第02讲矩形的性质与判定（知识点+13题型）（暑假预习讲义）（解析版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_暑假预习讲义+测试卷

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第02 讲矩形的性质与判定（知识点+13 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 矩形性质理解
题型2 利用矩形的性质求角度
题型3 根据矩形的性质求线段长
题型4 根据矩形的性质求面积
题型5 利用矩形的性质证明
题型6 求矩形在坐标系中的坐标
题型7 矩形与折叠问题
题型8 斜边的中线等于斜边的一半
题型9 矩形的判定定理理解
题型10 证明四边形是矩形
题型11 根据矩形的性质与判定求角度
题型12 根据矩形的性质与判定求线段长
题型13 根据矩形的性质与判定求面积
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
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矩形的定义矩形的边、
角、对角线矩形的对称
性矩形的性质矩形的
判定直角三角形斜边
中线定理矩形的面积
计算
1. 理解矩形的定义，认识矩形的边、内角、对角线，能用符号语言表示矩形，
明确矩形与平行四边形的从属关系。
2. 掌握矩形的性质定理（四个角都是直角、对角线相等且互相平分）及直角
三角形斜边中线等于斜边的一半的重要推论，了解矩形的轴对称性与中心对
称性，能运用矩形的性质及推论进行线段长度、角度大小的计算和相关几何
证明。
3. 掌握矩形的三个判定定理（定义法、三个角是直角的四边形是矩形、对角
线相等的平行四边形是矩形），能运用判定定理证明一个四边形或平行四边
形是矩形，并能准确区分矩形的性质与判定。
4. 掌握矩形的面积计算公式（长×宽），能解决与矩形相关的实际问题和折
叠问题，体会转化与数形结合的数学思想。
学习重点：矩形的概念与表示方法、矩形的性质定理、矩形的判定定理、直角三角形斜边中线定理的
应用。
学习难点：矩形性质与判定的综合应用，矩形与平行四边形、菱形的联系与区别，分类讨论思想在矩
形折叠、对角线问题中的应用。
知｜识｜框｜架
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知｜识｜精｜讲
知识点01 矩形的定义
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（长方形）
几何语言：
∵四边形ABCD 是平行四边形，且∠ABC=90°
∴四边形ABCD 是矩形
即时即练已知在四边形ܣﺈๆ坐中，ܣﺈצ ๆ坐，ܣൌﺈๆ坐，סܣൌ䁡⸲ι，如果添加一个条件，可使得四边形ܣﺈๆ坐
为正方形，则添加的条件可以是________．（添加一个即可）
【答案】ܣܣൌﺈ坐（答案不唯一）
【分析】先根据已知条件判定四边形ܣﺈๆ坐为矩形，再根据正方形的判定定理，添加使矩形成为正方形的
条件即可．
【详解】解：׶ ܣﺈצ ๆ坐，ܣൌﺈๆ坐，
׵四边形ܣﺈๆ坐是平行四边形．
׶ סܣൌ䁡⸲ι，
׵平行四边形ܣﺈๆ坐是矩形．
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当添加条件ܣܣൌﺈ坐时，一组邻边相等的矩形是正方形，即四边形ܣﺈๆ坐为正方形．
【易错提醒】
判定矩形不可直接用“有一个直角的四边形是矩形”；必须满足两大条件，先为平行四边形，再存在一个
内角为直角。
知识点02
矩形的性质
矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，同时还有以下独特性质：
性质类别
具体内容
几何语言
对应易错提醒
角的性质
矩形的四个角都是
直角
∵四边形ABCD 是
矩形
∴∠A=∠B=∠C=∠D
=90°
普通平行四边形对
角相等、邻角互补，
只有矩形四个内角
全部为90°，切勿
混淆。
对角线性质
矩形的对角线相等
且互相平分
∵四边形ABCD 是
矩形
∴AC=BD，
OA=OB=OC=OD
矩形独有对角线相
等；普通平行四边形
对角线仅互相平分，
并不相等，是高频易
混点。
对称性
矩形是轴对称图形，
有2 条对称轴，分别
为过对边中点的直
线；同时也是中心对
称图形，对称中心是
两条对角线的交点
-
对称轴不是对角线；
正方形有4 条对称
轴，普通矩形仅有2
条，不要混淆。
教材重要推论（直角三角形性质）：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
几何语言：在Rt△ABC 中，O 为斜边AC 中点，则BO=
ͳ
ʹAC
即时即练矩形具有而菱形不具有的性质是（
）
A．对角线互相平分
B．四条边相等
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C．四个角相等
D．对角线互相垂直
【答案】C
【详解】解：选项A，平行四边形的对角线互相平分，矩形和菱形都属于平行四边形，是两者共有的性质，
不符合题意；
选项B，四条边相等是菱形具有的性质，矩形不具有，不符合题意；
选项C，矩形四个角都是直角，因此四个角相等，菱形仅对角相等，四个角不一定相等，符合题意；
选项D，对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不具有，不符合题意．
知识点03
矩形的判定定理
满足以下任意一个条件，即可判定一个四边形是矩形：
判定方法
具体内容
几何语言
对应易错提醒
定义判定
有一个角是直角的
平行四边形是矩形
∵四边形ABCD 是
平行四边形，
∠A=90°
∴四边形ABCD 是
矩形
前提必须是平行四
边形，仅单个直角的
四边形无法判定为
矩形。
角判定
有三个角是直角的
四边形是矩形
∵∠A=∠B=∠C=90
°
∴四边形ABCD 是
矩形
无需先证平行四边
形；无需四个角都是
直角，三个直角即可
直接判定。
对角线判定
对角线相等的平行
四边形是矩形
∵四边形ABCD 是
平行四边形，AC=BD
∴四边形ABCD 是
矩形
易错重灾区！不能说
“对角线相等的四
边形是矩形”，缺少
平行四边形前提，命
题错误。
即时即练下列四边形是矩形的是（
）
A．对角线相等的四边形
B．对角线互相平分的四边形
C．对角线互相平分且相等的四边形
D．对角线互相垂直的平行四边形
【答案】C
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【详解】解：选项A、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等但不是矩形，故A 错
误；
选项B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故B 错误；
选项C、初中矩形判定定理明确：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，符合判定规则，故C 正确；
选项D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，故D 错误．
【易错提醒】
对角线互相平分代表四边形为平行四边形，叠加对角线相等，可直接判定为矩形。
知识点04 矩形的面积计算
1. 计算公式：S=长×宽
2. 本质：沿用平行四边形面积公式（底×高），矩形的长和宽互为底和高
即时即练如图，在Rt ᇞܣﺈๆ中，סๆൌ䁡⸲ι．D 在ܣﺈ上，坐ܧ٣ ܣๆ于ܧ，坐ܨ٣ﺈๆ于F．已知ܣܧൌͳǡʹൌܨﺈ．则
四边形ๆܨ坐ܧ的面积为_______ ．
【答案】2
【分析】以ܣๆǡﺈๆ为邻边构造矩形ܣๆﺈꘀ，延长ܧ坐交ﺈꘀ于点ܩ，延长ܨ坐交ܣꘀ于点ܪ，根据矩形的性
质，推出四边形ๆܨ坐ܧ的面积等于矩形坐ܩꘀܪ的面积即可得出结果.
【详解】解：以ܣๆǡﺈๆ为邻边构造矩形ܣๆﺈꘀ，延长ܧ坐交ﺈꘀ于点ܩ，延长ܨ坐交ܣꘀ于点ܪ，如图，
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由题意，可知，四边形ܣܧ坐ܪǡๆܧ坐ܨǡܨﺈ坐ܩǡ坐ܩꘀܪ均为矩形，
׵坐ܪൌܣܧൌͳǡ坐ܩൌʹൌܨﺈ，
׶ܣ坐为矩形ܣܧ坐ܪ的对角线，
׵ܵᇞܣ坐ܧൌܵ
ᇞܣ坐ܪ，
同理：ܵᇞܣﺈๆൌܵ
ᇞܣﺈꘀ，ܵᇞﺈ坐ܨൌܵ
ᇞﺈ坐ܩ，
׵ܵᇞܣﺈๆെܵ
ᇞﺈ坐ܨെܵ
ᇞܣ坐ܧൌܵ
ᇞܣﺈꘀെܵ
ᇞﺈ坐ܩെܵ
ᇞܣ坐ܪ，
即四边形ๆܨ坐ܧ的面积ൌܵ
坐ܩꘀܪൌ坐ܩ൉坐ܪൌʹ ൈͳ ൌʹ.
【易错提醒】
矩形不能套用菱形对角线面积公式；不可用
ͳ
ʹ×对角线乘积计算面积，极易和菱形公式混淆。
题型1 矩形性质理解
【例1】如图，在一个大矩形中不重叠放置4 个全等的小矩形，下列关于图中阴影部分的周长的和的说法正
确的是（）
A．只与大矩形的长有关
B．只与大矩形的宽有关
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C．与大矩形的长和宽都有关
D．与大矩形的长和宽都无关
【答案】B
【分析】通过设未知数表示小矩形的长、宽和大矩形的长、宽，利用图形关系得到ܽ
൅ʹܾ
ൌ݉
．分别写出
两个阴影部分的周长表达式，再相加．化简后发现周长和仅等于Ͷ݊，说明只与大矩形的宽有关．
【详解】解：设小矩形的长为a，宽为b，大矩形的长为m，宽为n．
׶由图形可知，ܽ൅ʹܾ
ൌ݉
．
׶左边阴影矩形的长为a，宽为݊
െʹܾ，
׵左边阴影的周长为ʹሺܽ൅݊
െʹܾሻ．
右边阴影矩形的长为ʹܾ，宽为݊
െܽ
，
׵右边阴影的周长为ʹሺʹܾ൅݊
െܽ
ሻ．
׵阴影部分的周长和为：
ʹሺܽ൅݊
െʹܾሻ൅ʹሺʹܾ൅݊
െܽ
ሻ
ൌʹܽ൅ʹ݊
െͶܾ൅Ͷܾ൅ʹ݊
െʹܽ
ൌͶ݊；
׶化简后周长和为Ͷ݊，仅含大矩形的宽n，
׵阴影部分的周长和只与大矩形的宽有关．
【技巧归纳】
角：四个角都是直角
边：对边平行且相等
对角线：相等且互相平分（分成4 个等腰三角形）
对称性：轴对称（2 条对称轴）+中心对称
【变式1-1】如图，在矩形ܣﺈๆ坐中，对角线ܣๆ与ﺈ坐相交于点O，则下列结论一定正确的是（
）
A．ܣﺈൌﺈๆ
B．ܣๆൌﺈ坐
C．ܣๆ٣ﺈ坐
D．סܣﺈๆൌסܣๆﺈ
【答案】B
【分析】根据矩形的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵在矩形ܣﺈๆ坐中，对角线ܣๆ与ﺈ坐相交于点O，
∴ܣๆൌﺈ坐，
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由矩形的性质不能得到ܣﺈൌﺈๆ，ܣๆ٣ﺈ坐，סܣﺈๆൌסܣๆﺈ．
【变式1-2】如图，小红想将一张矩形纸片沿ܣ坐ǡﺈๆ剪下后得到一个
ܣﺈๆ坐，若סͳ ൌ䁡⸲ι，则סʹ 的度数是
（）
A．ʹ⸲ι
B．䁡⸲ι
C．ͺ⸲ι
D．ͳͳ⸲ι
【答案】B
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质，即可得出结果．
【详解】解：∵
ܣﺈๆ坐，
∴ܣ坐צﺈๆ，
∴סʹ ൌסͳ ൌ䁡⸲ι；
故选B．
题型2 利用矩形的性质求角度
【例2】如图，在矩形ܣﺈๆ坐中，对角线ܣๆ，ﺈ坐相交于点O，若סܣﺈ坐ൌͶͶι ，则（
）
A．סܱ坐ܣൌͶ䳌ι
B．סܱ坐ๆൌͶ䳌ι
C．סܱܣ坐ൌͶͶι
D．סܱﺈๆൌͶͶι
【答案】A
【详解】解：选项A，׶ סܣﺈ坐ൌ䁡⸲ι，סܣﺈ坐ൌͶͶι，׵ סܱ坐ܣൌ䁡⸲ι െסܣﺈ坐ൌͶ䳌ι，故选项A 符合题意；
选项B，׶ ܣﺈצ ๆ坐，׵ סܱ坐ๆൌסܣﺈ坐ൌͶͶι，故选项B 不符合题意；
选项C，׶ܱ
ܣൌܱ
坐，׵ סܱܣ坐ൌסܱ坐ܣൌͶ䳌ι，故选项C 不符合题意；
选项D，׶ ܣ坐צﺈๆ，׵ סܱﺈๆൌסܱ坐ܣൌͶ䳌ι，故选项D 不符合题意；
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【技巧归纳】
对角线平分后，OA=OB=OC=OD，出现多组等腰三角形
利用直角互余、邻角互补、对顶角相等推导
出现30°、45°、60°时，直接用特殊直角三角形角度关系
折叠问题中，对应角相等，折痕平分对应角
【变式2-1】如图是一张矩形台球桌面，一个球从桌面的点ܣ处滚向桌边ܲܳ
，在ܲܳ
上的点ﺈ处反弹后，
滚向桌边ܴܵ
上的点ๆ，再次反弹后滚入点ܳ
，共反弹两次．若סܣﺈܲ
ൌ䳌ʹι，则סๆܴܳ
的度数为（
）
A．䳌ʹι
B．͵ͺι
C．͵ʹι
D．ʹͺι
【答案】D
【分析】首先根据对称的性质求出סๆﺈܳ
ൌסܣﺈܲ
ൌ䳌ʹι，然后根据矩形的性质得到ܲܳ
צܴܵ
，סܴ
ൌ䁡⸲ι，
然后根据直角三角形两锐角互余求解．
【详解】解：∵סܣﺈܲ
ൌ䳌ʹι
根据题意得，סๆﺈܳ
ൌסܣﺈܲ
ൌ䳌ʹι
∵四边形ܴܲܵܳ
是矩形
∵ܲܳ
צܴܵ
，סܴ
ൌ䁡⸲ι
∴סܵๆൌﺈסๆܳﺈ
ൌ䳌ʹι
根据题意得，סܴๆܳ
ൌסܵๆൌﺈ䳌ʹι
∵סܴ
ൌ䁡⸲ι
∴סๆܴܳ
ൌ䁡⸲ι െסܴๆܳ
ൌʹͺι．
【变式2-2】如图，在矩形ܣﺈๆ坐中，对角线ܣๆ，ﺈ坐相交于点ܱ
，坐ܧ٣ ܣๆ于点ܧ，סﺈܱๆൌͳ͵䳌ι，则סๆ坐ܧ
的大小是________ι．
【答案】ʹʹ
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【分析】根据矩形的性质得到ܱ
ๆൌܱ
坐，利用邻补角定义和等腰三角形的性质求出סܱๆ坐的度数，再根据
直角三角形两锐角互余可得答案．
【详解】解：∵在矩形ܣﺈๆ坐中，对角线ܣๆ，ﺈ坐相交于点ܱ
，
∴ܱๆൌܱ
坐，
∴סܱ坐ๆൌסܱๆ坐，
∵סﺈܱๆൌͳ͵䳌ι，סﺈܱๆ൅סๆܱ坐ൌͳͺ⸲ι，
∴סๆܱ坐ൌͳͺ⸲ι െͳ͵䳌ι ൌͶͶι，
在ᇞܱ
ๆ坐中，סܱๆ坐ൌ
ͳ
ʹ ሺͳͺ⸲ι െסๆܱ坐ሻൌ
ͳ
ʹ ሺͳͺ⸲ι െͶͶιሻൌ䳌ͺι，
∵坐ܧ٣ ܣๆ，
∴ס坐ܧๆൌ䁡⸲ι，
∴סๆ坐ܧൌ䁡⸲ι െס坐ๆܧൌ䁡⸲ι െ䳌ͺι ൌʹʹι．
题型3 根据矩形的性质求线段长
【例3】如图，在矩形ܣﺈๆ坐中，ܧ是边ﺈๆ上一点，ܨ，ܩ分别是ܣܧ，ܧ坐的中点，连接ܨﺈ，ܨܩ，ๆܩ，
若ʹͳൌܨﺈ，ܨܩൌͳ͵，ๆܩൌ⸳，则ᇞܣܧ坐的面积是（
）
A．60
B．120
C．156
D．180
【答案】B
【分析】由矩形的性质可得סܣﺈๆൌסﺈๆ坐ൌ䁡⸲ι，由直角三角形的性质可得ܣܧൌʹͶʹൌܨﺈ，坐ܧൌʹๆܩൌ
ͳ⸲，由三角形中位线定理可得ܣ坐ൌʹܨܩൌʹ䳌，证明ᇞܣ坐ܧ为直角三角形，且סܣܧ坐ൌ䁡⸲ι，最后再由三角
形的面积公式计算即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ܣﺈๆ坐为矩形，
∴סܣﺈๆൌסﺈๆ坐ൌ䁡⸲ι，
∵ܨ，ܩ分别是ܣܧ，ܧ坐的中点，
∴ܣܧൌʹͶʹൌܨﺈ，坐ܧൌʹๆܩൌͳ⸲，ܨܩ为ᇞܣ坐ܧ的中位线，
∴ܣ坐ൌʹܨܩൌʹ䳌，
∵ܣ坐ʹ ൌʹ䳌ʹ ൌ䳌䁡䳌，ܣܧʹ ൅坐ܧʹ ൌʹͶʹ ൅ͳ⸲ʹ ൌ⸳䁡䳌൅ͳ⸲⸲ൌ䳌䁡䳌，
∴ܣܧʹ ൅坐ܧʹ ൌܣ坐ʹ，
∴ᇞܣ坐ܧ为直角三角形，且סܣܧ坐ൌ䁡⸲ι，
∴ᇞܣܧ坐的面积是
ͳ
ʹ ܣܧڄ 坐ܧൌ
ͳ
ʹ ൈʹͶ ൈͳ⸲ൌͳʹ⸲．
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【技巧归纳】
已知长和宽，求对角线必用勾股定理：݀
ൌܽ
ʹ ൅ܾ
ʹ
对角线被交点分成的四条线段长度相等
折叠问题：设未知数，将已知和未知边集中到一个直角三角形中用勾股
直角三角形中见斜边中点，立即想到斜边中线等于斜边一半
【变式3-1】如图，在矩形ܣﺈๆ坐中，E 是ﺈๆ上一点，F 是ܣ坐的中点，且סൌܧܣﺈסܣ坐ܧ．若ﺈๆൌ䳌cm，
则ܧܨ的长为（
）
A．͵cm
B．Ͷcm
C．⸳cm
D．䳌cm
【答案】A
【分析】先求出סܣܧ坐ൌ䁡⸲ι，再根据直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ܣﺈๆ坐是矩形，
׵ ܣ坐צﺈๆǡܣ坐ൌﺈๆൌ䳌cmǡסൌﺈסๆൌ䁡⸲ιǡ
׶ ܣ坐צﺈๆ，
׵ סܣ坐ܧൌס坐ܧๆ，
׶ סൌܧܣﺈסܣ坐ܧ，
׵ סൌܧܣﺈס坐ܧๆ，
׶ סൌﺈ䁡⸲ι，
׵ סܣ൅ܧﺈסܣܧൌﺈ䁡⸲ι，
׵ ס坐ܧๆ൅סܣܧൌﺈ䁡⸲ι，
׵ סܣܧ坐ൌ䁡⸲ι，
׶ ܨ是ܣ坐的中点，
׵ ܧܨൌ
ͳ
ʹ ܣ坐ൌ͵cm．
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【变式3-2】如图，在矩形ܣﺈๆ坐中，ܣͶൌﺈcm，ﺈๆൌ䳌cm，ܧﺈ平分סܣﺈๆ交ܣ坐于点E，连接ๆܧ，取ๆܧ
的中点F，连接坐ܨ，则坐ܨ的长为（
）
A．ʹ ⸳cm
B．⸳cm
C．ʹ ͵cm
D．͵cm
【答案】B
【分析】由矩形的性质可得，ܣ坐צﺈๆ，结合ܧﺈ平分סܣﺈๆ，可以推出ܣͶൌܧܣൌﺈcm，在Rt ᇞๆ坐ܧ中，
先使用勾股定理计算出斜边ๆܧ的长，再用直角三角形的性质算出坐ܨ的长．
【详解】解：∵四边形ܣﺈๆ坐是矩形，
∴ܣൌﺈ坐ๆൌͶcm，ܣ坐ൌﺈๆൌ䳌cm，ܣ坐צﺈๆ，סๆ坐ܧൌ䁡⸲ι，
∴סܣܧൌﺈסܧﺈๆ，
∵ܧﺈ平分סܣﺈๆ，
∴סܧൌܣﺈסܧﺈๆ，
∴סܣܧൌﺈסܧܣﺈ，
∴ܣͶൌܧܣൌﺈcm，
∴坐ܧൌܣ坐െܣܧൌ䳌െͶ ൌʹ cm ，
在Rt ᇞๆ坐ܧ中，ๆܧൌ
坐ๆʹ ൅坐ܧʹ ൌ
Ͷʹ ൅ʹʹ ൌʹ ⸳cm ，
∵点F 是ๆܧ的中点，
∴坐ܨ是Rt ᇞๆ坐ܧ斜边上的中线，
∴坐ܨൌ
ͳ
ʹ ๆܧൌ
⸳cm．
题型4 根据矩形的性质求面积
【例4】如图，ܧܨ过矩形ܣﺈๆ坐对角线的交点ܱ
，且分别交ܣﺈ，ๆ坐于ܧ、ܨ，若ܣʹൌﺈ，ܣ坐ൌͶ，那么
图中阴影部分的面积为（
）
A．ʹ
B．Ͷ
C．䳌
D．ͺ
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【答案】A
【分析】根据矩形的性质可得ܱ
坐ൌܱ
ܧ，进而可得ᇞܧܱﺈ، ᇞ坐ܱܨ，利用全等三角形性质得出ܵᇞܧܱﺈൌܵ
ᇞ坐ܱܨ，
从而进一步求解即可.
