第03讲正方形的性质与判定（知识点+12题型）（暑假预习讲义）（解析版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_暑假预习讲义+测试卷

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第03 讲正方形的性质与判定（知识点+12 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 正方形性质理解
题型2 根据正方形的性质求角度
题型3 根据正方形的性质求线段长
题型4 根据正方形的性质求面积
题型5 正方形折叠问题
题型6 根据正方形的性质证明
题型7 正方形的判定定理理解
题型8 证明四边形是正方形
题型9 根据正方形的性质与判定求角度
题型10 根据正方形的性质与判定求线段长
题型11 根据正方形的性质与判定求面积
题型12 根据正方形的性质与判定证明
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
正方形的定义，正方形
1. 理解正方形的定义，认识正方形的边、内角、对角线，能用符号语言表示
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的边、角、对角线，正
方形的对称性，正方形
的性质，正方形的判定
正方形与平行四边形/
矩形/菱形的关系，正
方形的面积计算
正方形，明确正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形，理清它与平行四边形、
矩形、菱形的从属关系。
2. 掌握正方形的性质定理（四条边相等、四个角都是直角、对角线相等且互
相垂直平分且平分一组对角），了解正方形既是轴对称图形又是中心对称图
形，能运用正方形的性质进行线段长度、角度大小的计算和相关几何证明。
3. 掌握正方形的判定定理（定义法、有一组邻边相等的矩形是正方形、有一
个角是直角的菱形是正方形），能运用判定定理证明一个四边形是正方形，
并能准确区分正方形的性质与判定。
4. 掌握正方形的面积计算公式（边长×边长、对角线乘积的一半），能综合
运用正方形及特殊平行四边形的性质与判定解决实际问题和几何综合题，体
会转化与分类讨论的数学思想。
学习重点：正方形的概念与表示方法、正方形的性质定理、正方形的判定定理、正方形与平行四边形、
矩形、菱形的联系与区别。
学习难点：正方形性质与判定的综合应用，特殊平行四边形之间的相互转化，分类讨论思想在正方形
边长、对角线及折叠问题中的应用。
知｜识｜框｜架
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知｜识｜精｜讲
知识点01 正方形的定义
定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
几何语言：
∵四边形ABCD 是平行四边形，且AB=BC，∠ABC=90°
∴四边形ABCD 是正方形
即时即练下列结论中，正确的有（
）
①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④
正方形有两条对称轴；⑤正方形有4 条对称轴
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】根据正方形，矩形，菱形的性质，逐一判断即可解答．
【详解】∵正方形属于平行四边形，也是特殊的矩形，特殊的菱形，
∴正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，故①②③正确，
∵正方形的对称轴分别为两组对边的中垂线（2 条）和两条对角线所在直线（2 条），共4 条对称轴，∴④
错误，⑤正确，
综上，正确的结论共有4 个．
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【易错提醒】
定义必须同时满足三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角。缺少任何一个都
不能判定为正方形。
知识点02
正方形的性质
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，同时还有以下综合
性质：
性质类别
具体内容
几何语言
对应易错提醒
边的性质
正方形的四条边都相等，对
边平行
∵四边形ABCD 是正方形
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，
AD∥BC
继承了菱形"四条边都相等"和平
行四边形"对边平行"的性质。
角的性质
正方形的四个角都是直角
∵四边形ABCD 是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
继承了矩形"四个角都是直角"的
性质。
对角线性
质1
正方形的两条对角线相等
且互相垂直平分
∵四边形ABCD 是正方形
∴AC=BD，AC⊥BD，
OA=OB=OC=OD
同时具备矩形"对角线相等"和菱
形"对角线互相垂直"的性质，是唯
一对角线既相等又垂直的平行四
边形。
对角线性
质2
正方形的每一条对角线平
分一组对角
∵四边形ABCD 是正方形
∴AC 平分∠BAD 和∠BCDBD
平分∠ABC 和∠ADC
继承了菱形"对角线平分一组对角
"的性质。
对称性
正方形是轴对称图形，有4
条对称轴，分别是两条对角
线所在的直线和过对边中
点的直线；同时也是中心对
称图形，对称中心是两条对
角线的交点
-
对称轴数量是矩形和菱形的总和
（2+2=4），不要误以为只有2 条
对称轴。
即时即练下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的是（
）
A．有一个角是直角
B．对边相等
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，比较正方形和矩形的性质，找出正方形具备而矩形不一定
具备的特征即可．
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【详解】解：正方形同时具有矩形和菱形的所有性质，矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直；而
正方形的对角线不仅相等、互相平分，还互相垂直，因此“对角线互相垂直”是正方形具备而矩形不一定具
备的性质．
故选D．
知识点03
正方形的判定定理
满足以下任意一个条件，即可判定一个四边形是正方形：
判定方法
具体内容
几何语言
对应易错提醒
定义判定
有一组邻边相等，并且有
一个角是直角的平行四
边形是正方形
∵四边形ABCD 是平行四边
形，AB=BC，∠A=90°
∴四边形ABCD 是正方形
最完整的判定方法，包含了正方形的
所有本质特征。
矩形+菱
形判定1
有一组邻边相等的矩形
是正方形
∵四边形ABCD 是矩形，且
AB=BC
∴四边形ABCD 是正方形
先证明是矩形，再证明有一组邻边相
等（即菱形的特征）。
矩形+菱
形判定2
有一个角是直角的菱形
是正方形
∵四边形ABCD 是菱形，且
∠A=90°
∴四边形ABCD 是正方形
先证明是菱形，再证明有一个角是直
角（即矩形的特征）。
对角线判
定1
对角线互相垂直的矩形
是正方形
∵四边形ABCD 是矩形，且
AC⊥BD
∴四边形ABCD 是正方形
矩形的对角线本来就相等，再加上互
相垂直，就具备了菱形的特征。
对角线判
定2
对角线相等的菱形是正
方形
∵四边形ABCD 是菱形，且
AC=BD
∴四边形ABCD 是正方形
菱形的对角线本来就互相垂直，再加
上相等，就具备了矩形的特征。
即时即练如图，已知菱形ܣ孀Ӡ坐的对角线交于点O，E，F 是对角线ܣӠ 所在直线上的两点，且ס孀耀Ӡ ൌ䳌ι，
ܣ耀ൌӠܨ，连接孀耀ǡ耀坐ǡ坐ܨǡ孀ܨ，得四边形孀耀坐ܨ．求证：四边形孀耀坐ܨ是正方形．
【答案】见解析
【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键．根
据菱形的性质，得到ܱ
孀ൌܱ
坐ǡܱܣൌܱ
ӠǡܣӠ ٣ 孀坐，线段的和差得到ܱ
耀ൌܱ
ܨ，进而得到四边形孀耀坐ܨ为菱
形，得到ס孀耀ܨൌס坐耀ܨൌ䳌ι，进而得到ס孀耀坐ൌͻͲι，即可得出结论．
【详解】证明：∵菱形ܣ孀Ӡ坐，
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∴ܱ孀ൌܱ
坐ǡܱܣൌܱ
ӠǡܣӠ ٣ 孀坐，
∵ܣ耀ൌӠܨ，
∴ܱܣ൅ܣ耀ൌܱ
Ӡ ൅Ӡܨ，即ܱ
耀ൌܱ
ܨ，
∴四边形孀耀坐ܨ为平行四边形形，
又耀ܨ٣ 孀坐，
∴四边形孀耀坐ܨ为菱形，
∴ס坐耀ܨൌס孀耀Ӡ ൌ䳌ι，
∴ס孀耀坐ൌͻͲι，
∴四边形孀耀坐ܨ为正方形．
【易错提醒】
"相等且互相垂直平分"已经包含了矩形和菱形的所有对角线特征，所以可以直接判定为正方形。
知识点04
正方形的面积计算
1.通用方法：S=边长×边长（即S=a²）
2.特殊方法：S=
૚
૛×两条对角线的乘积
几何语言：
∵四边形ABCD 是正方形，对角线AC 和BD 相交于点O
∴S 正方形ABCD=AB²=
૚
૛×AC×BD
即时即练如图，正方形ܣ孀Ӡ坐中，ᇞܣ坐耀经顺时针旋转后与ᇞܣ孀ܨ重合．
(1)旋转中心是点，旋转了ι；
(2)如果正方形ܣ孀Ӡ坐的边长为䳌，求四边形ܣܨӠ耀的面积．
【答案】(1)ܣ；ͻͲ
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(2)ʹ䳌
【分析】本题主要考查了正方形旋转．熟练掌握正方形性质，旋转中心定义，旋转角定义，旋转性质，是
解决问题的关键．
（1）由旋转知，旋转中心是点A，旋转角是ס孀ܣ坐ൌͻͲι，
（2）根据ܵᇞܣ坐耀ൌܵ
ᇞܣ孀ܨ，得到ܵ四边形ܣܨӠ耀ൌܵ
正方形ܣ孀Ӡ坐．
【详解】（1）解：∵正方形ܣ孀Ӡ坐中，ס孀ܣ坐ൌͻͲι，ᇞܣ坐耀经顺时针旋转后与ᇞܣ孀ܨ重合，
∴旋转中心是点ܣ，旋转角是ס孀ܣ坐ൌͻͲι，
故答案为：ܣ，ͻͲ
（2）解：∵ᇞܣ坐耀经顺时针旋转后与ᇞܣ孀ܨ重合，
∴ᇞܣ坐耀، ᇞܣ孀ܨ．
∴ܵᇞܣ坐耀ൌܵ
ᇞܣ孀ܨ，
∴ܵ四边形ܣܨӠ耀ൌܵ
ᇞܣ孀ܨ൅ܵ
四边形ܣ孀Ӡ耀ൌܵ
ᇞܣ坐耀൅ܵ
四边形ܣ孀Ӡ耀ൌܵ
正方形ܣ孀Ӡ坐ൌ䳌ʹ ൌʹ䳌．
【易错提醒】
正方形同时适用矩形和菱形的面积公式，这是它独有的特点
不要忘记对角线面积公式中的½，和菱形面积公式完全相同
已知正方形的对角线长度，可以直接用½×对角线²求出面积
题型1 正方形性质理解
【例1】判断下列命题是否正确：
(1)正方形有四条对称轴；
(2)正方形的两条对角线将其分成4 个全等的等腰直角三角形；
(3)对角线互相垂直的矩形是正方形；
(4)对角线相等的菱形是正方形．
【答案】(1)正确
(2)正确
(3)正确
(4)正确
【分析】根据正方形对称轴的定义，正方形对角线的性质，正方形的判定定理，逐一判断每个命题的正误．
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【详解】（1）解：正方形的对称轴包括两条对边中点所在直线，两条对角线所在直线，一共4 条，因此该
命题正确；
（2）解：正方形的对角线相等且互相垂直平分，所得到的4 个三角形都为等腰直角三角形，且四个三角形
全等，因此该命题正确；
（3）解：矩形的性质为四个角都是直角，对角线相等，在此基础上若对角线互相垂直，则满足正方形的判
定要求，因此对角线互相垂直的矩形是正方形，该命题正确；
（4）解：菱形的性质为四条边相等，对角线互相垂直，在此基础上若对角线相等，则满足正方形的判定要
求，因此对角线相等的菱形是正方形，该命题正确．
【技巧归纳】
角：四个角都是直角
边：四条边都相等，对边平行
对角线：相等且互相垂直平分，平分一组对角（与边夹角为45°）
对称性：轴对称（4 条对称轴）+ 中心对称
对角线将正方形分成4 个全等的等腰直角三角形
【变式1-1】正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（
）
A．对边相等
B．对角相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
【答案】C
【详解】解：׶平行四边形的性质为：对边相等，对角相等，对角线互相平分，正方形也是平行四边形，这
些性质正方形都具备，
∴选项A，B，D 都是正方形和平行四边形都具有的性质，不符合题意；
׶正方形的对角线互相垂直相等且平分，而一般平行四边形的对角线仅互相平分，不一定垂直，
∴选项C，是正方形具有，而平行四边形不一定具有的性质，符合题意．
【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，正方形ܣ孀Ӡ坐的边长为3，顶点C 的坐标为െ坐ǡͲ ．若直线ݕൌ݇݇
൅
坐െ݇
与正方形ܣ孀Ӡ坐有公共点，则k 的取值范围为（
）
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A．݇
൑െ坐
B．݇
൑െ坐或݇
൒െ
ʹ
䳌C．െ
ʹ
䳌൑݇
൑
坐
ʹ
D．െ坐൑݇
൑
坐
ʹ
【答案】D
【分析】求解直线ݕൌ݇݇
൅坐െ݇
过点ܭ坐ǡ坐，分情况求解：当直线ݕൌ݇݇
൅坐െ݇
过点坐െ坐ǡ͵ 时，当
直线ݕൌ݇݇
൅坐െ݇
过点Ӡ െ坐ǡͲ 时，再进一步结合图形求解即可.
【详解】解：∵正方形ܣ孀Ӡ坐的边长为3，顶点C 的坐标为െ坐ǡͲ ，
∴孀െǡͲ ，坐െ坐ǡ͵ ，ܣെǡ͵ ，
∵ݕൌ݇݇
൅坐െ݇
ൌ݇݇
െ坐൅坐，
∴直线ݕൌ݇݇
൅坐െ݇
过点ܭ坐ǡ坐，
如图，
当直线ݕൌ݇݇
൅坐െ݇
过点坐െ坐ǡ͵ 时，则͵ ൌെ݇
൅坐െ݇
，
解得݇
ൌെ坐，此时正好有1 个公共点；
当直线ݕൌ݇݇
൅坐െ݇
过点Ӡ െ坐ǡͲ 时，则െ݇
൅坐െ݇
ൌͲ，
解得݇
ൌ
坐
ʹ，此时正好有1 个公共点；
∴若直线ݕൌ݇݇
൅坐െ݇
与正方形ܣ孀Ӡ坐有公共点，则k 的取值范围是െ坐൑݇
൑
坐
ʹ．
题型2 根据正方形的性质求角度
【例2】如图，点耀为正方形ܣ孀Ӡ坐内一点，ܣ坐ൌ耀坐，סܣ耀坐ൌ͹Ͳι，连接耀Ӡ，则ס坐Ӡ耀的度数是（
）
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A．䳌ι
B．䳌䳌ι
C．͸䳌ι
D．͹䳌ι
【答案】C
【分析】先由ܣ坐ൌ耀坐及סܣ耀坐ൌ͹Ͳι求出סܣ坐耀的度数，再利用正方形性质得到Ӡ坐ൌܣ坐ൌ耀坐及
סܣ坐Ӡ ൌͻͲι，进而求出סӠ坐耀，最后在等腰ᇞӠ坐耀中利用内角和定理求解即可．
【详解】解：∵ܣ坐ൌ耀坐，סܣ耀坐ൌ͹Ͳι，
∴ס坐ܣ耀ൌסܣ耀坐ൌ͹Ͳι，
∴סܣ坐耀ൌ坐ൌͲι െ͹Ͳι െ͹Ͳι ൌͲι，
∵四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴ܣ坐ൌӠ坐，סܣ坐Ӡ ൌͻͲι，
∴Ӡ坐ൌ耀坐，סӠ坐耀ൌסܣ坐Ӡ െסܣ坐耀ൌͻͲι െͲι ൌ䳌Ͳι，
∴ס坐Ӡ耀ൌס坐耀Ӡ ൌ
坐ൌͲιെסӠ坐耀
ʹ
ൌ
坐ൌͲιെ䳌Ͳι
ʹ
ൌ͸䳌ι
【技巧归纳】
见对角线直接得45° 角，所有被对角线平分的角都是45°
利用直角互余、对顶角相等、全等三角形对应角相等推导
折叠/ 旋转问题中，对应角相等，角度大小不变
出现等边三角形时，结合60° 角计算特殊角度
【变式2-1】如图，在正方形ܣ孀Ӡ坐中，ܣӠ 与孀坐交于点O，点E 为孀Ӡ 上一点，且Ӡ耀ൌӠܱ，连接ܱ
耀，
则ס孀ܱ耀的度数为__________°．
【答案】22.5
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【分析】由正方形的性质得，ס孀ܱӠ ൌͻͲι，סܣӠ孀ൌ䳌ι，再根据等边对等角得，סӠܱ耀ൌסӠ耀ܱ
ൌ
坐ൌͲιെ䳌ι
ʹ
ൌ
͸͹൥䳌ι，即可求解．
【详解】解：∵四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴ܣӠ ٣ 孀坐，סܣӠ孀ൌ䳌ι．
∴ס孀ܱӠ ൌͻͲι．
∵Ӡ耀ൌӠܱ，
∴סӠܱ耀ൌסӠ耀ܱ
ൌ
坐ൌͲιെ䳌ι
ʹ
ൌ͸͹൥䳌ι．
∴ס孀ܱ耀ൌͻͲι െ͸͹൥䳌ι ൌʹʹ൥䳌ι．
【变式2-2】如图，在正方形ܣ孀Ӡ坐中，点耀，ܨ．分别在边孀Ӡ，Ӡ坐上，连接ܣ耀，ܣܨ，耀ܨ，且ᇞܣ耀ܨ是
等边三角形，则ס坐ܣܨ的度数为______ι．
【答案】坐䳌
【分析】根据正方形的性质得到ܣ孀ൌܣ坐，ס孀ൌס坐ൌס孀ܣ坐ൌͻͲι，根据等边三角形的性质得到ܣ耀ൌܣܨ，
ס耀ܣܨൌ͸Ͳι，利用HL 证明Rt ᇞܣ孀耀،Rt ᇞܣ坐ܨ，得到ס孀ܣ耀ൌס坐ܣܨ，结合角的和差关系计算即可．
【详解】解：∵四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴ܣ孀ൌܣ坐，ס孀ൌס坐ൌס孀ܣ坐ൌͻͲι，
∵ᇞܣ耀ܨ是等边三角形，
∴ܣ耀ൌܣܨ，ס耀ܣܨൌ͸Ͳι，
在ܴ
ݐᇞܣ孀耀和Rt ᇞܣ坐ܨ中，
ܣ孀ൌܣ坐
ܣ耀ൌܣܨ，
∴Rt ᇞܣ孀耀،Rt ᇞܣ坐ܨHL ，
∴ס孀ܣ耀ൌס坐ܣܨ，
∴ס孀ܣ耀ൌס坐ܣܨൌ
ͻͲιെ͸Ͳι
ʹ
ൌ坐䳌ι，
∴ס坐ܣܨ的度数为坐䳌ι．
题型3 根据正方形的性质求线段长
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【例3】如图，在正方形ܣ孀Ӡ坐中，连接孀坐，点ܲ
在孀Ӡ 边上，连接坐ܲ，ס孀坐ܲ
ൌʹʹ൥䳌ι，过点ܲ
作ܲܳ
٣ 孀坐
于点ܳ
，若Ӡܲ
ൌʹ，则ܲܳ
的长为（
）
A．ʹ൥䳌
B．2
C．坐൥䳌
D．1
【答案】B
【分析】根据正方形的性质得到ס孀坐Ӡ ൌ䳌ι、סӠ ൌͻͲι，进而得到坐ܲ
是ס孀坐Ӡ 的平分线，利用角平分线
的性质定理求出ܲܳ
ൌܲ
Ӡ，据此求解即可．
【详解】解：׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴ס孀坐Ӡ ൌ䳌ι、סӠ ൌͻͲι，
׶ ס孀坐ܲ
ൌʹʹ൥䳌ι，
∴סӠ坐ܲ
ൌס孀坐Ӡ െס孀坐ܲ
ൌ䳌ι െʹʹ൥䳌ι ൌʹʹ൥䳌ι，
∴ס孀坐ܲ
ൌסӠ坐ܲ，
∴坐ܲ
是ס孀坐Ӡ 的平分线，
׶ܲܳ
٣ 孀坐，
∴ܲܳ
ൌܲ
Ӡ ൌʹ．
【技巧归纳】
边长与对角线关系：对角线= 边长× ૛
对角线被交点分成的四条线段相等，长度为对角线的一半
所有直角三角形优先用勾股定理，等腰直角三角形边长比为1:1:
૛
折叠问题：设未知数→找直角三角形→列勾股方程求解
【变式3-1】如图，正方形ܣ孀Ӡ坐和正方形孀耀ܨ形并排放在一起，A，B，E 在同一条直线上，ܱ
坐，ܱ
ʹ分别
是两个正方形的中心．已知ܣ孀ൌ͸，孀耀ൌൌ，则ܱ
坐ܱ
ʹ的长为（
）
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A．7
B．䳌ʹ
C．
坐䳌
ʹ
D．ʹ 坐͵
【答案】B
【分析】连接孀坐和孀ܨ，证明סܱ
坐孀ܱ
ʹ ൌͻͲι，分别求得ܱ
坐孀ൌ
坐
ʹ 孀坐ൌ͵ ʹ，ܱ
ʹ孀ൌ
坐
ʹ 孀ܨൌʹ，再利用勾
股定理求解即可．
【详解】解：连接孀坐和孀ܨ，
∵正方形ܣ孀Ӡ坐和正方形孀耀ܨ形，ܱ
坐，ܱ
ʹ分别是两个正方形的中心，
∴ܱ
坐，ܱ
ʹ分别在孀坐和孀ܨ上，ס坐孀Ӡ ൌ䳌ι，ס形孀ܨൌ䳌ι，
∴סܱ
坐孀ܱ
ʹ ൌͻͲι，
∵ܣ孀ൌ͸，孀耀ൌൌ，
∴孀坐ൌ
ʹܣ孀ൌ͸ ʹ，孀ܨൌ
ʹ孀耀ൌൌʹ，
∴ܱ
坐孀ൌ
坐
ʹ 孀坐ൌ͵ ʹ，ܱ
ʹ孀ൌ
坐
ʹ 孀ܨൌʹ，
∴ܱ
坐ܱ
ʹ ൌ
͵ ʹ
ʹ ൅ʹ
ʹ ൌ䳌ʹ．
【变式3-2】．如图，在正方形ܣ孀Ӡ坐中，点耀在ܣ孀边上，连接Ӡ耀，过点坐作坐ܨ٣ Ӡ耀于点ܨ，过点孀
作孀形٣ Ӡ耀于点形，若孀形ൌ͵ǡ坐ܨൌൌ，则ܨ形的长为（
）
A．4
B．5
C．7
D．11
【答案】B
【分析】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，由正方形的性质得坐Ӡ ൌ孀Ӡ 再证明
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סӠ坐ܨൌס孀Ӡ形，根据AAS 证明ᇞӠ坐ܨ، ᇞ孀Ӡ形，得Ӡܨൌ孀形ൌ͵，Ӡ形ൌ坐ܨൌൌ，从而可求出ܨ形．
【详解】解：∵四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴坐Ӡ ൌ孀Ӡ，ס坐Ӡ孀ൌͻͲι，
∴ס坐Ӡܨ൅ס孀Ӡ形ൌͻͲι，
∵坐ܨ٣ Ӡ耀，孀形٣ Ӡ耀，
∴ס坐ܨӠ ൌͻͲιǡסӠ形孀ൌͻͲι，
∴ס坐ܨӠ ൌסӠ形孀ǡסӠ坐ܨ൅ס坐ӠܨൌͻͲι，
∴סӠ坐ܨൌס孀Ӡ形，
∴ᇞӠ坐ܨ، ᇞ孀Ӡ形AAS ，
∴Ӡܨൌ孀形ൌ͵，Ӡ形ൌ坐ܨൌൌ，
∴ܨ形ൌӠ形െӠܨൌൌെ͵ ൌ䳌，
故选：B．
题型4 根据正方形的性质求面积
【例4】如图，正方形ܱ
‴〴ܲ
的顶点ܱ
与正方形ܣ孀Ӡ坐的对角线交点ܱ
重合，正方形ܣ孀Ӡ坐和正方形ܱ
‴〴ܲ
的边长都是ʹ，则图中重叠部分的面积是（
）
A．1
B．2
C．͵
D．
【答案】A
【分析】证明重叠部分的面积恒等于正方形ܣ孀Ӡ坐面积的
坐
，通过证明ᇞܣܱ形؆ᇞ坐ܱܨ，将重叠部分（四边
形ܱ
形坐ܨ）的面积转化为ᇞܣܱ坐的面积求解.
【详解】解：设ܱܲ
交ܣ坐于点形，ܱ‴ 交Ӡ坐于点ܨ，
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׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，边长ʹ，
∴ܱ
ܣൌܱ
坐，סܣܱ坐ൌͻͲל，סܱܣ形ൌסܱ坐ܨൌ䳌ל，ܵᇞܣܱ坐ൌ
坐
ܵ
正方形ܣ孀Ӡ坐ൌ
坐
ൈʹʹ ൌ坐，
׶四边形ܱ
‴〴ܲ
是正方形，
∴סܱܲ
‴ ൌͻͲל，
∴סܣܱ形൅ס形ܱ坐ൌͻͲל，ס坐ܱܨ൅ס形ܱ坐ൌͻͲל，
∴סܣܱ形ൌס坐ܱܨ，
在ᇞܣܱ形和ᇞ坐ܱܨ中，
׶ ሼ
סܱܣ形ൌסܱ坐ܨܱ
ܣൌܱ
坐
סܣܱ形ൌס坐ܱܨ
∴ᇞܣܱ形؆ᇞ坐ܱܨሺASAሻ，
∴ܵ
ᇞ坐ܱܨൌܵ
ᇞܣܱ形，
∴ܵ
四边形ܱ
形坐ܨൌܵ
ᇞ坐ܱ形൅ܵ
ᇞ坐ܱܨൌܵ
ᇞ坐ܱ形൅ܵ
ᇞܣܱ形ൌܵ
ᇞܣܱ坐ൌ坐，
∴图中重叠部分的面积是1 .
【技巧归纳】
公式1：S=边长²（最常用）
公式2：S=
坐
ʹ݀
ʹ（d 为对角线，菱形面积公式通用）
对角线分成的4 个等腰直角三角形，每个面积为
坐
ܵ
阴影面积常用割补法、等积变换法、总面积减空白法
【变式4-1】如图，
ܣ孀Ӡ坐由五个部分组成：两个面积都是݉
的等腰直角三角形，两个面积都是݊
的直角
三角形，一个面积为ݍ的正方形，则四边形ܣ孀Ӡ坐的面积一定可以表示为（
）
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A．͵݉
൅݊
B．݊൅ݍ
C．݉
D．݊
【答案】C
【分析】依题意设ܣ形ൌ孀形ൌӠ耀ൌ坐耀ൌܽ
，耀ܨൌܨ形ൌ形ܿൌܨܩൌܩ，表示出ܵᇞܣ坐ܨ，根据ܵᇞܣ孀形，以及ܵ
ܣ孀Ӡ坐ൌʹ݉
൅ʹ݊
൅ݍ，进而求解．
【详解】解：如图所示：
依题意得：ᇞܣ孀形和ᇞӠ坐耀是等腰直角三角形，且面积为݉
，四边形耀ܨ形ܩ是正方形，
∴设ܣ形ൌ孀形ൌӠ耀ൌ坐耀ൌܽ
，耀ܨൌܨ形ൌ形ܩൌܩ耀ൌܿ，
∴ܣܨൌܣ形െܨ形ൌܽ
െܿ，坐ܨൌ坐耀൅耀ܨൌܽ
൅ܿ，
∴ܵᇞܣ坐ܨൌ
坐
ʹ ܣܨ൉坐ܨൌ
坐
ʹܽ
െܿܽ
൅ܿ
ൌ
坐
ʹܽ
ʹ െ
坐
ʹܿ
ʹ，
∴݊
ൌ
坐
ʹܽ
ʹ െ
坐
ʹܿ
ʹ，
又∵ܵᇞܣ孀形ൌ
坐
ʹܽ
ʹ ൌ݉
，ܵ正方形耀ܨ形ܩൌܿ
ʹ ൌݍ，
∴݊
ൌ݉
െ
坐
ʹ ݍ，
∴ݍൌʹ݉
െʹ݊，
∴ܵ
ܣ孀Ӡ坐ൌʹ݉
൅ʹ݊
൅ݍൌʹ݉
൅ʹ݊
൅ʹ݉
െʹ݊
ൌ݉
，
∴平行四边形ܣ孀Ӡ坐的面积一定可以表示为݉
．
【变式4-2】如图，正方形ܣ孀Ӡ坐和正方形耀ܨ形ܩ的对称中心都是点ܱ
，其边长分别是4 和3，则图中阴影
部分的面积是____________．
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【答案】
͹

