第05讲一元二次方程的解法（知识点+8题型）（暑假预习讲义）（解析版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_暑假预习讲义+测试卷

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第05 讲
一元二次方程的解法（知识点+8 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 解一元二次方程-直接开平方法
题型2 解一元二次方程-配方法
题型3 根据判别式判断一元二次方程根的情况
题型4 根据一元二次方程根的情况求参数
题型5 解一元二次方程-公式法
题型6 解一元二次方程-因式分解法
题型7 换元法解一元二次方程
题型8 解分式方程（化为一元二次）
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
直接开平方法配方法
求根公式公式法因式
分解法一元二次方程
解法的选择
1. 掌握直接开平方法，能解形如x2=p(p≥0)和(x+n) 2=p(p≥0)的一元二次方
程，理解其依据是平方根的定义。
2. 理解配方法的原理，掌握配方法解一元二次方程的规范步骤，能熟练运用
配方法解二次项系数为1 和不为1 的一元二次方程。
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3. 经历一元二次方程求根公式的推导过程，掌握求根公式
ݔൌ
െܾ±ܾ
ʹെͶܽܿ
ʹܽ
(ܾʹ െͶܽܿ
൒Ͳ)，能运用公式法解任意有实数根的一元二次方
程。
4. 理解因式分解法解一元二次方程的原理（若ab=0，则a=0 或b=0），能
运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式，进而解一元二次方
程。
5. 能根据一元二次方程的结构特点，灵活选择最简便的解法，体会“降次”
的转化思想，养成规范解题、检验结果的良好习惯。
学习重点：配方法、公式法、因式分解法三种基本解法，根据方程特点选择合适的解法。
学习难点：配方法的理解与规范应用（特别是二次项系数不为1 时的配方），灵活选择一元二次方程
的解法，因式分解法中对多项式的准确因式分解。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 直接开平方法
适用形式：能化成ݔʹ ൌ݌或(݉
ݔ+݊
)ʹ ൌ݌（݌൒Ͳ）形式的一元二次方程
解法步骤：
把方程化为左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数
两边同时开平方，转化为两个一元一次方程
解一元一次方程得到原方程的根
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数学语言：
若ݔʹ ൌ݌（݌൒Ͳ），则ݔൌ±
݌
若(݉
ݔ+݊
)ʹ ൌ݌（݌൒Ͳ），则݉
ݔ+݊
ൌ±
݌
即时即练
1．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程ݔݔ+ Ͷ ൌ͸．
解：原方程可变形得
ݔ+ ʹ െʹ
ݔ+ ʹ + ʹ ൌ͸．
ݔ+ ʹ ʹ െʹʹ ൌ͸，
ݔ+ ʹ ʹ ൌ͸ + ʹʹ，
ݔ+ ʹ ʹ ൌ香Ͳ．
直接开平方并整理，得ݔ香ൌെʹ +
香Ͳ，ݔʹ ൌെʹ െ
香Ͳ．
我们称小明这种解法为“平均数法”．
请用“平均数法”解方程：ݔെ程
ݔ+ 㤲ൌ͸．
【答案】ݔ香ൌ香+
ʹʹǡݔʹ ൌ香െ
ʹʹ
【分析】将原方程整理为ሾ(ݔെ香) െͶሿሾ(ݔെ香) + Ͷሿൌ͸，依据平方差公式可得(ݔെ香)ʹ െͶʹ ൌ͸，再整理，
并开方可得答案．
【详解】解：(ݔെ程)(ݔ+ 㤲) ൌ͸，
原方程变形，得ሾ(ݔെ香) െͶሿሾ(ݔെ香) + Ͷሿൌ͸
由平方差公式，得(ݔെ香)ʹ െͶʹ ൌ͸，
即(ݔെ香)ʹ ൌʹʹ，
开方，得ݔെ香ൌ±
ʹʹ，
∴ݔ香ൌ香+
ʹʹǡݔʹ ൌ香െ
ʹʹ．
【易错提醒】
开平方时必须写±号，否则会丢失一个根
当݌< Ͳ 时，方程没有实数根，不要强行开平方
完全平方式展开错误，如把(ݔെʹ)ʹ ൌͻ 错误写成ݔെʹ ൌ㤲，漏掉ݔെʹ ൌെ㤲的情况
知识点02
配方法
通过配方把一元二次方程转化为(ݔ+݉
)ʹ ൌ݊
的形式，再用直接开平方法求解的方法
解法步骤：
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移项：把常数项移到方程右边
化1：二次项系数化为1（方程两边同时除以二次项系数）
配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方
变形：左边写成完全平方式，右边合并同类项
开方：两边同时开平方
求解：解两个一元一次方程
数学语言：
对于ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ（ܽ
≠Ͳ）
ݔʹ +ܾܽ
ݔൌെܿܽ
ݔʹ +ܾܽ
ݔ+ (ܾʹܽ)ʹ ൌെܿܽ
+ (ܾʹܽ)ʹ
(ݔ+ܾʹܽ)ʹ ൌܾ
ʹ െͶܽܿ
Ͷܽʹ