【详解】解：∵矩形ܣﺈๆ坐中，ܱ坐ൌܱǡﺈๆ坐צ ܣﺈ，
∴סܱ坐ܨൌסܱܧﺈ，סൌܧܱﺈס坐ܱܨ，
∴ᇞܧܱﺈ، ᇞ坐ܱܨASA ，
∴ܵᇞܧܱﺈൌܵ
ᇞ坐ܱܨ，
∴ܵ阴影ൌܵ
ᇞܣܱܧ൅ܵ
ᇞ坐ܱܨൌܵ
ᇞܣܱܧ൅ܵ
ᇞܧܱﺈൌܵ
ᇞܣܱﺈൌ
ͳ
Ͷܵ
矩形ൌ
ͳ
Ͷ ൈʹ ൈͶ ൌʹ，
故选：A．
【技巧归纳】
核心公式：ܵ
ൌ长×宽（底×高）
对角线将矩形分成4 个面积相等的等腰三角形，每个面积为
ͳ
Ͷܵ
利用面积相等可求斜边上的高
矩形中阴影面积常用割补法、等积变换法
【变式4-1】如图，在矩形ܣﺈๆ坐中，对角线ܣๆǡﺈ坐相交于点O，若סﺈ坐ๆൌ䳌⸲ι，ﺈ坐ൌ䳌，则矩形ܣﺈๆ坐
的面积为（
）
A．䳌͵
B．9
C．䁡͵
D．18
【答案】C
【分析】根据矩形的性质，可得ܱ
坐ൌܱ
ๆൌ
ͳ
ʹﺈ坐ൌ͵，סﺈๆ坐ൌ䁡⸲ι，可证明ᇞๆܱ坐是等边三角形，可得ๆ坐ൌܱ
坐ൌ͵，再由勾股定理可得ﺈๆൌ͵ ͵，即可求解．
【详解】解：∵四边形ܣﺈๆ坐是矩形，ﺈ坐ൌ䳌，
∴ܱ坐ൌܱ
ๆൌ
ͳ
ʹﺈ坐ൌ͵，סﺈๆ坐ൌ䁡⸲ι，
∵סﺈ坐ๆൌ䳌⸲ι，
∴ᇞๆܱ坐是等边三角形，
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∴ๆ坐ൌܱ
坐ൌ͵，
∴ﺈๆൌﺈ坐ʹ െๆ坐ʹ ൌ
䳌ʹ െ͵ʹ ൌ͵ ͵，
∴矩形ܣﺈๆ坐的面积为ﺈๆൈๆ坐ൌ͵ ൈ͵ ͵ ൌ䁡͵．
【变式4-2】如图，在矩形ܣﺈๆ坐中，ܣǡ⸳ൌﺈ ܣ坐ൌͳʹ，ܲ
是ܣ坐上不与ܣ和坐重合的一个动点，过点ܲ
分别作ܣๆ和ﺈ坐的垂线，垂足为ܧǡ ܨ，则ܲ
ܧ൅ܲ
ܨ的值为（
）
A．5
B．
䳌⸲
ͳ͵
C．
ʹͶ
ͳ͵
D．
⸳
ͳ͵
【答案】B
【分析】由矩形的性质可得ܵ矩形ܣﺈๆ坐ൌܣﺈڄﺈๆൌ䳌⸲，ܱܣൌܱ
ๆൌ
ͳ
ʹ ܣๆ，ܱܱൌﺈ坐ൌ
ͳ
ʹﺈ坐，ܣๆൌﺈ坐，然
后通过勾股定理得出ܣๆൌ
ܣﺈʹ ൅ﺈๆʹ ൌͳ͵，则有ܱ
ܣൌܱ
ๆൌܱܱൌﺈ坐ൌ
ͳ͵
ʹ ，然后通过ܵᇞܣܱ坐ൌܵ
ᇞܣܱܲ
൅ܵ
ᇞ坐ܱܲ
即可求解．
【详解】解：如图，连接ܱܲ
，
∵在矩形ܣﺈๆ坐中，ܣǡ⸳ൌﺈ ܣ坐ൌͳʹ
∴ܵ矩形ܣﺈๆ坐ൌܣﺈڄﺈๆൌ䳌⸲，ܱܣൌܱ
ๆൌ
ͳ
ʹ ܣๆ，ܱܱൌﺈ坐ൌ
ͳ
ʹﺈ坐，ܣๆൌﺈ坐，
∴ܣๆൌ
ܣﺈʹ ൅ﺈๆʹ ൌͳ͵，
∴ܣๆൌﺈ坐ൌͳ͵，
∴ܱܣൌܱ
ๆൌܱܱൌﺈ坐ൌ
ͳ͵
ʹ ，
∴ܵᇞܣܱ坐ൌ
ͳ
Ͷܵ
矩形ܣﺈๆ坐ൌͳ⸳，
∴ܵᇞܣܱ坐ൌܵ
ᇞܣܱܲ
൅ܵ
ᇞ坐ܱܲ
ൌͳ
ʹܱ
ܣ൉ܲܧ൅ͳ
ʹܱ
坐൉ܲܨ
ൌͳ
ʹܱ
ܣ൉ܲ
ܧ൅ܲ
ܨ
ൌͳ
ʹ ൈͳ͵
ʹ ൈܲ
ܧ൅ܲ
ܨ
ൌͳ⸳，
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∴ܲܧ൅ܲ
ܨൌ
䳌⸲
ͳ͵．
题型5 利用矩形的性质证明
【例5】如图，四边形ܣﺈๆ坐是矩形，点ܧ是ๆﺈ延长线上一点，过点ܣ作坐ܧ的垂线交ﺈๆ于点ܨ．若ๆܨൌܧﺈ，
求证：四边形ܣܧܨ坐是菱形．
【答案】证明：׶四边形ܣﺈๆ坐是矩形，
׵ ܣ坐צﺈๆ，ܣ坐ൌﺈๆ，
׶ ๆܨൌܧﺈ，
׵ ๆܨ൅ܨﺈ൅ܧﺈൌܨﺈ，即ﺈๆൌܧܨ，
∴ܣ坐ൌܧܨ，
∵ܣ坐צ ܧܨ，
׵四边形ܣܧܨ坐是平行四边形，
׶ ܣܨ٣ 坐ܧ，
׵四边形ܣܧܨ坐是菱形．
【分析】先根据矩形的性质得到ܣ坐צﺈๆ，ܣ坐ൌﺈๆ，进而求出ܣ坐ൌﺈๆൌܧܨ，证明四边形ܣܧܨ坐是平行
四边形，利用ܣܨ٣ 坐ܧ证明四边形ܣܧܨ坐是菱形．
【详解】略．
【技巧归纳】
证角相等：用直角互余、等腰三角形底角相等
证线段相等：用对边相等、对角线相等且平分
证垂直：用矩形的直角性质
常用辅助线：连接对角线
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【变式5-1】如图，在矩形ܣﺈๆ坐中，点ܧ，ܨ在边ܣﺈ上，连接坐ܧ，ๆܨ，סๆ坐ܧൌס坐ๆܨ．
(1)求证：ᇞ坐ܣܧ، ᇞๆܨﺈ；
(2)当ܣ坐ൌͳʹ，ๆܨൌͳ͵ 时，求ܨﺈ的长．
【答案】(1)证明：∵四边形ܣﺈๆ坐为矩形，
∴סܣൌסൌﺈסܣ坐ๆൌסﺈๆ坐ൌ䁡⸲ι，ܣ坐ൌﺈๆ，
∵סๆ坐ܧൌס坐ๆܨ，
∴סܣ坐ๆെסๆ坐ܧൌסﺈๆ坐െס坐ๆܨ，
∴סܣ坐ܧൌסﺈๆܨ，
∴在ᇞ坐ܣܧ和ᇞﺈๆܨ中，
סܣ坐ܧൌסﺈๆܨ
ܣ坐ൌﺈๆ
סܣൌסﺈ
，
∴ᇞ坐ܣܧ، ᇞๆܨﺈASA ；
(2)⸳
【分析】（1）由矩形的性质可得到סܣൌסൌﺈסܣ坐ๆൌסﺈๆ坐ൌ䁡⸲ι，ܣ坐ൌﺈๆ，利用角的等量代换求出
סܣ坐ܧൌסﺈๆܨ，即可证明ᇞ坐ܣܧ، ᇞﺈๆܨ；
（2）先求出ﺈๆ的长，再利用勾股定理运算求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵ܣ坐ൌͳʹ ൌﺈๆ，
∴在Rt ᇞﺈๆܨ中，ൌܨﺈๆܨʹ െﺈๆʹ ൌ
ͳ͵ʹ െͳʹʹ ൌ⸳．
【变式5-2】如图，已知矩形ܣﺈๆ坐，点ܧ是边ܣ坐的中点，过点ܧ作直线交ܣﺈ于点ܲ
（ܲ
不与点ܣ，ﺈ重
合），交ๆ坐的延长线于点ܳ
．
(1)求证：ᇞܣܲܧ، ᇞ坐ܳܧ；
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(2)连接ܲ
ๆ，ܧๆ，若סๆܲܳ
ൌסๆܳܲ
时，求证：ๆܧ٣ܲܳ
．
【答案】(1)证明：∵四边形ܣﺈๆ坐为矩形，
∴ܣﺈצ ๆ坐，
∴סܣൌסܧ坐ܳǡסܣܲܧൌסܳ，
∵点ܧ是边ܣ坐的中点，
∴ܣܧൌ坐ܧ，
在ᇞܣܧܲ
和ᇞ坐ܧܳ
中，∵סܣൌסܧ坐ܳǡסܣܲܧൌסܳ，ܣܧൌ坐ܧ，
∴ᇞܣܲܧ، ᇞ坐ܳܧAAS ；
(2)证明：∵ᇞܣܲܧ، ᇞ坐ܳܧ，
∴ܲܧൌܳ
ܧ，
∵סๆܲܳ
ൌסๆܳܲ
，
∴ๆܲ
ൌๆܳ，
∴ๆܧ٣ܲܳ
．
【分析】（1）根据矩形的性质可得ܣﺈצ ๆ坐，从而得到סܣൌסܧ坐ܳǡסܣܲܧൌסܳ，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得ܲ
ܧൌܳ
ܧ，再由סๆܲܳ
ൌסๆܳܲ
，可得ๆܲ
ൌๆܳ，再由等腰三角形的性质，
即可求证．
【详解】（1）略
（2）略
题型6 求矩形在坐标系中的坐标
【例6】如图，在平面直角坐标系中，矩形ܣﺈๆ坐的顶点ܣ，ๆ，坐的坐标分别为െʹǡ⸲，͵ǡ⸲，െͳǡʹ ，
则点ﺈ的坐标为（
）
A．ͳʹെ ǡ⸳ߗB．ʹǡ െͳ
C．െʹǡʹ
D．ʹǡ െʹ
【答案】D
【分析】连接ﺈ坐交ܣๆ于点ܧ，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点ܧ的坐标，再计
算出点ﺈ的坐标．
【详解】解：如图，连接ﺈ坐交ܣๆ于点ܧ，
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∵四边形ܣﺈๆ坐是矩形，
∴ܣๆ与ﺈ坐互相平分，
∵ܣെʹǡ⸲，ๆ͵ǡ⸲，
∴点ܧ的坐标为
ͳ
ʹ ǡ⸲，
∵坐െͳǡʹ ，
∴点ﺈ的坐标为
ͳ
ʹ ൈʹ െെͳ ǡ⸲ൈʹ െʹ ，即ʹǡ െʹ ．
【技巧归纳】
边与坐标轴平行时：相邻顶点横/纵坐标相同
对角线中点坐标相同：ݔ中ൌ
ݔͳ൅ݔ͵
ʹ
ǡݕ中ൌ
ݕͳ൅ݕ͵
ʹ
已知边长求坐标：横坐标差=水平边长，纵坐标差=垂直边长
注意多解：矩形可在不同象限或不同位置
【变式6-1】如图所示，在平面直角坐标系中，ܣﺈๆ坐为长方形，其中点A，C 的坐标分别为െͶǡʹ ，ͳǡ െͶ ，
且ܣ坐צ ݔ轴交y 轴于点M，ܣﺈצ ݕ轴交x 轴于点N．一动点P 从点A 出发，以
ͳ
ʹ个单位长度/秒的速度沿
ܣﺈ向点B 运动，在某一时刻t，ᇞܣꘀܲ
的面积等于长方形ܣﺈๆ坐面积的
ͳ
͵，此时点P 的坐标是（
）
A．െͶǡ െ͵
B．െͶǡ െʹ
C．െʹǡ െ͵
D．െʹǡ െʹ
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质可得ๆ坐צ ݕ轴，则坐ͳǡʹ ，据此可得
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ܣൌﺈๆ坐ൌ䳌，ܣ坐ൌ⸳，再求出ꘀ⸲ǡʹ ，得到ܣꘀൌͶ，根据ᇞܣꘀܲ
的面积等于长方形ܣﺈๆ坐面积的
ͳ
͵，得
到
ͳ
ʹ ܣܲ
ڄ ܣꘀൌ
ͳ
͵ ܣ坐ڄ ܣﺈ，可得ܣܲ
ൌ⸳，则ܲ
െͶǡ െ͵ ．
【详解】解：∵四边形ܣﺈๆ坐为长方形，ܣ坐צ ݔ轴，ܣﺈצ ݕ轴，
∴ๆ坐צ ݕ轴，
∵点A，C 的坐标分别为െͶǡʹ ，ͳǡ െͶ ，
∴坐ͳǡʹ ，
∴ܣൌﺈๆ坐ൌʹ െെͶ ൌ䳌，ܣ坐ൌͳ െെͶ ൌ⸳，
∵ܣ坐צ ݔ轴交y 轴于点M，
∴ꘀ⸲ǡʹ ，
∴ܣꘀൌͶ，
∵ᇞܣꘀܲ
的面积等于长方形ܣﺈๆ坐面积的
ͳ
͵，
∴
ͳ
ʹ ܣܲ
ڄ ܣꘀൌ
ͳ
͵ ܣ坐ڄ ܣﺈ，
∴
ͳ
ʹ ൈͶܣܲ
ൌ
ͳ
͵ ൈ⸳ൈ䳌，
∴ܣܲ
ൌ⸳，
∴ܲ
െͶǡʹ െ⸳，即ܲ
െͶǡ െ͵ ，
故选：A．
【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形ܱ
ܣﺈๆ，点ܣ、ๆ在ݕ轴、ݔ轴上，ﺈʹǡͳ ，将矩形ܱ
ܣﺈๆ绕
着点C 顺时针旋转䁡⸲ι得到矩形ๆܱ
ͳܣͳﺈͳ，再将矩形ๆܱ
ͳܣͳﺈͳ，绕着点ﺈͳ顺时针旋转䁡⸲ι得到矩形ๆͳܱ
ʹܣʹﺈͳ，
按此方式依次进行，则点ܣ䁡的坐标为（
）
A．ͳͳǡ⸲
B．ͳʹǡͳ
C．ͳͶǡʹ
D．ͳ⸳ǡʹ
【答案】D
【分析】根据旋转依次找出所求点的对应坐标，分析得到规律即可找到其相应的坐标．
【详解】解：∵ﺈʹǡͳ ，
∴在矩形ܱ
ܣﺈๆ中，ܣ⸲ǡͳ ，ܣܱൌﺈๆൌʹǡﺈๆൌܣܱ