【分析】本题考查的是中心对称，正方形的性质，连接ܣܨ，孀形，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等
于正方形面积差的四分之一．
【详解】解：连接ܣܨ，孀形，
∵正方形ܣ孀Ӡ坐和正方形耀ܨ形ܩ的对称中心都是点O，其边长分别是4 和3，
∴正方形的面积分别为坐͸ 和ͻ，
∴图中阴影部分的面积ൌ
坐
ൈ坐͸ െͻ ൌ
͹
．
题型5 正方形折叠问题
【例5】如图，正方形ܣ孀Ӡ坐的边长为ܽ
，将正方形折叠，使顶点Ӡ 落在ܣ孀边上的点形处，折痕为耀ܨ．若
ܣ形ǣ形孀ൌʹǣ坐，则线段孀ܨ的长为（
）
A．
坐
ʹܽ
B．
坐
͵ܽ
C．

ͻܽ
D．
͵
ൌܽ
【答案】C
【分析】本题主要考查翻折变换——折叠问题，正方形的性质，勾股定理．由折叠的性质以及正方形的性
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质可得ܨ形ൌӠܨ，孀形ൌ
坐
͵ܽ，设孀ܨൌ݇
，则ܨ形ൌӠܨൌܽ
െ݇，在Rt ᇞ孀ܨ形中，利用勾股定理可得݇
ൌ

ͻܽ，
即可求解．
【详解】解：由折叠的性质得：ܨ形ൌӠܨ，
∵正方形ܣ孀Ӡ坐的边长为ܽ
，
∴ܣ孀ൌ孀Ӡ ൌܽ
，ס孀ൌͻͲι，
∵ܣ形ǣ形孀ൌʹǣ坐，
∴孀形ൌ
坐
͵ܽ，
设孀ܨൌ݇
，则ܨ形ൌӠܨൌܽ
െ݇，
在Rt ᇞ孀ܨ形中，孀ܨʹ ൅孀形ʹ ൌܨ形ʹ，
∴݇ʹ ൅
坐
͵ܽ
ʹ
ൌܽ
െ݇
ʹ，
解得：݇
ൌ