即时即练
2．用配方法解方程ݔʹ െͶݔ+ 香ൌͲ 时，将原方程转化为ݔ+݉
ʹ ൌ݊
的形式可得____．
【答案】ݔെʹ ʹ ൌ㤲
【分析】先移项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可．
【详解】解：∵ݔʹ െͶݔ+ 香ൌͲ，
移项得ݔʹ െͶݔൌെ香，
配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得：
ݔʹ െͶݔ+ Ͷ ൌെ香+ Ͷ，
整理得ݔെʹ ʹ ൌ㤲．
【易错提醒】
二次项系数不为1 时，所有项都要除以二次项系数，常数项不能漏除
配方时必须在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，只加左边会导致等式不成立
一次项系数一半的平方计算错误，如一次项系数为3，错误加3^2=9，正确应为(3/2 )^2=9/4
知识点03
公式法
求根公式：对于一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ（ܽ
≠Ͳ），当Δ ൌܾ
ʹ െͶܽܿ
൒Ͳ 时，它的根是
ݔൌെܾ
±ܾ
ʹ െͶܽܿ
ʹܽ
解法步骤：
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把方程化为一般形式ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ
确定ܽ
、ܾ、ܿ的值（注意符号）
计算判别式Δ ൌܾ
ʹ െͶܽܿ
的值
若Δ ൒Ͳ，代入求根公式求解；若Δ < Ͳ，方程没有实数根
教材重要概念：判别式Δ ൌܾ
ʹ െͶܽܿ
Δ > Ͳ：方程有两个不相等的实数根
Δ ൌͲ：方程有两个相等的实数根
Δ < Ͳ：方程没有实数根
即时即练
3．解方程：
(1)ݔʹ െʹݔൌ程；
(2)ݔʹ െݔെ香ൌͲ．
【答案】(1)ݔ香ൌ香+
͸，ݔʹ ൌ香െ
͸
(2)ݔ香ൌ
香+ 程
ʹ ，ݔʹ ൌ
香െ程
ʹ
【详解】（1）解：ݔʹ െʹݔൌ程，
配方得：ݔʹ െʹݔ+ 香ൌ程+ 香，
即ݔെ香ʹ ൌ͸，
开平方得：ݔെ香ൌ±
͸，
解得：ݔ香ൌ香+
͸，ݔʹ ൌ香െ
͸；
（2）解：ݔʹ െݔെ香ൌͲ，ܽ
ൌ香，ܾ
ൌെ香，ܿൌെ香，
Δ ൌܾ
ʹ െͶܽܿ
ൌെ香ʹ െͶ ൈ香ൈെ香ൌ程，
∴ݔൌ
香± 程
ʹ ，
解得：ݔ香ൌ
香+ 程
ʹ ，ݔʹ ൌ
香െ程
ʹ ．
【易错提醒】
必须先将方程化为右边为0 的一般形式，否则a、b、c 的符号会判断错误
代入公式时，b 前面有负号，如b=-5 时，-b=5，容易符号出错
忘记先计算判别式，当Δ<0 时仍强行代入公式求解
分母2a 容易漏写，或写成a
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知识点04 因式分解法
原理：若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0，即若ܾܽ
ൌͲ，则ܽ
ൌͲ 或ܾ
ൌͲ
适用形式：方程左边能分解为两个一次因式的乘积，右边为0
解法步骤：
移项：将方程右边化为0
分解：把方程左边分解为两个一次因式的乘积
降次：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程
求解：解这两个一元一次方程，得到原方程的根
常用分解方法：提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法
即时即练
4．用合适方法解下列方程：
(1)ʹݔʹ െͺݔൌͲ；
(2)ݔʹ െݔൌ͸．
【答案】(1)ݔ香ൌͲǡݔʹ ൌͶ
(2)ݔ香ൌ㤲ǡݔʹ ൌെʹ
【详解】（1）解：ʹݔʹ െͺݔൌͲ
ʹݔݔെͶ ൌͲ
ʹݔൌͲ 或ݔെͶ ൌͲ
∴ݔ香ൌͲǡݔʹ ൌͶ；
（2）解：ݔʹ െݔൌ͸
ݔʹ െݔെ͸ ൌͲ
ݔെ㤲
ݔ+ ʹ ൌͲ
∴ݔെ㤲ൌͲ 或ݔ+ ʹ ൌͲ
∴ݔ香ൌ㤲ǡݔʹ ൌെʹ．
【易错提醒】
必须先使方程右边为0，才能进行因式分解
解方程时不能直接约去含未知数的因式，否则会丢失根（如x(x-2)=x，不能直接约去x）
因式分解不彻底，如把x^2-4 分解为(x-2)(x+2)，而不是只分解到x^2-4
分解因式时符号错误，如把x^2-2x+1 错误分解为(x+1)^2
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题型1 解一元二次方程-直接开平方法
【例1】解一元二次方程ݔ+ ʹ ʹ ൌͶ 时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为ݔ+ ʹ ൌʹ，
则另一个方程为（
）
A．ݔെʹ ൌെʹ
B．ݔ+ ʹ ൌെʹ
C．ݔെʹ ൌʹ
D．ݔ+ ʹ ൌʹ
【答案】B
【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程．
【详解】解：原方程为ݔ+ ʹ ʹ ൌͶ，对等式两边开平方可得，ݔ+ ʹ ൌʹ 或ݔ+ ʹ ൌെʹ，
故另一个方程为ݔ+ ʹ ൌെʹ．
【技巧归纳】
1.