ൌͳ，
∵第一次将矩形ܱ
ܣﺈๆ绕右下角顶点ๆ顺时针旋转䁡⸲ι得到矩形ܱ
ͳܣͳﺈͳๆ，且ܣͳܱ
ͳ ൌܣܱ
ൌͳǡܱ
ͳๆൌܱ
ๆൌʹ，
第二次再将矩形ܱ
ͳܣͳﺈͳๆ绕右下角顶点ﺈͳ顺时针旋转䁡⸲ι得到矩形ܱ
ʹܣʹﺈͳๆͳ，且ﺈͳܱ
ൌๆܱ
൅ﺈͳๆൌ͵，
ߗߗߗ
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然后再重复以上过程，旋转4 次一个循环，每一个循环结束，点A 的对应点横坐标增加6 个单位，在一个
循环中点A 纵坐标依次为2，0，1，
∴依此规律，ܣͳ ͵ǡʹ ǡܣʹ ⸳ǡ⸲ǡܣ͵ 䳌ǡͳ ǡܣͶ 䁡ǡʹ ǡܣ⸳ͳͳǡ⸲，ܣ䳌ͳʹǡͳ ǡܣ䁡ͳ⸳ǡʹ ．
题型7 矩形与折叠问题
【例7】第一步：如图ͳ，将矩形纸片ܣﺈๆ坐沿过ܣ点的直线折叠，使点ﺈ落在ܣ坐边上的点ﺈ̵ 处，得到折
痕ܣܧ，然后把纸片展平．第二步：如图ʹ，将图ͳ 中的矩形纸片ܣﺈๆ坐沿过点坐的直线折叠，使点ๆ落在
ܧﺈ̵ 上的点ๆ̵ 处，得到折痕坐ܨ，再把纸片展平．若ܣ⸲ͳൌﺈ，ﺈๆൌͳ䳌，ܧܨൌ（
）
A．ʹ
B．͵
C．
͵
ʹ
D．
ͺ
͵
【答案】D
【分析】根据矩形的性质、折叠的性质可得ﺈ̵ 坐ൌ䳌ǡๆ̵ 坐ൌͳ⸲ǡๆܨൌๆ̵ ܨ，利用勾股定理得到ﺈ̵ ๆ̵ ൌͺ，设ܧܨൌݔ，
根据ܧܨʹ ൅ๆ̵ ܧʹ ൌๆ̵ ܨʹ，列方程求解即可．
【详解】解：∵将矩形纸片ܣﺈๆ坐沿过ܣ点的直线折叠，使点ﺈ落在ܣ坐边上的点ﺈ̵ 处，得到折痕ܣܧ，
∴ܣﺈ̵ ൌܣൌﺈๆ坐ൌͳ⸲ǡסܣﺈ̵ ܧൌסൌﺈסﺈܣﺈ̵ ൌ䁡⸲ιǡ
∴四边形ܣﺈܧﺈ̵ 是正方形，
∴סﺈܧﺈ̵ ൌ䁡⸲ι，ﺈ̵ ܧൌܣ⸲ͳൌﺈ，坐ﺈ̵ ൌܣ坐െܣﺈ̵ ൌͳ䳌െͳ⸲ൌ䳌，
∴סﺈ̵ ܧๆൌͳͺ⸲ι െסﺈܧﺈ̵ ൌ䁡⸲ι，
∵ס坐ൌסๆൌ䁡⸲ι，
∴四边形ๆ坐ﺈ̵ ܧ是矩形，
∴סܧﺈ̵ 坐ൌ䁡⸲ι，ๆܧൌ坐ﺈ̵ ൌ䳌，
∵矩形纸片ܣﺈๆ坐沿过点坐的直线折叠，使点ๆ落在ܧﺈ̵ 上的点ๆ̵ 处，得到折痕坐ܨ，
∴ๆ̵ 坐ൌๆ坐ൌͳ⸲，ๆܨൌๆ̵ ܨ，
∴ﺈ̵ ๆ̵ ൌ
ๆ̵ 坐ʹ െ坐ﺈ̵
ʹ ൌ
ͳ⸲ʹ െ䳌ʹ ൌͺ，
∴ๆ̵ ܧൌﺈ̵ ܧെﺈ̵ ๆ̵ ൌͳ⸲െͺ ൌʹ，
设ܧܨൌݔ，ๆ̵ ܨൌๆܨൌ䳌െݔ，
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∵ܧܨʹ ൅ๆ̵ ܧʹ ൌๆ̵ ܨʹ，
∴ݔʹ ൅ʹʹ ൌ䳌െݔʹ，
解得：ݔൌ
ͺ
͵，
即：ܧܨൌ
ͺ
͵．
【技巧归纳】
折叠本质：轴对称，对应边相等、对应角相等
折痕是对应点连线的垂直平分线
通用步骤：设未知数→表示相关线段→找直角三角形→列勾股方程求解
常见结论：折叠后重叠部分一定是等腰三角形
【变式7-1】如图，在矩形ܣﺈๆ坐中，ܣ坐ൌ䳌 cm，点ܧ是ๆ坐的中点，连接ܣܧ，将ᇞܣ坐ܧ沿ܣܧ翻折，得
到ᇞܣܨܧ，延长ܣܨ交ﺈๆ于点ܩ，若点ܩ恰好是ﺈๆ的中点，则ܣൌﺈ__________cm．
【答案】䳌ʹ
【分析】连接ܨܩ，根据题意易得坐ܧൌๆܧ，ๆܩൌ͵ൌܩﺈcm，结合翻折的性质，可得ܣܨൌܣ坐ǡ坐ܧൌ
ܨܧǡסܣܨܧൌס坐ൌ䁡⸲ι，进而可得坐ܧൌๆܧൌܨܧ，סܧܨܩൌ䁡⸲ι，再证明Rt ᇞๆܧܩ،Rt ᇞܨܧܩ，由全等三角
形的性质可得ܨܩൌๆܩൌ͵cm，进而可得ܣܩൌܣܨ൅ܨܩൌ䁡cm，然后在Rt ᇞܣܩﺈ中，由勾股定理求解即
可．
【详解】解：如下图，连接ܨܩ，
∵四边形ܣﺈๆ坐为矩形，ܣ坐ൌ䳌 cm，
∴ס坐ൌסๆൌסൌﺈ䁡⸲ι，ﺈๆൌܣ坐ൌ䳌cm，
∵点ܧ是ๆ坐的中点，
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∴坐ܧൌๆܧ，
∵点ܩ是ﺈๆ的中点，
∴ๆܩൌൌܩﺈ
ͳ
ʹﺈๆൌ͵cm，
∵将ᇞܣ坐ܧ沿ܣܧ翻折，得到ᇞܣܨܧ，
∴ܣܨൌܣ坐ൌ䳌cmǡ坐ܧൌܨܧǡסܣܨܧൌס坐ൌ䁡⸲ι，
∴坐ܧൌๆܧൌܨܧ，סܧܨܩൌͳͺ⸲ι െסܣܨܧൌ䁡⸲ι，
在Rt ᇞๆܧܩ和Rt ᇞܨܧܩ中，
ๆܧൌܨܧ
ܧܩൌܧܩ，
∴Rt ᇞๆܧܩ،Rt ᇞܨܧܩHL ，
∴ܨܩൌๆܩൌ͵cm，
∴ܣܩൌܣܨ൅ܨܩൌ䁡cm，
∴在Rt ᇞܣܩﺈ中，ܣﺈൌ
ܣܩʹ െﺈܩʹ ൌ
䁡ʹ െ͵ʹ ൌ䳌ʹcm．
【变式7-2】如图，矩形ܣﺈๆ坐中，ܣǡͶൌﺈ ܣ坐ൌ䳌，点ܧ为ﺈๆ上一点，连接坐ܧ，过点ܧ作ܧܨ٣ 坐ܧ交
ܣﺈ于点ܨ，连接ܧܨ．将ᇞܨܧﺈ沿ܧܨ翻折，使点ﺈ落在点ܩ处，连接坐ܩ，当ᇞ坐ܩܧ是以坐ܧ为腰的等腰
三角形时，则ๆܧ的长为______．
【答案】
⸳
͵或2
【分析】设ๆܧൌܽ
，则ൌܧﺈ䳌െܽ
，由折叠的性质可得ൌܧܩൌܧﺈ䳌െܽ
ǡ סܩܧܨൌסܨܧﺈ，当ᇞ坐ܩܧ是以
坐ܧ为腰的等腰三角形时，分为两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解和等腰三角形的性质以及全等三
角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ܣﺈๆ坐是矩形，
∴ܣ坐ൌﺈๆൌ䳌ǡܣൌﺈๆ坐ൌͶ，סๆൌ䁡⸲ι
设ๆܧൌܽ
，则ൌܧﺈ䳌െܽ
，由折叠的性质可得ൌܧܩൌܧﺈ䳌െܽ
ǡ סܩܧܨൌסܨܧﺈ，
当ᇞ坐ܩܧ是以坐ܧ为腰的等腰三角形时，分为以下两种情况：
如图1，当ܩܧൌ坐ܧ时，坐ܧൌ䳌െܽ
，
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∵四边形ܣﺈๆ坐是矩形，
在Rt ᇞๆ坐ܧ中，坐ܧʹ ൌๆܧʹ ൅坐ๆʹ，即䳌െܽ
ʹ ൌܽ
ʹ ൅Ͷʹ，
解得ܽ
ൌ
⸳
͵；
如图2，当坐ܩൌ坐ܧ时，过点坐作坐ܪ٣ ܩܧ于ܪ，
∴ܪܧൌ
ͳ
ʹ ܩܧൌ
䳌െܽ
ʹ ．
∵ܧܨ٣ 坐ܧ，
∴ס坐ܧܨൌ䁡⸲ι，
∴סܩܧܨ൅סܩܧ坐ൌ䁡⸲ιǡ ס൅ܨܧﺈסๆܧ坐ൌ䁡⸲ι，
∴סܩܧ坐ൌסๆܧ坐，
∵坐ܧൌ坐ܧǡ ס坐ܪܧൌס坐ๆܧ，
∴ᇞ坐ܪܧ≌ᇞ坐ๆܧAAS ，
∴ܪܧൌๆܧ，即
䳌െܽ
ʹ ൌܽ
，
解得ܽ
ൌʹ．
综上，ๆܧ的长为
⸳
͵或2．
题型8 斜边的中线等于斜边的一半
【例8】如图，在菱形ܣﺈๆ坐中，ܣๆ，ﺈ坐交于点ܱ
，ܣ⸳ൌﺈ，ﺈ坐ൌͺ，ܣܧ٣ﺈๆ于点ܧ，则ܱ
ܧ的长为（
）
A．
⸳
ʹ
B．
ͺ
͵
C．3
D．
ͳ⸲
͵
【答案】C
【分析】根据菱形的性质求出对角线ܣๆ的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵四边形ܣﺈๆ坐是菱形，
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∴ܣๆ٣ﺈ坐，ܱܣൌܱ
ๆൌ
ͳ
ʹ ܣๆ，ܱൌﺈ
ͳ
ʹﺈ坐，
∵ﺈ坐ൌͺ，
∴ܱͶൌﺈ，
在Rt ᇞܣܱﺈ中，ܣ⸳ൌﺈ，ܱͶൌﺈ，ܱܣൌ
ܣﺈʹ െܱﺈʹ ൌ
⸳ʹ െͶʹ ൌ͵，
∴ܣๆൌʹܱܣൌ䳌，
∵ܣܧ٣ﺈๆ，
∴סܣܧๆൌ䁡⸲ι，
在Rt ᇞܣܧๆ中，ܱ
为ܣๆ的中点，
∴ܱܧൌ
ͳ
ʹ ܣๆൌ
ͳ
ʹ ൈ䳌ൌ͵．
【技巧归纳】
适用条件：直角三角形+斜边中点，缺一不可
逆定理：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形是直角三角形
常与等腰三角形三线合一、勾股定理结合使用
看到“直角+中点”，第一反应连斜边中线
【变式8-1】如图，菱形ܣﺈๆ坐的对角线相交于点O，ܣๆൌʹ，ﺈ坐ൌʹ ͵，将菱形按如图方式折叠，使点B
与点O 重合，折痕为ܧܨ，则五边形ܣܧܨๆ坐的周长为（
）
A．5
B．7
C．9
D．11
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质，由菱形的性质得出סܣﺈܱ
ൌ
סๆܱﺈ，ܣๆ٣ﺈ坐，由勾股定理得出ܣʹൌﺈ，求出סܣﺈๆൌ䳌⸲ι ൌסܣﺈๆ，证明ᇞܨܧﺈ是等边三角形，从而
即可得ܧܨൌൌܨﺈๆܨൌͳ，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形ܣﺈๆ坐是菱形，ܣๆൌʹ，ﺈ坐ൌʹ ͵，
׵ ܣܱ
ൌͳ，ﺈܱ
ൌ͵，ܣๆ٣ﺈ坐．
׵ ܣൌﺈܣܱ
ʹ ൅ﺈܱ
ʹ ൌʹ．
∵四边形ܣﺈๆ坐是菱形，
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∴ܣﺈൌﺈๆൌܣ坐ൌๆ坐ൌʹ，סܣܱﺈ
ൌסๆﺈܱ
⸲͵ൌι，
∴ᇞܣﺈๆ是等边三角形．
∴סܣﺈๆൌ䳌⸲ι ൌסܣﺈๆ，
结合折叠的性质可知：ܱܧൌܧﺈ．ܱܨൌܨﺈ，
∴סܣﺈܱ
ൌסܧﺈܱ
⸲͵ൌι，
∴סܣܧܱ
ൌ䳌⸲ι ൌסܣﺈๆ，
׵ᇞܣܧܱ
是等边三角形．
∴ܧܱ
ൌܣܧൌܣܱ
ൌͳ，
同理可得：ܱܨൌๆܨൌܱ
ๆൌͳ，
∴ͳൌܨﺈൌܧﺈ，
∴ᇞܨܧﺈ是等边三角形，
׵ ܧܨൌͳൌܨﺈ，
׵五边形ܣܧܨๆ坐的周长为ͳ ൅ͳ ൅ͳ ൅ʹ ൅ʹ ൌ䁡．
故选B．
【变式8-2】如图，ๆ坐是Rt ᇞܣﺈๆ斜边ܣﺈ的中线，E 是ﺈๆ的中点．若ﺈๆൌ䳌，ๆ坐ൌͶ，则坐ܧ的长为
（
）
A．ʹ 䁡
B．3
C．䁡
D．5
【答案】C
【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半得到ๆ坐ൌﺈ坐，三线合一结合勾股定理进行求解即可.
【详解】解：∵ๆ坐是Rt ᇞܣﺈๆ斜边ܣﺈ的中线，
∴ๆ坐ൌﺈ坐ൌ
ͳ
ʹ ܣͶൌﺈ，
∵E 是ﺈๆ的中点，
∴坐ܧ٣ﺈๆ，ๆܧൌ
ͳ
ʹﺈๆൌ͵，
∴坐ܧൌ
ๆ坐ʹ െๆܧʹ ൌ
䁡.