ͻܽ，
即孀ܨൌ

ͻܽ．
故选：C．
【技巧归纳】
折叠本质：对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线
正方形折叠后极易出现等腰直角三角形，直接用45° 角性质
通用步骤：标相等线段→设未知数→将已知未知边集中到一个直角三角形→勾股求解
常见结论：折叠后重叠部分必为等腰三角形
【变式5-1】如图，正方形ܣ孀Ӡ坐中，ܣ孀ൌ͸，点耀在边Ӡ坐上，且Ӡ坐ൌ͵坐耀．将ᇞܣ坐耀沿ܣ耀对折至ᇞܣܨ耀，
延长耀ܨ交边孀Ӡ 于点形，连接ܣ形､Ӡܨ．下列结论：①ᇞܣ孀形، ᇞܣܨ形；②孀形ൌ形Ӡ；③ܣ形צ Ӡܨ；
④ܵᇞܨ形Ӡ ൌ͵．其中正确结论的个数是（
）
A．①②④
B．①②③
C．④③②
D．①③④
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【答案】B
【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt ᇞܣ孀形،Rt ᇞܣܨ形；根据勾股定理可知孀形ൌ形Ӡ；通
过等腰三角形中角度关系可知סܣ形孀ൌסܣ形ܨൌס形ܨӠ ൌס形Ӡܨ，即可证明；通过等高的三角形底边之比即
可计算面积求解．
【详解】解：根据折叠可知ܣ坐ൌܣܨǡס坐ൌסܣܨ坐ൌͻͲι，
∴ܣ孀ൌܣ坐ൌܣܨ，
在Rt ᇞܣ孀形和Rt ᇞܣܨ形中，
ܣ孀ൌܣܨ
ܣ形ൌܣ形，
∴Rt ᇞܣ孀形،Rt ᇞܣܨ形HL ，
∴①正确；
׶ܣ孀ൌ͸，Ӡ坐ൌ͵坐耀，
∴耀ܨൌ坐耀ൌ
坐
͵ Ӡ坐ൌʹ，Ӡ耀ൌ
ʹ
͵ Ӡ坐ൌ，
设孀形ൌܨ形ൌ݇
ǡӠ形ൌ͸ െ݇，
根据勾股定理可得，͸ െ݇
ʹ ൅ʹ ൌ݇
൅ʹ ʹ，
解得：݇
ൌ͵，
∴孀形ൌ͵ ൌ͸ െ͵ ൌ形Ӡ，
∴②正确；
׶Ӡ形ൌ孀形ǡ孀形ൌ形ܨ，
∴Ӡ形ൌ形ܨ，
∴ᇞܨ形Ӡ 是等腰三角形，
∴ס形ܨӠ ൌס形Ӡܨ，
׶Rt ᇞܣ孀形،Rt ᇞܣܨ形，
∴סܣ形孀ൌסܣ形ܨ，
∴סܣ形孀൅סܣ形ܨൌʹסܣ形孀ൌ坐ൌͲι െסܨ形Ӡ ൌס形ܨӠ ൅ס形Ӡܨൌʹס形ܨӠ ൌʹס形Ӡܨ，
∴סܣ形孀ൌסܣ形ܨൌס形ܨӠ ൌס形Ӡܨ，
∴ܣ形צ Ӡܨ，
∴③正确；
׶ܵᇞ形Ӡ耀ൌ
坐
ʹ 形Ӡ ڄ Ӡ耀ൌ
坐
ʹ ൈ͵ ൈൌ͸，且形ܨൌ͵，耀ܨൌʹ，ᇞ形ܨӠ 和ᇞܨӠ耀等高，
∴ܵᇞ形ܨӠǣܵᇞܨӠ耀ൌ͵ǣʹ，
∴ܵᇞܨ形Ӡ ൌ
͵
䳌ൈ͸ ൌ
坐ൌ
䳌്
͵，
∴④错误，
∴①②③正确．
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【变式5-2】如图，在正方形ܣ孀Ӡ坐中，ܣ孀ൌ坐ʹ，耀是Ӡ坐上一点，且坐耀ൌ͵，ܨ是ܣ坐上一动点，连接耀ܨ，
若将ᇞ坐耀ܨ沿耀ܨ翻折后，点坐落在点坐̵ 处，则坐̵ 到点孀的最短距离为________．
【答案】坐ʹ
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、圆外一点到圆上的最短距离；由翻折的性质可知：点ܨ在ܣ坐
上运动的过程中，点坐̵ 的轨迹是一段圆弧，由此可以求出孀坐̵ 的最小值；
【详解】解：如图，连接孀耀，以耀为圆心，坐耀的长为半径画弧；
׶ 在正方形ܣ孀Ӡ坐中，Ӡ坐ൌܣ孀ൌ坐ʹ，
∴Ӡ耀ൌӠ坐െ坐耀ൌͻ，
在Rt ᇞ孀Ӡ耀中，孀耀ൌ
孀Ӡʹ ൅Ӡ耀ʹ ൌ坐䳌，
由翻折的性质可知：
点ܨ在ܣ坐上运动的过程中，耀坐̵ ൌ耀坐ൌ͵，
∴点坐̵ 的轨迹是以耀为圆心，半径为͵ 的一段弧；
∴当孀、坐̵ 、耀三点共线时，孀坐̵ 有最小值，
此时孀坐̵ min ൌ孀耀െ耀坐̵ ൌ坐䳌െ͵ ൌ坐ʹ，
故答案为：坐ʹ．
题型6 根据正方形的性质证明
【例6】如图，在正方形ܣ孀Ӡ坐中，点耀为边ܣ坐上一点，连接孀耀，将ᇞܣ孀耀沿孀耀翻折，得到ᇞܣ̵ 孀耀，
连接ܣ̵ Ӡ，ܣ̵ 坐，若סܣ̵ Ӡ坐ൌʹͲι，则ס耀孀ܣ̵ 的度数为（
）
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A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【答案】B
【分析】由正方形和翻折的性质可知ܣ孀ൌ孀Ӡ，ס孀Ӡ坐ൌסܣ孀Ӡ ൌͻͲι ܣ孀ൌܣ̵ 孀，סܣ孀耀ൌס耀孀ܣ̵ ，可解得
סܣ̵ Ӡ孀ൌ͹Ͳι，而ܣ孀ൌܣ̵ 孀ൌ孀Ӡ，解得סܣ̵ 孀ܣൌ䳌Ͳι，即可求出ס耀孀ܣ̵ 的度数．
【详解】解：׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴ܣ孀ൌ孀Ӡ，ס孀Ӡ坐ൌסܣ孀Ӡ ൌͻͲι，
׶סܣ̵ Ӡ坐ൌʹͲι，
∴סܣ̵ Ӡ孀ൌͻͲι െʹͲι ൌ͹Ͳι，
由翻折的性质得，ܣ孀ൌܣ̵ 孀，סܣ孀耀ൌס耀孀ܣ̵ ，
∴ܣ̵ 孀ൌ孀Ӡ，
∴סܣ̵ Ӡ孀ൌסӠܣ̵ 孀ൌ͹Ͳι，
∴סܣ̵ 孀Ӡ ൌ坐ൌͲι െסܣ̵ Ӡ孀െסӠܣ̵ 孀ൌͲι，
∴סܣ̵ 孀ܣൌͻͲι െסܣ̵ 孀Ӡ ൌ䳌Ͳι，
ס耀孀ܣ̵ ൌ
坐
ʹ סܣ̵ 孀ܣൌʹ䳌ι．
【技巧归纳】
证线段/ 角相等：优先找全等三角形（正方形四边相等、四角直角是天然全等条件）
证垂直：用直角性质或全等三角形对应角相等推导
证线段和差：常用截长补短法
常用辅助线：连接对角线、过顶点作垂线
【变式6-1】如图，在正方形ܣ孀Ӡ坐中，点耀在边孀Ӡ 上，连接坐耀交ܣӠ 于点ܲ
，连接孀ܲ．
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(1)求证：ᇞܲ
坐Ӡ، ᇞܲ
孀Ӡ
(2)若坐耀ൌ坐Ͳ，耀孀ൌʹ，求ܣ孀的长．
【答案】(1)证明：׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴Ӡ坐ൌ孀Ӡ，ס坐Ӡܣൌס孀Ӡܣ，
׶ Ӡܲ
ൌӠܲ，
∴ᇞܲ
坐Ӡ، ᇞܲ
孀Ӡ SAS ．
(2)8
【分析】（1）先根据正方形性质得到边和角的相等关系，找到ᇞܲ
坐Ӡ 和ᇞܲ
孀Ӡ 的对应相等的边与角，再用
全等三角形判定定理证明全等。
（2）先由正方形性质得到ס坐Ӡ耀ൌͻͲι，设ܣ孀的长为未知数，用ܣ孀表示出耀Ӡ 的长度，再结合坐耀的长
度，用勾股定理列方程求解．
【详解】（1）略
（2）׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴Ӡ坐ൌ孀Ӡ ൌܣ孀，ס坐Ӡ孀ൌͻͲι，
׶ 耀孀ൌʹ，坐耀ൌ坐Ͳ，
设Ӡ坐ൌ孀Ӡ ൌ݇
，则Ӡ耀ൌ݇
െʹ，
׶在Rt ᇞӠ坐耀中，Ӡ坐ʹ ൅Ӡ耀ʹ ൌ坐耀ʹ，
∴݇
ʹ ൅݇
െʹ ʹ ൌ坐Ͳʹ，݇
坐ൌൌ，݇ʹ ൌെ͸（舍去）
∴ܣ孀ൌӠ坐ൌൌ．
【变式6-2】如图，在正方形ܣ孀Ӡ坐中，点E 为孀Ӡ 边上一点，连接ܣ耀，过点D 作坐ܨ٣ ܣ耀于点F，连接
Ӡܨ，过点C 作Ӡ形٣ 坐ܨ于点G．
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(1)求证：坐ܨൌӠ形；
(2)若正方形ܣ孀Ӡ坐的边长为6，孀耀ൌʹ，求Ӡ形的长．
【答案】(1)见详解
(2)Ӡ形ൌ
ͻ 坐Ͳ
䳌
【分析】（1）由题意易得ܣ坐ൌ坐Ӡǡסܣ坐Ӡ ൌͻͲι，סܣܨ坐ൌס坐形Ӡ ൌͻͲι，然后可得ס坐ܣܨൌסӠ坐形，则有
ᇞܣܨ坐، ᇞ坐形Ӡ AAS ，进而问题可求证；
（2）过点孀作孀ܩ٣ ܣ耀，由题意易得ᇞܣ孀ܩ، ᇞ坐ܣܨAAS ，则有ܣൌܩ坐ܨ，然后可得Ӡ形ൌܣܩ，进而根
据勾股定理可进行求解．
【详解】（1）证明：׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴ܣ坐ൌ坐Ӡǡסܣ坐Ӡ ൌͻͲι，
׶坐ܨ٣ ܣ耀，Ӡ形٣ 坐ܨ，
∴סܣܨ坐ൌס坐形Ӡ ൌͻͲι，
∴סܣ坐ܨ൅סӠ坐形ൌסܣ坐ܨ൅ס坐ܣܨൌͻͲι，
∴ס坐ܣܨൌסӠ坐形，
∴ᇞܣܨ坐، ᇞ坐形Ӡ AAS ，
∴坐ܨൌӠ形；
（2）解：过点孀作孀ܩ٣ ܣ耀，如图所示：
׶四边形ܣ孀Ӡ坐是边长为6 的正方形，
∴ܣ孀ൌ坐ܣൌ͸ǡס孀ܣ坐ൌͻͲι，
׶坐ܨ٣ ܣ耀，
∴סܣܨ坐ൌס孀Ͳͻൌܣܩι，
∴ס孀ܣ൅ܩס坐ܣܨൌסܣ坐ܨ൅ס坐ܣܨൌͻͲι，
∴ס孀ܣൌܩסܣ坐ܨ，
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∴ᇞܣ孀ܩ، ᇞ坐ܣܨAAS ，
∴ܣൌܩ坐ܨ，
׶坐ܨൌӠ形，
∴Ӡ形ൌܣܩ，
在Rt ᇞܣ孀耀中，由勾股定理得：ܣ耀ൌ
ܣ孀ʹ ൅孀耀ʹ ൌʹ 坐Ͳ，
׶ܵᇞܣ孀耀ൌ
坐
ʹ ܣ孀ڄ 孀耀ൌ
坐
ʹ ܣ耀ڄ 孀ܩ，
∴孀ൌܩ
ܣ孀ڄ孀耀
ܣ耀
ൌ
坐ʹ
ʹ 坐Ͳ ൌ
͵ 坐Ͳ
䳌，
∴ܣൌܩܣ孀ʹ െ孀ܩʹ ൌ
ͻ 坐Ͳ
䳌
ൌӠ形．
题型7 正方形的判定定理理解
【例7】在学习四边形时，我们经历了由一般到特殊的学习过程，某同学受老师指导绘制了关系图，箭头处
应添加的条件填写错误的是（
）
A．①处应添加对角相等
B．②处应添加对角线互相垂直
C．③处应添加有一组邻边相等
D．④处应添加有一个角是直角
【答案】A
【分析】矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；菱形
的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；正方形的判定
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形．
【详解】解：A、“对角相等”是平行四边形的固有性质，不能作为判定它是矩形的条件，故A 箭头处应添加
的条件填写错误，符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B 箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意；
C、有一组邻边相等的矩形是正方形，故C 箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，故D 箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意．
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【技巧归纳】
平行四边形+ 一组邻边相等+ 一个角是直角
矩形+ 一组邻边相等或对角线互相垂直
菱形+ 一个角是直角或对角线相等
易错点：对角线相等且垂直的四边形≠正方形，必须先证是平行四边形
【变式7-1】如图，在ᇞܣ孀Ӡ 中，ܣ坐是孀Ӡ 边上的中线，E 是ܣ坐的中点，过点A 作孀Ӡ 的平行线交孀耀的
延长线于点F，连接Ӡܨ和坐ܨ． 
(1)求证：四边形ܣ孀坐ܨ是平行四边形；
(2)若ܣ孀٣ ܣӠ，试判断四边形ܣ坐Ӡܨ的形状，并证明你的结论；
(3)ᇞܣ孀Ӡ 是什么三角形时，四边形ܣ坐Ӡܨ是正方形，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形ܣ坐Ӡܨ是菱形，见解析
(3)当ᇞܣ孀Ӡ 是以孀Ӡ 为斜边的等腰直角三角形时，四边形ܣ坐Ӡܨ是正方形，见解析
【分析】（1）证明ᇞܣ耀ܨ和ᇞ坐耀孀全等，得到ܣܨൌ孀坐，再结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形完成证明；
（2）由（1）得ܣܨൌ坐孀，可得Ӡ坐ൌܣܨ，四边形ܣ坐Ӡܨ是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线等于
斜边的一半，可得ܣ坐ൌӠ坐，即可求解；
（3）由（2）得，当ס孀ܣӠ ൌͻͲι时，四边形ܣ坐Ӡܨ是菱形，由等腰三角形的性质，结合正方形的判定定理，
即可求解．
【详解】（1）证明：׶ ܣܨצ 孀Ӡ，
 