适用方程：形如(x+m)^2=n、ax^2=c（ac≥0）
2.
开方后必有两个解：x+m=±√n，绝对不能丢负号
3.
若n<0，方程无实数根
4.
易错点：开方后漏写“±”，导致少一个解
【变式1-1】
1．一元二次方程ݔʹ െͶ ൌͲ 的根是（
）
A．ݔ香ൌʹ，ݔʹ ൌͲ
B．ݔ香ൌെʹ，ݔʹ ൌͶ
C．ݔ香ൌͲ，ݔʹ ൌͶ
D．ݔ香ൌʹ，ݔʹ ൌെʹ
【答案】D
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可．
【详解】解：ݔʹ െͶ ൌͲ，
化简得ݔʹ ൌͶ，
两边直接开平方，得ݔൌ± ʹ，
解得ݔ香ൌʹ，ݔʹ ൌെʹ．
故选：D．
【变式1-2】
2．解方程：
(1)㤲ݔെ香ʹ െʹ͹ ൌͲ；
(2)ݔʹ െ͸ݔെͶ ൌͲ．
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【答案】(1)
ݔ香ൌͶǡݔʹ ൌെʹ
(2)
ݔ香ൌ㤲+
香㤲ǡݔʹ ൌ㤲െ
香㤲
【详解】（1）解：㤲ݔെ香ʹ െʹ͹ ൌͲ，
㤲ݔെ香ʹ ൌʹ͹，
ݔെ香ʹ ൌͻ，
ݔെ香ൌ± 㤲，
解得ݔ香ൌͶǡݔʹ ൌെʹ；
（2）解：ݔʹ െ͸ݔെͶ ൌͲ，
ݔʹ െ͸ݔൌͶ，
ݔʹ െ͸ݔ+ ͻ ൌ香㤲，
ݔെ㤲ʹ ൌ香㤲，
ݔെ㤲ൌ±
香㤲，
解得ݔ香ൌ㤲+
香㤲ǡݔʹ ൌ㤲െ
香㤲．
题型2 解一元二次方程-配方法
【例2】（1）ݔʹ + 香Ͳݔ+______ൌ(ݔ+______)ʹ；（2）ݔʹ െ
㤲
ʹ ݔ+______ൌ(ݔെ______)ʹ．
【答案】
25
5
ͻ
香͸
㤲
Ͷ
【详解】解：（1）ݔʹ + 香Ͳݔ+ ʹ程ൌ(ݔ+ 程)ʹ，
（2）ݔʹ െ
㤲
ʹ ݔ+
ͻ
香͸ ൌݔʹ െ
㤲
ʹ ݔ+ (
㤲
Ͷ )ʹ ൌ(ݔെ
㤲
Ͷ )ʹ．
【技巧归纳】
1.
通用四步：化1→移项→配方→开方
2.
核心步骤：两边同时加一次项系数一半的平方
3.
优先将二次项系数化为1，简化配方计算
4.
