文档文本内容
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第01 讲 一元二次方程
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 判断是否是一元二次方程
题型2 利用一元二次方程的定义求参数
题型3 一元二次方程的一般形式
题型4 一元二次方程的解求参数的值
题型5 一元二次方程的解求代数式的值
题型6 一元二次方程的解的估算
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
一元二次方程、一般
形式、系数、整式方
程、建模思想
1. 理解一元二次方程的概念，掌握其定义的三要素（整式、一元、二次）。
2. 掌握一元二次方程的一般形式ax ²+bx+c=0（a≠0），能准确识别二次
项、一次项、常数项及系数。
3. 理解一元二次方程根（解）的概念，能检验一个数是否为方程的根。
4. 经历由实际问题抽象出一元二次方程模型的过程，体会数学建模思想。
学习重点：一元二次方程的概念及其一般形式（a≠0），能准确识别各项系数。
学习难点：从实际问题中抽象出一元二次方程的数学模型，理解二次项系数a≠0 的意义。
知｜识｜框｜架
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知识点
01
一元二次方程的概念
定义：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元
二次方程．
要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最
高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
【易错提醒】
必须同时满足：整式、一个未知数、最高次数为2、二次项系数a ≠ 0。缺一不可。
即时即练1．下列方程是一元二次方程的有（ ）
①
；②
；③
；④
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．关于x 的一元二次方程
的一个根是0，则a 的值为 ．
3．若
是关于x 的一元二次方程，则m 的值是 ．
知识点
02
一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如ax2+bx+c=0（a≠0），这种形式叫做一元二次方
程的一般形式．其中ax2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．
要点：(1)只有当a≠0 时，方程ax2+bx+c=0 才是一元二次方程；
(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉
前面的性质符号.
知｜识｜精｜讲
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【易错提醒】
一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）。务必先移项、合并化为右边为0，并注意各项需带符号，切勿漏写负号。
即时即练1．关于
的一元二次方程
的二次项系数，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．把一元二次方程
化成一般式，则
，
，的值分别是 )
A．，
，
B．
，
，
C．，
，
D．
，
，
知识点
03
一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【易错提醒】
代入方程应使左右相等。注意等号两边都要算。若方程有根为0，则常数项c=0；若根为1，则a+b+c=0；
若根为-1，则a-b+c=0。
即时即练1．已知关于x 的一元二次方程
的一个根是
，则m 的值为 ．
2．若
是方程
的一个根，则代数式
的值为 ．
题型1 判断是否是一元二次方程
【例1】下列方程是一元二次方程的是( )
A．
B．
C．
D．
【例2】下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【技巧归纳】
1. 整理：化为 ax2+bx+c=0 形式。
2. 看条件：a≠0，最高次为2，且为整式方程（分母无未知数）。
【变式1-1】下列方程是一元二次方程的有（ ）
①
；②
；③
；④
；⑤
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式1-2】关于x 的方程：①
，②
，③
，④
，其中
一元二次方程的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
题型2 利用一元二次方程的定义求参数
【例3】若方程
是一元二次方程，则k 的值是 ．
【例4】若关于
的方程
（
为常数）是一元二次方程，则
的取值范围为 ．
【技巧归纳】
1. 化标准式：整理为ax2+bx+c=0。
2. 列条件：二次项系数a≠ 0，最高次数为2。
3. 解参数：联立解得参数值，注意排除使a=0 的值。
【变式2-1】关于
的方程
是一元二次方程，则
的值为的 ．
【变式2-2】若
是关于
的一元二次方程，则
的值为 ．
题型3 一元二次方程的一般形式
【例5】方程