∴ס坐ൌסʹ， 
׶E 是ܣ坐的中点， 
∴ܣ耀ൌ坐耀，
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在ᇞܣ耀ܨ和ᇞ坐耀孀中，
ס坐ൌסʹ
ס͵ ൌס
ܣ耀ൌ坐耀
 ，
∴ᇞܣ耀ܨ، ᇞ坐耀孀AAS ，
∴ܣܨൌ坐孀，
又׶ ܣܨצ 坐孀， 
∴四边形ܣ孀坐ܨ是平行四边形．
（2）解：四边形ܣ坐Ӡܨ是菱形，
证明：׶在ᇞܣ孀Ӡ 中，ܣ坐是孀Ӡ 边上的中线，
∴Ӡ坐ൌ孀坐ൌܣܨ，
又׶ ܣܨצ Ӡ坐，
∴四边形ܣ坐Ӡܨ是平行四边形， 
׶ ܣ坐是孀Ӡ 边上的中线，ܣ孀٣ ܣӠ᩹，
∴ܣ坐ൌӠ坐，
∴四边形ܣ坐Ӡܨ是菱形．
（3）解：当ᇞܣ孀Ӡ 是以孀Ӡ 为斜边的等腰直角三角形时，四边形ܣ坐Ӡܨ是正方形，
理由：
当ᇞܣ孀Ӡ 是以孀Ӡ 为斜边的等腰直角三角形时，ܣ孀ൌܣӠ，ס孀ܣӠ ൌͻͲι，
由（2）得，四边形ܣ坐Ӡܨ是菱形， 
׶ Ӡ坐ൌ孀坐，ܣ孀ൌܣӠ，
∴ܣ坐٣ 孀Ӡ，
∴四边形ܣ坐Ӡܨ是正方形， 
∴当ᇞܣ孀Ӡ 是以孀Ӡ 为斜边的等腰直角三角形时，四边形ܣ坐Ӡܨ是正方形．
【变式7-2】如图，正方形ܣ孀Ӡ坐中，点耀在对角线ܣӠ 上．
(1)求作正方形耀ܨ形ܩ，使得坐为正方形耀ܨ形ܩ的中心；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的作图条件下，求证：ܣ耀ʹ ൅耀Ӡʹ ൌʹ耀坐ʹ．
【答案】(1)如图，正方形耀ܨ形ܩ即为所求；
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(2)
证明：连接Ӡܨ，
∵四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴ܣ坐ൌӠ坐，סܣ坐Ӡ ൌͻͲι，ס坐ܣ耀ൌס坐Ӡܣൌ䳌ι
∵四边形耀ܨ形ܩ是正方形，耀形和ܨܩ相交于点坐
∴耀坐ൌܨ坐，ס耀坐ܨൌͻͲι，
∴סܣ坐Ӡ െס耀坐Ӡ ൌס耀坐ܨെס耀坐Ӡ，即סܣ坐耀ൌסӠ坐ܨ
∴ᇞܣ坐耀، ᇞӠ坐ܨSAS
∴ܣ耀ൌӠܨ，ס坐Ӡܨൌס坐ܣ耀ൌ䳌ι，
∴סܣӠܨൌס坐Ӡܣ൅ס坐ӠܨൌͻͲι，
∴在Rt ᇞӠ耀ܨ中，由勾股定理得Ӡܨʹ ൅耀Ӡʹ ൌ耀ܨʹ
又∵在Rt ᇞ耀坐ܨ中，由勾股定理得耀ܨʹ ൌ坐耀ʹ ൅坐ܨʹ ൌʹ坐耀ʹ
∴ܣ耀ʹ ൅耀Ӡʹ ൌʹ耀坐ʹ．
【分析】（1）作坐形ൌ耀坐，交耀坐延长线于点G，然后尺规作出耀形的垂直平分线，然后截取坐ൌܩ坐ܨൌ坐耀
即可；
（2）根据题意证明出ᇞܣ坐耀، ᇞӠ坐ܨSAS ，得到ܣ耀ൌӠܨ，ס坐Ӡܨൌס坐ܣ耀ൌ䳌ι，然后利用勾股定理求
解即可．
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题型8 证明四边形是正方形
【例8】如图，Rt ᇞܣ孀Ӡ 两条外角平分线交于点坐，ס孀ൌͻͲι，过点坐作坐耀٣ 孀ܣ于点耀ǡ坐ܨ٣ 孀Ӡ 于点ܨ．求
证：四边形孀ܨ坐耀是正方形．
【答案】见解析
【分析】先根据题意证明四边形孀ܨ坐耀是矩形，再利用角平分线得到ס耀ܣ坐ൌס形ܣ坐ǡס形Ӡ坐ൌסܨӠ坐，证明
ᇞܣ耀坐، ᇞܣ形坐和ᇞ坐形Ӡ، ᇞ坐ܨӠ，从而得到矩形的邻边相等，证出答案．
【详解】证明：如图所示，过点坐作坐形٣ ܣӠ，垂足为点形，
，
∴סӠ形坐ൌסܣ形坐ൌͻͲι，
∵ס孀ൌͻͲι，坐耀٣ 孀ܣ，坐ܨ٣ 孀Ӡ，
∴ס耀ൌסܨൌͻͲι
∴四边形孀ܨ坐耀是矩形，ס耀坐ܨൌͻͲι，
∵Rt ᇞܣ孀Ӡ 两条外角平分线交于点坐，
∴ס耀ܣ坐ൌס形ܣ坐ǡס形Ӡ坐ൌסܨӠ坐，
在ᇞܣ耀坐和ᇞܣ形坐中，
ס耀ൌסܣ形坐
ס耀ܣ坐ൌס形ܣ坐
ܣ坐ൌܣ坐
，
∴ᇞܣ耀坐، ᇞܣ形坐AAS ，坐耀ൌ坐形，
在ᇞ坐形Ӡ 和ᇞ坐ܨӠ 中，
סӠ形坐ൌסܨ
ס形Ӡ坐ൌסܨӠ坐
Ӡ坐ൌӠ坐
,
∴ᇞ坐形Ӡ، ᇞ坐ܨӠ AAS ǡ坐形ൌ坐ܨ，
∴坐耀ൌ坐ܨ，
又∵四边形孀ܨ坐耀是矩形，
∴四边形孀ܨ坐耀是正方形．
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【技巧归纳】
已知有直角：先证矩形→再证一组邻边相等/ 对角线垂直
已知边相等：先证菱形→再证一个角是直角/ 对角线相等
已知对角线：先证对角线互相平分→再证相等且垂直
最简路径：根据已知条件选最少步骤的判定方法
【变式8-1】如图，在菱形ܣ孀Ӡ坐中，对角线ܣӠǡ孀坐相交于点ܱ
，点耀ǡܨ均在对角线孀坐上，且孀耀ൌ坐ܨǡܣӠ ൌ耀ܨ，
连接ܣ耀ǡӠ耀ǡӠܨǡܣܨ．
(1)求证：四边形ܣ耀Ӡܨ是正方形．
(2)若ܣ耀ൌʹ ʹǡܱ孀ൌ͵，求孀Ӡ 的长．
【答案】(1)证明：∵四边形ܣ孀Ӡ坐是菱形，ܱ
ܣൌܱ
Ӡ，ܱ孀ൌܱ
坐，ܣӠ ٣ 孀坐．
׶ 孀耀ൌ坐ܨ，
∴ܱ
孀െ孀耀ൌܱ
坐െ坐ܨ，即ܱ
耀ൌܱ
ܨ．
∴四边形ܣ耀Ӡܨ是平行四边形．
又∵ܣӠ ٣ 孀坐，
∴四边形ܣ耀Ӡܨ是菱形．
又∵ܣӠ ൌ耀ܨ，
∴四边形ܣ耀Ӡܨ是正方形；
(2) 坐͵．
【分析】（1）利用菱形的性质得出ܣܱ
ൌӠܱ，孀ܱ
ൌ坐ܱ，ܣӠ ٣ 耀ܨ，再利用孀耀ൌ坐ܨ，得出耀ܱ
ൌܨܱ，得
出四边形ܣ耀Ӡܨ是平行四边形，再由ܣӠ ൌ耀ܨ，ܣӠ ٣ 孀坐，即可得证；
（2）根据正方形的性质得到耀Ӡ ൌܣ耀ൌʹ ʹ，ܱ耀ൌܱ
Ӡ，ס耀ܱӠ ൌͻͲι，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）略；
（2）解：∵四边形ܣ耀Ӡܨ是正方形，
∴耀Ӡ ൌܣ耀ൌʹ ʹ，ܱ耀ൌܱ
Ӡ，ס耀ܱӠ ൌͻͲι，
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∴ܱ耀ʹ ൅ܱ
Ӡʹ ൌ耀Ӡʹ，
解得：ܱ耀ൌܱ
Ӡ ൌʹ（负值舍去），
∵ܱ孀ൌ͵，
∴孀Ӡ ൌ
ʹʹ ൅͵ʹ ൌ
坐͵．
【变式8-2】如图，平面直角坐标系ܱ݇
ݕ中，点A、B 分别在x 轴、y 轴上，连接ܣ孀，ᇞܣܱ孀的两条外角
平分线孀ܲ、ܣܲ
交于第一象限的点P，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为C、D．
(1)求证：四边形ܱ
Ӡܲ坐是正方形；
(2)若ܱ
ܣൌ͵，ܣ孀െܣӠ ൌʹ，求点B 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)孀Ͳǡ
【分析】
（1）先证明四边形ܱ
Ӡܲ坐是矩形，过点ܲ
作ܲ
耀٣ ܣ孀，根据角平分线的性质定理得到ܲ
坐ൌܲ
耀ൌܲ
Ӡ，
即可得证；
（2）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的定义求出ס孀ܲܣൌ䳌ι，将ᇞܲ
坐孀绕点ܲ
旋转ͻͲι，
得到ᇞܲ
Ӡܨ，证明ᇞܲ
孀ܣ، ᇞܲ
ܨܣ，得到ܣ孀ൌܣܨൌܣӠ ൅Ӡܨ，可知孀坐ൌӠܨൌʹ，设ܱ
孀ൌ݉
，正方形ܱ
Ӡܲ坐
的边长为ܽ
，则ܱ
坐ൌܱ
Ӡ ൌܽ
，点孀坐标为ሺͲǡ݉
ሻ，根据勾股定理求出݉
的值即可．
【详解】（1）证明：׶过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为C、D，
∴סܲ坐ܱ
ൌסܲӠܱ
ൌͻͲι ൌסӠܱ坐，
∴四边形ܲ
坐ܱӠ 为矩形，
过点ܲ
作ܲ
耀٣ ܣ孀，
׶ᇞܣܱ孀的两条外角平分线孀ܲ、ܣܲ
交于第一象限的点P，סܲ坐ܱ
ൌסܲӠܱ
ൌͻͲι，
∴ܲ坐ൌܲ
耀ൌܲ
Ӡ，
∴矩形ܱ
Ӡܲ坐为正方形；
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（2）解：׶סܣܱ孀ൌͻͲι，
∴סܱܣ孀൅סܱ孀ܣൌͻͲι，
∴סܣ孀坐൅ס孀ܣӠ ൌ坐ൌͲι െסܱܣ孀൅坐ൌͲι െסܱ孀ܣൌ͵͸Ͳι െͻͲι ൌʹ͹Ͳι，
׶ᇞܣܱ孀的两条外角平分线孀ܲ、ܣܲ
交于第一象限的点P，
∴סܲ孀ܣൌ
坐
ʹ סܣ孀坐ǡסܲܣ孀ൌ
坐
ʹ ס孀ܣӠ，
∴סܲ孀ܣ൅סܲܣ孀ൌ
坐
ʹ סܣ孀坐൅
坐
ʹ ס孀ܣӠ ൌ坐͵䳌ι，
∴ס孀ܲܣൌ坐ൌͲι െסܲ孀ܣെסܲܣ孀ൌ䳌ι，
将ᇞܲ
坐孀绕点ܲ
旋转ͻͲι，得到ᇞܲ
Ӡܨ，
∴ܲ孀ൌܲ
ܨǡס孀ܲܨൌͻͲιǡסܲӠܨൌסܲ坐孀ൌͻͲι，孀坐ൌӠܨ，
∴ܣǡӠǡܨ三点共线，
׶ס孀ܲܣൌ䳌ι，
∴סܨܲܣൌס孀ܲܨെס孀ܲܣൌ䳌ι，
∴סܨܲܣൌס孀ܲܣ，
׶ܲܣൌܲ
ܣ，ܲ孀ൌܲ
ܨ，
∴ᇞܲ
孀ܣ، ᇞܲ
ܨܣSAS ，
∴ܣ孀ൌܣܨൌܣӠ ൅Ӡܨ，
∴ܣ孀െܣӠ ൌܣܨെܣӠ ൌӠܨൌʹ，
∴孀坐ൌӠܨൌʹ，
设ܱ
孀ൌ݉
，正方形ܱ
Ӡܲ坐的边长为ܽ
，
则ܱ
坐ൌܱ
Ӡ ൌܽ
，点孀坐标为ሺͲǡ݉
ሻ，
׶孀坐ൌʹ，
∴ܱ坐െܱ
孀ൌܽ
െ݉
ൌʹ，
即ܽ
ൌ݉
൅ʹ，
在Rt ᇞܣܱ孀中，ܱܣൌ͵，
由勾股定理：ܱܣʹ ൅ܱ
孀ʹ ൌܣ孀ʹ，
且ܣ孀ൌܣӠ ൅ʹ ൌሺܽെܱ
ܣሻ൅ʹ ൌሺ݉
൅ʹ െ͵ሻ൅ʹ ൌ݉
൅坐，
∴͵ʹ ൅݉
ʹ ൌ݉
൅坐ʹ，
解得݉
ൌ，
∴孀Ͳǡ．
题型9 根据正方形的性质与判定求角度
【例9】如图，矩形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，且DEצAC，CEצBD．
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(1)求证：四边形OCED 是菱形；
(2)若AB=AD，求סADE 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)135°
【分析】（1）先由两组对边平行证明四边形OCED 是平行四边形，再由OD=OC 证明四边形OCED 是菱形；
（2）先证矩形ABCD 是正方形，再由正方形的性质得סBDC=סACD=䳌ι，再由平行线的性质得
סEDC=סACD=45°，由此可解．
【详解】（1）证明：׶DEצAC，CEצBD，
∴四边形OCED 是平行四边形．
׶矩形ABCD 对角线AC，BD 相交于点O，
∴OD=OC．
∴四边形OCED 是菱形．
（2）解：׶矩形ABCD 中，AB=AD，
∴矩形ABCD 是正方形，
∴סADC=סBCD=90°，
∴סBDC=סACD=
坐
ʹ ൈͻͲι ൌ䳌ι．
׶DEצAC，
∴סEDC=סACD=45°，
∴סADE=90°+45°=135°．
【点睛】本题考查菱形的判定、正方形的判定与性质以及平行线的性质，由正方形的性质得出
סBDC=סACD=䳌ι是解题的关键．
【技巧归纳】
第一步：严格按题型8 的方法证明四边形是正方形
第二步：利用对角线平分对角得45°、直角互余等性质计算
结合全等三角形、折叠/ 旋转的角度不变性推导
特殊角（30°、60°）结合45° 角直接得出结果
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【变式9-1】如图，耀是正方形ܣ孀Ӡ坐对角线孀坐上一点，连接ܣ耀，Ӡ耀，并延长Ӡ耀交ܣ坐于点ܨ．若סܣ耀Ӡ ൌ
坐Ͳι，求ס坐ܨ耀的度数．
【答案】65°
【分析】先证明ᇞܣ孀耀، ᇞӠ孀耀求得ס坐耀Ӡ，再根据三角形外角的性质求得ס坐ܨ耀的度数．
【详解】解：׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴ܣ孀ൌӠ孀，סܣ孀Ӡ ൌסܣ坐Ӡ ൌͻͲι，
סܣ孀耀ൌסӠ孀耀ൌ䳌ι，
在ᇞܣ孀耀和ᇞӠ孀耀中，
ሼ
ܣ孀ൌӠ孀
סܣ孀耀ൌסӠ孀耀
孀耀ൌ孀耀
，
∴ᇞܣ孀耀، ᇞӠ孀耀；
∴סܣ耀孀ൌסӠ耀孀，
又׶סܣ耀Ӡ ൌ坐Ͳι，
∴סӠ耀孀ൌ͹Ͳι，
׶ס坐耀Ӡ ൅סӠ耀孀ൌ坐ൌͲι，
∴ס坐耀Ӡ ൌ坐ൌͲι െסӠ耀孀ൌ坐坐Ͳι，
׶ס坐ܨ耀൅סܣ坐孀ൌס坐耀Ӡ，
∴ס坐ܨ耀ൌס坐耀Ӡ െסܣ坐孀ൌ坐坐Ͳι െ䳌ι ൌ͸䳌ι．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和及外角和的性质，三角形全等的判定，熟悉三角形的外
角性质是解题的关键．
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【变式9-2】如图，在正方形ܣ孀Ӡ坐中，耀，ܨ分别是ܣ坐，Ӡ坐上两点，孀耀交ܣܨ于点形，且坐耀ൌӠܨ．
(1)判断孀耀与ܣܨ之间的数量关系与位置关系，并说明理由：
(2)当点耀是ܣ坐的中点时，连接形坐，求ס坐形ܨ的度数．
【答案】(1)孀耀ൌܣܨ，孀耀٣ ܣܨ，理由见解析
(2)䳌ι
【分析】（坐）证明ᇞܣ孀耀، ᇞ坐ܣܨSAS ，得孀耀ൌܣܨ，סܣ孀耀ൌס坐ܣܨ，进而可得ס孀ܣ形൅סܣ孀耀ൌͻͲι，
即得到孀耀٣ ܣܨ，即可求证；
（ʹ）过点坐作坐〴٣ ܣܨ于〴，坐‴ ٣ 孀耀交孀耀的延长线于‴，可得四边形‴坐〴形是矩形，再证明ᇞܣ耀形، ᇞ
坐耀‴ AAS ，得ܣ形ൌ坐‴，利用三角形面积得ܣ形ൌ坐〴，即得坐‴ ൌ坐〴，即可得四边形‴坐〴形是正方形，
即可求解；
本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：孀耀ൌܣܨ，孀耀٣ ܣܨ，理由如下：
׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴ܣ孀ൌӠ坐ൌ坐ܣ，ס孀ܣ耀ൌסܣ坐ܨൌͻͲι，
׶坐耀ൌӠܨ，
∴ܣ耀ൌ坐ܨ，
∴ᇞܣ孀耀، ᇞ坐ܣܨSAS ，
∴孀耀ൌܣܨ，סܣ孀耀ൌס坐ܣܨ，
׶ס孀ܣ形൅ס坐ܣܨൌͻͲι，
∴ס孀ܣ形൅סܣ孀耀ൌͻͲι，
∴סܣ形孀ൌͻͲι，
即孀耀٣ ܣܨ；
（2）解：如图，过点坐作坐〴٣ ܣܨ于〴，坐‴ ٣ 孀耀交孀耀的延长线于‴，
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׶孀耀٣ ܣܨ，
则ס‴ ൌס坐〴形ൌס‴形〴ൌͻͲι，
∴四边形‴坐〴形是矩形，
׶点耀是ܣ坐的中点，
∴ܣ耀ൌ坐耀，
又׶סܣ形耀ൌס‴ ൌͻͲι，סܣ耀形ൌס坐耀‴，
∴ᇞܣ耀形، ᇞ坐耀‴ AAS ，
∴ܣ形ൌ坐‴，
由（坐）知ᇞܣ孀耀، ᇞ坐ܣܨ，
∴ܵᇞܣ孀耀ൌܵ
ᇞ坐ܣܨ，
׶孀耀ൌܣܨ，ܣ形٣ 孀耀，坐〴٣ ܣܨ，
∴ܣ形ൌ坐〴，
∴坐‴ ൌ坐〴，
∴四边形‴坐〴形是正方形，
∴ס坐形ܨൌ䳌ι．
题型10 根据正方形的性质与判定求线段长
【例10】如图，E 为正方形ܣ孀Ӡ坐内一点，סӠ耀孀ൌͻͲι，Ӡ耀ൌൌ，Ӡ孀ൌ坐͹．将Rt ᇞӠ孀耀绕点C 按顺时
针方向旋转ͻͲι，得到ᇞӠ坐ܨ．延长孀耀交坐ܨ于点H，则坐ܩ的长为（
）
A．7
B．7.5
C．8
D．9
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求得孀耀ൌ坐䳌，然后根据图形旋转的性质证明四边形Ӡ耀ܨܩ是正方形，即可求得
答案．
【详解】解：在Rt ᇞӠ孀耀中，Ӡ耀ൌൌ，Ӡ孀ൌ坐͹，
∴孀耀ൌ
孀Ӡʹ െӠ耀ʹ ൌ
坐͹ʹ െൌʹ ൌ坐䳌，
׶ Rt ᇞӠ孀耀绕点C 按顺时针方向旋转ͻͲι，得到ᇞӠ坐ܨ，
∴ס耀ӠܨൌͻͲι，ס孀耀Ӡ ൌסӠ耀ൌܩסӠܨͲͻൌܩι，坐ܨൌ孀耀ൌ坐䳌，
∴四边形Ӡ耀ܨܩ是矩形，
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׶ Ӡ耀ൌӠܨ，
∴四边形Ӡ耀ܨܩ是正方形，
∴ܨൌܩӠ耀ൌൌ，
∴坐ൌܩ坐ܨെܨൌܩ坐䳌െൌൌ͹．
【技巧归纳】
第一步：证明四边形是正方形，得到四边相等和对角线垂直相等
第二步：在等腰直角三角形中用1:1: ʹ的边长比快速计算
利用正方形的轴对称性找相等线段，简化计算
折叠问题仍遵循"设未知数+ 勾股定理" 的通用解法
【变式10-1】如图，在矩形ܣ孀Ӡ坐中，点E、F 分别在边孀Ӡ、Ӡ坐上，连接ܣ耀、ܣܨ、耀ܨ，若ܣ耀、ܣܨ分
别平分ס孀耀ܨ和ס坐ܨ耀．已知ܣ孀ൌ䳌，则孀耀൅䳌
坐ܨ൅䳌的值为______．
【答案】50
【分析】过点A 作ܣ形٣ 耀ܨ交耀ܨ于点G，根据角平分线的性质可知孀耀ൌ耀形，坐ܨൌ形ܨ．再证明ᇞܣ孀耀، ᇞ
ܣ形耀AAS ，ᇞܣ坐ܨ، ᇞܣ形ܨAAS 得到ܣ孀ൌܣ形ൌܣ坐ൌ䳌，孀耀ൌ形耀，坐ܨൌ形ܨ，则四边形ܣ孀Ӡ坐是正方
形，孀耀൅坐ܨൌ形耀൅形ܨ，设孀耀ൌ݇
，坐ܨൌݕ，则耀ܨൌ݇
൅ݕ，耀Ӡ ൌ䳌െ݇，Ӡܨൌ䳌െݕ，在Rt ᇞ耀ܨӠ 中，
根据勾股定理求得䳌݇
൅ݕ൅݇ݕൌʹ䳌，进而可求解．
【详解】解：过点A 作ܣ形٣ 耀ܨ交耀ܨ于点G，如图所示．
根据角平分线的性质可知孀耀ൌ耀形，坐ܨൌ形ܨ，סܣ耀孀ൌסܣ耀形，סܣܨ坐ൌסܣܨ形．
׶四边形ܣ孀Ӡ坐是矩形，
∴ס孀ൌסӠ ൌס坐ൌͻͲι，
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∴ס孀ൌסܣ形耀，ס坐ൌסܣ形ܨ，
∴ᇞܣ孀耀، ᇞܣ形耀AAS ，ᇞܣ坐ܨ، ᇞܣ形ܨAAS ，
∴ܣ孀ൌܣ形ൌܣ坐ൌ䳌，
∴四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，孀耀൅坐ܨൌ形耀൅形ܨ，
设孀耀ൌ݇
，坐ܨൌݕ，则耀ܨൌ݇
൅ݕ，耀Ӡ ൌ䳌െ݇，Ӡܨൌ䳌െݕ，
在Rt ᇞ耀ܨӠ 中，根据勾股定理，得耀Ӡʹ ൅Ӡܨʹ ൌ耀ܨʹ，
即䳌െ݇
ʹ ൅䳌െݕʹ ൌ݇
൅ݕʹ，
整理，得䳌݇
൅ݕ൅݇ݕൌʹ䳌，
׶ 孀耀൅䳌
坐ܨ൅䳌ൌ݇
൅䳌
ݕ൅䳌ൌ䳌݇
൅ݕ൅݇ݕ൅ʹ䳌，
∴孀耀൅䳌
坐ܨ൅䳌ൌʹ䳌൅ʹ䳌ൌ䳌Ͳ．
【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，正方形ܣ孀Ӡ坐的顶点ܣ，坐分别在݇
轴、ݕ轴上，对角线ܣӠ，孀坐
交于点‴．若ܱ
ܣൌʹ，ܱ坐ൌ͵，则点‴ 的坐标为________．
【答案】ʹ൥䳌ǡʹ൥䳌
【分析】过点‴，分别作݇
ǡݕ轴的垂线段，垂足分别为ܨǡ耀，证明ᇞ坐‴耀، ᇞܣ‴ܨAAS 得出四边形耀‴ܨܱ
是正方形，进而根据ܱ
ܣൌʹ，ܱ坐ൌ͵，得出ܱ
耀ൌ耀‴ ൌʹ൥䳌,即可求解．
【详解】解：如图，过点‴，分别作݇
ǡݕ轴的垂线段，垂足分别为ܨǡ耀，
∴ס‴耀坐ൌס‴ܨܣൌס耀‴ܨൌͻͲι，则四边形耀‴ܨܱ
是矩形
׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，对角线ܣӠ，孀坐交于点‴．
∴坐‴ ൌ‴ܣ，ס坐‴ܣൌͻͲι
∴ס坐‴耀ൌסܣ‴ܨൌͻͲι െס耀‴ܣ
∴ᇞ坐‴耀، ᇞܣ‴ܨAAS
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∴‴ܨൌ‴耀，坐耀ൌܣܨ，
∴四边形耀‴ܨܱ
是正方形
∴耀‴ ൌܱ
ܨǡܱ耀ൌ‴ܨ
设‴耀ൌ‴ܨൌܽ
ǡ坐耀ൌܣܨൌܾ
∴坐ܱ
ൌܱ
耀൅坐耀ൌܽ
൅ܾ
ൌ͵，ܱܣൌܱ
ܨെܣܨൌܽ
െܾ
ൌʹ
解得：ܽ
ൌʹ൥䳌ǡܾൌͲ൥䳌
∴ܱ耀ൌ‴耀ൌʹ൥䳌
∴‴ ʹ൥䳌ǡʹ൥䳌
题型11 根据正方形的性质与判定求面积
【例11】如图，若סܣܱ孀＝סܣӠ孀＝ͻͲι，ܱӠ 平分סܣܱ孀，ܱӠ ൌ，则四边形ܣܱ孀Ӡ 的面积是_____ ．
【答案】8
【分析】作Ӡ〴٣ܱ
ܣ于点〴，作Ӡ‴ ٣ܱ
孀于点‴，证得ᇞӠܣ〴، ᇞӠ‴孀，利用勾股定理求得正方形Ӡ〴ܱ‴
的边长，即可求得面积．
【详解】解：如图，作Ӡ〴٣ܱ
ܣ于点〴，作Ӡ‴ ٣ܱ
孀于点‴，
׶ סܣܱ孀ൌסܣӠ孀ൌͻͲι，
∴ס͵ ൅סൌ坐ൌͲι．
׶ ס䳌൅סൌ坐ൌͲι，
∴ס͵ ൌס䳌．
׶ܱӠ 平分סܣܱ孀，
∴Ӡ‴ ൌӠ〴．
׶ סӠ〴ܣൌסӠ‴孀ൌͻͲι，
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∴ᇞӠܣ〴، ᇞӠ‴孀AAS ，
∴Ӡ〴ൌӠ‴．
׶ סܱ〴Ӡ ൌסܱ‴Ӡ ൌס‴ܱ〴ൌͻͲι，
∴四边形ܱ
‴Ӡ〴是矩形，
∴四边形Ӡ〴ܱ‴ 是正方形．
׶ᇞӠܣ〴، ᇞӠ‴孀，
∴ܵ
ᇞӠܣ〴ൌܵ
ᇞӠ‴孀，
∴四边形ܣܱ孀Ӡ 的面积等于正方形Ӡ〴ܱ‴．
设正方形Ӡ〴ܱ‴ 的边长为݇，ܱӠ ൌ，
由勾股定理可知：݇ʹ ൅݇
ʹ ൌʹ，
∴݇
ʹ ൌൌ，
∴正方形Ӡ〴ܱ‴ 的面积等于8，
∴四边形ܣܱ孀Ӡ 的面积等于8．
【技巧归纳】
第一步：证明四边形是正方形
第二步：已知边长用边长2，已知对角线用
坐
ʹ݀
ʹ
利用面积相等可求正方形内的高或线段长度
不规则阴影面积优先用割补法转化为规则图形计算
【变式11-1】如图，在ᇞܣ孀Ӡ 中，ס孀ܣӠ 的平分线交孀Ӡ 于点坐，坐耀צܣ孀，坐ܨצܣӠ．
(1)求证：四边形ܣܨ坐耀是菱形．
(2)若ס孀ܣӠ ൌͻͲι，且ܣ坐ൌʹ，求四边形ܣܨ坐耀的面积．
【答案】(1)见解析
(2)坐͸
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【分析】（1）先证明四边形ܣܨ坐耀是平行四边形，再根据角平分线及平行线的性质证明ܣ耀ൌ坐耀即可；
（2）连接耀ܨ，先证明四边形ܣܨ坐耀是正方形，再根据ܣ坐ൌʹ得到耀ܨൌܣ坐ൌʹ，最后求面积即可．
【详解】（1）证明：׶坐耀צ ܣ孀ǡ坐ܨצ ܣӠ，
∴四边形ܣܨ坐耀是平行四边形，
׶ܣ坐平分ס孀ܣӠ，
∴סܨܣ坐ൌס耀ܣ坐，
׶坐耀צܣ孀，
∴ס耀坐ܣൌסܨܣ坐，
∴ס耀坐ܣൌס耀ܣ坐，
∴ܣ耀ൌ坐耀，
∴平行四边形ܣܨ坐耀是菱形．
（2）解：连接耀ܨ，如图，
׶ס孀ܣӠ ൌͻͲι，
∴菱形形ܣܨ坐耀是正方形，
׶ܣ坐ൌʹ，
∴耀ܨൌܣ坐ൌʹ，
∴四边形ܣܨ坐耀的面积为
坐
ʹ 耀ܨൈܣ坐ൌ
坐
ʹ ൈʹ ൈʹ ൌ坐͸．
【变式11-2】如图，四边形ܣ孀Ӡ坐中，ס孀ܣ坐ൌסӠ ൌͻͲι，ܣ孀ൌܣ坐ǡܣ耀٣ 孀Ӡ 于点E，ᇞ孀ܣ耀旋转一定角
度后能与ᇞ坐ܨܣ重合，根据图形回答问题．
(1)旋转中心是点________，旋转了________度；
(2)若ܣ耀ൌcm，求四边形ܣ孀Ӡ坐的面积．
【答案】(1)A，ͻͲ 或ʹ͹Ͳ；
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(2)坐͸cmʹ
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质以及旋转中心的确定，旋转角的确定，以及旋转变换只改
变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质．
（1）根据图形确定旋转中心即可，对应边ܣ耀、ܣܨ的夹角即为旋转角，再根据正方形的每一个角都是直角
解答；
（2）根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得ᇞ孀ܣ耀的面积等于ᇞ坐ܣܨ的面积，从而
得到四边形ܣ孀Ӡ坐的面积等于正方形ܣ耀Ӡܨ的面积，然后求解即可．
【详解】（1）解：由图可知，点A 为旋转中心，在四边形ܣ孀Ӡ坐中，ס孀ܣ坐ൌͻͲι，
∴ס孀ܣ耀൅ס耀ܣ坐ൌס坐ܣܨ൅ס耀ܣ坐ൌͻͲι，
∴ס耀ܣܨൌͻͲι，͵͸Ͳι െͻͲι ൌʹ͹Ͳι，
所以，逆时针旋转了ͻͲι或顺时针ʹ͹Ͳι；
故答案为：A，ͻͲ 或ʹ͹Ͳ；
（2）解：由旋转性质知，ܣ耀ൌܣܨ，סܨൌסܣ耀孀ൌסܣ耀Ӡ ൌסӠ ൌͻͲι，
∴四边形ܣ耀Ӡܨ是正方形，
׶ᇞ孀ܣ耀旋转后能与ᇞ坐ܣܨ重合，
∴ᇞ孀耀ܣ، ᇞ坐ܨܣ，
∴ܵᇞ孀耀ܣൌܵ
ᇞ坐ܨܣ，
∴四边形ܣ孀Ӡ坐的面积=正方形ܣ耀Ӡܨ的面积，
׶ܣ耀ൌcm，
∴四边形ܣ孀Ӡ坐的面积ൌʹ ൌ坐͸cmʹ．
题型12 根据正方形的性质与判定证明
【例12】如图，在等腰直角三角形ܣ孀Ӡ 中，סӠܣ孀ൌͻͲι，ܣ坐是孀Ӡ 边上的中线，以ܣ坐，Ӡ坐为邻边作
ܣ坐Ӡܨ．
(1)求证：
ܣ坐Ӡܨ为正方形；
(2)连接孀ܨ，若ܣ孀ൌ
ʹ，求孀ܨ的长．
【答案】(1)见解析
(2) 䳌
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【分析】（1）因为等腰直角三角形ܣ孀Ӡ 中，ܣ坐是斜边孀Ӡ 上的中线，所以先利用等腰直角三角形三线合
一的性质，得出ܣ坐与孀Ӡ 的位置关系和数量关系。因为四边形ܣ坐Ӡܨ是平行四边形，且已得出ܣ坐٣
Ӡ坐、ܣ坐ൌӠ坐，所以根据正方形的判定定理，一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，可
完成证明．
（2）先根据ܣ孀的长度和等腰直角三角形的性质，求出孀Ӡ、ܣ坐的长度，进而得到正方形ܣ坐Ӡܨ的边长。
然后通过分析图形中线段的位置和数量关系，利用勾股定理来计算孀ܨ的长度．