易错点：只在左边加常数，忘记右边也加相同的数
【变式2-1】
1．把一元二次方程ݔʹ െͺݔെ͹ ൌͲ 配方转化成ݔ+݉
ʹ +݊
ൌͲ 的形式，正确的结果是（
）
A．ݔെͶ ʹ െʹ㤲ൌͲ
B．ݔ+ Ͷ ʹ െʹ㤲ൌͲ C．ݔ+ Ͷ ʹ െ͹ ൌͲ
D．ݔെͶ ʹ െ
͹ ൌͲ
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一
半的平方，将左边整理为完全平方式，对比选项即可得到结果．
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【详解】解：∵原方程为ݔʹ െͺݔെ͹ ൌͲ，
移项得ݔʹ െͺݔൌ͹，
配方得ݔʹ െͺݔ+ 香͸ ൌ͹ + 香͸，
整理得(ݔെͶ)ʹ ൌʹ㤲，
【变式2-2】
2．王老师设计了接力游戏：每人只能看到前一人的方程，并继续进行变形，将结果传递给下一人，最终求
出方程的解，过程如图所示．
上述求解过程中，错误的是（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】B
【分析】根据配方法解一元二次方程逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步
骤．
【详解】解：王老师：ʹݔʹ + ͺݔെͶ ൌͲ，
甲：两边同除以2，移项得ݔʹ + Ͷݔൌʹ，正确，
乙：配方，两边加4，得ݔʹ + Ͷݔ+ Ͷ ൌʹ + Ͷ，即ݔ+ ʹ ʹ ൌ͸，但乙写成了ݔ+ ʹ ʹ ൌʹ，错误，
丙：开平方，得ݔ+ ʹ ൌ±
ʹ，正确，
丁：ݔൌെʹ ±
ʹ，则ݔ香ൌെʹ +
ʹǡݔʹ ൌെʹ െ
ʹ，正确，
∴错误的是乙．
题型3 根据判别式判断一元二次方程根的情况
【例3】关于ݔ的一元二次方程ݔʹ െ݉
ݔെ香ൌͲ 的根的情况是（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断根的情况．
【详解】解：∵对于一元二次方程ݔʹ െ݉
ݔെ香ൌͲ，ܽ
ൌ香，ܾ
ൌെ݉
，ܿൌെ香，
∴Δ ൌܾ
ʹ െͶܽܿ
ൌ( െ݉
)ʹ െͶ ൈ香ൈ( െ香) ൌ݉
ʹ + Ͷ，
∵݉
ʹ ൒Ͳ，
∴Δ ൌ݉
ʹ + Ͷ > Ͳ，
∴方程有两个不相等的实数根．
【技巧归纳】
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1.
先将方程化为一般式ax^2+bx+c=0，确定a,b,c（注意符号）
2.
Δ>0→两个不相等的实数根
3.
Δ=0→两个相等的实数根
4.
Δ<0→没有实数根（不是没有根）
【变式3-1】
1．已知ݔʹ + ʹ݉
ݔ+݉
ʹ െ香ൌͲ 是关于ݔ的一元二次方程，其中݉
为实数，关于该方程根的情况，下列判
断正确的是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断根的情况
【答案】A
【详解】解：∵一元二次方程ݔʹ + ʹ݉
ݔ+݉
ʹ െ香ൌͲ，
∴Δ ൌܾ
ʹ െͶܽܿ
ൌ(ʹ݉
)ʹ െͶ ൈ香ൈ݉
ʹ െ香ൌͶ݉
ʹ െͶ݉
ʹ + Ͷ ൌͶ > Ͳ，
∴方程有两个不相等的实数根．
【变式3-2】
2．对于方程ݔʹ െ㤲ݔ+ ʹ ൌെ香，嘉嘉说“其中一个解是ݔൌ香”，琪琪说“此方程有两个实数根且和为3”，珍
珍说“此方程无实数根”，判断下列结论正确的是（
）
A．嘉嘉说得对
B．琪琪说得对
C．珍珍说得对
D．三名同学说法都不对
【答案】C
【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再计算判别式判断方程根的情况，即可得到正确结
论．
【详解】解：整理原方程，将ݔʹ െ㤲ݔ+ ʹ ൌെ香移项得一般形式：ݔʹ െ㤲ݔ+ 㤲ൌͲ，
这里ܽ
ൌ香，ܾ
ൌെ㤲，ܿൌ㤲，
׶ܾ
ʹ െͶܽܿ
ൌ( െ㤲)ʹ െͶ ൈ香ൈ㤲ൌͻ െ香ʹ ൌെ㤲< Ͳ，
∴方程无实数根，珍珍的说法正确．
题型4 根据一元二次方程根的情况求参数
【例4】如果关于x 一元二次方程ʹݔʹ + 㤲ݔ+݉
ൌͲ 有两个不相等的实数根，那么实数m 的取值范围为（
）
A．݉
>
ͻ
ͺ
B．݉
>
ͺ
ͻ
C．݉
<
ͻ
ͺ
D．݉
ൌ
ͺ
ͻ
【答案】C
【分析】对于一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ(ܽ
≠Ͳ)，若方程有两个不相等的实数根，则判别式Δ ൌܾ
ʹ െ
Ͷܽܿ
> Ͳ，据此列不等式求解即可.
【详解】解：∵关于ݔ的一元二次方程ʹݔʹ + 㤲ݔ+݉
ൌͲ 有两个不相等的实数根，
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∴Δ ൌ㤲ʹ െͶ ൈʹ ൈ݉
> Ͳ，
整理得ͻ െͺ݉
> Ͳ，
解得݉
<
ͻ
ͺ.
【技巧归纳】
第一步：保证是一元二次方程→二次项系数a≠0（最易遗漏）
第二步：
1.
有两个不相等实根→Δ>0 且a≠0
2.
有两个实数根→Δ≥0 且a≠0
3.