题型9 矩形的判定定理理解
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【例9】我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，
所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d 搭成如图所示的一个
四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（
）
A．测量是否有三个角是直角
B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等
D．测量对角线是否互相垂直
【答案】A
【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩
形，进行判断即可．
【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形，
∴要判断这个四边形是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角；
故测量方案正确的是：A．
【技巧归纳】
任意四边形：①三个角是直角；②对角线相等且互相平分
平行四边形：①有一个角是直角；②对角线相等
易错点：对角线相等的四边形不一定是矩形，必须先证是平行四边形
【变式9-1】活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下
测量方案正确的是（
）
A．测量两组对边是否分别相等
B．测量两组对边是否分别平行
C．测量是否有三个角是直角
D．测量对角线是否互相垂直
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判
定定理是解此题的关键．
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【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形，
∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角，
故选：C．
【变式9-2】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点ܣ，ﺈ，ๆ都在格点上，坐，ܧ为ܣﺈ，ܣๆ
与格线的交点，则坐ܧ的长为___________．
【答案】
ͳ⸲
【分析】连接ﺈๆ，取格点M，F，G，H，结合网格得到四边形ܣꘀܨﺈ是矩形，对角线ܣǡﺈꘀܨ交于格点D，
四边形ܣܪๆܩ是矩形，对角线ܣๆǡܩܪ交于格点E，则点D 为线段ܣﺈ的中点，点E 为线段ܣๆ的中点，由
勾股定理得到ﺈๆൌʹ ͳ⸲，结合三角形中位线的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接ﺈๆ，则ﺈๆൌ
ʹʹ ൅䳌ʹ ൌʹ ͳ⸲，
取格点M，F，G，H，
∴由格点特点得到四边形ܣꘀܨﺈ是矩形，对角线ܣǡﺈꘀܨ交于格点D，
四边形ܣܪๆܩ是矩形，对角线ܣๆǡܩܪ交于格点E，
∴点D 为线段ܣﺈ的中点，点E 为线段ܣๆ的中点，
∴坐ܧൌ
ͳ
ʹﺈๆൌ
ͳ⸲．
题型10 证明四边形是矩形
【例10】如图，在平行四边形ܣﺈๆ坐中，ๆܧצ ܣܨ，ܣܨ٣ ๆ坐．垂足为ܣ．求证：四边形ܣܧๆܨ是矩形．
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【答案】见解析
【分析】利用平行四边形和平行线的性质，以及ܣܨ٣ ๆ坐且垂足为ܣ，得到סܧܣܨൌסܣܧๆൌסܣܨๆൌ䁡⸲ι，
从而证明四边形ܣܧๆܨ是矩形．
【详解】证明：∵四边形ܣﺈๆ坐是平行四边形，
∴ܣﺈצ ๆ坐，
∵ܣܨ٣ ๆ坐，垂足为ܣ，
∴סܧܣܨൌסܣܨๆൌ䁡⸲ι，
∵ๆܧצ ܣܨ，ܣܨ٣ ๆ坐，垂足为ܣ，
∴סܧܣܨൌסܣܧๆൌ䁡⸲ι，即סܧܣܨൌסܣܧๆൌסܣܨๆൌ䁡⸲ι，
∴四边形ܣܧๆܨ是矩形．
【技巧归纳】
已知有直角：优先证三个角是直角，或证是平行四边形+一个直角
已知对角线：优先证对角线相等且平分，或证是平行四边形+对角线相等
已知是平行四边形：优先证一个角是直角，次证对角线相等
证明步骤：先证平行四边形（若需要），再证矩形特有条件
【变式10-1】如图，在
ܣﺈๆ坐中，点E、F 分别在ܣ坐、ﺈๆ上，ܧﺈ٣ ܣ坐，ܣܧൌๆܨ．
(1)求证：四边形ܧܨﺈ坐是矩形；
(2)连接ܣܨ，若ܣܨ平分סܣﺈ坐，ܣܧൌ͵，ܣ⸳ൌﺈ，则ܣܨ的长为．
【答案】(1)证明：∵四边形ܣﺈๆ坐是平行四边形，
∴ܣ坐ൌﺈๆ，ܣ坐צﺈๆ，即坐ܧצܨﺈ，
∵ܣܧൌๆܨ，
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∴ܣ坐െܣܧൌﺈๆെๆܨ，即坐ܧൌܨﺈ，
∴四边形ܧܨﺈ坐是平行四边形，
又∵ܧﺈ٣ ܣ坐，即סܧﺈ坐ൌ䁡⸲ι，
∴平行四边形ܧܨﺈ坐是矩形；
(2)Ͷ ⸳
【分析】（1）由平行四边形的性质和已知条件可证明坐ܧצܨﺈ，坐ܧൌܨﺈ，则可证明四边形ܧܨﺈ坐是平行
四边形，由垂线的定义得到סܧﺈ坐ൌ䁡⸲ι，据此可证明平行四边形ܧܨﺈ坐是矩形；
（2）证明סൌܨܣﺈסܣܨﺈ，得到⸳ൌﺈܣൌܨﺈ，则ܣ坐ൌﺈๆൌ൅ܨﺈๆܨൌͺ，由勾股定理可得Ͷൌܧﺈ，由
矩形的性质可得坐ܨൌͶൌܧﺈ，סܧ坐ܨൌ䁡⸲ι，则ܣܨൌ
ܣ坐ʹ ൅坐ܨʹ ൌͶ ⸳．
【详解】（1）略
（2）解：如图所示，
∵四边形ܣﺈๆ坐是平行四边形，
∴ܣ坐צﺈๆ，ܣ坐ൌﺈๆ，
∴ס坐ܣܨൌסܣܨﺈ，
∵ܣܨ平分סܣﺈ坐，
∴ס坐ܣܨൌסܨܣﺈ，
∴סൌܨܣﺈסܣܨﺈ，
∴⸳ൌﺈܣൌܨﺈ，
∵ๆܨൌܣܧൌ͵，
∴ﺈๆൌ൅ܨﺈๆܨൌͺ，
∴ܣ坐ൌͺ；
∵ܧﺈ٣ ܣ坐，
∴סܣܧൌﺈ䁡⸲ι，
∴ൌܧﺈܣﺈʹ െܣܧʹ ൌͶ，
∵四边形ܧܨﺈ坐是矩形，
∴坐ܨൌͶൌܧﺈ，סܧ坐ܨൌ䁡⸲ι，
∴ܣܨൌ
ܣ坐ʹ ൅坐ܨʹ ൌͶ ⸳．
【变式10-2】如图，菱形ܣﺈๆ坐的对角线ܣๆ、ﺈ坐相交于点ܱ
，过点坐作坐ܧצܣๆ，且坐ܧൌ
ͳ
ʹ ܣๆ，连接ๆܧ、
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ܧ，连接ܣܧ交ܱ
坐于点ܨ．
(1)求证：四边形ܱ
坐ܧๆ为矩形；
(2)若ܣʹൌﺈ，סܣﺈๆൌ䳌⸲ι，求ܣܧ的长．
【答案】(1)证明：׶四边形ܣﺈๆ坐是菱形，
׵ܱ
ๆൌ
ͳ
ʹ ܣๆ，ܣๆ٣ﺈ坐，即סๆܱ坐ൌ䁡⸲ι，
׶ 坐ܧൌ
ͳ
ʹ ܣๆ，
׵ܱ
ๆൌ坐ܧ，
׶ 坐ܧצܣๆ，
׵四边形ܱ
坐ܧๆ为平行四边形，
׶ סๆܱ坐ൌ䁡⸲ι，
׵四边形ܱ
坐ܧๆ为矩形；
(2)ܣܧൌ
䁡
【分析】（1）根据菱形的性质可得ܱ
ๆൌ
ͳ
ʹ ܣๆ，ܣๆ٣ﺈ坐，结合题意可推出ܱ
ๆൌ坐ܧ，得到四边形ܱ
坐ܧๆ
为平行四边形，根据ܣๆ٣ﺈ坐，即可得证；
（2）根据菱形的性质可得ܱ
ܣൌ
ͳ
ʹ ܣๆ，ܱ坐ൌܱﺈ，ܣﺈൌﺈๆൌʹ，根据题意推出ᇞܣﺈๆ是等边三角形，得
到ܣๆൌܣʹൌﺈ，ܱܣൌͳ，进而求出ܱ
坐ൌܱൌﺈ͵，根据矩形的性质得到ๆܧൌܱ
坐ൌ
͵，סܱๆܧൌ䁡⸲ι，
最后根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：׶四边形ܣﺈๆ坐是菱形，
׵ܱ
ܣൌ
ͳ
ʹ ܣๆ，ܱ坐ൌܱﺈ，ܣﺈൌﺈๆൌʹ，
׶ סܣﺈๆൌ䳌⸲ι，
׵ ᇞܣﺈๆ是等边三角形，
׵ ܣๆൌܣʹൌﺈ，
׵ܱ
ܣൌ
ͳ
ʹ ܣๆൌͳ，
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׵ܱ
坐ൌܱൌﺈܣﺈʹ െܱ
ܣʹ ൌ
ʹʹ െͳʹ ൌ
͵，
׶四边形ܱ
坐ܧๆ为矩形，
׵ ๆܧൌܱ
坐ൌ
͵，סܱๆܧൌ䁡⸲ι，
׵ ܣܧൌ
ܣๆʹ ൅ๆܧʹ ൌ
ʹʹ ൅
͵
ʹ ൌ
䁡．
题型11 根据矩形的性质与判定求角度
【例11】如图，在
ܣﺈๆ坐中，对角线ܣๆ，ﺈ坐相交于点ܱ
，且ܣๆൌﺈ坐，סܱܣ坐ൌ⸳⸳ι，则סܱܣﺈ的度数
为（
）
A．͵⸳ι
B．Ͷ⸲ι
C．Ͷ⸳ι
D．⸳⸲ι
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形
的内角为直角是解题的关键．
根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算סܱܣﺈ的度数．
【详解】解：∵在
ܣﺈๆ坐中，对角线ܣๆൌﺈ坐，
∴四边形ܣﺈๆ坐是矩形，
׵ ס坐ܣൌﺈ䁡⸲ι．
׶ סܱܣ坐ൌ⸳⸳ι，
׵ סܱܣൌﺈס坐ܣെﺈסܱܣ坐ൌ͵⸳ι．
故选：A．
【技巧归纳】
第一步：严格按题型10 的方法证明四边形是矩形
第二步：利用四个直角、对角线分成的等腰三角形求角
结合折叠、旋转等变换，利用角度不变性推导
出现特殊角（30°、45°、60°）时，直接套用特殊三角形结论
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【变式11-1】两个矩形的位置如图所示，若סͳ ൌͳʹ⸲ι，则סʹ 的度数为(
)
A．͵⸲ι
B．ͳ⸳ι
C．䳌⸲ι
D．Ͷ⸳ι
【答案】C
【分析】由补角的定义可得ס͵ ൌ䳌⸲ι，由题意可得סͶ ൅ס͵ ൌ䁡⸲ι，סʹ ൅סͶ ൌ䁡⸲ι，则有סʹ ൌס͵，即可得
解．
【详解】解：如图，
由题意得：ס͵ ൌͳͺ⸲ι െסͳ ൌ䳌⸲ι，
∵סͶ ൅ס͵ ൌ䁡⸲ι，סʹ ൅סͶ ൌ䁡⸲ι，
∴סʹ ൌס͵，
∴סʹ ൌ䳌⸲ι．
故选：C．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之
和为180°
【变式11-2】如图所示，矩形ABCD 中，AE 平分סܣﺈ坐交BC 于E，סๆܣܧൌͳ⸳ι，则下面的结论：①ȟܱ坐ๆ
是等边三角形；②ﺈๆൌʹܣﺈ；③סܣܱܧൌͳ͵⸳ι；④ܵȟܣܱܧൌܵ
ȟๆܱܧ，其中正确结论有（
）
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】根据矩形性质求出OD=OC,根据角求出∠DOC = 60°即可得出三角形DOC 是等边三角形,求出AC=
2AB, 即可判断②,求出∠BOE= 75°，∠AOB = 60 相加即可求出,∠AOE 根据等底等高的三角形面积相等得
出ܵᇞܣܱܧൌܵ
ᇞๆܱܧ.
【详解】∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD
∴OA=OD=OC=OB
∵AE 平分∠BAD，
∴∠DAE=45°.
∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=30°.
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAC=30°.
∴∠DOC=60°.
∵OD=OC，
∴△ODC 是等边三角形.
∴①正确；
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°.
∴∠DAC=∠ACB=30°.
∴AC=2AB.
∵AC＞BC，
∴2AB＞BC.
∴②错误；
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°.
∵AE 平分∠DAB，∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAE=45°.
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE.
∵△DOC 是等边三角形，
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∴DC=OD.
∴BE=BO.
∴∠BOE=75°，
∵∠AOB=∠DOC=60°，
∴∠AOE=135°.
∴③正确；
∵OA=OC，
∴根据等底等高的三角形面积相等可知ܵȟܣܱܧൌܵ
ȟๆܱܧ，
∴④正确；
故正确答案是C.
【点睛】本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和
定理等知识点的综合运用.