【详解】（1）证明：∵ᇞܣ孀Ӡ 为等腰直角三角形，ܣ坐是孀Ӡ 边上的中线，
∴ܣ坐٣ 孀Ӡ，
∴
ܣ坐Ӡܨ为矩形．
∵ܣ坐ൌӠ坐，
∴矩形ܣ坐Ӡܨ为正方形．
（2）解：∵ᇞܣ孀Ӡ 为等腰直角三角形，סӠܣ孀ൌͻͲι，ܣ孀ൌ
ʹ，
∴孀Ӡ ൌ
ܣ孀ʹ ൅ܣӠʹ ൌ
ʹ
ʹ ൅
ʹ
ʹ ൌʹ．
∴Ӡ坐ൌ坐孀ൌ
坐
ʹ 孀Ӡ ൌ坐．
∵四边形ܣ坐Ӡܨ为正方形，
∴ӠܨൌӠ坐ൌ坐，סܨӠ孀ൌͻͲι．
∴孀ܨൌ
Ӡܨʹ ൅孀Ӡʹ ൌ
坐ʹ ൅ʹʹ ൌ
䳌．
【技巧归纳】
第一步：证明四边形是正方形，获得边、角、对角线的全部性质
第二步：利用正方形的边相等、角相等构造全等三角形
常用结论：正方形中互相垂直的两条线段长度相等
辅助线：连接对角线构造等腰直角三角形或全等三角形
【变式12-1】如图，在正方形ܣ孀Ӡ坐中，ܣ孀ൌ
ʹ，E 为对角线ܣӠ 上一动点，连接坐耀，过点耀作耀ܨ٣ 坐耀
交孀Ӡ 于点ܨ，以坐耀，耀ܨ为邻边作矩形坐耀ܨ形，连接Ӡ形．
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(1)求证：矩形坐耀ܨ形是正方形；
(2)探究Ӡ耀，Ӡ形，孀Ӡ 之间的数量关系，直接作答无需证明．
【答案】(1)见解析
(2)Ӡ耀൅Ӡ形ൌ
ʹ孀Ӡ
【分析】（1）过点E 作耀‴ ٣ Ӡ坐于点‴，耀〴٣ 孀Ӡ 于点〴，先根据角平分线的性质得到耀‴ ൌ耀〴，然后
证明四边形耀‴Ӡ〴是矩形，得到ס‴耀〴ൌͻͲι，从而得到ס坐耀‴ ൌסܨ耀〴，然后证明ᇞ耀‴坐، ᇞ耀〴ܨ得到
耀坐ൌ耀ܨ，即可证明矩形坐耀ܨ形是正方形；
（2）证明ᇞܣ坐耀، ᇞӠ坐形得ܣ耀ൌӠ形，进而推出Ӡ耀൅Ӡ形ൌܣӠ，由此利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，过点E 作耀‴ ٣ Ӡ坐于点‴，耀〴٣ 孀Ӡ 于点〴，
∴ס耀〴Ӡ ൌס耀‴坐ൌס耀‴Ӡ ൌͻͲι，
∵四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴סܣӠ孀ൌסܣӠ坐，ס孀Ӡ坐ൌͻͲι
∵耀‴ ٣ Ӡ坐，耀〴٣ 孀Ӡ，
∴耀‴ ൌ耀〴．
∵ס耀‴Ӡ ൌס耀〴Ӡ ൌס孀Ӡ坐ൌͻͲι，
∴四边形耀‴Ӡ〴是矩形．
∴ס‴耀〴ൌͻͲι．
∵耀ܨ٣ 坐耀
∴ס坐耀ܨൌͻͲι．
∴ס坐耀‴ ൌסܨ耀〴ൌͻͲι െסܨ耀‴．
∴ᇞ耀‴坐، ᇞ耀〴ܨASA ．
∴耀坐ൌ耀ܨ．
∴矩形坐耀ܨ形是正方形；
（2）解：Ӡ耀൅Ӡ形ൌ
ʹ孀Ӡ．
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证明：∵四边形坐耀ܨ形是正方形，四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴坐耀ൌ坐形，ܣ坐ൌӠ坐ൌ孀Ӡ，סܣ坐Ӡ ൌס耀坐形ൌͻͲι．
∴סܣ坐耀ൌסӠ坐形ൌͻͲι െסӠ坐耀．
∴ᇞܣ坐耀، ᇞӠ坐形SAS
∴ܣ耀ൌӠ形，
∴Ӡ耀൅Ӡ形ൌӠ耀൅ܣ耀ൌܣӠ，
在Rt ᇞܣ坐Ӡ 中，由勾股定理得ܣӠ ൌ
ܣ坐ʹ ൅Ӡ坐ʹ ൌ
ʹܣ坐，
∴Ӡ耀൅Ӡ形ൌ
ʹ孀Ӡ．
【变式12-2】如图，正方形ܣ孀Ӡ坐的边长为4，点ܱ
为对角线孀坐的中点，点耀为ܣ坐边上的动点，点ܨ
在Ӡ坐边上，连接ܱ
耀，ܱܨ，ܱ耀٣ܱ
ܨ．
(1)求证：ܱ耀ൌܱ
ܨ；
(2)当点耀在ܣ坐边上运动时，四边形ܱ
耀坐ܨ的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；
【答案】(1)见解析
(2)不会发生变化，面积为4
【分析】（1）过点ܱ
作ܱ
‴ ٣ ܣ坐于点‴ǡܱ〴٣ Ӡ坐于点〴，根据正方形的性质证明四边形ܱ
‴坐〴是正方
形，再证明ᇞ耀ܱ‴، ᇞܨܱ〴，即可得证；
（2）根据ᇞ耀ܱ‴، ᇞܨܱ〴可知ܵᇞ耀ܱ‴ ൌܵ
ᇞܨܱ〴，根据ܵ四边形ܱ
耀坐ܨൌܵ
ᇞ耀ܱ‴ ൅ܵ
四边形ܱ
‴坐ܨൌܵ
ᇞܨܱ〴൅ܵ
四边形ܱ
‴坐ܨൌܵ
正方形ܱ
‴坐〴即可得解．
【详解】（1）证明：过点ܱ
作ܱ
‴ ٣ ܣ坐于点‴ǡܱ〴٣ Ӡ坐于点〴，如图所示：
∴סܱ‴坐ൌסܱ‴耀ൌסܱ〴ܨൌͻͲι，
׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，且边长为4，
∴ܣ孀ൌ孀Ӡ ൌӠ坐ൌܣ坐ൌǡסܣ坐孀ൌ䳌ιǡסܣ坐Ӡ ൌסӠ ൌͻͲι，
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∴סܱ‴坐ൌסܣ坐Ӡ ൌסܱ〴ܨൌͻͲι，
∴四边形ܱ
‴坐〴是矩形，
׶ סܱ‴坐ൌͻͲιǡסܣ坐孀ൌ䳌ι，
∴ס‴ܱ坐ൌסܣ坐孀ൌ䳌ι，
∴ܱ
‴ ൌ坐‴，
∴矩形ܱ
‴坐〴是正方形，
∴ܱ
‴ ൌܱ
〴ǡס‴ܱ〴ൌͻͲι，
׶ܱ
耀٣ܱ
ܨ，
∴ס耀ܱܨൌס‴ܱ〴ൌͻͲι，
∴ס耀ܱ‴ ൅ס‴ܱܨൌס‴ܱܨ൅סܨܱ〴，
∴ס耀ܱ‴ ൌסܨܱ〴，
在ᇞ耀ܱ‴ 和ᇞܨܱ〴中，
סܱ‴耀ൌסܱ〴ܨܱ
‴ ൌܱ
〴
ס耀ܱ‴ ൌסܨܱ〴
，
∴ᇞ耀ܱ‴، ᇞܨܱ〴ASA ，
∴ܱ
耀ൌܱ
ܨ；
（2）解：当点耀在ܣ坐边上运动时，四边形ܱ
耀坐ܨ的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下：
连接ܱ
Ӡ，如图所示：
׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，点ܱ
为对角线孀坐的中点，
∴סܱӠ坐ൌס孀坐Ӡ ൌ䳌ιǡ坐Ӡ ൌӠ孀ൌ，
∴ᇞ坐ܱӠ 是等腰直角三角形，
׶ܱ
〴٣ Ӡ坐，
∴坐〴ൌӠ〴ൌ
坐
ʹ 坐Ӡ ൌ
坐
ʹ Ӡ孀ൌʹ，则ܱ
〴ൌ
坐
ʹ 坐Ӡ ൌʹ．
由（1）得ᇞ耀ܱ‴، ᇞܨܱ〴，
∴‴ܱ
ൌܱ
〴ൌʹ，ܵᇞ耀ܱ‴ ൌܵ
ᇞܨܱ〴，
由（1）得ס‴ܱ〴ൌͻͲι，矩形ܱ
‴坐〴是正方形，
则ܵ四边形ܱ
耀坐ܨൌܵ
ᇞ耀ܱ‴ ൅ܵ
四边形ܱ
‴坐ܨൌܵ
ᇞܨܱ〴൅ܵ
四边形ܱ
‴坐ܨൌܵ
正方形ܱ
‴坐〴ൌ‴ܱ
ڄܱ
〴ൌ．
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一、单选题
1．菱形添加一个条件，能使菱形成为正方形的是（
）
A．对角线平分一组对角
B．对角线相等
C．对角线互相垂直平分
D．四条边相等
【答案】B
【详解】解：׶菱形本身具有的性质为：对角线平分一组对角，对角线互相垂直平分，四条边相等，
∴A，C，D 都是菱形本身就有的性质，不能使菱形变为正方形，
又׶对角线相等的菱形是正方形，
∴添加条件对角线相等能使菱形成为正方形．
2．某矩形的对角线长度为8，顺次连接该矩形各边的中点，得到新的四边形，则新四边形的边长为（
）
A．2
B．4
C．8
D．不确定
【答案】B
【详解】解：原矩形对角线长为ൌ，顺次连接各边中点得到新四边形，新四边形的每条边都是对应三角形中
以矩形对角线为第三边的中位线，
׶三角形中位线的长度等于矩形对角线长度的
坐
ʹ，矩形对角线长度相等，
∴新四边形每条边的长度ൌ
坐
ʹ ൈൌൌ，
∴新四边形的边长为．
3．下列命题是假命题的是（
）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D．有三个角是直角的四边形是矩形
【答案】C
【分析】根据平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定定理，逐项判断命题的真假即可得出答案．
【详解】解：A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，是真命题，不符合
题意；
B．四边相等的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，是真命题，不符合题意；
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，原命题缺少对角线相等的条件，因此原命题是假命题，
符合题意；
D．三个角是直角的四边形是矩形，符合矩形的判定定理，是真命题，不符合题意；
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4．已知四边形ܣ孀Ӡ坐中，סܣൌס孀ൌסӠ ൌͻͲι，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个
条件可以是（
）
A．ס坐ൌͻͲι
B．ܣ孀ൌ孀Ӡ
C．ܣ坐ൌ孀Ӡ
D．ܣ孀ൌӠ坐
【答案】B
【分析】由已知可得四边形ܣ孀Ӡ坐是矩形，结合正方形的判定即可求解．
【详解】解：׶四边形ܣ孀Ӡ坐中，סܣൌס孀ൌסӠ ൌͻͲι，
∴四边形ܣ孀Ӡ坐是矩形，
若添加条件ܣ孀ൌ孀Ӡ，则四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
若添加条件ס坐ൌͻͲι或ܣ坐ൌ孀Ӡ 或ܣ孀ൌӠ坐，无法推出四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴只有B 选项符合题意．
5．如图，在ᇞܣ孀Ӡ 中，ס孀ܣӠ ൌͻͲל，孀Ӡ ൌ͵，以ܣ孀，ܣӠ 为边做正方形，这两个正方形的面积和为（
）
A．5
B．9
C．16
D．25
【答案】B
【分析】设ܣ孀ൌܿǡܣӠ ൌܾ
，两个正方形的面积分别为ܿʹǡܾʹ，根据勾股定理可得ܿʹ ൅ܾ
ʹ ൌ孀Ӡʹ，代入数据即
可求解．
【详解】解：设ܣ孀ൌܿǡܣӠ ൌܾ
，则以ܣ孀，ܣӠ 为边的两个正方形的面积分别为ܿʹǡܾʹ，
׶ ס孀ܣӠ ൌͻͲל，
∴在Rt ᇞܣ孀Ӡ 中，由勾股定理得ܣ孀ʹ ൅ܣӠʹ ൌ孀Ӡʹ，即两个正方形的面积和为孀Ӡʹ，
׶ 孀Ӡ ൌ͵，
∴面积和ൌ͵ʹ ൌͻ．
6．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，
则下列条件添加错误的是（
）
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A．（1）处可填סܣൌͻͲι
B．（2）处可填ܣ坐ൌ孀Ӡ
C．（3）处可填ܣ孀ൌܣ坐
D．（4）处可填סܣൌͻͲι
【答案】B
【分析】根据矩形，菱形和正方形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：A、当סܣൌͻͲι时，可以根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形证明平行四边形ܣ孀Ӡ坐
是矩形，故此选项不符合题意；
B、当ܣ坐ൌ孀Ӡ 时，不可以证明矩形ܣ孀Ӡ坐是正方形，故此选项符合题意；
C、当ܣ孀ൌܣ坐时，可以根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明平行四边形ܣ孀Ӡ坐是菱形，故此选
项不符合题意；
D、当סܣൌͻͲι时，可以根据有一个内角是直角的菱形是正方形证明菱形ܣ孀Ӡ坐是正方形，故此选项不符合
题意；
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ܱ
ܣ孀Ӡ 的顶点C 的坐标为െʹ ʹǡ െʹ ʹ ，则顶点A 的坐标为（
）
A．െʹ ʹǡ
B．െǡ
C．െʹ ʹǡʹ ʹ
D．െǡʹ ʹ
【答案】C
【分析】根据正方形的性质得点A 和点C 关于x 轴对称，然后根据轴对称的性质求解即可．
【详解】解：׶四边形ܱ
ܣ孀Ӡ 是正方形，
∴点A 和点C 关于ܱ
孀对称，即点A 和点C 关于x 轴对称，
׶点C 的坐标为െʹ ʹǡ െʹ ʹ ，
∴点A 的坐标为െʹ ʹǡʹ ʹ ．
8．我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如
图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作ܵ坐，ܵʹ，正方形ܣ孀Ӡ坐的面积记作ܵ͵，则ܵ坐，ܵʹ与ܵ͵的关系是
（
）
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A．ܵ坐൅ܵ
ʹ ൏ܵ
͵
B．ܵ坐൅ܵ
ʹ ൌܵ
͵
C．ܵ坐൅ܵ
ʹ ൐ܵ
͵
D．ʹܵ坐൅ܵ
ʹ ൌܵ
͵
【答案】B
【分析】取点耀，ܨ，容易证明ᇞܣ坐耀، ᇞ坐ӠܨAAS ，则坐耀ൌӠܨ，由勾股定理可得ܣ耀ʹ ൅坐耀ʹ ൌܣ坐ʹ，从
而得到ܵ坐൅ܵ
ʹ ൌܵ
͵．
【详解】解：如图，取点耀，ܨ，
根据题意可知，סܣ耀坐ൌס坐ܨӠ ൌͻͲι，
׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴ܣ坐ൌӠ坐，סܣ坐Ӡ ൌͻͲι，
׶סܣ坐耀൅סӠ坐ܨൌסӠ坐ܨ൅ס坐ӠܨൌͻͲι，
∴סܣ坐耀ൌס坐Ӡܨ，
在ᇞܣ坐耀和ᇞ坐Ӡܨ中，
סܣ坐耀ൌס坐Ӡܨ
סܣ耀坐ൌס坐ܨӠ
ܣ坐ൌӠ坐
，
∴ᇞܣ坐耀، ᇞ坐ӠܨAAS ，
∴坐耀ൌӠܨ，
在Rt ᇞܣ坐耀中，ܣ耀ʹ ൅坐耀ʹ ൌܣ坐ʹ，
׶ܵ坐ൌܣ耀ʹ，ܵʹ ൌӠܨʹ ൌ坐耀ʹ，ܵ͵ ൌܣ坐ʹ，
∴ܵ坐൅ܵ
ʹ ൌܵ
͵．
9．小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示，给
出下列条件，其中对应序号填写正确的有几个（
）
①ܣ孀צ Ӡ坐，ܣ坐ൌ孀Ӡ；②סܣ坐Ӡ ൌͻͲι；③ܣӠ ൌ孀坐；④ܣ孀ൌܣ坐；⑤ܣӠ ൌ孀坐
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线
互相垂直的平行四边形是菱形，邻边相等的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形判断即可．
【详解】解：①四边形ܣ孀Ӡ坐中，ܣ孀צ Ӡ坐ǡܣ坐ൌ孀Ӡ，不能判定四边形ܣ孀Ӡ坐是平行四边形，故①错误；
②平行四边形ܣ孀Ӡ坐中，
׶סܣ坐Ӡ ൌͻͲι，
∴四边形ܣ孀Ӡ坐是矩形，故②正确；
③平行四边形ܣ孀Ӡ坐中，
׶ܣӠ ൌ孀坐，
∴四边形ܣ孀Ӡ坐是矩形，不是菱形，故③错误；
④矩形ܣ孀Ӡ坐中，
׶ܣ孀ൌܣ坐，
∴四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，故④正确；
⑤菱形ܣ孀Ӡ坐中，
׶ܣӠ ൌ孀坐，
∴四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，故⑤正确；
综上，正确的有②④⑤共3 个．
10．如图，正方形ܣ孀Ӡ坐的边长为，ܲ为正方形边上的动点，沿ܣ՜ 坐՜ Ӡ ՜ 孀՜ ܣ的路径匀速移动．设ܲ
点经过的路径长为݇，ᇞܣܲ坐的面积是ݕ，则下列图象能反映ݕ与݇
之间的函数关系的是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，当点P 在ܣ坐上运动时，ᇞܣܲ坐不存在；再分别求出点P 在Ӡ坐上运动（不包含点D）、
点P 在孀Ӡ 上运动（不包含点C）、点P 在孀ܣ上运动（不包含点B）时y 与x 的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：当点P 在ܣ坐上运动，即Ͳ ൑݇
൑时，此时ᇞܣܲ坐不存在；
当点P 在Ӡ坐上运动（不包含点D）时，即൏݇
൑ൌ时，ܲ坐ൌ݇
െ，
则ݕൌ
坐
ʹ ܣ坐ڄܲ
坐ൌ
坐
ʹ ൈ݇
െൌʹ݇െൌ；
当点P 在孀Ӡ 上运动（不包含点C），即ൌ൏݇
൑坐ʹ 时，
则ݕൌ
坐
ʹ ܣ坐ڄ Ӡ坐ൌ
坐
ʹ ൈൈൌൌ，
当点P 在ܣ孀上运动（不包含点B），即坐ʹ ൏݇
൑坐͸ 时，ܲܣൌ坐͸ െ݇，
则ݕൌ
坐
ʹ ܣ坐ڄܲ
ܣൌ
坐
ʹ ൈൈ坐͸ െ݇
ൌ͵ʹ െʹ݇，
∴四个函数图象中，只有B 选项中的函数图象符合题意．
二、填空题
11．已知在四边形ܣ孀Ӡ坐中，ܣ孀צ Ӡ坐，ܣ孀ൌӠ坐，סܣൌͻͲι，如果添加一个条件，可使得四边形ܣ孀Ӡ坐为
正方形，则添加的条件可以是________．（添加一个即可）
【答案】ܣ孀ൌܣ坐（答案不唯一）
【分析】先根据已知条件判定四边形ܣ孀Ӡ坐为矩形，再根据正方形的判定定理，添加使矩形成为正方形的
条件即可．
【详解】解：׶ ܣ孀צ Ӡ坐，ܣ孀ൌӠ坐，
∴四边形ܣ孀Ӡ坐是平行四边形．
׶ סܣൌͻͲι，
∴平行四边形ܣ孀Ӡ坐是矩形．
当添加条件ܣ孀ൌܣ坐时，一组邻边相等的矩形是正方形，即四边形ܣ孀Ӡ坐为正方形．
12．如图，点P 是正方形ܣ孀Ӡ坐的对角线ܣӠ 上的一点，ܲ耀٣ ܣ坐于点E，ܲ耀ൌ͵．则点P 到直线ܣ孀的距
离为______．
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【答案】͵
【详解】解：如解图，过点P 作ܲ
ܨ٣ ܣ孀于点F，
׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，ܣӠ 是对角线，
∴ס坐ܣӠ ൌס孀ܣӠ．
׶ܲ耀٣ ܣ坐，ܲܨ٣ ܣ孀，
∴סܣ耀ܲ
ൌסܣܨܲ．
׶ܣܲ
ൌܣܲ，
∴ᇞܣ耀ܲ، ᇞܣܨܲ
AAS ，
∴ܲ耀ൌܲ
ܨ．
׶ܲ耀ൌ͵，
∴点P 到直线ܣ孀的距离为3．
13．如图，
ܣ孀Ӡ坐的对角线交于点O，若ܣӠ ൌ孀坐，请你添加一个条件，使
ܣ孀Ӡ坐是正方形__________．
【答案】
ܣ孀ൌ孀Ӡ（答案不唯一）
【分析】先得到四边形ܣ孀Ӡ坐是矩形，再从矩形的角度添加条件证明其为正方形即可．
【详解】解：׶四边形ܣ孀Ӡ坐是平行四边形，ܣӠ ൌ孀坐，
∴四边形ܣ孀Ӡ坐是矩形，
若添加条件ܣ孀ൌ孀Ӡ，
׶四边形ܣ孀Ӡ坐是矩形，ܣ孀ൌ孀Ӡ，
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∴四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形．
14．如图，面积为6 的正方形ܣ孀Ӡ坐的顶点ܣ在数轴上，且表示的数为െ坐，若点耀在数轴上，（点耀在
点ܣ的右侧）且ܣ孀ൌܣ耀，则点耀所表示的数为_______．
【答案】െ坐൅
͸
【详解】解：׶四边形ܣ孀Ӡ坐为正方形，
∴ܵ
ൌܣ孀ʹ，
׶ܵ
ൌ͸，
∴ܣ孀ൌ
͸，
׶ ܣ孀ൌܣ耀，
∴ܣ耀ൌ
͸，
∴点E 所表示的数为െ坐൅
͸．
15．已知正方形ܱ
ܣ孀Ӡ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点孀ǡͲ ，则点A 的坐标为_____．
【答案】ʹǡ െʹ
【分析】连接ܣӠ，交ܱ
孀于点坐，由正方形的性质求得ܱ
坐ൌ坐ܣൌʹ，即可得到点A 的坐标为ʹǡ െʹ ．
【详解】解：连接ܣӠ，交ܱ
孀于点坐，
׶正方形ܱ
ܣ孀Ӡ，
∴ܣӠ ٣ܱ
孀，ܱ坐ൌ坐ܣൌ
坐
ʹܱ
孀，
׶孀ǡͲ ，
∴ܱ孀ൌ，
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∴ܱ坐ൌ坐ܣൌʹ，
∴点A 的坐标为ʹǡ െʹ ．
16．已知正方形ܣ孀Ӡ坐，连接ܣӠ、孀坐，Ӡ耀平分סܣӠ坐交孀坐于点E，则סܣӠ耀ൌ______．
【答案】ʹʹ൥䳌ι
【分析】根据正方形的性质可知סܣӠ坐ൌ䳌ι，然后由角平分线的定义即可解答．
【详解】解：׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴ܣ坐ൌӠ坐，סܣ坐Ӡ ൌͻͲι，
∴סܣӠ坐ൌסӠܣ坐ൌ
坐
ʹ 坐ൌͲι െסܣ坐Ӡ ൌ䳌ι，
又׶Ӡ耀平分סܣӠ坐，
∴סܣӠ耀ൌ
坐
ʹ סܣӠ坐ൌ
坐
ʹ ൈ䳌ι ൌʹʹ൥䳌ι．
17．如图，耀是正方形ܣ孀Ӡ坐内的一点，且坐耀ൌ坐Ӡ，耀孀ൌ耀Ӡ，则ס孀坐耀的度数为_____．
【答案】坐䳌ι/15 度
【分析】连接ܣ耀，由正方形性质得ܣ孀ൌ坐Ӡ ൌܣ坐，סܣ坐孀ൌ䳌ל，由耀孀ൌ耀Ӡ 得ס耀孀Ӡ ൌס耀Ӡ孀，得סܣ孀耀ൌ
ס坐Ӡ耀，结合ܣ孀ൌ坐Ӡ、耀孀ൌ耀Ӡ 证ᇞܣ孀耀، ᇞ坐Ӡ耀，得ܣ耀ൌ坐耀，故ᇞܣ坐耀为等边三角形，סܣ坐耀ൌ͸Ͳל，
从而ס孀坐耀ൌ͸Ͳל െ䳌ל ൌ坐䳌ל．
【详解】如图，连接ܣ耀，
׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴ܣ孀ൌ坐Ӡ ൌܣ坐ǡסܣ孀Ӡ ൌס坐Ӡ孀ൌס孀ܣ坐ൌͻͲלǡ סܣ坐孀ൌסܣ孀坐ൌ䳌ל൥
׶ 坐耀ൌ坐Ӡ，耀孀ൌ耀Ӡ，
∴坐耀ൌܣ坐ǡס耀孀Ӡ ൌס耀Ӡ孀，
∴סܣ孀Ӡ െס耀孀Ӡ ൌס坐Ӡ孀െס耀Ӡ孀，即סܣ孀耀ൌס坐Ӡ耀，
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在ᇞܣ孀耀和ᇞ坐Ӡ耀中，
ܣ孀ൌ坐Ӡ
סܣ孀耀ൌס坐Ӡ耀
耀孀ൌ耀Ӡ
∴ᇞܣ孀耀، ᇞ坐Ӡ耀SAS ，
∴ܣ耀ൌ坐耀，
∴ܣ耀ൌ坐耀ൌܣ坐，
∴ᇞܣ坐耀是等边三角形，
∴סܣ坐耀ൌ͸Ͳל，
∴ס孀坐耀ൌסܣ坐耀െסܣ坐孀ൌ͸Ͳל െ䳌ל ൌ坐䳌ל．
18．如图，正方形ܣ孀Ӡ坐的边长为4，点E 在边孀Ӡ 上，孀耀ൌ坐，作等腰直角三角形ܣ耀ܨǡסܣ耀ܨൌͻͲι．
（1）耀ܨ的长_______．
（2）若‴ 为ܣܨ的中点，连接坐‴，则坐‴ 的长为______．
【答案】
坐͹
͵ ʹ
ʹ
【分析】（1）利用勾股定理求出ܣ耀的长即可得到答案；
（2）在ܣ孀上取一点形，使孀形ൌ孀耀ൌ坐，连接耀形，延长Ӡܨ交ܣ坐延长线于〴点，证明ᇞܣ形耀، ᇞ耀ӠܨSAS ，
求出Ӡܨൌ
ʹ，ס耀Ӡܨൌסܣ形耀ൌ坐͵䳌ι，可得等腰直角ᇞӠ坐〴，‴坐为ᇞܣ〴ܨ的中位线，求出Ӡ〴的长，进
而求出〴ܨ的长即可解题．
【详解】解：（1）在正方形ܣ孀Ӡ坐的边长为4，
∴ܣ孀ൌ孀Ӡ ൌӠ坐ൌܣ坐ൌ，ס孀ൌס孀Ӡ坐ൌͻͲι，
׶孀耀ൌ坐，
∴ܣ耀ൌ
ܣ孀ʹ ൅孀耀ʹ ൌ
坐͹，
׶在等腰直角ᇞܣ耀ܨ中，ܣ耀ൌ耀ܨ，
∴耀ܨൌ
坐͹；
（2）在ܣ孀上取一点形，使孀形ൌ孀耀ൌ坐，连接耀形，延长Ӡܨ交ܣ坐延长线于〴点，
∴ס孀形耀ൌס孀耀形ൌ䳌ι，ܣ形ൌ耀Ӡ，ס孀ܣ耀൅סܣ耀孀ൌͻͲι，
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׶סܣ耀ܨൌͻͲι，
∴סܣ耀孀൅סܨ耀Ӡ ൌͻͲι，
∴ס孀ܣ耀ൌסܨ耀Ӡ，
又׶ܣ耀ൌ耀ܨ，
∴ᇞܣ形耀، ᇞ耀ӠܨSAS ，
∴形耀ൌӠܨ，סܣ形耀ൌס耀Ӡܨ，
׶形耀ൌ
孀形ʹ ൅孀耀ʹ ൌ
ʹ，
∴Ӡܨൌ
ʹ，
׶ס孀形耀ൌ䳌ι，
∴ס耀Ӡܨൌסܣ形耀ൌ坐͵䳌ι，
∴ס坐Ӡ〴ൌס耀Ӡܨെס孀Ӡ坐ൌ䳌ι，
׶ס〴坐Ӡ ൌ坐ൌͲι െסܣ坐Ӡ ൌͻͲι，
∴ס坐〴Ӡ ൌס坐Ӡ〴ൌ䳌ι，
∴坐〴ൌӠ坐ൌ，
∴Ӡ〴ൌ
Ӡ坐ʹ ൅坐〴ʹ ൌʹ，
׶Ӡܨൌ
ʹ，
∴ܨ〴ൌӠ〴െӠܨൌ͵ ʹ，
׶坐〴ൌӠ坐ൌܣ坐，即点坐为ܣ〴的中点，且点‴ 为ܣܨ的中点，
∴‴坐为ᇞܣ〴ܨ的中位线，
∴坐‴ ൌ
坐
ʹ ܨ〴ൌ
͵ ʹ
ʹ ．
19．如图，在正方形ܣ孀Ӡ坐中，Ӡ坐ൌ͸，点耀、ܨ分别为孀Ӡ、ܣ孀边上的动点，保持Ӡ耀ൌܣܨ不变，则ܣ耀൅坐ܨ
的最小值为______．
【答案】͸ 䳌
【分析】延长ܣ孀至点ܣ̵ 使ܣ̵ 孀ൌܣ孀，连接ܣ̵ 耀，坐耀，可证得ᇞ坐ܣܨ، ᇞ坐Ӡ耀，于是有坐ܨൌ坐耀；又ܣ与ܣ̵
关于孀Ӡ 轴对称，孀Ӡ 所在的直线是线段ܣܣ̵ 的垂直平分线，可知ܣ耀ൌܣ̵ 耀，ܣ耀൅坐ܨൌܣ̵ 耀൅坐耀൒ܣ̵ 坐，
由勾股定理即可求解ܣ耀൅坐ܨ的最小值．
【详解】解：延长ܣ孀至点ܣ̵ 使ܣ̵ 孀ൌܣ孀，连接ܣ̵ 耀，坐耀，则ܣܣ̵ ൌ坐ʹ，
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׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴ܣ坐ൌӠ坐，ס坐ܣܨൌס坐Ӡ耀，ܣ孀٣ 孀Ӡ，
又׶ܣܨൌӠ耀
∴ᇞ坐ܣܨ، ᇞ坐Ӡ耀SAS ，
∴坐ܨൌ坐耀，
׶ܣ̵ 孀ൌܣ孀，ܣ孀٣ 孀Ӡ，
∴ܣ与ܣ̵ 关于孀Ӡ 轴对称，孀Ӡ 所在的直线是线段ܣܣ̵ 的垂直平分线，
∴ܣ耀ൌܣ̵ 耀，
∴ܣ耀൅坐ܨൌܣ̵ 耀൅坐耀൒ܣ̵ 坐ൌ
ܣ坐ʹ ൅ܣܣ̵ ʹ ൌ
͸ʹ ൅坐ʹʹ ൌ͸ 䳌，
当ܣ̵ ，耀，坐三点共线时，ܣ耀൅坐ܨ有最小值，最小值为͸ 䳌．
20．如图，在正方形ܣ孀Ӡ坐中，点耀，ܨ分别是边ܣ孀，孀Ӡ 的中点，连接耀Ӡ，ܨ坐，点形，ܩ分别是耀Ӡ，ܨ坐
的中点，连接形ܩ．若ܣ孀ൌ͵，则形ܩ的长度为________．
【答案】
͵ ʹ