没有实数根→Δ<0 且a≠0
若题目只说“有实数根”，需单独讨论a=0（一元一次方程）的情况
【变式4-1】
1．若关于ݔ的一元二次方程ݔʹ െ͸ݔ+݉
ൌͲ 有两个不相等的实数根，则实数݉
的取值范围为（
）
A．݉
>െͻ
B．݉
<െͻ
C．݉
> ͻ
D．݉
< ͻ
【答案】D
【分析】对于一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ(ܽ
≠Ͳ)，当方程有两个不相等的实数根时，判别式Δ ൌܾ
ʹ െ
Ͷܽܿ
> Ͳ，据此计算即可得到݉
的范围.
【详解】解：∵关于ݔ的一元二次方程ݔʹ െ͸ݔ+݉
ൌͲ 有两个不相等的实数根，
∴Δ ൌ( െ͸)ʹ െͶ൉香൉݉
> Ͳ，
化简得㤲͸ െͶ݉
> Ͳ，
解得݉
< ͻ.
【变式4-2】
2．若关于ݔ的一元二次方程െݔʹ + 㤲ݔ+ܿ
ൌͲ 有两个实数根，则实数ܿ
的取值范围是（
）
A．ܿ൒െ
ͻ
Ͷ
B．ܿ൑െ
ͻ
Ͷ
C．ܿ<െ
ͻ
Ͷ
D．ܿ>െ
ͻ
Ͷ
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程െݔʹ + 㤲ݔ+ܿ
ൌͲ，
∴ܽ
ൌെ香，ܾ
ൌ㤲，ܿൌܿ，
∵方程有两个实数根，
∴Δ ൌܾ
ʹ െͶܽܿ
ൌ㤲ʹ െͶ ൈെ香ܿ
ൌͻ + Ͷܿ൒Ͳ，
解得ܿ
൒െ
ͻ
Ͷ．
题型5 解一元二次方程-公式法
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【例5】对于一元二次方程ܽ
ݔʹ + ʹܿݔ+ܾ
ൌͲ（ܽ
≠Ͳ），若满足ܽʹ +ܾ
ʹ ൌܿ
ʹ，则我们把这样的一元二次方
程称为“勾系一元二次方程”．
(1)当ܽ
ൌ㤲，ܾ
ൌͶ，ܿ> Ͳ 时，求相应的“勾系一元二次方程”的根；
(2)求证：关于ݔ的“勾系一元二次方程”ݔʹ + ʹܿݔ+ܾ
ൌͲ 必有实数根．
【答案】(1)ݔ香ൌ
െ程+ 香㤲
㤲
，ݔʹ ൌ
െ程െ香㤲
㤲
(2)证明：׶ ݔʹ + ʹܿݔ+ܾ
ൌͲ 是勾系一元二次方程，
∴ܿ
ʹ ൌ香+ܾ
ʹ，
∴Δ ൌͶܿʹ െͶܾ
ൌͶ 香+ܾ
ʹ െͶܾ
ൌͶܾʹ െͶܾ+ Ͷ ൌͶܾ
െ
香
ʹ
ʹ
+ 㤲，
׶ܾ
െ
香
ʹ
ʹ
൒Ͳ，
∴Δ ൌͶܾ
െ
香
ʹ
ʹ
+ 㤲> Ͳ，
∴关于ݔ的勾系一元二次方程ݔʹ + ʹܿݔ+ܾ
ൌͲ 必有实数根．
【分析】（1）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出ܿ
ൌ程，再解一元二次方程即可；
（2）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出ܿʹ ൌ香+ܾ
ʹ，然后利用根的判别式解答即可．
【详解】（1）解：∵方程是勾系一元二次方程，且ܽ
ൌ㤲，ܾ
ൌͶ，
∴ܿ
ʹ ൌܽ
ʹ +ܾ
ʹ ൌ㤲ʹ + Ͷʹ ൌʹ程．
׶ܿ
> Ͳ，
∴ܿ
ൌ程（负舍），
∴原方程为：㤲ݔʹ + 香Ͳݔ+ Ͷ ൌͲ．
׶ Δ ൌ香Ͳʹ െͶ ൈ㤲ൈͶ ൌ程ʹ > Ͳ，
∴ݔൌ
െ香Ͳ± 程ʹ
ʹൈ㤲
ൌ
െ香Ͳ±ʹ 香㤲
͸
ൌ
െ程± 香㤲
㤲
，
∴ݔ香ൌ
െ程+ 香㤲
㤲
，ݔʹ ൌ
െ程െ香㤲
㤲
．
（2）略．
【技巧归纳】
1.
求根公式：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a（a≠0，Δ≥0）
2.
步骤：化一般式→算Δ→代入公式
3.
先算Δ，若Δ<0 直接写“无实数根”，无需代入公式
4.