题型12 根据矩形的性质与判定求线段长
【例12】如图，在矩形ܣﺈๆ坐中，对角线ܣๆ与ﺈ坐相交于点O，ܣ͵ൌﺈ，ﺈๆൌͶ，则ܱ
ๆ的长为_______．
【答案】ʹ⸳ߗ
【分析】由矩形的性质得סܣﺈๆൌ䁡⸲ι，ܱๆൌ
ͳ
ʹ ܣๆ，在Rt ᇞܣﺈๆ中，由勾股定理求出对角线ܣๆ的长度，
从而计算出ܱ
ๆ的长．
【详解】解：׶四边形ܣﺈๆ坐是矩形，
׵ סܣﺈๆൌ䁡⸲ι，ܱๆൌ
ͳ
ʹ ܣๆ．
在Rt ᇞܣﺈๆ中，ܣๆൌ
ܣﺈʹ ൅ﺈๆʹ ൌ
͵ʹ ൅Ͷʹ ൌ⸳，
׵ܱ
ๆൌ
ͳ
ʹ ܣๆൌ
ͳ
ʹ ൈ⸳ൌʹ⸳ߗ．
【技巧归纳】
第一步：证明四边形是矩形，得到直角和对角线相等
第二步：在直角三角形中用勾股定理或斜边中线性质计算
利用矩形对边相等、对角线平分的性质转化线段
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折叠问题仍遵循“设未知数+勾股定理”的通用解法
【变式12-1】如图，在一个长为ʹ⸲cm 的大矩形中，放入形状、大小完全相同的⸳个小矩形，根据图中信
息可得小矩形的面积为____．
【答案】Ͷͺ
【分析】设小矩形的长为ݔ，宽为ݕ，根据图形，列出关于ݔ，ݕ的二元一次方程组，解方程组求解即可．
【详解】解：设小矩形的长为ݔ，宽为ݕ，
由图形可知，ݔ൅ʹݕൌʹ⸲
ݔൌ͵ݕ
，
解得：ݔൌͳʹ
ݕൌͶ ，
∴小矩形的面积为ݔݕൌͶͺ．
【变式12-2】如图，ᇞܣﺈๆ中，坐，ܧ分别为ܣﺈ，ܣๆ的中点，坐ܨ٣ﺈๆ于点ܨ，点ܩ在坐ܧ的延长线上，
且坐ܩൌܨC．
(1)求证：四边形坐ܨๆܩ是矩形；
(2)若ס⸳Ͷൌﺈι，坐ܨൌ䳌，坐ܩൌͳ⸲，求ﺈๆ和ܣๆ的长．
【答案】(1)证明：∵坐、ܧ分别是ܣﺈ、ܣๆ的中点，
∴坐ܧצﺈๆ，坐ܧൌ
ͳ
ʹﺈๆ，
又∵坐ܩൌܨๆ，
∴四边形坐ܨๆܩ是平行四边形，
∵坐ܨ٣ﺈๆ，
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∴ס坐ܨๆൌ䁡⸲ι，
∴四边形坐ܨๆܩ是矩形．
(2)ﺈๆൌͳ䳌，ܣๆൌͶ ͳ⸲
【分析】
（1）由三角形的中位线定理，可得坐ܧצﺈๆ，结合已知可得四边形坐ܨๆܩ是平行四边形，结合坐ܨ٣ﺈๆ，
即可证得结论；
（2）由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边，可得ൌܨﺈ坐ܨൌ䳌，由矩形的性质，可得ﺈๆ，由
勾股定理可得ܧๆ，即可得ܣๆ的长．
【详解】（1）略．
（2）解：∵ס坐ܨൌﺈ䁡⸲ι，ס⸳Ͷൌﺈι，
∴סﺈ坐ܨൌ䁡⸲ι െͶ⸳ι ൌͶ⸳ι，
∴סﺈ坐ܨൌסﺈ，
∴ൌܨﺈ坐ܨൌ䳌，
∵四边形坐ܨๆܩ是矩形，
∴ๆܨൌ坐ܩൌͳ⸲，ๆܩൌ坐ܨൌ䳌，סܩൌ䁡⸲ι，
∴ﺈๆൌ൅ܨﺈๆܨൌ䳌൅ͳ⸲ൌͳ䳌，
∴坐ܧൌ
ͳ
ʹﺈๆൌͺ，
∴ܧܩൌ坐ܩെ坐ܧൌͳ⸲െͺ ൌʹ，
∴ܧๆൌ
ܧܩʹ ൅ๆܩʹ ൌ
ʹʹ ൅䳌ʹ ൌʹ ͳ⸲，
∴ܣๆൌʹܧๆൌͶ ͳ⸲．
题型13 根据矩形的性质与判定求面积
【例13】如图，在等腰ᇞܣﺈๆ中，ܣܣൌﺈๆ，以ܣ为圆心，任意长为半径画弧交ܣﺈ于坐，交ܣๆ于ܧ，分
别以坐、ܧ为圆心，大于
ͳ
ʹ 坐ܧ长为半径作弧，两弧交于点ܨ，连接ܣܨ并延长交ﺈๆ于ܩ，以ܣﺈ、ܩﺈ为邻
边作
ܣܪܩﺈ，连接ๆܪ，若ܩܪൌ⸳，ﺈๆൌ䳌，则四边形ܣܩๆܪ的面积为（
）
A．䳌
B．ͳʹ
C．ͳ⸳
D．͵⸲
【答案】B
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【分析】根据作图痕迹可知ܣܩ平分סܣﺈๆ，利用等腰三角形“三线合一”可得ܣܩ٣ﺈๆ且ܩ为ﺈๆ中点；由
平行四边形ܣܪܩﺈ的性质得ܣܪܩൌﺈ，利用勾股定理求出ܣܩ的长；证明四边形ܣܩๆܪ是矩形，利用矩形
面积公式求解即可．
【详解】解：由作图可知，ܣܩ平分סܣﺈๆ，
׶ ܣܣൌﺈๆ，
׵ ܣܩ٣ﺈๆǡܩൌܩﺈๆൌ
ͳ
ʹﺈๆൌ͵，
׶四边形ܣܪܩﺈ是平行四边形，
׵ ܣܪܣǡ⸳ൌܪܩൌﺈצܩﺈൌܪܣǡܩﺈ，
在Rt ᇞܣܩﺈ中，ܣܩൌ
ܣﺈʹ െﺈܩʹ ൌ
⸳ʹ െ͵ʹ ൌͶ，
׶ ܣܪצܩﺈ即ܣܪצ ܩๆ，且ܣܪൌܩൌܩﺈๆ，
׵四边形ܣܩๆܪ是平行四边形，
׶ ܣܩ٣ﺈๆ，即סܣܩๆൌ䁡⸲ל，
׵四边形ܣܩๆܪ是矩形，
׵ܵ
四边形ܣܩๆܪൌܣܩڄ ܩๆൌͶ ൈ͵ ൌͳʹ．
【技巧归纳】
第一步：证明四边形是矩形
第二步：已知长和宽用“长×宽”；已知对角线和高用等积法
若对角线互相垂直（即正方形），也可用
ͳ
ʹ݀
ͳ݀
ʹ
阴影面积常用“总面积-空白面积”的间接法计算
【变式13-1】小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的
风筝，点ܧ、ܨ、ܩ、ܪ分别是四边形ܣﺈๆ坐各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁
剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料͵⸲匹，那么需要乙布料（
）
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A．Ͷ⸲匹
B．͵⸲匹
C．ʹ⸲匹
D．ͳ⸳匹
【答案】B
【分析】连接ܣๆǡﺈ坐，利用三角形中位线，矩形的判定和性质，矩形的面积解答即可；
【详解】解：连接ܣๆǡﺈ坐，
点ܧ、ܨ、ܩ、ܪ分别是四边形ܣﺈๆ坐各边的中点，
׵ ܧܪൌܨܩൌ
ͳ
ʹﺈ坐，ܧܨൌܪܩൌ
ͳ
ʹ ܣๆ，ܧܨצ ܪܩצ ܣๆ，ܧܪצ ܨܩצﺈ坐，
׵四边形ܧܨܩܪ是平行四边形；
׶风筝ܣﺈๆ坐，
׵ ܣๆ٣ﺈ坐，
׵ ܣๆ٣ ܧܪ，
׵ ܧܨ٣ ܧܪ，
׵四边形ܧܨܩܪ是矩形；
׵ܵ
矩形ܧܨܩܪൌܧܨڄ ܧܪൌ
ͳ
ʹ ܣๆൈ
ͳ
ʹﺈ坐ൌ
ͳ
Ͷ ܣๆ൉ﺈ坐；
׶风筝ܵ四边形ܣﺈๆ坐ൌ
ͳ
ʹ ܣๆڄﺈ坐，
׵ܵ
非阴影ൌ
ͳ
ʹ ܣๆڄﺈ坐െ
ͳ
Ͷ ܣๆ൉ﺈ坐ൌ
ͳ
Ͷ ܣๆ൉ﺈ坐；
׵ܵ
非阴影ൌܵ
阴影，
根据题意，生产这批风筝需要甲布料͵⸲匹，
故需要乙布料也是30 匹．
【变式13-2】如图，在平行四边形ܣﺈๆ坐中，连接ﺈ坐，ܧ为线段ܣ坐的中点，延长ܧﺈ与ๆ坐的延长线交
于点ܨ，连接ܣܨ，סﺈ坐ܨൌ䁡⸲ι．
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(1)求证：四边形ܣﺈ坐ܨ是矩形；
(2)若ܣ坐ൌͳ⸲，坐ܨൌ䳌，求四边形ܣﺈๆܨ的面积ܵ．
【答案】(1)见详解
(2)䁡ʹ
【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形
等知识点．
（1）通过证明ᇞ坐ܧܨ، ᇞܣܧﺈ，得到ܧܨൌܧﺈ，得证四边形ܣﺈ坐ܨ是平行四边形，根据סﺈ坐ܨൌ䁡⸲ι，得证
结论．
（2）根据矩形的性质得到ܣ坐ൌ⸲ͳൌܨﺈ，坐ܨൌܣൌﺈ䳌，继而根据勾股定理得到ﺈ坐ൌͺ，根据平行四边
形的性质得到ๆ坐ൌ䳌，根据割补法计算四边形ܣﺈๆܨ的面积．
【详解】（1）解：׶四边形ܣﺈๆ坐是平行四边形，
׵ ๆ坐צ ܣﺈ，
׵ סܨ坐ܧൌסܧܣﺈ，
又ܧ为ܣ坐中点，
׵ ܣܧൌ坐ܧ，
׶ ס坐ܧܨൌסܣܧﺈ，
׵ ᇞ坐ܧܨ، ᇞܣܧﺈASA ，
׵ ܧܨൌܧﺈ，
又׶ ܣܧൌ坐ܧ，
׵四边形ܣﺈ坐ܨ是平行四边形，
׶ סﺈ坐ܨൌ䁡⸲ι，
׵四边形ܣﺈ坐ܨ是矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形ܣﺈ坐ܨ是矩形，
׵ ܣ坐ൌ⸲ͳൌܨﺈ，坐ܨൌܣൌﺈ䳌，
׵由勾股定理可得：ﺈ坐ൌﺈܨʹ െ坐ܨʹ ൌ
ͳ⸲ʹ െ䳌ʹ ൌͺ，
׶四边形ܣﺈๆ坐是平行四边形，
׵ ๆ坐ൌܣൌﺈ䳌，
׵四边形ܣﺈๆܨ的面积为ܵ矩形ܣﺈ坐ܨ൅ܵ
ᇞﺈ坐ๆൌ䳌ൈͺ ൅
ͳ
ʹ ൈ䳌ൈͺ ൌ䁡ʹ．
一、单选题
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1．在下列条件中，能够判定平行四边形ܣﺈๆ坐是矩形的是（
）
A．ܣﺈൌﺈๆ
B．ܣๆ٣ﺈ坐
C．ܣๆൌๆ坐
D．ܣๆൌﺈ坐
【答案】D
【分析】由对角线相等的平行四边形是矩形、一个内角是90 度的平行四边形是矩形来分析，即可作答．
【详解】解：∵四边形ܣﺈๆ坐是平行四边形，
当ܣﺈൌﺈๆ时，可得平行四边形ܣﺈๆ坐是菱形，无法判定是矩形，故A 选项不符合题意；.
当ܣๆ٣ﺈ坐时，可得平行四边形ܣﺈๆ坐是菱形，无法判定是矩形，故B 选项不符合题意；
由ܣๆൌๆ坐无法推出平行四边形ܣﺈๆ坐满足矩形的判定条件，不能判定是矩形，故C 选项不符合题意；
当ܣๆൌﺈ坐时，得平行四边形ܣﺈๆ坐是矩形，故D 选项符合题意；
2．如图，在Rt ᇞܣﺈๆ中，ๆ坐是斜边ܣﺈ上的中线，סﺈๆ坐ൌ͵⸳ι，则סܣൌ（
）
A．͵⸳ι
B．Ͷ⸳ι
C．䳌⸲ι
D．⸳⸳ι
【答案】D
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到ๆ坐ൌﺈ坐，再根据等腰三角形的性质得到סൌﺈסﺈๆ坐，即可
求解．
【详解】解：在Rt ᇞܣﺈๆ中，ๆ坐是斜边ܣﺈ上的中线，
׵ ๆ坐ൌﺈ坐ൌ
ͳ
ʹ ܣﺈ，
׵ סൌﺈסﺈๆ坐ൌ͵⸳ι，
׵ סܣൌ䁡⸲ι െס⸳⸳ൌﺈι．
3．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，可用的方法是（
）
A．测量两条对角线是否相等
B．测量门框的一组邻边是否相等
C．测量两条对角线是否互相平分
D．用曲尺测量两条对角线是否互相垂直
【答案】A
【分析】已知门框四边形两组对边分别相等，可先判定该四边形是平行四边形，再结合平行四边形判定矩
形的判定定理判断各选项即可．
【详解】解：∵四边形两组对边分别相等，
∴该四边形是平行四边形．
对各选项逐一判断
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A、根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
C、平行四边形的对角线本来就互相平分，不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意．
4．如图，矩形ܣﺈๆ坐的对角线ܣๆ，ﺈ坐相交于点O，若סܣܱൌﺈ䳌䳌ι，则סܣๆൌﺈ（
）
A．͵͵ι
B．䳌䳌ι
C．ʹͶι
D．⸳䁡ι
【答案】A
【分析】先利用矩形的性质得出ܱ
ܣൌܱﺈ，再根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理，求出סܱܣﺈ
的度数，再代入סܣๆൌﺈסܣﺈๆെסܱܣﺈ即可求解．
【详解】解：∵四边形ܣﺈๆ坐是矩形，
∴סܣﺈๆൌ䁡⸲ι，ܱܣൌ
ͳ
ʹ ܣๆǡܱൌﺈ
ͳ
ʹﺈ坐ǡܣๆൌﺈ坐，
∴ܱܣൌܱﺈ，
∴סܱܣﺈ
ൌסܣﺈܱ
ൌ
ͳ
ʹ ͳͺ⸲ι െסܣܱﺈൌ
ͳ
ʹ ͳͺ⸲ι െ䳌䳌ι ൌ⸳䁡ι，
∴סܣๆൌﺈסܣﺈๆെסܱܣﺈ
ൌ䁡⸲ι െ⸳䁡ι ൌ͵͵ι．
5．四边形ܣﺈๆ坐，当ܣﺈצ ๆ坐，ܣൌﺈๆ坐时，在下列选项中，添加一个条件，使得四边形ܣﺈๆ坐是矩形的
是（
）
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线平分
每一组对角
【答案】B
【分析】先根据已知条件证明四边形ܣﺈๆ坐是平行四边形，再结合矩形、菱形的判定定理对各选项逐一判
断即可．
【详解】解：∵ܣﺈצ ๆ坐ǡܣൌﺈๆ坐，
∴四边形ܣﺈๆ坐是平行四边形，
A、平行四边形对角线本来互相平分，添加该条件无法判定四边形是矩形，故该选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，因此添加对角线相等可判定四边形ܣﺈๆ坐是矩形，故该选项符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，故该选项不符合题意；
D、对角线平分每一组对角的平行四边形是菱形，不是矩形，故该选项不符合题意．
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形ܣﺈๆ坐的顶点A，C，D 的坐标分别为െʹǡ⸲ǡ ͵ǡ⸲ǡ െͳǡʹ ，则点B
的坐标为（
）
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A．ͳʹെ ǡ⸳ߗB．ʹǡ െͳ
C．െʹǡʹ
D．ʹǡ െʹ
【答案】D