【分析】连接Ӡܩ并延长交ܣ坐于点P，连接ܲ
耀，根据正方形的性质得到סܣൌͻͲιǡܣ坐צ 孀Ӡǡܣ孀ൌܣ坐ൌ孀Ӡ ൌ
͵，进而证明ᇞܲ
坐ܩ، ᇞӠܨܩAAS ，根据全等三角形的性质得到ܲ
坐ൌӠܨൌ
͵
ʹ，根据勾股定理求出ܲ
耀，最
后利用三角形的中位线定理即可求解．
【详解】解：如图，连接Ӡܩ并延长交ܣ坐于点P，连接ܲ
耀，
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׶四边形ܣ孀Ӡ坐为正方形，
∴סܣൌͻͲιǡܣ坐צ 孀Ӡǡܣ孀ൌܣ坐ൌ孀Ӡ ൌ͵，
׶点耀，ܨ分别是边ܣ孀，孀Ӡ 的中点，
∴ܣ耀ൌӠܨൌ
͵
ʹ，
׶ܣ坐צ 孀Ӡ，
∴ס坐ܲൌܩסܨӠܩ，
׶点H 为ܨ坐的中点，
∴坐ܩܨൌܩ，
在ᇞܲ
坐ܩ和ᇞӠܨܩ中，
׶ס坐ܲൌܩסܨӠܩǡסܲܩ坐ൌסӠǡܨܩ坐ܩܨൌܩ，
∴ᇞܲ
坐ܩ، ᇞӠܨܩAAS ，
∴ܲ坐ൌӠܨൌ
͵
ʹ，
∴ܣܲ
ൌܣ坐െܲ
坐ൌ
͵
ʹ，
∴ܲ耀ൌ
ܣ耀ʹ ൅ܣܲ
ʹ ൌ
͵
ʹ
ʹ，
׶点形，ܩ分别是耀Ӡ，ܨ坐的中点，
∴形ൌܩ
坐
ʹܲ
耀ൌ
͵