易错点：分子的“-b”符号错误，分母漏乘2
【变式5-1】
1．已知关于ݔ的一元二次方程Ͷݔʹ ൌͶ݉
ݔ+݊
ʹ െ݉
ʹ．
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(1)讨论该一元二次方程实数根的情况；
(2)当݊
ൌ香时，方程是否有两个不相等的实数根？若有，设这两个根都是不大于Ͷ 的正整数，求出满足条
件的所有݉
的值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)当݊
≠Ͳ 时，该方程有两个不相等的实数根，当݊
ൌͲ 时，该方程有两个相等的实数根；
(2)有，所有݉
的值为：㤲，程，͹
【分析】（1）整理方程为一般形式，再利用根的判别式的值的情况讨论即可．
（2）当݊
ൌ香时，可得Δ ൌ香͸ > Ͳ，求解ݔൌ
Ͷ݉
±Ͷ
ʹൈͶ ൌ݉
±香
ʹ ，再进一步分析求解即可．
【详解】（1）解：Ͷݔʹ ൌͶ݉
ݔ+݊
ʹ െ݉
ʹ，
方程化为一般式：Ͷݔʹ െͶ݉
ݔ+݉
ʹ െ݊
ʹ ൌͲ，
∴Δ ൌ香͸݉
ʹ െͶ ൈͶ݉
ʹ െ݊
ʹ ൌ香͸݊ʹ ൒Ͳ，
∴当݊
≠Ͳ 时，该方程有两个不相等的实数根，
当݊
ൌͲ 时，该方程有两个相等的实数根；
（2）解：当݊
ൌ香时，Δ ൌ香͸ > Ͳ，方程有两个不相等的实数根，
∵Ͷݔʹ െͶ݉
ݔ+݉
ʹ െ݊
ʹ ൌͲ，
解得：ݔൌ
Ͷ݉
±Ͷ
ʹൈͶ ൌ݉
±香
ʹ ，
∵这两个根都是不大于Ͷ 的正整数，
∴Ͳ <݉
+香
ʹ
൑Ͷ，Ͳ <݉
െ香
ʹ
൑Ͷ，
解得香<݉
൑͹．
又∵这两个根都是正整数，
∴݉
± 香为ʹ 的倍数，
∴݉
的值为㤲，程，͹．
【变式5-2】
2．若记方程ݔʹ െʹݔെʹ ൌͲ 的两个不相等的实数根为ݔ香ǡݔʹ ݔ香> ݔʹ ，则ݔ香ʹ െݔʹʹ的值为（
）
A．Ͷ 㤲
B．ʹ 㤲
C．4
D．2
【答案】A
【分析】先解出方程的两个根，再利用平方差公式化简所求代数式，代入计算即可得到结果．
【详解】解：解方程ݔʹ െʹݔെʹ ൌͲ 得ݔ香ൌ香+
㤲，ݔʹ ൌ香െ
㤲，
∴ݔ香ʹ െݔʹʹ
ൌݔ香െݔʹ
ݔ香+ ݔʹ
ൌ
香+
㤲െ香െ
㤲
ൈ
香+
㤲+ 香െ
㤲
ൌʹ 㤲ൈʹ
ൌͶ 㤲．
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题型6 解一元二次方程-因式分解法
【例6】一元二次方程ݔʹ +݉
ݔെ͸ ൌͲ 的一个根为െʹ，则另一个根是（
）
A．㤲
B．െʹ
C．香
D．Ͳ
【答案】A
【分析】利用一元二次方程根的定义，先把ݔൌെʹ 代入一元二次方程ݔʹ +݉
ݔെ͸ ൌͲ 中，求出参数݉
，
再解这个一元二次方程，即可得到另一个根．
【详解】解：׶ ݔൌെʹ 是方程ݔʹ +݉
ݔെ͸ ൌͲ 的一个根，
∴将ݔൌെʹ 代入原方程中，得( െʹ)ʹ +݉
൉( െʹ) െ͸ ൌͲ ，
化简得Ͷ െʹ݉
െ͸ ൌͲ ，
解得݉
ൌെ香，
将݉
ൌെ香代入原方程中，得ݔʹ െݔെ͸ ൌͲ，
对左边因式分解得ݔെ㤲
ݔ+ ʹ ൌͲ，
解得ݔ香ൌ㤲，ݔʹ ൌെʹ，
因此方程的另一个根为㤲．
【技巧归纳】
1.
前提：方程右边必须是0
2.
常用分解方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法
3.
优点：计算最快，优先使用
4.