化为一元二次方程的一般形式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6】将方程
化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【技巧归纳】
1. 移项排序：将所有项移到左边，按降幂排列：ax2+bx+c=0。
2. 明确字母：a 为二次项系数(a ≠ 0），b 为一次项系数，c 为常数项。
【变式3-1】方程
化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．1 和3
B．1 和
C．3 和
D．3 和4
【变式3-2】将一元二次方程
化为一般形式后二次项系数为5，常数项为
，则一次项系数是
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（ ）
A．5
B．
C．4
D．
题型4 一元二次方程的解求参数的值
【例7】已知关于
的一元二次方程
的一个根为
，则
的值为 ．
【例8】已知关于x 的方程
的一个根为
，则
．
【技巧归纳】
1. 直接代入：将已知解代入原方程，得到关于参数的新方程。
2. 解方程：解出新方程，求出参数值。
3. 注意验根：确保二次项系数a ≠ 0，避免增根。
【变式4-1】关于x 的一元二次方程
的一个根是1，则k 的值是 ．
【变式4-2】已知一元二次方程
有一个根为4，则m 为 ．
题型5 一元二次方程的解求代数式的值
【例9】若a 是方程
的一个根，则
的值为 ．
【例10】若m 是方程
的一个实数根，则
的值为 ．
【技巧归纳】
1. 代入化简：将根代入原方程得关系式（如m2 = 2m+1），降次代入所求式。
2. 整体代换：利用韦达定理 m+n、mn，整体求值。
【变式5-1】如果
是一元二次方程
的解，则
．
【变式5-2】已知m 为方程
的根，那么
的值为 ．
题型6 一元二次方程的解的估算
【例11】如果
是方程
的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断
．
1.2
1.3
1.4
1.5
0.36
0.75
【例12】根据下表得知，方程
的一个近似解为
（精确到0.1）
x
…
…
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…
0.56
1.25
1.96
…
【技巧归纳】
1. 找相邻整数：代入整数x，观察代数式值的正负变化。
2. 缩小范围：根在使值异号的两个整数之间，再取中点或小数逼近。
3. 结合图象：看抛物线与x 轴交点位置。
【变式6-1】探索一元二次方程
的一个正数解的过程如表：
x
0
1
2
3
4
5
13
23
可以看出方程的一个正数解应界于整数a 和整数b 之间，
的值为 ．
【变式6-2】根据表格对应值：
0
1
2
0.84
2.29
3.76
判断关于x 的方程
的一个解x 的范围是 ．
一、单选题
1．一元二次方程
的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．
，
2．若
是方程
的解，则
的值是（ ）
A．
B．3
C．
D．1
3．下列方程中，一元二次方程共有（ ）个．
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①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
．
A．2
B．3
C．4
D．5
4．若
是关于
的一元二次方程
的一个根，则
的值为（ ）
A．2024
B．2025
C．2027
D．2028
5．已知关于
的一元二次方程
．
若
①
，则该方程一定有一个根为
；
若方程的两个根为
②
和2，则
和的数量关系为
．
下列判断正确的是（ ）
A．
的说法都正确
①②
B．
的说法都错误
①②
C．
的说法错误，
的说法正确
①
②
D．
的说法正确，
的说法错误
①
②
二、填空题
6．将一元二次方程
化为一般式为______．
7．已知
是关于x 的一元二次方程，则m 的值为________．
8．关于
的一元二次方程
有一个根为
，则实数
，
之间的关系为________．
9．若
是关于x 的一元二次方程
的一个解，则
的值为______．
10．在一元二次方程
中，实数a，b，c 满足
，则此方程必有一根为
________．
三、解答题
11．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
12．当
为何值时，方程
是关于
的一元二次方程？
13．已知a 是一元二次方程
的一个根：
(1)求
的值
(2)求
的值．
14．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为
．如
．
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(1)判断
是否为一元二次方程．
(2)判断
和
是否是方程
的根．
15．定义：方程
是一元二次方程
的倒方程，其中a，b，c 为常数（且
，
）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程
的倒方程是
“
”
；
(2)若
是一元二次方程
的倒方程的解，求出
“
”
的值；
(3)若
是一元二次方程
的倒方程的一个实数根，则
“
”
的值为 ．