ʹ.
三、解答题
21．如图，四边形ܣ孀Ӡ坐，ܣ耀Ӡܨ分别是菱形与正方形，连接ܣӠ，若ס孀ܣ耀ൌʹ䳌ι，求סܣ孀Ӡ 的度数．
【答案】Ͳι
【分析】根据正方形和菱形的性质：一条对角线平分一组对角，即可求解．
【详解】解：连接ܣӠ，如图所示：
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׶四边形ܣ孀Ӡ坐，ܣ耀Ӡܨ分别是菱形与正方形，且ܣӠ 为对角线，
∴ס耀ܣӠ ൌסܨܣӠǡס孀ܣӠ ൌס坐ܣӠ，
∴ס坐ܣܨൌס孀ܣ耀ൌʹ䳌ι，
∴ס孀ܣ坐ൌס耀ܣܨ൅ס孀ܣ耀൅ס坐ܣܨൌ坐Ͳι，
׶四边形ܣ孀Ӡ坐是菱形，
׶ ܣ坐צ孀Ӡ，
∴ס孀ൌ坐ൌͲι െס孀ܣ坐ൌͲι．
22．如图，在正方形ܣ孀Ӡ坐中，点E，F 分别在边孀ӠǡӠ坐上，且ס孀ܣ耀ൌס坐ܣܨ．求证：Ӡ耀ൌӠܨ．
【答案】证明：׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴ܣ孀ൌܣ坐ǡӠ孀ൌӠ坐ǡס孀ൌס坐ൌͻͲι．
׶ס孀ܣ耀ൌס坐ܣܨ，
∴ᇞܣ孀耀، ᇞܣ坐ܨASA ，
∴孀耀ൌ坐ܨ，
∴Ӡ孀െ孀耀ൌӠ坐െ坐ܨ，
即Ӡ耀ൌӠܨ．
【详解】略
23．如图，ܣӠ、孀坐为正方形ܣ孀Ӡ坐的对角线，若孀坐ൌ，求正方形ܣ孀Ӡ坐的面积．
【答案】8
【分析】根据平行四边形的性质即可求得对角线长，进而即可求解．
【详解】解：在正方形ܣ孀Ӡ坐中，
∴ܣӠ ٣ 孀坐，ܣӠ ൌ孀坐ൌ，
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∴正方形ܣ孀Ӡ坐的面积为：ܵൌ
坐
ʹ ൈൈൌൌ．
24．如图，四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，G 是孀Ӡ 上任意一点（点G 与B、C 不重合），ܣ耀٣ 坐形于E，Ӡܨ٣ 坐形
于F．
(1)求证：ᇞܣ耀坐، ᇞ坐ܨӠ；
(2)求证：ܣ耀ൌܨӠ ൅耀ܨ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由题意得，ܣ坐ൌ坐Ӡ，סܣ耀坐ൌס坐ܨӠ ൌͻͲι，由互余得ס坐ܣ耀ൌסӠ坐ܨ，故ᇞܣ耀坐، ᇞ坐ܨӠ AAS ；
（2）由（1）得ܣ耀ൌ坐ܨ，耀坐ൌܨӠ，故ܣ耀ൌܨӠ ൅耀ܨ．
【详解】（1）证明：׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴ܣ坐ൌ坐Ӡ，סܣ坐Ӡ ൌͻͲι，
∴סܣ坐耀൅סӠ坐ܨൌͻͲι，
׶ ܣ耀٣ 坐形，Ӡܨ٣ 坐形，
∴סܣ耀坐ൌס坐ܨӠ ൌͻͲι，
∴ס坐ܣ耀൅סܣ坐耀ൌͻͲι，
∴ס坐ܣ耀ൌסӠ坐ܨ，
在ᇞܣ耀坐和ᇞ坐ܨӠ 中，
סܣ耀坐ൌס坐ܨӠ
ס坐ܣ耀ൌסӠ坐ܨ
ܣ坐ൌ坐Ӡ
，
∴ᇞܣ耀坐، ᇞ坐ܨӠ AAS ；
（2）证明：׶ᇞܣ耀坐، ᇞ坐ܨӠ，
∴ܣ耀ൌ坐ܨ，耀坐ൌܨӠ，
׶ 坐ܨൌ耀坐൅耀ܨൌܨӠ ൅耀ܨ，
∴ܣ耀ൌܨӠ ൅耀ܨ．
25．如图，正方形ܣ孀Ӡ坐的对角线ܣӠǡ孀坐交于点O，点E、F 分别在ܱ
孀ǡܱӠ 上，连接ܣ耀ǡ坐ܨ，ܣ耀ൌ坐ܨ，
求证：סܣ耀ܱ
ൌס坐ܨܱ．
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【答案】证明见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先根据四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，得ܣܱ
ൌ坐ܱ，סܣܱ耀ൌס坐ܱܨൌͻͲι，又因为ܣ耀ൌ坐ܨ，故Rt ᇞܱ
ܣ耀،Rt ᇞܱ
坐ܨHL ，得סܣ耀ܱ
ൌס坐ܨܱ，即可作答．
【详解】证明：׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴ܣӠ ൌ孀坐，סܣܱ耀ൌס坐ܱܨൌͻͲι，
∴ܣܱ
ൌ
坐
ʹ ܣӠ ൌ
坐
ʹ 孀坐ൌ坐ܱ，
在Rt ᇞܱ
ܣ耀和Rt ᇞܱ
坐ܨ中，ܣܱ
ൌ坐ܱ，ܣ耀ൌ坐ܨ，
∴Rt ᇞܱ
ܣ耀،Rt ᇞܱ
坐ܨHL ，
∴סܣ耀ܱ
ൌס坐ܨܱ．
26．如图，在ᇞܣ孀Ӡ 中，ܣ孀ൌܣӠ，点D 是孀Ӡ 的中点，过点A 作ܣ耀平行于孀Ӡ，且ܣ耀ൌӠ坐，连接孀耀．
(1)求证：四边形ܣ耀孀坐是矩形．
(2)当סܣ孀Ӡ ൌι时，四边形ܣ耀孀坐是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)45
【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，三线合一定理，等腰直角三角形的性质与
判定，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键．
（1）可证明ܣ耀ൌ孀坐，则可证明四边形ܣ耀孀坐是平行四边形，由三线合一定理得到ܣ坐٣ 孀Ӡ，据此可证明
结论；
（2）当סܣ孀Ӡ ൌ䳌ι时，可证明ᇞܣ孀坐是等腰直角三角形，得到ܣ坐ൌ孀坐，则可证明矩形ܣ耀孀坐是正方形．
【详解】（1）证明：׶点D 是孀Ӡ 的中点，
∴孀坐ൌӠ坐，
又׶ܣ耀ൌӠ坐，
∴ܣ耀ൌ孀坐，
׶ܣ耀צ孀Ӡ，ܣ耀ൌ孀坐，
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∴四边形ܣ耀孀坐是平行四边形，
׶ܣ孀ൌܣӠ，D 是孀Ӡ 的中点，
∴ܣ坐٣ 孀Ӡ，
∴סܣ坐孀ൌͻͲι，
∴四边形ܣ耀孀坐是矩形．
（2）解：当סܣ孀Ӡ ൌ䳌ι时，四边形ܣ耀孀坐是正方形，证明如下：
由（1）可得ܣ坐٣ 孀Ӡ，且四边形ܣ耀孀坐是矩形，
又׶ܣ坐٣ 孀Ӡ，סܣ孀Ӡ ൌ䳌ι，
∴ᇞܣ孀坐是等腰直角三角形，
∴ܣ坐ൌ孀坐，
∴矩形ܣ耀孀坐是正方形．
27．如图，等腰梯形ܣ孀Ӡ坐中，ܣ坐צ孀Ӡ，‴、〴分别是ܣ坐、孀Ӡ 的中点，耀、ܨ分别是孀‴、Ӡ‴ 中点．
(1)求证：四边形‴耀〴ܨ是菱形；
(2)若四边形‴耀〴ܨ是正方形，请探索等腰梯形ܣ孀Ӡ坐的高和底边孀Ӡ 的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明：׶四边形ܣ孀Ӡ坐为等腰梯形，
∴ܣ孀ൌӠ坐，סܣൌס坐，
׶‴ 为ܣ坐的中点，
∴ܣ‴ ൌ坐‴，
∴在ᇞܣ孀‴ 和ᇞ坐Ӡ‴ 中，
ܣ孀ൌӠ坐
סܣൌס坐
ܣ‴ ൌ坐‴
∴ᇞܣ孀‴، ᇞ坐Ӡ‴ SAS ，
∴孀‴＝Ӡ‴，
׶耀、ܨ、〴分别是‴孀、Ӡ‴、孀Ӡ 的中点，
∴耀〴、ܨ〴分别为ᇞ孀‴Ӡ 的中位线，
∴耀〴ൌ
坐
ʹ ‴Ӡ，ܨ〴ൌ
坐
ʹ ‴孀，且‴耀ൌ孀耀ൌ
坐
ʹ ‴孀，‴ܨൌܨӠ ൌ
坐
ʹ ‴Ӡ，
∴耀〴＝ܨ〴＝ܨ‴＝耀‴，
∴四边形耀〴ܨ‴ 是菱形；
(2)结论：等腰梯形ܣ孀Ӡ坐的高是底边孀Ӡ 的一半．
理由：连接‴〴，
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׶孀‴ ൌӠ‴，孀〴ൌӠ〴，
∴‴〴٣ 孀Ӡ，
∴‴〴是梯形ܣ孀Ӡ坐的高，
又׶四边形‴耀〴ܨ是正方形，
∴ס耀‴ܨൌͻͲι，
∴ᇞ孀‴Ӡ 为直角三角形，
又׶〴是孀Ӡ 的中点，
∴‴〴ൌ
坐
ʹ 孀Ӡ，
即等腰梯形ܣ孀Ӡ坐的高是底边孀Ӡ 的一半．
【分析】（1）利用等腰梯形的性质证明ᇞܣ孀‴، ᇞ坐Ӡ‴，得到孀‴＝Ӡ‴，再利用中位线的性质证明
耀〴＝ܨ〴＝ܨ‴＝耀‴，即可证明四边形耀〴ܨ‴ 是菱形；
（2）连接‴〴，利用等腰三角形三线合一的性质证明‴〴٣ 孀Ӡ，利用正方形的性质得到ס耀‴ܨൌͻͲι，证
明出ᇞ孀‴Ӡ 为直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到‴〴ൌ
坐
ʹ 孀Ӡ．
【详解】（1）略
（2）略
28．请阅读下列材料：
问题：如图，在正方形ܣ孀Ӡ坐和平行四边形孀耀ܨ形中，点A，B，E 在同一条直线上，P 是线段坐ܨ的中点，
连接ܲ
形ǡܲӠ．
探究：当ܲ
形与ܲ
Ӡ 的夹角为多少度时，平行四边形孀耀ܨ形是正方形？
小聪同学的思路是：首先可以说明四边形孀耀ܨ形是矩形；然后延长形ܲ
交坐Ӡ 于点H，构造全等三角形，经
过推理可以探索出问题的答案．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．
(1)求证：四边形孀耀ܨ形是矩形；
(2)ܲ形与ܲ
Ӡ 的夹角为_______度时，四边形孀耀ܨ形是正方形．
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理由：
【答案】(1)证明：׶正方形ܣ孀Ӡ坐中，סܣ孀Ӡ ൌͻͲι，
∴ס耀孀形ൌͻͲι，
׶平行四边形孀耀ܨ形，
∴四边形孀耀ܨ形是矩形．
(2)解：ͻͲ；
理由：延长形ܲ
交坐Ӡ 于点H，
׶正方形ܣ孀Ӡ坐和平行四边形孀耀ܨ形中，ܣ孀צ坐Ӡǡ孀耀צ形ܨ，
∴坐Ӡצ形ܨ，
∴סܩ坐ܲ
ൌס形ܨܲǡס坐ܩܲ
ൌסܨ形ܲ，
׶P 是线段坐ܨ的中点，
∴坐ܲ
ൌܨܲ，
∴ᇞ坐ܩܲ، ᇞܨ形ܲሺAASሻ，
∴ܩܲ
ൌ形ܲ，坐ൌܩ形ܨ，
当סӠܲ形ൌͻͲι时，סӠܲൌܩסӠܲ形，
׶Ӡܲ
ൌӠܲ，
∴ᇞӠܲܩ، ᇞӠܲ形ሺSASሻ，
∴ӠൌܩӠ形，
׶正方形ܣ孀Ӡ坐中，坐Ӡ ൌ孀Ӡ，
∴坐Ӡ െӠൌܩ孀Ӡ െӠ形，即坐ൌܩ孀形，
∴孀形ൌ形ܨ，
∴平行四边形孀耀ܨ形是菱形，
由（1）知四边形孀耀ܨ形是矩形，
∴四边形孀耀ܨ形是正方形．
【分析】（1）根据正方形的性质得出ס耀孀形ൌͻͲι，再由矩形的判定即可证明；
（2）延长形ܲ
交坐Ӡ 于点H，根据全等三角形的判定得出ᇞ坐ܩܲ، ᇞܨ形ܲሺAASሻ，ᇞӠܲܩ، ᇞӠܲ形ሺSASሻ，再
由其性质确定ܩܲ
ൌ形ܲ，ӠൌܩӠ形，结合正方形的判定即可证明．
【详解】（1）略
（2）略
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29．如图，点耀是正方形ܣ孀Ӡ坐的边孀Ӡ 的中点，连接坐耀，将ᇞ耀坐Ӡ 沿坐耀所在直线折叠，点Ӡ 落在点ܨ
处，连接耀ܨ并延长交ܣ孀于点形，连接坐形．
(1)求证：ᇞܣ坐形، ᇞܨ坐形；
(2)若ܣ孀ൌ͸，求ܣ形的长．
【答案】(1)证明：׶四边形ܣ孀Ӡ坐为正方形，
∴坐Ӡ ൌ坐ܣ，סܣൌס坐Ӡ孀ൌͻͲι，
根据折叠的性质可知，坐Ӡ ൌ坐ܨ，ס坐Ӡ耀ൌס坐ܨ耀ൌס坐ܨ形ൌͻͲι，
∴坐ܨൌ坐ܣ，
׶在Rt ᇞܣ坐形和Rt ᇞܨ坐形中，
坐ܨൌ坐ܣ
坐形ൌ坐形
∴Rt ᇞܣ坐形،Rt ᇞܨ坐形HL ．
(2)ܣ形ൌʹ
【分析】（1）利用折叠与正方形性质得到直角和一组直角边相等，结合公共斜边，用HL 证明两个直角三
角形全等；
（2）借助全等三角形和折叠的性质推出相等线段，设ܣ形ൌܽ
，然后表示出Rt ᇞ孀形耀各边长，再用勾股定
理列方程求解．
【详解】（1）略
（2）解：׶ ܣ孀ൌ孀Ӡ ൌ͸，点耀是孀Ӡ 的中点，
∴孀耀ൌ耀Ӡ ൌ͵，
∴由折叠的性质可知，ܨ耀ൌ͵，
׶据（1）知Rt ᇞܣ坐形،Rt ᇞܨ坐形，
∴ܣ形ൌ形ܨ，
设ܣ形ൌܽ
，则形ܨൌܽ
，孀形ൌ͸ െܽ
，形耀ൌ形ܨ൅ܨ耀ൌܽ
൅͵，
׶ ס孀ൌͻͲι，
∴在Rt ᇞ孀形耀中，孀形ʹ ൅孀耀ʹ ൌ形耀ʹ，即͸ െܽ
ʹ ൅͵ʹ ൌܽ
൅͵ ʹ，
解得ܽ
ൌʹ，
∴ܣ形ൌʹ．
30．在学习《特殊平行四边形》时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出下
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面思维导图帮助学生理解记忆．
(1)在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为________，________；
(2)对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形中
的一个，添加除对角线外的条件变成正方形．________是正方形；（请将添加的条件填在横线上）
(3)通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明．
已知：如图，E、F 是正方形ܣ孀Ӡ坐的对角线孀坐所在直线上的两点，且孀耀ൌ坐ܨ．
求证：四边形ܣ耀Ӡܨ是菱形．
【答案】(1)相等，相等且互相垂直
(2)一组邻边相等的矩形（答案不唯一）
(3)证明：连接ܣӠ 交耀ܨ于点ܱ
，如图
׶四边形ܣ孀Ӡ坐是正方形，
∴ܱ
孀ൌܱ
坐，ܱܣൌܱ
Ӡ，ܣӠ ٣ 孀坐．
׶ 孀耀ൌ坐ܨ，
∴孀耀൅ܱ
孀ൌ坐ܨ൅ܱ
坐，
即ܱ
耀ൌܱ
ܨ．
又׶ܱ
ܣൌܱ
Ӡ，
∴四边形ܣ耀Ӡܨ是平行四边形．
׶ ܣӠ ٣ 耀ܨ，
∴四边形ܣ耀Ӡܨ是菱形．
【分析】（1）根据矩形，正方形的判定进行求解即可；
（2）根据正方形的判定进行求解即可；
（3）连接ܣӠ 交耀ܨ于点ܱ
，根据正方形的性质，得到ܱ
孀ൌܱ
坐，ܱܣൌܱ
Ӡ，ܣӠ ٣ 孀坐，继而推导出ܱ
耀ൌܱ
ܨ，
得到四边形ܣ耀Ӡܨ是平行四边形，再根据ܣӠ ٣ 耀ܨ，可得到四边形ܣ耀Ӡܨ是菱形，即可解答．
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【详解】（1）解：׶对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形，
∴对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，
即在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为相等，相等且互相垂直；
（2）解：由一组邻边相等的矩形是正方形，可知
横线上的答案为一组邻边相等的矩形（答案不唯一）；
（3）略
31．如图，在ᇞܣ孀Ӡ 中，ܣ孀ൌܣӠ，ܣ坐是ᇞܣ孀Ӡ 的角平分线，点O 为ܣ孀的中点，过点A 作直线ܣ耀交坐ܱ
并延长到点E，使ס耀ܣ孀ൌסӠ，连接孀耀．
(1)求证：孀Ӡ צ ܣ耀．
(2)求证：四边形ܣ耀孀坐是矩形；
(3)当ᇞܣ孀Ӡ 满足什么条件时，四边形ܣ耀孀坐是正方形，并说明理由．
【答案】(1)证明：׶ ܣ孀ൌܣӠ，
∴סӠ孀ܣൌסӠ，
׶ס耀ܣ孀ൌסӠ，
∴ס耀ܣ孀ൌסӠ孀ܣ，
∴孀Ӡ צ ܣ耀．
(2)证明：׶点O 为AB 的中点
∴孀ܱ
ൌܣܱ，
在ᇞ孀ܱ坐和ᇞܣܱ耀中，
ס坐孀ܱ
ൌס耀ܣܱ
孀ܱ
ൌܣܱ
ס孀ܱ坐ൌסܣܱ耀
∴ᇞ孀ܱ坐، ᇞܣܱ耀ASA ，
∴孀坐ൌ耀ܣ，
׶ 孀Ӡ צ ܣ耀，即孀坐צ ܣ耀．
∴四边形ܣ耀孀坐是平行四边形；
׶ܣ孀ൌܣӠ，ܣ坐是ᇞܣ孀Ӡ 的角平分线，
∴ܣ坐٣ 孀Ӡ，
∴ס坐孀ܣൌͻͲι，
∴
ܣ耀孀坐是矩形．
(3)当ᇞܣ孀Ӡ 满足ס孀ܣӠ ൌͻͲι时，四边形ܣ耀孀坐是正方形．
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理由如下：
׶ܣ孀ൌܣӠ，ס孀ܣӠ ൌͻͲι，
∴סܣ孀Ӡ ൌסܣӠ孀ൌ
坐
ʹ 坐ൌͲι െס孀ܣӠ ൌ
坐
ʹ ൈ坐ൌͲι െͻͲι ൌ䳌ι，
׶ܣ坐是ᇞܣ孀Ӡ 的角平分线，
∴ס孀ܣ坐ൌ
坐
ʹ ס孀ܣӠ ൌ䳌ι，
∴סܣ孀Ӡ ൌס孀ܣ坐，
∴孀坐ൌ坐ܣ，
׶四边形ܣ耀孀坐是矩形，
∴四边形ܣ耀孀坐是正方形．
【分析】（1）根据“等边对等角”得到סӠ孀ܣൌסӠ，即可推出ס耀ܣ孀ൌסӠ孀ܣ，根据平行线的判定即可证明；
（2）先证明ᇞ孀ܱ坐، ᇞܣܱ耀ASA 得到孀坐ൌ耀ܣ，结合孀Ӡצܣ耀得到
ܣ耀孀坐，再根据“三线合一”得到ܣ坐٣ 孀Ӡ，
即可证明
ܣ耀孀坐是矩形；
（3）当ס孀ܣӠ ൌͻͲι时，סܣ孀Ӡ ൌס孀ܣ坐ൌ䳌ι，得到孀坐ൌ坐ܣ，即可得到四边形ܣ耀孀坐是正方形．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
32．四边形ܣ孀Ӡ坐中，点E、F、G、H 分别为ܣ孀、孀Ӡ、Ӡ坐、坐ܣ边的中点，顺次连接各边中点得到的新四
边形耀ܨ形ܩ称为中点四边形．
(1)求证：四边形耀ܨ形ܩ都是平行四边形；
(2)①当对角线ܣӠ ൌ孀坐时，四边形ܣ孀Ӡ坐的中点四边形为_____形；
②当对角线ܣӠ ٣ 孀坐时，四边形ܣ孀Ӡ坐的中点四边形是______形．
(3)如图：四边形ܣ孀Ӡ坐中，已知ס孀ൌסӠ ൌ͸Ͳι，且孀Ӡ ൌܣ孀൅Ӡ坐，请利用（1）中的结论，判断四边形ܣ孀Ӡ坐
的中点四边形耀ܨ形ܩ是______形．
【答案】(1)证明：如图，连接ܣӠ，
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׶点耀，ܨ，形，ܩ分别为ܣ孀，孀Ӡ，Ӡ坐，坐ܣ边的中点，
∴ܩ形和耀ܨ是ᇞܣӠ坐和ᇞܣӠ孀的中位线，
∴ܩ形צܣӠ，耀ܨצܣӠ，形ൌܩ
坐
ʹ ܣӠ，耀ܨൌ
坐
ʹ ܣӠ，
∴ܩ形ൌ耀ܨ，ܩ形צ耀ܨ，
∴四边形耀ܨ形ܩ是平行四边形；
(2)①菱；②矩
(3)菱
【分析】（1）连接ܣӠ，利用三角形的中位线定理推导出ܩ形ൌ耀ܨ，ܩ形צ耀ܨ，然后利用平行四边形的判定
可得结论；
（2）①连接孀坐，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH 都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形
是菱形证明；
②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；
（3）分别延长孀ܣ、Ӡ坐相交于点M，连接ܣӠ、孀坐，证明ᇞܣ孀Ӡ، ᇞ坐‴孀，得到ܣӠ ൌ坐孀，根据（2）①
证明即可．
【详解】（1）略
（2）解：①连接孀坐，
׶点耀，ܨ，形，ܩ分别为ܣ孀，孀Ӡ，Ӡ坐，坐ܣ边的中点，
∴耀ܩ和耀ܨ是ᇞܣ孀坐和ᇞܣӠ孀的中位线，
∴耀ൌܩ
坐
ʹ 孀坐，耀ܨൌ
坐
ʹ ܣӠ，
׶ܣӠ ൌ孀坐，
∴耀ܨൌ耀ܩ，
由（1）知四边形耀ܨ形ܩ是平行四边形，
∴四边形耀ܨ形ܩ是菱形；
②׶点耀，ܨ，形，ܩ分别为ܣ孀，孀Ӡ，Ӡ坐，坐ܣ边的中点，
∴耀ܩ和耀ܨ是ᇞܣ孀坐和ᇞܣӠ孀的中位线，
∴耀ܩצ孀坐，耀ܨצܣӠ，
׶ܣӠ ٣ 孀坐，
∴耀ܨ٣ 耀ܩ，即סܩ耀ܨൌͻͲι，
由（1）知四边形耀ܨ形ܩ是平行四边形，
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∴四边形耀ܨ形ܩ是矩形；
（3）解：四边形ܣ孀Ӡ坐的中点四边形耀ܨ形ܩ是菱形．理由如下：
分别延长孀ܣ、Ӡ坐相交于点M，连接ܣӠ、孀坐，
׶סܣ孀Ӡ ൌס孀Ӡ坐ൌ͸Ͳι，
∴ᇞ孀Ӡ‴ 是等边三角形，
∴‴孀ൌ孀Ӡ ൌӠ‴，ס‴ ൌ͸Ͳι，
׶孀Ӡ ൌܣ孀൅Ӡ坐，
∴‴ܣ൅ܣ孀ൌܣ孀൅Ӡ坐ൌӠ坐൅坐‴，
∴‴ܣൌӠ坐，坐‴ ൌܣ孀，
在ᇞܣ孀Ӡ 和ᇞ坐‴孀中，
ܣ孀ൌ坐‴
סܣ孀Ӡ ൌס‴
孀Ӡ ൌ孀‴
，
∴ᇞܣ孀Ӡ، ᇞ坐‴孀SAS ，
∴ܣӠ ൌ坐孀，
由（2）①知，四边形ܣ孀Ӡ坐的中点四边形耀ܨ形ܩ是菱形．
33．综合与实践
【情境】有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图1 所示，已知סܣ孀Ӡ ൌסܣ坐Ӡ ൌͻͲι，ܣ孀ൌ͸，
孀Ӡ ൌൌ，ܣ坐ൌӠ坐ൌ䳌ʹ，现要把每块木板都只分割一次，将其拼成正方形（说明：木板拼接不重叠，无
缝隙，无剩余）；
【操作】选取其中一块四边形木板拼成一个正方形，如图2，
嘉嘉过点坐分别作坐耀٣ 孀Ӡ 于点耀，坐ܨ٣ ܣ孀交孀ܣ的延长线于点ܨ，并说：“沿坐耀进行分割，得到能与
ᇞܣ坐ܨ完全重合的ᇞӠ坐耀，即可拼得正方形孀耀坐ܨ．”
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(1)求证：ᇞܣ坐ܨ، ᇞӠ坐耀；
(2)求Ӡ耀的长；
【拓展】将两块四边形木板拼成一个大正方形，淇淇说：“如图3，将每一块四边形都沿同一条分割线进行
分割，即可拼成两个等腰直角三角形，最终拼得一个大正方形．”
(3)在图3 中画出一条分割线，并直接
．．写出这条分割线的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
(3)作图见解析，分割线长为͹ ʹ
【分析】（1）根据AAS 证明即可；
（2）先证明四边形孀耀坐ܨ是正方形，则孀耀ൌ孀ܨ，而孀ܨൌܣ孀൅耀ܨ，再进行等量代换求解即可；
（3）将四边形ܣ孀Ӡ坐沿着孀坐剪开，再将ᇞӠ孀坐拼接到ᇞܣܨ坐的位置即可，连接孀坐，过点坐作坐ܨ٣ 孀坐
交孀ܣ的延长线于点ܨ，证明ᇞ坐ܣܨ، ᇞ坐Ӡ孀ASA ，得到ᇞ孀坐ܨ是等腰直角三角形，再由勾股定理求解即
可．
【详解】（1）证明：׶坐耀٣ 孀Ӡ，坐ܨ٣ ܣ孀
∴סӠ耀坐ൌסܣܨ坐ൌͻͲι
׶סܣ孀Ӡ ൌͻͲι
∴四边形孀耀坐ܨ是矩形，
∴ס耀坐ܨൌͻͲι
∴סܣ坐ܨ൅סܣ坐耀ൌͻͲι
׶סܣ坐Ӡ ൌͻͲι
∴סܣ坐耀൅סӠ坐耀ൌͻͲι
∴סܣ坐ܨൌסӠ坐耀
又׶ܣ坐ൌӠ坐
∴סܣ坐ܨൌסӠ坐耀
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∴ᇞܣ坐ܨ، ᇞӠ坐耀AAS ；
（2）解：׶ᇞܣ坐ܨ، ᇞӠ坐耀
∴坐ܨൌ坐耀ǡܣܨൌӠ耀，
׶四边形孀耀坐ܨ是矩形，
∴四边形孀耀坐ܨ是正方形，
∴孀耀ൌ孀ܨ
׶孀ܨൌܣ孀൅耀ܨ
∴孀ܨൌ͸ ൅ܣܨൌ͸ ൅Ӡ耀
∴孀Ӡ ൌ孀耀൅Ӡ耀ൌ͸ ൅ʹӠ耀
∴͸ ൅ʹӠ耀ൌൌ
∴Ӡ耀ൌ坐；
（3）解：如图，分割线孀坐即为所求；
将四边形ܣ孀Ӡ坐沿着孀坐剪开，再将ᇞӠ孀坐拼接到ᇞܣܨ坐的位置即可，
连接孀坐，过点坐作坐ܨ٣ 孀坐交孀ܣ的延长线于点ܨ，
∴סܨ坐孀ൌͻͲι ൌסܣ坐Ӡ
∴סܨ坐ܣൌס孀坐Ӡ ൌͻͲι െסܣ坐孀
׶在四边形ܣ孀Ӡ坐中，סܣ孀Ӡ ൅סܣ坐Ӡ ൌͻͲι ൅ͻͲι ൌ坐ൌͲι
∴ס孀ܣ坐൅סӠ ൌ坐ൌͲι
׶ס孀ܣ坐൅ס坐ܣܨൌ坐ൌͲι
∴ס坐ܣܨൌסӠ
׶坐ܣൌ坐Ӡ
∴ᇞ坐ܣܨ، ᇞ坐Ӡ孀ASA
∴坐ܨൌ坐孀，ܣܨൌ孀Ӡ
∴孀ܨൌܣ孀൅ܣܨൌܣ孀൅孀Ӡ ൌ͸ ൅ൌൌ坐
׶ס孀坐ܨൌͻͲι
∴坐孀ʹ ൅坐ܨʹ ൌ孀ܨʹ
∴孀坐ൌ
ʹ
ʹ 孀ܨൌ
ʹ
ʹ ൈ坐ൌ͹ ʹ．
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34．已知：如图，菱形ܣ孀Ӡ坐的对角线ܣӠ、孀坐交于点ܱ
，分别过点C、D 作Ӡܨצ 孀坐，坐ܨצ ܣӠ，连接孀ܨ
交ܣӠ 于点耀．
(1)求证：ᇞܨӠ耀، ᇞ孀ܱ耀；
(2)当ܣ坐٣ Ӡ坐时，判断四边形ܱ
Ӡܨ坐的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形ܱ
Ӡܨ坐的形状是正方形，理由见解析
【分析】
（1）证明四边形ܱ
Ӡܨ坐是平行四边形，得出ܱ
坐ൌӠܨ，证出ܱ
孀ൌӠܨ，即可得出ᇞܨӠ耀، ᇞ孀ܱ耀ሺAASሻ；
（2）先证明四边形ܣ孀Ӡ坐为正方形，得到ܱ
坐ൌܱ
ӠǡסӠܱ坐ൌͻͲι，即可得出结论.
【详解】（1）证明：׶ Ӡܨצ 孀坐，坐ܨצ ܣӠ，
∴四边形ܱ
Ӡܨ坐是平行四边形，סܱ孀耀ൌסӠܨ耀，
∴ܱ
坐ൌӠܨ，
׶四边形ܣ孀Ӡ坐是菱形，
∴ܱ
孀ൌܱ
坐，
∴ܱ
孀ൌӠܨ，
在ᇞܨӠ耀和ᇞ孀ܱ耀中，
סܱ孀耀ൌסӠܨ耀
ס孀耀ܱ
ൌסܨ耀Ӡܱ
孀ൌӠܨ
，
∴ᇞܨӠ耀، ᇞ孀ܱ耀ሺAASሻ；
（2）解：四边形ܱ
Ӡܨ坐的形状是正方形，理由如下：
׶菱形ܣ孀Ӡ坐，ܣ坐٣ Ӡ坐，
∴四边形ܣ孀Ӡ坐为正方形，
∴ܱܣൌܱ
孀ൌܱ
Ӡ ൌܱ
坐ǡסӠܱ坐ൌͻͲι，
由（1）知：四边形ܱ
Ӡܨ坐是平行四边形，
׶סӠܱ坐ൌͻͲι，
∴四边形ܱ
Ӡܨ坐是矩形，
又׶ܱӠ ൌܱ
坐，
∴四边形ܱ
Ӡܨ坐是正方形.
35．如图，将边长为4 个单位长度的正方形ܣ孀Ӡ坐置于平面直角坐标系中，使ܣ孀边落在x 轴的正半轴上，
其他边在x 轴的上方，点A 的坐标是ʹǡͲ ，点E 的坐标是͵ǡͲ ．
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(1)若直线l 经过点C 和点E，求直线l 的函数解析式；
(2)若直线݈坐经过点ܨെ坐ǡͲ ，且与直线ݕൌ͵݇
平行，将（1）中直线l 沿着y 轴向上平移2 个单位长度后交
x 轴于点M，交直线݈坐于点N，求ᇞ〴‴ܨ的面积．
【答案】(1)ݕൌ