易错点：右边没化为0 就分解，或分解不彻底导致漏解
【变式6-1】
1．已知点ܲ݉
െ㤲ǡͶ ，根据下列条件求点݉
的值．
(1)点ܲ
在ݕ轴上；
(2)点ܲ
到原点的距离为5．
【答案】(1)݉
ൌ㤲
(2)݉
ൌͲ 或݉
ൌ͸
【分析】（1）根据ݕ轴上点的横坐标为0 列方程求出݉
的值即可；
（2）根据两点间距离公式可进行求解．
【详解】（1）解：∵点ܲ
在ݕ轴上，
∴݉
െ㤲ൌͲ，
解得：݉
ൌ㤲；
（2）解：∵点ܲ
到原点的距离为5，
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∴ܱܲ
ʹ ൌʹ程，
即݉
െ㤲െͲ ʹ + Ͷ െͲ ʹ ൌʹ程，
整理得：݉
ʹ െ͸݉
ൌͲ，
解得：݉
香ൌͲǡ݉
ʹ ൌ͸．
【变式6-2】
2．解方程：
(1)ݔʹ െͶݔൌͲ；
(2)ݔʹ െͶݔെ程ൌͲ．
【答案】(1)ݔ香ൌͲǡݔʹ ൌͶ
(2)ݔ香ൌ程ǡݔʹ ൌെ香
【分析】（1）方程左边可提取公因式ݔ，通过因式分解法求解；
（2）方程左边可利用十字相乘法因式分解，也可用配方法或公式法求解，因式分解法更简便．
【详解】（1）解：提取公因式，得
ݔݔെͶ ൌͲ，
有ݔൌͲ 或ݔെͶ ൌͲ，
解得：ݔ香ൌͲǡݔʹ ൌͶ．
（2）解：因式分解，得
ݔെ程
ݔ+ 香ൌͲ，
有ݔെ程ൌͲ 或ݔ+ 香ൌͲ，
解得：ݔ香ൌ程ǡݔʹ ൌെ香．
题型7 换元法解一元二次方程
【例7】若关于x 的一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲܽ
< Ͳ 的两根为ݔ香ൌ香ǡݔʹ ൌ㤲，则关于x 的一元二次方
程ܽ
ݔെʹ ʹ +ܾݔ+ܿ
ൌʹܾܽ
< Ͳ 的解为______
【答案】ݔ香ൌ㤲ǡݔʹ ൌ程
【分析】将所求方程变形为关于ݔെʹ 的一元二次方程，结合原方程的根，即可求出所求方程的解．
【详解】解：∵ܽ
ݔെʹ ʹ +ܾݔ+ܿ
ൌʹܾ，
∴ܽ
ݔെʹ ʹ +ܾݔെʹܾ+ܿ
ൌͲ，
∴ܽ
ݔെʹ ʹ +ܾ
ݔെʹ +ܿ
ൌͲ，
设ݐൌݔെʹ，则方程化为ܽ
ݐʹ +ܾݐ+ܿ
ൌͲ，
由已知得，一元二次方程ܽ
ݐʹ +ܾݐ+ܿ
ൌͲ 的两根为ݐ香ൌ香，ݐʹ ൌ㤲，
即ݔെʹ ൌ香或ݔെʹ ൌ㤲
分别解得ݔ香ൌ㤲，ݔʹ ൌ程．
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【技巧归纳】
1.
适用情况：方程中出现相同的整体或倒数关系（如x+1/x）
2.
步骤：设元→换元→解新方程→回代求原未知数
3.
常见换元：设y=x^2、y=x+m、y=x+1/x
4.
易错点：忘记回代，或回代后漏解
【变式7-1】
1．若关于x 的一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ ʹ ൌͲܽ
≠Ͳ 的根为ݔ香ൌʹͲʹ程，ݔʹ ൌ香，则一元二次方程ܽ
ݔെ
香ʹ +ܾݔെܾ
ൌെʹ 的根为______．
【答案】ݔ香ൌʹͲʹ͸，ݔʹ ൌʹ
【分析】先整理所求一元二次方程，通过换元法将其转化为与已知方程形式一致的方程，利用已知方程的
根得到换元后未知数的值，进而求出所求方程的根．
【详解】解：整理方程ܽ
ݔെ香ʹ +ܾݔെܾ
ൌെʹ，移项得：ܽ
ݔെ香ʹ +ܾ
ݔെ香+ ʹ ൌͲ
设ݐൌݔെ香，则上述方程可化为ܽ
ݐʹ +ܾݐ+ ʹ ൌͲ，
根据题意可知：一元二次方程ܽ
ݐʹ +ܾݐ+ ʹ ൌͲ(ܽ
≠Ͳ)的根为ݐ香ൌʹͲʹ程，ݐʹ ൌ香，
因此可得：ݔെ香ൌʹͲʹ程或ݔെ香ൌ香，
解得ݔ香ൌʹͲʹ͸，ݔʹ ൌʹ．
【变式7-2】
2．关于ݔ的方程ܽ