【分析】连接ﺈ坐交ܣๆ于点ܧ，利用矩形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式求出点ܧ的坐标，再
计算出点ﺈ的坐标．
【详解】解：如图，连接ﺈ坐交ܣๆ于点ܧ，
∵四边形ܣﺈๆ坐是矩形，
∴ܣๆ与ﺈ坐互相平分，
∵ܣെʹǡ⸲，ๆ͵ǡ⸲，
∴点ܧ的坐标为
ͳ
ʹ ǡ⸲，
∵坐െͳǡʹ ，
∴点ﺈ的坐标为
ͳ
ʹ ൈʹ െെͳ ǡ⸲ൈʹ െʹ ，即ʹǡ െʹ ．
7．如图，菱形的对角线ܣๆ、ﺈ坐相交于点O，E 是ๆ坐的中点，且ܱ
ܧൌ⸳，则ๆ坐的长是（
）
A．5
B．10
C．15
D．20
【答案】B
【分析】由菱形的性质可得ܣๆ٣ﺈ坐，由直角三角形的性质可得ๆ坐ൌʹܱܧ，即可求解．
【详解】解：∵四边形ܣﺈๆ坐是菱形，
∴ܣๆ٣ﺈ坐，
∴ᇞๆܱ坐是直角三角形，
∵点E 是ๆ坐的中点，
∴ๆ坐ൌʹܱܧൌͳ⸲．
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8．如图，在矩形ܣﺈๆ坐中，ๆ坐ൌͶ，对角线ܣๆ，ﺈ坐相交于点O，ܣܧ垂直平分ܱﺈ于点E，则ܣ坐的长为
（
）
A．ʹ ʹ
B．Ͷ ͵
C．4
D．͵ ͵
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得出相等的边以及直角，根据线段垂直平分线的性质得出相等的边，最后利用勾
股定理求解．
【详解】解：∵四边形ܣﺈๆ坐为矩形，
∴ܣൌﺈๆ坐ൌͶ，ﺈ坐ൌܣๆൌʹܱܣ，סܣﺈ坐ൌ䁡⸲ι，
∵ܣܧ垂直平分ܱﺈ于点E，
∴ܣܱൌﺈ
Ͷൌܣ，
∴ﺈ坐ൌʹ ൈͶ ൌͺ，
由勾股定理得ܣ坐ൌﺈ坐ʹ െܣﺈʹ ൌ
䳌Ͷ െͳ䳌ൌͶ ͵．
9．如图，在ᇞܣﺈๆ中，坐，ܧ分别为ܣﺈ，ܣๆ的中点，点ܨ是线段坐ܧ上的点，且סܣܨൌﺈ䁡⸲ι，若ﺈๆൌ䳌，
ܧܨൌͳ，则ܣﺈ的长为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】根据三角形中位线定理求出坐ܧ，进而得到坐ܨ，根据直角三角形的性质求出ܣﺈ．
【详解】解：∵D、E 分别为ܣﺈ，ܣๆ的中点，ﺈๆൌ䳌，
∴坐ܧൌ
ͳ
ʹﺈๆൌ͵，
׶ ܧܨൌͳ，
׵ 坐ܨൌ坐ܧെܧܨൌʹ，
∵סܣܨൌﺈ䁡⸲ι，
∵D 为ܣﺈ的中点，
׵ܣʹൌﺈ坐ܨൌͶ．
10．把一张矩形纸片ܣﺈๆ坐按如图方式折叠，使顶点ﺈ和顶点坐重合，折痕为ܧܨ．若סๆ坐ܨൌߙ，则סܧܨ坐
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的度数是（
）
A．Ͷ⸳ι ൅
ͳ
ʹ ߙ
B．Ͷ⸳ι ൅ߙ
C．䁡⸲ι െ
ͳ
ʹ ߙ
D．䁡⸲ι െߙ
【答案】A
【分析】本题考查矩形的性质与折叠性质，首先由ס坐ๆܨൌ䁡⸲ι求出ס坐ܨๆ，再由折叠性质得סܧܨ坐ൌ
ͳ
ʹ סܨﺈ坐．
【详解】解：由矩形性质知ס坐ๆܨൌ䁡⸲ι，
׵ ס坐ܨๆൌ䁡⸲ι െߙ，
由折叠性质知סܧܨ坐ൌ
ͳ
ʹ סܨﺈ坐ൌ
ͳ
ʹ ͳͺ⸲ι െס坐ܨๆൌ
ͳ
ʹ ͳͺ⸲ι െ䁡⸲ι ൅ߙൌͶ⸳ι ൅
ͳ
ʹ ߙ．
11．如图，在
ܣﺈๆ坐中，ܣͶൌﺈ，ܣ坐ൌ䳌将ᇞܣๆ坐沿对角线ܣๆ折叠得到ᇞܣๆܧ，ܣܧ与ﺈๆ交于点ܨ，
则下列说法正确的是（
）
A．当סܣൌ䁡⸲ι时，则ܧܨൌͳ
B．当ܨ恰好为ﺈๆ的中点时，则
ܣﺈๆ坐的面积为䳌⸳
C．在折叠的过程中，ᇞܣܨﺈ的周长有可能是ᇞๆܧܨ的2 倍
D．当ܣܧ٣ﺈๆ时，连结ܧﺈ，四边形ܣܧﺈๆ是等腰梯形
【答案】D
【分析】A 选项在Rt ᇞๆܧܨ中由勾股定理可得ܧܨൌ
⸳
͵്
ͳ；B 选项先证明סܣﺈๆൌ䁡⸲ι，再由勾股定理得ܣๆൌ
ʹ ⸳，故  ܵܣﺈๆ坐ൌͺ ⸳്
䳌⸳；C 选项在折叠过程中，ᇞܣܨﺈ与ᇞܧܨๆ的周长相等；D 选项当ܣܧ٣ﺈๆ时，
ܣൌﺈๆܧ，ܣๆצܧﺈ，故四边形ܣܧﺈๆ是等腰梯形，故选项D 正确．
【详解】解：׶ ܣ坐צﺈๆ，סܣﺈ坐ൌ䁡⸲ι，
׵ ס坐ܣๆൌסﺈๆܣ，四边形ܣﺈๆ坐是矩形，
由折叠得ס坐ܣๆൌסܧܣๆ，ܣܧൌܣ坐ൌ䳌，
׵ סܧܣๆൌסﺈๆܣ，
׵ ܣܨൌๆܨ，
设ܧܨൌݔ，则ܣܨൌๆܨൌ䳌െݔ，在Rt ᇞๆܧܨ中，有Ͷʹ ൅ݔʹ ൌሺ䳌െݔሻʹ，解得ܧܨൌݔൌ
⸳
͵，故选项A 不正
确；
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当ܨ恰好为ﺈๆ的中点时，则ൌܨﺈๆܨ时，由折叠得F 也为ܣܧ的中点，故ܣܨൌๆܨൌܨﺈ，
׵ סܣﺈๆൌ䁡⸲ι，
׵ ܣๆൌ
䳌ʹ െͶʹ ൌʹ ⸳，
   ׵ܵ
ܣﺈๆ坐ൌܣﺈڄ ܣๆൌͶ ൈʹ ⸳ൌͺ ⸳，故选项B 不正确；
在折叠过程中，׶ﺈൌܨﺈๆെๆܨൌ䳌െๆܨ，ܧܨൌܣܧെܣܨൌ䳌െܣܨ，ๆܨൌܣܨ，
∴ܨܧൌܨﺈ，
又∵ܣൌﺈๆܧ，ܣܨൌๆܨ，
׵ ᇞܣܨﺈ与ᇞܧܨๆ的周长相等，故选项C 不正确；
如图，当ܣܧ٣ﺈๆ时，׶ ܣܨൌๆܨ，ܣܧൌﺈๆ，
∴ܨܧൌܨﺈ，
׵ סܧܣๆൌͶ⸳ι，סܨܧ⸳Ͷൌﺈι，
׵ ܣๆצܧﺈ，
∵סܣܨൌﺈסๆܨܧ，
ᇞܣܨﺈ، ᇞๆܨܧSAS ，
׵ ܣൌﺈๆܧ，
׵四边形ܣܧﺈๆ是等腰梯形，故选项D 正确．
12．迁移是一种重要的能力．如图ͳ，在四边形ܣﺈๆ坐中，ܣๆ٣ﺈ坐，小军对这类四边形深入探究后，得到
一个结论：ܣﺈʹ ൅ๆ坐ʹ ൌܣ坐ʹ ൅ﺈๆʹ．有下列两种说法：
①如图ʹ，在矩形ܣﺈๆ坐中，若点ܲ
是矩形内部一点，且ܲ
ܣൌ
⸳，ܲൌﺈͳ͵，ܲๆൌ
ͳ⸲，则ܲ
坐ൌ
͵；
②如图͵，在平行四边形ܣﺈๆ坐中，对角线ܣๆൌͶ，点ܧ为边ﺈๆ的中点，若ܣܧ٣ﺈ坐，则⸳ܣﺈʹ െﺈๆʹ
的值为定值．
则下列判断正确的是（
）
A．①正确，②错误
B．①错误，②正确
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C．①②都正确
D．①②都错误
【答案】B
【分析】通过构造垂线，用勾股定理结合矩形性质，推导出矩形内点的恒等式ܲ
ܣʹ ൅ܲ
ๆʹ ൌܲﺈʹ ൅ܲ
坐ʹ，代
入已知值计算得ܲ
坐ൌ
ʹ，与题中͵不符，故①错误；利用对角线垂直四边形的结论，结合平行四边形性
质与中位线定理，代入已知条件推得⸳ܣﺈʹ െﺈๆʹ ൌͳ䳌为定值，故②正确．
【详解】解：判断①：
过点ܲ
作ܲ
ܧ٣ ܣﺈ于ܧ，延长ܲ
ܧ交ๆ坐于ܨ，如图ʹ
∵ܣﺈๆ坐是矩形，
∴ܣﺈצ ๆ坐，ܲ
ܧ٣ ܣﺈ则ܲ
ܨ٣ ๆ坐，且四边形ܣܧܨ坐、ܧﺈๆܨ都是矩形，
在Rt ᇞܲ
ܣܧ中：ܲܣʹ ൌܣܧʹ ൅ܲ
ܧʹ，
在Rt ᇞܲܧﺈ中：ܲﺈʹ ൌﺈܧʹ ൅ܲ
ܧʹ，
在Rt ᇞܲ
ๆܨ中：ܲๆʹ ൌๆܨʹ ൅ܲ
ܨʹ，
在Rt ᇞܲ
坐ܨ中：ܲ坐ʹ ൌ坐ܨʹ ൅ܲ
ܨʹ，
∵ܣܧൌ坐ܨǡܧﺈൌๆܨ，
∴ܲܣʹ ൅ܲ
ๆʹ
ൌሺܣܧʹ ൅ܲ
ܧʹሻ൅ሺๆܨʹ ൅ܲ
ܨʹሻ
ൌሺ坐ܨʹ ൅ܲ
ܧʹሻ൅ሺﺈܧʹ ൅ܲ
ܨʹሻ
ൌሺﺈܧʹ ൅ܲ
ܧʹሻ൅ሺ坐ܨʹ ൅ܲ
ܨʹሻ
ൌܲﺈʹ ൅ܲ
坐ʹ，
∵ܲܣൌ
⸳，ܲﺈൌ
ͳ͵，ܲๆൌ
ͳ⸲，
∴ܲܣʹ ൅ܲ
ๆʹ ൌܲﺈʹ ൅ܲ
坐ʹ，
ሺ⸳ሻʹ ൅ሺͳ⸲ሻʹ ൌሺͳ͵ሻʹ ൅ܲ
坐ʹ，
⸳൅ͳ⸲ൌͳ͵ ൅ܲ
坐ʹ，
解得ܲ
坐ʹ ൌʹ，
即ܲ
坐ൌ
ʹ്
͵，因此①错误
判断②：
设ܣܧ与ﺈ坐交于点ܱ
，ܣๆ与ﺈ坐交于点ܱ
，连接ܧܨ，
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∵在四边形ܣﺈๆ坐中，ܣๆ٣ﺈ坐，小军对这类四边形深入探究后，得到一个
结论：ܣﺈʹ ൅ๆ坐ʹ ൌܣ坐ʹ ൅ﺈๆʹ，
即：结论对角线垂直的四边形满足：对边平方和相等，
∵在四边形ܣܨܧﺈ中，ܣܧ٣ﺈ坐，
∴ܣﺈʹ ൅ܧܨʹ ൌﺈܧʹ ൅ܣܨʹ，
∵在平行四边形ܣﺈๆ坐中，对角线ܣๆൌͶ，
∴ܣܨൌ
ͳ
ʹ ܣๆൌ
ͳ
ʹ ൈͶ ൌʹ，
∵点ܧ为边ﺈๆ的中点，
∴ܧﺈൌ
ͳ
ʹﺈๆ，
∵平行四边形ܣﺈๆ坐中，对角线ܣๆ、ﺈ坐交于点ܨ，点ܧ为边ﺈๆ的中点，
∴ܧܨൌ
ͳ
ʹ ܣﺈ，
∴ܣﺈʹ ൅ܧܨʹ ൌﺈܧʹ ൅ܣܨʹ，
即ܣﺈʹ ൅
ͳ
ʹ ܣﺈ
ʹ
ൌʹʹ ൅
ͳ
ʹﺈๆ
ʹ
，
整理，得⸳ܣﺈʹ െﺈๆʹ ൌͳ䳌，
∴⸳ܣﺈʹ െﺈๆʹ ൌͳ䳌结果为定值，因此②正确，
综上，①错误，②正确．
13．如图，有一张矩形纸片ܣﺈๆ坐，点E 在ﺈๆ上，点F 在ܣ坐上，将这张纸片沿ܧܨ所在直线翻折，使得
点C 与点A 重合，点D 的对应点为点G，连接ܣๆ．若ܣʹൌﺈ，ͳൌܧﺈ，则ܣๆڄ ܧܨ的值为（
）
A．5
B．10
C．Ͷ ⸳
D．͵ ⸳
【答案】C
【分析】由矩形的性质可得ܣ坐ൌﺈๆ，ܣൌﺈๆ坐，ܣ坐צﺈๆ，סൌܨܣﺈסൌﺈ䁡⸲ι，由勾股定理可得ܣܧൌ
⸳，
由折叠的性质可得ܣܧൌๆܧൌ
⸳，סܣܧܨൌסๆܧܨ，再由勾股定理可得ܣๆൌ
ͳ⸲൅ʹ ⸳，证明ܣܨൌܣܧൌ
⸳，
作ܨܪ٣ﺈๆ交ﺈๆ于H，则四边形ܣܨܪﺈ为矩形，由矩形的性质可得ൌܨܣൌܪﺈ⸳，ܨܪൌܣʹൌﺈ，求出
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ܧܨൌ
ͳ⸲െʹ ⸳即可得解．
【详解】解：׶四边形ܣﺈๆ坐为矩形，
׵ ܣ坐ൌﺈๆ，ܣൌﺈๆ坐，ܣ坐צﺈๆ，סൌܨܣﺈסൌﺈ䁡⸲ι．
׵ ܣܧൌ
ܣﺈʹ ൅ﺈܧʹ ൌ
ʹʹ ൅ͳʹ ൌ
⸳．
׶将这张纸片沿ܧܨ所在直线翻折，使得点C 与点A 重合，
׵ ܣܧൌๆܧൌ
⸳，סܣܧܨൌסๆܧܨ．
׵ﺈๆൌ൅ܧﺈๆܧൌͳ ൅
⸳．
׵ ܣๆൌ
ܣﺈʹ ൅ﺈๆʹ ൌ
ʹʹ ൅ͳ ൅
⸳
ʹ ൌ
ͳ⸲൅ʹ ⸳．
׶ ܣ坐צﺈๆ，
׵ סܣܨܧൌסๆܧܨ．
׵ סܣܨܧൌסܣܧܨ．
׵ ܣܨൌܣܧൌ
⸳．
如图，作ܨܪ٣ﺈๆ于H，
则סൌܨܣﺈסൌﺈסൌܨܪﺈ䁡⸲ι．
∴四边形ܣܨܪﺈ为矩形．
׵ൌܨܣൌܪﺈ⸳，ܨܪൌܣʹൌﺈ．
׵ ܧܪൌൌܧﺈെܪﺈ⸳െͳ．
׵ ܧܨൌ
ܧܪʹ ൅ܨܪʹ ൌ
⸳െͳ
ʹ ൅ʹʹ ൌ
ͳ⸲െʹ ⸳．
׵ ܣๆڄ ܧܨൌ
ͳ⸲൅ʹ ⸳ڄ
ͳ⸲െʹ ⸳ൌͶ ⸳．
二、填空题
14．彤彤用刻度尺（单位：cm）对直角三角形的尺寸进行测量סܣﺈๆൌ䁡⸲ι ．如图，点ﺈ，ๆ对应的刻度
分别为1，5，点ꘀ，ܰ
分别为边ܣﺈ，ܣๆ的中点，点ܲ
为ꘀܰ
的中点，则ܣܲ
的长为_____cm．
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【答案】1
【分析】根据题意得到ﺈๆൌͶcm，根据三角形中位线定理得到ꘀܰ
ൌ
ͳ
ʹﺈๆൌʹcm，根据直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半得到ܣܲ
的长为ͳcm．
【详解】解：∵点ﺈ，ๆ对应的刻度分别为1，5，
׵ﺈๆൌͶcm．
∵点ꘀ，ܰ
分别为边ܣﺈ，ܣๆ的中点，
∴ꘀܰ
ൌ
ͳ
ʹﺈๆൌʹcm．
∵סܣﺈๆൌ䁡⸲ι，点ܲ
为ꘀܰ
的中点，
׵ ܣܲ
ൌ
ͳ
ʹ ꘀܰ
ൌͳcm．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ܣﺈๆ坐的顶点A 的坐标为ሺെͳǡʹሻ．若y 轴平分矩形ܣﺈๆ坐的面积，
则点C 到y 轴的距离是_______．
【答案】ͳ
【分析】根据中心对称图形的性质可得ݕ轴经过矩形ܣﺈๆ坐对角线ܣๆ的中点，再根据中点坐标公式即可求
解．
【详解】解：∵y 轴平分矩形ܣﺈๆ坐的面积，矩形是中心对称图形，
∴ݕ轴经过矩形ܣﺈๆ坐对角线ܣๆ的中点，
设ๆ点横坐标为ܽ
，
∵ܣെͳǡʹ ，
∴
െͳ൅ܽ
ʹ
ൌ⸲，
∴ܽ
ൌͳ，
∴点C 到y 轴的距离是ͳ．
16．如图，在矩形ܣﺈๆ坐中，连接ﺈ坐，以ﺈ为圆心，ﺈ坐为半径画弧交射线ﺈๆ于点ܧ，连接坐ܧ，若ܣ͵ൌﺈ，
ܣ坐ൌͶ，则坐ܧ的长为______．
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【答案】ͳ⸲
【分析】先利用矩形的性质、勾股定理求出对角线ﺈ坐的长，再利用圆的半径相等求出ܧﺈ的长，然后求出
ๆܧ的长，最后用勾股定理求出坐ܧ的长．
【详解】解：由题意可知，ﺈ坐ൌܧﺈ，
׶四边形ܣﺈๆ坐是矩形，
׵ 坐ๆൌܣ͵ൌﺈ，ﺈๆൌܣ坐ൌͶ，ס坐ๆൌﺈ䁡⸲ι，
׵ﺈ坐ൌﺈๆʹ ൅ๆ坐ʹ ൌ⸳，
׵ﺈൌܧﺈ坐ൌ⸳，
׵ ๆܧൌﺈെܧﺈๆൌͳ，
׵ 坐ܧൌ
坐ๆʹ ൅ๆܧʹ ൌ
ͳ⸲．
17．如图，把一张矩形纸片ܣﺈๆ坐沿ܧܨ（点E、F 分别在ܣ坐、ﺈๆ上）所在直线折叠后，D、C 分别落在坐̵ 、
ๆ̵ 的位置上，ܧ坐̵ 与ﺈๆ交于点G，若ס坐ܧܨൌ⸳⸲ι，则סๆ̵ ܨܩ的度数为____________ι．
【答案】80
【分析】根据平行线与折叠的性质求解即可.