͵݇
െ
(2)
坐䳌
ʹ
【分析】（1）根据图形推出点C 的坐标，设直线l 的函数解析式为ݕൌ݇݇
൅ܾ．利用待定系数法求解，即
可解题；
（2）设直线݈坐的函数解析式为ݕൌ͵݇൅ܿ，利用待定系数法求出直线݈坐的函数解析式，根据函数的平移规律
推出直线l 平移后的函数解析式，进而求出点M 的坐标，联立l 与݈坐求出点N 的坐标，再结合三角形面积公
式求解，即可解题．
【详解】（1）解：由题意知，点C 的坐标是͸ǡ．
设直线l 的函数解析式为ݕൌ݇݇
൅ܾ．
׶直线l 经过点Ӡ ͸ǡ和点耀͵ǡͲ ，
∴ൌ͸݇൅ܾ
Ͳ ൌ͵݇൅ܾ
，
解得݇
ൌ

͵ܾ
ൌെ
，
∴直线l 的函数解析式为ݕൌ

͵݇
െ．
（2）解：设直线݈坐的函数解析式为ݕൌ͵݇൅ܿ，
将ܨെ坐ǡͲ 代入，得Ͳ ൌ͵ ൈെ坐൅ܿ．
解得ܿ
ൌ͵．
∴直线݈坐的函数解析式为ݕൌ͵݇൅͵．
由题意知，（1）中直线l 沿着y 轴向上平移2 个单位长度后的函数解析式为ݕൌ

͵݇
െʹ．
当ݕൌͲ 时，Ͳ ൌ

͵݇
െʹ．
解得݇
ൌ
͵
ʹ．
∴点M 的坐标是
͵
ʹ ǡͲ ．
∴‴ܨൌ
䳌
ʹ．
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联立ݕൌ

͵݇
െʹ
ݕൌ͵݇൅͵
，
解得݇
ൌെ͵
ݕൌെ͸ ，
∴点N 的坐标是െ͵ǡ െ͸ ．
∴ܵᇞ〴ܨ‴ ൌ
坐
ʹ ൈ
͵
ʹ ൅坐ൈെ͸ ൌ
坐䳌
ʹ ．