者
有习惯M 者
合计
没患疾病N 者
120
160
280
患有疾病N 者
15
45
60
合计
135
205
340
44
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(1)根据小概率值
的独立性检验，判断患有疾病N 与有生活习惯M 是否有关？
(2)常用
表示在事件A 发生的条件下事件Ｂ发生的优势，在统计中称为似然比．现从340
人中任选一人，A 表示“选到的人是有习惯M 者”，B 表示“选到的人患有疾病N 者”，请利用样本数据，估计
的值．
附：
，
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
96．（2025 高二·四川广元·期末）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x 分钟/每天）和他们的数学
成绩（y 分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据如下表：
编
号
1
2
3
4
5
x
1
0
2
0
30
40
50
y
7
0
8
0
10
0
12
0
13
0
(1)若该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求y 关于x 的回归直线方程．（参考数据：
）
(2)基于上述调查，某校提倡学生课后自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了160 位学生．按照参与
课后自主学习与成绩进步情况得到如下2×2 列联表：
成绩没有进
步
成绩有进
步
合
计
参与课后自主学习
5
135
140
未参与课后自主学
习
5
15
20
合计
10
150
160
45
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依据
的独立性检验，分析“课后自主学习与成绩进步”是否有关．
附：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
，其中
．
0.1
0.05
0.01
0.00
5
0.001
2.70
6
3.84
1
6.63
5
7.87
9
10.82
8
97．（2025 高二·广东肇庆·期末）某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来
（
）年的增长数据
（万吨），如下表所示：
1
2
3
4
5
2
6
3
7
5
0
6
4
9
3
(1)经探究
与
之间具有相关关系，求
关于
的经验回归方程
；
(2)为了检验
，
两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在
，
两地区分别选取了两块相同面
积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表：
地
区
用M 设
备
用
设
备
A
30
20
B
15
35
根据小概率值
的独立性检验，能否认为增收情况与使用
，
两种不同设备有关?
参考公式：①
，
；
②
（其中
为样本容量）.
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参考数据：
0.10
0
0.05
0
0.01
0
0.00
5
0.001
2.70
6
3.84
1
6.63
5
7.87
9
10.82
8
98．（2025·云南玉溪·模拟预测）某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带
动了淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构．下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人y 数（万人）
与第
个月的数据：
x
1
2
3
4
5
y
23.1
37.0
62.1
111.6
150.8
(1)根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量y 与变量x 之间的线性相关关系，且回归方程
中
的
，请计算相关系数r（精确到0.01），并判断是否可以认为y 与x 的线性相关性很强；
(2)为更好地改进服务，景点对每位游客进行了满意度调查，已知评分X 近似服从正态分布
，评分
低于m 的游客约占15.865%，求m 的值；
(3)为进一步了解游客性别与满意度的关系，随机抽查200 名游客，得到如下列联表，请填写下面的2×2 列
联表，根据小概率值
的独立性检验，能否推断游客是否满意与性别有关？
喜欢
不喜
欢
总计
男
100
女
60
总计
110
参考公式：
相关系数：若
，则认为
与
有较强的线性相关性．
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回归方程
中斜率的最小二乘法估计公式为：
，其中
.
临界值表：
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
参考数据：
，
若
，则
，
48