【详解】解：∵四边形ܣﺈๆ坐是长方形，ס坐ܧܨൌ⸳⸲ι，
∴ܣ坐צﺈๆ，
∴סๆܨܧൌͳͺ⸲ι െ⸳⸲ι ൌͳ͵⸲ι，
由折叠的性质得סๆ̵ ܨܧൌסๆܨܧൌͳ͵⸲ι，
∴סๆ̵ ܨๆൌ͵䳌⸲ι െͳ͵⸲ι െͳ͵⸲ι ൌͳ⸲⸲ι，
∴סๆ̵ ܨܩൌͳͺ⸲ι െסๆ̵ ܨๆൌͺ⸲ι．
18．如图，已知矩形ܣﺈๆ坐中，ܣ͵ͳൌﺈ，ﺈๆൌʹ⸲，ܧ为边ܣ坐上一点，连接ܧﺈ，将点ܣ沿着ܧﺈ折叠，
点ܣ落在点ܨ处，连接坐ܨ并延长交ﺈๆ于ܩ，若ס坐ܩๆൌͶ⸳ι，则ܩܨ的长是________，ܣܧ的长是________．
【答案】
⸳ʹ
ʹ䳌
͵
【分析】过点ܨ作ܨܪ٣ﺈๆ于点H，交ܣ坐于点M，设ܩܪൌܨܪൌݔ，则ꘀܨൌ坐ꘀൌꘀܪെܨܪൌͳ͵ െݔ，
设ܣܧൌܨܧൌݕ，则ܧꘀൌܣ坐െܣܧെꘀ坐ൌͳʹ െݕ，根据勾股定理，求解即可；
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【详解】解：矩形ܣﺈๆ坐中，ܣ͵ͳൌﺈ，ﺈๆൌʹ⸲，
׵ ๆ坐ൌܣ͵ͳൌﺈ，ܣ坐ൌﺈๆൌʹ⸲，ס坐ๆܩൌ䁡⸲ι，ܣ坐צﺈๆ，
׵ סܣ坐ܩൌס坐ܩๆ，
׶ ס坐ܩๆൌͶ⸳ι，
׵ סܣ坐ܩൌͶ⸳ι，
׵ סܣ坐ܩൌסܩ坐ๆൌס坐ܩๆൌͶ⸳ι，
׵ 坐ๆൌܩๆൌͳ͵，ﺈൌܩﺈๆെܩๆൌʹ⸲െͳ͵ ൌ䁡，
过点ܨ作ܨܪ٣ﺈๆ于点H，交ܣ坐于点M，
׵ ܨܪ٣ ܣ坐，
׵ סܣ坐ܩൌסܩ坐ๆൌס坐ܩๆൌסܩܨܪൌסꘀܨ坐ൌͶ⸳ι，四边形坐ꘀܪๆ是矩形，
׵ ꘀ坐ൌܪๆǡꘀܪൌ坐ๆൌͳ͵，
׵ 坐ꘀൌܨꘀǡܩܪൌܨܪ，
设ܩܪൌܨܪൌݔ，则ꘀܨൌ坐ꘀൌꘀܪെܨܪൌͳ͵ െݔ，
根据折叠的性质，得ܣܧൌܨܧǡ͵ͳൌܨﺈൌܣﺈ，
根据勾股定理，得ﺈܨʹ ൌﺈܪʹ ൅ܨܪʹ，
׵ ͳ͵ʹ ൌ䁡൅ݔʹ ൅ݔʹ，
整理，得ݔʹ ൅䁡ݔെ䳌⸲ൌ⸲，
解得ݔͳ ൌ⸳ǡݔʹ ൌെͳʹ（边长不能为负，舍去），
故ܩܪൌܨܪൌ⸳，ꘀܨൌ坐ꘀൌꘀܪെܨܪൌͳ͵ െݔൌͺ，
׵ ܩܨൌ
ܩܪʹ ൅ܨܪʹ ൌ⸳ʹ；
设ܣܧൌܨܧൌݕ，则ܧꘀൌܣ坐െܣܧെꘀ坐ൌͳʹ െݕ，
根据勾股定理，得ܧܨʹ ൌܧꘀʹ ൅ܨꘀʹ，
׵ ݕʹ ൌͳʹ െݕʹ ൅ͺʹ，
整理，得ʹͶݕൌʹ⸲ͺ，
解得ݕൌ
ʹ䳌
͵ ，
故ܣܧൌ
ʹ䳌
͵ ；
19．如图，在四边形ܣﺈๆ坐中，ܣ坐ൌﺈๆ，ܣൌﺈๆ坐，ܣๆ与ﺈ坐相交于点ܱ
，请添加一个条件______________，
使四边形ܣﺈๆ坐是矩形．
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【答案】ס坐ܣൌﺈ䁡⸲ι（答案不唯一）．
【分析】先利用两组对边相等判断
ܣﺈๆ坐，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形即可以求出添加的条
件．
【详解】解：׶ ܣ坐ൌﺈๆ，ܣൌﺈๆ坐，
׵四边形ܣﺈๆ坐是平行四边形．
׶使
ܣﺈๆ坐成为矩形，
׵添加的条件是ס坐ܣൌﺈ䁡⸲ι（答案不唯一）．
20．如图所示，矩形纸片ܣﺈๆ坐中，ܣൌﺈ䳌cm，ﺈๆൌͺcm，现将其沿ܧܨ折叠，使得点ๆ与点ܣ重合，则
ܣܨ长为________cm．
【答案】
ʹ⸳
Ͷ
【分析】设ܣܨൌݔcm，根据折叠的性质可得，ܣܧൌๆܧൌܣܨൌݔcm，则ൌܧﺈͺ െݔcm，在Rt ᇞܣܧﺈ中，
由勾股定理列方程求解．
【详解】解：设ܣܨൌݔcm，
根据折叠的性质可得，ܣܧൌๆܧൌܣܨൌݔcm，
∴ﺈൌܧﺈๆെๆܧൌͺ െݔcm，
∵矩形纸片ܣﺈๆ坐中，סൌﺈ䁡⸲ι，
∴在Rt ᇞܣܧﺈ中，ܣﺈʹ ൅ﺈܧʹ ൌܣܧʹ，
∴䳌ʹ ൅ͺ െݔʹ ൌݔʹ，
解得ݔൌ
ʹ⸳
Ͷ ，
即ܣܨ长为
ʹ⸳
Ͷ cm．
21．如图，矩形ܣﺈๆ坐中，E 是边ﺈๆ上一点，将ᇞܣܧﺈ沿ܣܧ翻折，得到ᇞܣܨܧ，延长ܧܨ交线段ܣ坐的
延长线于点G，交线段ܣๆ于点O，若ܣʹൌﺈ，ﺈๆൌ͵，ܱๆൌܱ
ܧ，则线段坐ܩ的长为_______．
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【答案】ͳ͵ െ͵
【分析】由矩形的性质得到ܣ坐ൌﺈๆൌ͵ǡܣ坐צﺈๆǡסൌﺈ䁡⸲ι，由平行线的性质可得סܱܣܩൌסܱๆܧǡסܱܩܣൌ
סܱܧๆǡסܣܧൌﺈס坐ܣܧ，再证明סܩܣܧൌסܩܧܣ，得到ܣܩൌܧܩ；证明סܱܣܩൌסܱܩܣ，得到ܱ
ܣൌܱ
ܩ，则可
证明ܣܩൌܣๆ，利用勾股定理求出ܣๆ的长即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ܣﺈๆ坐是矩形，
∴ܣ坐ൌﺈๆൌ͵ǡܣ坐צﺈๆǡסൌﺈ䁡⸲ι，
∴סܱܣܩൌסܱๆܧǡסܱܩܣൌסܱܧๆǡסܣܧൌﺈס坐ܣܧ，
由折叠的性质可得סܣܧൌﺈסܣܧܨ，
∴ס坐ܣܧൌסܣܧܨ，即סܩܣܧൌסܩܧܣ，
∴ܣܩൌܧܩ；
∵ܱๆൌܱ
ܧ，
∴סܱܧๆൌסܱๆܧ，
∴סܱܣܩൌסܱܩܣ，
∴ܱܣൌܱ
ܩ，
∴ܱܣ൅ܱ
ๆൌܱ
ܧ൅ܱ
ܩ，
∴ܣๆൌܧܩ，
∴ܣܩൌܣๆ，
在Rt ᇞܣﺈๆ中，由勾股定理得ܣๆൌ
ܣﺈʹ ൅ﺈๆʹ ൌ
ͳ͵，
∴坐ܩൌܣܩെܣ坐ൌ
ͳ͵ െ͵．
三、解答题
22．如图，矩形ܣﺈๆ坐的对角线交于点ܱ
，ܧ为ๆ坐中点，ܨ在射线ﺈๆ上，且ܱ
ܨ٣ﺈๆ，连接ܧܨ．若ܣͶൌﺈ，
ﺈๆൌ͵，则ܧܨ的长为多少？
【答案】
⸳
ʹ
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【分析】根据矩形的性质，求出ܱ
ๆ的长，证明四边形ܱ
ܧๆܨ为矩形，进而得到ܧܨൌܱ
ๆ即可.
【详解】解：∵矩形ܣﺈๆ坐，
∴ܱܣൌܱ
ๆൌܱܱൌﺈ坐，סܣﺈๆൌסﺈๆ坐ൌ䁡⸲ι，
∴ܣๆൌ
ܣﺈʹ ൅ﺈๆʹ ൌ⸳，
∴ܱๆൌ
⸳
ʹ，
∵ܱๆൌܱ
坐，点ܧ为ๆ坐中点，
∴ܱܧ٣ ๆ坐，
又∵ܱܨ٣ﺈๆǡסﺈๆ坐ൌ䁡⸲ι，
∴四边形ܱ
ܧๆܨ为矩形，
∴ܧܨൌܱ
ๆൌ
⸳
ʹ.
23．如图，在
ܣﺈๆ坐中，ܧ，ܨ两点分别在边ܣﺈ，ๆ坐上，连接坐ܧ，ܨﺈ，ܣܨ，坐ܧ٣ ܣﺈ，且סܣ坐ܧൌסๆܨﺈ．
(1)求证：四边形坐ܧܨﺈ为矩形；
(2)若ܣܨ平分סܣﺈ坐，且ܣ坐ൌ䳌，ܣܨൌͳ⸲，求ܣܧ的长．
【答案】(1)见解析
(2)
䁡
͵
【分析】本题考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关
键．
（1）利用平行四边形的性质得到ܣ坐ൌๆﺈ，ס坐ܣܧൌסๆ，ܣﺈצๆ坐，由坐ܧ٣ ܣﺈ得到סܣܧ坐ൌסܧﺈ坐ൌ䁡⸲ι，
进而得到סܧ坐ܨൌ䁡⸲ι，再通过证明ᇞܣ坐ܧ، ᇞๆܨﺈ得到סๆܨൌﺈסܣܧ坐ൌ䁡⸲ι，最后利用矩形的判定即可证
明；
（2）根据角平分线的定义得到ס坐ܣܨൌסܨܣﺈ，再利用平行线的性质得到סൌܨܣﺈסܣܨ坐，则有坐ܨൌܣ坐ൌ䳌，
由（1）中的结论可得ܣܧൌๆܨ，סܧൌܨﺈ䁡⸲ι，设ܣܧൌๆܨൌݔ，在Rt ᇞๆܨﺈ和Rt ᇞܣܨﺈ利用勾股定理建
立方程，解方程求出ݔ的值即可解答．
【详解】（1）证明：׶
ܣﺈๆ坐，
׵ ܣ坐ൌๆﺈ，ס坐ܣܧൌסๆ，ܣﺈצๆ坐，
׶ 坐ܧ٣ ܣﺈ，
׵ סܣܧ坐ൌסܧﺈ坐ൌ䁡⸲ι，
又׶ ܣﺈצๆ坐，
׵ סܧ坐ܨൌסܣܧ坐ൌ䁡⸲ι，
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在ᇞܣ坐ܧ和ᇞๆܨﺈ中，
סܣ坐ܧൌסๆܨﺈ
ܣ坐ൌๆﺈ
ס坐ܣܧൌסๆ
，
׵ᇞܣ坐ܧ، ᇞๆܨﺈASA ，
׵ סๆܨൌﺈסܣܧ坐ൌ䁡⸲ι，
׵ ס坐ܨ⸲ͺͳൌﺈι െסๆܨൌﺈ䁡⸲ι，
׵ סܧﺈ坐ൌסܧ坐ܨൌס坐ܨൌﺈ䁡⸲ι，
׵四边形坐ܧܨﺈ为矩形．
（2）解：׶
ܣﺈๆ坐，
׵ ܣൌﺈๆ坐，ܣﺈצๆ坐，ๆܣൌﺈ坐ൌ䳌，
׶ ܣܨ平分סܣﺈ坐，
׵ ס坐ܣܨൌסܨܣﺈ，
׶ ܣﺈצๆ坐，
׵ סൌܨܣﺈסܣܨ坐，
׵ ס坐ܣܨൌסܣܨ坐，
׵ 坐ܨൌܣ坐ൌ䳌，
由（1）中的结论得，סๆܨൌﺈ䁡⸲ι，ᇞܣ坐ܧ، ᇞๆܨﺈ，四边形坐ܧܨﺈ为矩形，
׵ ܣܧൌๆܨ，סܧൌܨﺈ䁡⸲ι，
设ܣܧൌๆܨൌݔ，则ܣൌﺈๆ坐ൌ坐ܨ൅ๆܨൌ䳌൅ݔ，
在Rt ᇞๆܨﺈ中，ﺈܨʹ ൌๆﺈʹ െๆܨʹ ൌ䳌ʹ െݔʹ，
在Rt ᇞܣܨﺈ中，ﺈܨʹ ൌܣܨʹ െܣﺈʹ ൌͳ⸲ʹ െ䳌൅ݔʹ，
׵ 䳌ʹ െݔʹ ൌͳ⸲ʹ െ䳌൅ݔʹ，
解得：ݔൌ
䁡
͵，
׵ ܣܧ的长为
䁡
͵．
24．图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、点B、
点P 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图．
(1)在图①中，作矩形ܣﺈๆ坐，使点P 在边ๆ坐上；
(2)在图②中，作
ܣܨܧﺈ使点P 为对称中心．
【答案】(1)如图，矩形ܣﺈๆ坐即为所求，
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(2)如图，
ܣܨܧﺈ即为所求，
【分析】（1）取点P 所在的格线上的格点C、D，得格线ܣ坐、ﺈๆ且使ๆ坐ൌܣﺈ，再连接ܣ坐、ๆ坐、ﺈๆ
即可．
（2）连接ܣܲ，并延长至格点E，连接ܲﺈ，并延长至格点F，再连接ܧﺈ、ܧܨ、ܣܨ即可．
【详解】（1）略
（2）略
68．如图，在Rt ᇞܣﺈๆ中，סܣﺈๆൌ䁡⸲ιǡ坐为ﺈๆ的中点，ܧ为ๆ坐的中点，ܨ为ܣๆ的中点．若ܧܨൌ⸳，
求ﺈๆ的长．
【答案】20
【分析】先由三角形中位线定理得到ܣ坐ൌͳ⸲，再由直角三角形斜边中线的性质求解即可．
【详解】解：∵ܧ为ๆ坐的中点，ܨ为ܣๆ的中点，ܧܨൌ⸳，
∴ܣ坐ൌʹܧܨൌͳ⸲
∵סܣﺈๆൌ䁡⸲ιǡ坐为ﺈๆ的中点，
∴ﺈๆൌʹܣ坐ൌʹ⸲．
25．如图，
ܣﺈๆ坐的对角线ܣๆ٣ﺈๆ，ܧ为ๆ坐的中点，连接ܣܧ，并延长ܣܧ，交ﺈๆ的延长线于点ܨ，
连接坐ܨ．
(1)求证：ᇞܣ坐ܧ، ᇞܨๆܧ；
(2)求证：四边形ܣๆܨ坐是矩形．
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【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由ܣ坐צܨﺈ得ס坐ܣܧൌסๆܨܧ，סܣ坐ܧൌסܨๆܧ，由E 为ๆ坐的中点得坐ܧൌๆܧ，故ᇞܣ坐ܧ، ᇞ
ܨๆܧAAS ；
（2）由（1）得，ܣ坐ൌๆܨ，又ܣ坐צ ๆܨ，故四边形ܣๆܨ坐是平行四边形，由ܣๆ٣ﺈๆ，点F 在ﺈๆ的延长
线上得סܣๆܨൌ䁡⸲ι，故四边形ܣๆܨ坐是矩形．
【详解】（1）证明：׶四边形ܣﺈๆ坐是平行四边形，
׵ ܣ坐צܨﺈ，
׵ ס坐ܣܧൌסๆܨܧ，סܣ坐ܧൌסܨๆܧ，
׶E 为ๆ坐的中点，
׵ 坐ܧൌๆܧ，
在ᇞܣ坐ܧ和ᇞܨๆܧ中，
ס坐ܣܧൌסๆܨܧ
סܣ坐ܧൌסܨๆܧ
坐ܧൌๆܧ
，
׵ᇞܣ坐ܧ، ᇞܨๆܧAAS ；
（2）证明：由（1）得，ܣ坐ൌๆܨ，
又׶ ܣ坐צ ๆܨ，
׵四边形ܣๆܨ坐是平行四边形，
׶ ܣๆ٣ﺈๆ，点F 在ﺈๆ的延长线上，
׵ סܣๆܨൌ䁡⸲ι，
׵四边形ܣๆܨ坐是矩形．
26．如图，在
ܣﺈๆ坐中，ܧﺈ٣ ๆ坐于点E．
(1)尺规作图：作坐ܨ٣ ܣﺈ于点F（保留作图痕迹，不证明）；
(2)求证：四边形坐ܨܧﺈ是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂线的作法作图即可；
（2）根据平行四边形的性质得到ܣﺈצ ๆ坐，进而得到סܨ坐ܧൌ䁡⸲ι，即可证明四边形坐ܨܧﺈ是矩形；
【详解】（1）解：如图，坐ܨ即为所求；
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（2）证明：由作图可知ס坐ܨܣൌס坐ܨൌﺈ䁡⸲ι，
∵
ܣﺈๆ坐，
∴ܣﺈצ ๆ坐，
∴סܨ坐ܧൌס坐ܨܣൌ䁡⸲ι，
∵ܧﺈ٣ ๆ坐，
∴סܧﺈ坐ൌ䁡⸲ι，
∴四边形坐ܨܧﺈ是矩形．
27．如图，矩形ܣﺈๆ坐的对角线ܣๆ，ﺈ坐相交于点O．
(1)尺规作图：在平面内确定一点E，使得四边形ܣܱ坐ܧ是菱形；
(2)在（1）的条件下，若ܣ坐ൌͺ，四边形ܣܱ坐ܧ的面积为ʹͶ，求ܣﺈ的长．
【答案】(1)见解析
(2)ܣൌﺈ䳌
【分析】（1）由菱形四边相等，在ܣ坐的上侧作ܣܧൌܣܱ，坐ܧൌ坐ܱ
即可；
（2）由四边形ܣܱ坐ܧ是菱形，面积为ʹͶ，可得ܱ
ܧൌ䳌．则ܱ
ܨൌ
ͳ
ʹܱ
ܧൌ͵．由四边形ܣﺈๆ坐是平行四边
形，ܣൌܨܱʹൌﺈ䳌．
【详解】（1）解：方法不唯一：
如：分别以A、D 为圆心，ܣܱ
长为半径作弧，交于点E，点E 即为所求．
（2）解：如图，连接ܧܱ，
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׶四边形ܣܱ坐ܧ是菱形，
׵
ͳ
ʹ ܣ坐ڄܱ
ܧൌʹͶ，ܣܧצﺈ坐，ܣܧൌܱ
坐．
׶ ܣ坐ൌͺ，
׵ܱ
ܧൌ䳌．
∵四边形ܣﺈๆ坐是矩形，
׵ 坐ܱ
ൌΟﺈ．
׵ ܣܧൌﺈܱ．
׶ ܣܧצﺈ坐，
׵四边形ܣܧܱﺈ是平行四边形．
׵ ܣܱൌﺈ
ൌܧ䳌．
28．如图，在矩形ܣﺈๆ坐中，点ܧ，ܨ分别为边ܣ坐，ﺈๆ上的点，且坐ܧൌܨﺈ，连接ܣܨ，ๆܧ．
求证：ܣܨൌๆܧ．
【答案】证明：∵四边形ܣﺈๆ坐是矩形，
∴ܣ坐ൌﺈๆ，ܣ坐צﺈๆ，
∵坐ܧൌܨﺈ，
∴ܣ坐െ坐ܧൌﺈๆെܨﺈ
∴ܣܧൌๆܨ
∵ܣ坐צﺈๆ，点ܧ，ܨ分别为边ܣ坐，ﺈๆ上的点，
∴ܣܧצๆܨ
∴四边形ܣܨๆܧ是平行四边形，
∴ܣܨൌๆܧ．
【分析】根据矩形的性质可得ܣ坐ൌﺈๆ，ܣ坐צﺈๆ，结合已知可得ܣܧൌๆܨ，进而得出四边形ܣܨๆܧ是平行
四边形，根据平行四边形的性质，即可得证．
【详解】略
29．如图，四边形ܣﺈๆ坐是矩形，对角线ܣๆ，ﺈ坐相交于点O，ܧﺈצܣๆ交坐ๆ的延长线于点E．
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(1)求证：ﺈ坐ൌܧﺈ．
(2)若ס坐ﺈๆൌ͵⸲ι，ﺈܱ
Ͷൌ，求四边形ܣܧﺈ坐的面积．
【答案】(1)证明：∵四边形ܣﺈๆ坐是矩形，
∴ܣๆൌﺈ坐，ܣﺈצๆ坐，
∴ܣﺈצๆܧ．
∵ܧﺈצܣๆ，
∴四边形ܣܧﺈๆ是平行四边形，
∴ܣๆൌܧﺈ，
∴ﺈ坐ൌܧﺈ；
(2)ʹͶ ͵
【详解】（1）略
（2）解：∵在矩形ܣﺈๆ坐中，ﺈܱ
Ͷൌ，סﺈๆ坐ൌ䁡⸲ι，ܣൌﺈๆ坐，
∴ﺈ坐ൌʹﺈܱ
ʹൌൈͶ ൌͺ，
∵ס坐ﺈๆൌ͵⸲ι，
∴ๆ坐ൌ
ͳ
ʹﺈ坐ൌ
ͳ
ʹ ൈͺ ൌͶ，
∴ܣൌﺈๆ坐ൌͶ，坐ܧൌๆ坐൅ๆܧൌๆ坐൅ܣͺൌ Ͷ൅ Ͷൌﺈ，
在Rt ᇞﺈๆ坐中，ﺈๆൌﺈ坐ʹ െๆ坐ʹ ൌ
ͺʹ െͶʹ ൌͶ ͵，
∵ܣﺈצ坐ܧ，סﺈๆ坐ൌ䁡⸲ι，
∴四边形ܣܧﺈ坐是直角梯形，ﺈๆ为梯形的高．
∴四边形ܣܧﺈ坐的面积为ܵ
ൌ
ͳ
ʹ ܣ൅ﺈ坐ܧڄﺈๆൌ
ͳ
ʹ ൈͶ ൅ͺ ൈͶ ͵ ൌʹͶ ͵．
∴四边形ܣܧﺈ坐的面积为ʹͶ ͵．
30．如图，在平行四边形ܣﺈๆ坐中，对角线ܣๆ、ﺈ坐交于点O，E、F 在ﺈ坐上，且满足ൌܧﺈ坐ܨ．
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(1)求证：四边形ܣܧๆܨ是平行四边形；
(2)若ܱ
ܣൌܱ
ܧ，求证：ܣܧ٣ ๆܧ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质得ܱ
ܣൌܱ
ๆ，ܱܱൌﺈ坐，再根据ൌܧﺈ坐ܨ推得ܱ
ܧൌܱ
ܨ，即可得证；
（2）由ܱ
ܣൌܱ
ܧ可推得ܣๆൌܧܨ，则平行四边形ܣܧๆܨ是矩形，即可得证．
【详解】（1）证明：∵四边形ܣﺈๆ坐是平行四边形，
∴ܱܣൌܱ
ๆ，ܱܱൌﺈ坐，
∵ൌܧﺈ坐ܨ，
∴ܱܱൌܧﺈെﺈ坐െ坐ܨ，
即ܱ
ܧൌܱ
ܨ，
又∵ܱܣൌܱ
ๆ，
∴四边形ܣܧๆܨ是平行四边形；
（2）证明：由（1）可知，四边形ܣܧๆܨ是平行四边形，
则ܣๆൌʹܱܣ，ܧܨൌʹܱܧ，
∵ܱܣൌܱ
ܧ，
∴ܣๆൌܧܨ，
∴平行四边形ܣܧๆܨ是矩形，
∴סܣܧๆൌ䁡⸲ι，
∴ܣܧ٣ ๆܧ．
31．已知在矩形ܣﺈๆ坐中，ܣൌﺈ䳌，ﺈๆൌ͵，点ܧ是射线ๆ坐上的一个动点，以点ܣ为旋转中心，将线段
ܣܧ按逆时针方向旋转䁡⸲ι，得到线段ܣܨ．
(1)当点ܧ在线段ๆ坐上时，
①如图1，点ܱ
为对角线ܣๆ，ﺈ坐的交点，若ๆܧൌ͵ܧ坐，连接ܱ
ܨ，求证：ܱܨצ ๆ坐；
②如图2，连接ܧﺈ，ܨܧ，坐ܨ，若ᇞܣܧﺈ为等腰三角形，求ᇞ坐ܨܧ的面积；
(2)如图3，连接ܨﺈ，ܧܨ，在点ܧ的运动过程中，求ܨܧ൅ܨﺈ的最小值．
【答案】(1)①过点ܨ作ܨܩ٣ ܣ坐，
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由旋转知，ܣܧൌܣܨ，סܧܣܨൌ䁡⸲ι，
∵矩形ܣﺈๆ坐，ܣൌﺈ䳌，ﺈๆൌ͵，
∴ๆ坐ൌܣൌﺈ䳌，ܣ坐ൌﺈๆൌ͵，
∵ๆܧൌ͵ܧ坐，
∴坐ܧൌ
͵
ʹ，ๆܧൌ
䁡
ʹ，
∵矩形ܣﺈๆ坐，
∴סܣ坐ܧൌסܧܣܨൌ䁡⸲ι，ܨܩצๆ坐，ܣܱ
ൌܱ
ๆ，
∴סܧܣ坐ൌ䁡⸲ι െסܨܣܩൌסܣܨܩ，
∴ᇞܧܣ坐، ᇞܣܨܩAAS ，
∴ܣܩൌ坐ܧൌ
͵
ʹ ൌ
ͳ
ʹ ܣ坐，
∴坐ܧൌܣܩൌ坐ܩ，
∵ܣܱ
ൌܱ
ๆ，
∴ܱܩ为ᇞܣๆ坐的中位线，
∴ܱܩצๆ坐，
∵ܨܩצๆ坐，
∴点ܱ
，ܩ，ܨ共线，
∴ܱܨצ ๆ坐；
②ᇞ坐ܨܧ的面积为
ʹ䁡͵െͶ⸳
ʹ
或
ʹ䁡െ䁡͵
ʹ
；
(2)䁡൅͵ ʹ
【分析】
（1）①过点ܨ作ܨܩ٣ ܣ坐，证明ᇞܧܣ坐، ᇞܣܨܩAAS ，得到ܣܩൌ坐ܧൌ
͵
ʹ ൌ
ͳ
ʹ ܣ坐，则坐ܧൌܣܩൌ坐ܩ，
得到ܱ
ܩ为ᇞܣๆ坐的中位线，据此即可得到ܱ
ܨצ ๆ坐；
②分情况讨论，当ܣﺈൌܧﺈ时，过点ܨ作ܨܪ٣ ܣﺈ交ܣﺈ延长线于点ܪ，交ๆ坐延长线于点ܰ
，证明ᇞܧܣ坐، ᇞ
ܨܣܪAAS ，求得ܨܪൌ坐ܧൌ䳌െ͵ ͵，再利用三角形面积公式求解即可；当ܣܧൌܣൌﺈ䳌时，同理求解即
可；
（2）设ๆܧൌݔ，坐ܧൌ䳌െݔ，过点ܨ作ܨܪ٣ ܣﺈ交ܣﺈ延长线于点ܪ，交ๆ坐延长线于点ܰ
，利用勾股定
理得到ൌܨܧ൅ܨﺈͺͳ ൅䳌െݔʹ ൅
ͳͺ ൅ʹ 䳌െݔʹ，据此求解即可．
【详解】（1）解：①略
②由题意知，ᇞܣܧﺈ构成等腰三角形有三种情况，
而当ܧܣൌܧﺈ时，点ܧ，坐，ܨ共线；
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∴只有当ܣܧൌܣﺈ和ܣﺈൌܧﺈ时，ᇞܣܧﺈ构成三角形，
当ܣﺈൌܧﺈ时，
∵ൌܣﺈൌܧﺈ䳌，סๆൌ䁡⸲ι，ﺈๆൌ͵，
∴ๆܧൌ
䳌ʹ െ͵ʹ ൌ͵ ͵，
∴ܧ坐ൌ䳌െ͵ ͵，
过点ܨ作ܨܪ٣ ܣﺈ交ܣﺈ延长线于点ܪ，交ๆ坐延长线于点ܰ
，
∵סܪൌסܪܣ坐ൌסܣ坐ܰ
ൌ䁡⸲ι，
∴四边形ܣ坐ܰܪ是矩形，
∴ܪܰ
ൌܣ坐ൌ͵，
∵סܣ坐ܧൌסܣܪܨൌסܧܣܨൌ䁡⸲ι，
∴סܧܣ坐ൌ䁡⸲ι െס坐ܣܨൌסܨܣܪ，
∵ܧܣൌܨܣ，
∴ᇞܧܣ坐، ᇞܨܣܪAAS ，
∴ܨܪൌ坐ܧൌ䳌െ͵ ͵，
∴ܨܰ
ൌܪܰ
െܨܪൌ͵ ͵ െ͵，
∴ܵᇞܧ坐ܨൌ
ͳ
ʹ 䳌െ͵ ͵
͵ ͵ െ͵ ൌ
ʹ䁡͵െͶ⸳
ʹ
；
当ܣܧൌܣൌﺈ䳌时，
同理坐ܧൌ
䳌ʹ െ͵ʹ ൌ͵ ͵，
∴ๆܧൌ䳌െ͵ ͵，
过点ܨ作ܨܪ٣ ܣﺈ交ܣﺈ延长线于点ܪ，交ๆ坐延长线于点ܩ，
同理ᇞܧܣ坐، ᇞܨܣܪAAS ，
∴ܨܪൌ坐ܧൌ͵ ͵，
∴ܨܩൌܨܪെܩܪൌ͵ ͵ െ͵，
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∴ܵᇞܧ坐ܨൌ
ͳ
ʹ ൈ͵ ͵ ൈ͵ ͵ െ͵ ൌ
ʹ䁡െ䁡͵
ʹ
；
综上，ᇞ坐ܨܧ的面积为
ʹ䁡͵െͶ⸳
ʹ
或
ʹ䁡െ䁡͵
ʹ
；
（2）解：设ๆܧൌݔ，坐ܧൌ䳌െݔ，
过点ܨ作ܨܪ٣ ܣﺈ交ܣﺈ延长线于点ܪ，交ๆ坐延长线于点ܰ
，
同理得ᇞܧܣ坐، ᇞܨܣܪAAS ，
∴ܣܪൌܣ坐ൌ͵，ܨܪൌ坐ܧൌ䳌െݔ，
∴ൌܪﺈ䁡，
∴ൌܨﺈ
ﺈܪʹ ൅ܨܪʹ ൌ
䁡ʹ ൅䳌െݔʹ ൌ
ͺͳ ൅䳌െݔʹ，
ܣܨൌ
ܣܪʹ ൅ܨܪʹ ൌ
͵ʹ ൅䳌െݔʹ ൌ
䁡൅䳌െݔʹ，
∵ܧܨൌ
ʹܣܨ，
∴ܧܨൌ
ʹ ڄ
䁡൅䳌െݔʹ ൌ
ͳͺ ൅ʹ 䳌െݔʹ，
∴ൌܨܧ൅ܨﺈͺͳ ൅䳌െݔʹ ൅
ͳͺ ൅ʹ 䳌െݔʹ，
∴当且仅当时ݔൌ䳌，ܧﺈ和ܧܨ同时取到最小值，0
此时，ܨܧ൅ܨﺈ取到最小值为䁡൅͵ ʹ．
32．【问题原型】
在矩形ܣﺈๆ坐中，ܣ⸳ൌﺈ，ﺈๆൌ͵，点P 为边ﺈๆ上一点，将ᇞܣܲﺈ沿直线ܣܲ
翻折至ᇞܣܧܲ
的位置（点
B 落在点E 处）．
(1)【问题解决】如图①，当点E 落在边ๆ坐上时，可求得坐ܧ的长为；
(2)【尝试应用】如图②，ܲܧ与ๆ坐相交于点F，ܣܧ与ๆ坐相交于点G，且ܨๆൌܨܧ，
①求证：ܩܨൌܲ
ܨ；
②求ﺈܲ的长．
(3)【拓展提升】如图③，点Q 为射线ܣﺈ上的一个动点，将ᇞﺈๆܳ
沿ๆܳ
翻折，点B 恰好落在直线坐ܳ
上
的点ﺈ̵ 处，直接写出ﺈܳ的长．
【答案】(1)Ͷ
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(2)①证明：׶四边形ܣﺈๆ坐是矩形，
׵ סൌﺈסๆൌ䁡⸲ι，
由翻折的性质知，סܧൌסﺈ、ﺈܲ
ܲܧൌ，
׵ סܧൌסๆ，
在ᇞܧܨܩ和ᇞๆܨܲ
中，
סܧൌסๆ
ܧܨൌๆܨ
סܧܨܩൌסๆܨܲ
，
׵ᇞܧܨܩ، ᇞๆܨܲ
ASA ，
׵ ܩܨൌܲ
ܨ；
②ﺈܲ
ൌ
ͳ⸳
䁡；
(3)ﺈܳ的长为1 或9
【分析】（1）由矩形的性质可得ܣ坐ൌﺈๆൌ͵、ס坐ൌ䁡⸲ι，利用折叠的性质可得ܣܧൌܣ⸳ൌﺈ，再运用勾
股定理求解即可；
（2）①由矩形的性质、折叠的性质证明ᇞܧܨܩ، ᇞๆܨܲ
ASA ，再利用全等三角形的性质即可证明结论；②
设ﺈܲ
ܲܧൌ
ݔൌ，则ܩܧൌܲ
ๆൌ͵ െݔ，进而得到坐ܩൌ⸳െݔ、ܣܩൌݔ൅ʹ，再在Rt ᇞܣ坐ܩ中，利用勾股
定理列方程求解即可；
（3）分点Q 在线段ܣﺈ上和点Q 在线段ܣﺈ的延长线上两种情况，分别利用矩形的性质、折叠的性质、勾
股定理求解即可．
【详解】（1）解：׶四边形ܣﺈๆ坐是矩形，
׵ ܣ坐ൌﺈๆൌ͵、ס坐ൌ䁡⸲ι，
׶将ᇞܣﺈܲ沿直线ܣܲ
翻折至ᇞܣܧܲ
的位置，
׵ ܣܧൌܣ⸳ൌﺈ，
在Rt ᇞܣ坐ܧ中，坐ܧൌ
ܣܧʹ െܣ坐ʹ ൌ
⸳ʹ െ͵ʹ ൌͶ；
（2）①证明：略；
②解：∵ᇞܧܨܩ، ᇞๆܨܲ,
∴ܩܧൌๆܲ,
设ﺈܲ
ܲܧൌ
ݔൌ，则ܩܧൌܲ
ๆൌ͵ െݔ，
׵ ܩๆൌܩܨ൅ܨๆൌܲ
ܨ൅ܧܨൌܧܲ
ൌݔ，
׵ 坐ܩൌๆ坐െܩๆൌ⸳െݔ、ܣܩൌܣܧെܩܧൌ⸳െ͵ െݔൌݔ൅ʹ，
在Rt ᇞܣ坐ܩ中，ܣܩʹ ൌܣ坐ʹ ൅坐ܩʹ，
׵ ͵ʹ ൅⸳െݔʹ ൌݔ൅ʹ ʹ，解得：ݔൌ
ͳ⸳
䁡，
∴ﺈܲ
ൌ
ͳ⸳
䁡．
（3）解：分两种情况讨论：
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当点Q 在线段ܣﺈ上时，如图所示：
由翻折的性质知，סๆܳൌﺈסๆܳﺈ̵ 、ﺈ̵ ๆൌﺈๆൌ͵、ܳﺈ
ﺈൌ̵ܳ
、סๆﺈ̵ܳ
ൌסൌﺈ䁡⸲ι，
׵ סๆﺈ̵ 坐ൌ䁡⸲ι，
׶四边形ܣﺈๆ坐是矩形，
׵ ๆ坐צܣﺈ，
׵ ס坐ๆܳ
ൌסๆܳﺈ，
׵ ס坐ๆܳ
ൌסๆܳ坐，
׵ܳ
坐ൌๆ坐ൌ⸳，
׵ 坐ﺈ̵ ൌ
ๆ坐ʹ െﺈ̵ ๆʹ ൌ
⸳ʹ െ͵ʹ ൌͶ，
׵ﺈܳ
ﺈൌ̵ܳ
ൌܳ
坐െ坐ﺈ̵ ൌ⸳െͶ ൌͳ；
当点Q 在线段ܣﺈ的延长线上时，如图所示：
由翻折的性质知，ﺈ̵ ๆൌﺈๆൌ͵ 、ﺈܳ
ﺈൌ̵ܳ
、סﺈ̵ ൌסൌﺈ䁡⸲ι，
׵ 坐ﺈ̵ ൌ
ๆ坐ʹ െﺈ̵ ๆʹ ൌ
⸳ʹ െ͵ʹ ൌͶ，
设ﺈܳ
ﺈൌ̵ܳ
ൌݔ，则坐ܳ
ൌݔെͶ、ܣܳ
ൌܳ⸳െݔൌﺈܣെﺈ，
׶ סܣﺈ坐ൌ䁡⸲ι，
׵ ס坐ܣܳ
ൌ䁡⸲ι，
在Rt ᇞܣ坐ܳ
中，ܳ坐ʹ ൌܣ坐ʹ ൅ܣܳ
ʹ，
׵ ͵ʹ ൅ݔെ⸳ʹ ൌݔെͶ ʹ，解得：ݔൌ䁡，即ﺈܳ
ൌ䁡，
综上，ﺈܳ的长为1 或9．