ݔ+݉
ʹ +ܾ
ൌͲ 的根是ݔ香ൌ程，ݔʹ ൌെ͸（ܽ，ܾ，݉
均为常数且ܽ
≠Ͳ），则关于ݔ的
方程ܽ
ݔʹ + ʹܽ
ʹ െ݉
ݔ+ܽ݉
െʹ ʹ +ܾ
ൌͲ 的所有实根之和是______．
【答案】െ㤲
【分析】先对所求方程进行整理配方，通过换元法得到所求方程的根与已知方程根的关系，求出所求方程
的两个实根即可解答．
【详解】解：对方程ܽ
ݔʹ + ʹܽ
ʹ െ݉
ݔ+ܽ݉
െʹ ʹ +ܾ
ൌͲ 进行整理：ܽ
ݔʹ െʹ݉
െʹ ݔ+݉
െʹ ʹ +ܾ
ൌͲ，
配方得：ܽ
ݔെ݉
+ ʹ ʹ +ܾ
ൌͲ，
变形得：ܽ
െݔെʹ +݉
ʹ +ܾ
ൌͲ，
令ݕൌെݔെʹ，则原方程变为ܽ
ݕ+݉
ʹ +ܾ
ൌͲ，
已知方程ܽ
ݔ+݉
ʹ +ܾ
ൌͲ 的根为ݔ香ൌ程，ݔʹ ൌെ͸，
因此ݕ香ൌ程，ݕʹ ൌെ͸，
即െݔെʹ ൌ程或െݔെʹ ൌെ͸
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解得ݔ香ൌെ͹，ݔʹ ൌͶ，
所有实根之和为െ͹ + Ͷ ൌെ㤲．
题型8 解分式方程（化为一元二次）
【例8】解分式方程：
ʹ
ݔ+香+
香
ݔെ香ൌ香．
【答案】ݔ香ൌͲ 和ݔʹ ൌ㤲
【分析】首先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程求出ݔ香ൌͲ，ݔʹ ൌ㤲，再把求出的解代入最简公
分母检验是否增根．
【详解】解：
ʹ
ݔ+香+
香
ݔെ香ൌ香，
方程两边同时乘以ݔ+ 香
ݔെ香，
可得：ʹ ݔെ香+ ݔ+ 香ൌݔ+ 香
ݔെ香，
去括号得：ʹݔെʹ + ݔ+ 香ൌݔʹ െ香，
移项得：ʹݔ+ ݔെݔʹ ൌെ香+ ʹ െ香，
合并同类项得：െݔʹ + 㤲ݔൌͲ，
整理得：ݔʹ െ㤲ݔൌͲ，
分解因式得：ݔݔെ㤲ൌͲ，
解得：ݔ香ൌͲ，ݔʹ ൌ㤲，
经检验，ݔ香ൌͲ 和ݔʹ ൌ㤲均为方程的解，
∴方程
ʹ
ݔ+香+
香
ݔെ香ൌ香的解为：ݔ香ൌͲ、ݔʹ ൌ㤲．
【技巧归纳】
1.
步骤：找最简公分母→两边同乘公分母去分母→解整式方程→检验
2.
检验方法：将解代入最简公分母，若为0 则是增根，必须舍去
3.
去分母时，常数项也要乘最简公分母
4.
最终结果要写“原方程的解为...”，增根要注明“舍去”
【变式8-1】
1．解方程：
ݔെʹ
ݔൌ
㤲
ݔ+ʹ
【答案】ݔൌെ香或ݔൌͶ．
【详解】解：方程两边同乘最简公分母ݔ(ݔ+ ʹ)去分母得：(ݔെʹ)(ݔ+ ʹ) ൌ㤲ݔ，
展开并整理得：ݔʹ െ㤲ݔെͶ ൌͲ，
因式分解得：(ݔെͶ)(ݔ+ 香) ൌͲ，
解得ݔൌͶ 或ݔൌെ香，
检验：当ݔൌͶ 时，ݔ(ݔ+ ʹ) ≠Ͳ；
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当ݔൌെ香时，ݔ(ݔ+ ʹ) ≠Ͳ；
所以原方程的解是ݔൌെ香或ݔൌͶ．
【变式8-2】
2．解方程
香
ݔെ香ൌ香+
香
ݔݔെ香的步骤如下：
方程左右两边同乘ݔݔെ香，ݔʹ ൌݔݔെ香+ 香①
去括号，得ݔʹ ൌݔʹ െݔ+ 香②
移项，得ݔʹ െݔʹ + ݔൌ香③
合并同类项，得ݔൌ香④
经检验，原分式方程无解．
以上解方程的过程中，错误的一步是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】A
【分析】按照解分式方程的步骤去分母解法，需要验证每一步计算是否正确，找出错误步骤．
【详解】解：原方程为
香
ݔെ香ൌ香+
香
ݔݔെ香，
∴公分母为ݔݔെ香，
当方程两边同乘ݔݔെ香时，左边
香
ݔെ香ڄ ݔݔെ香ൌݔ，右边为香ڄ ݔݔെ香+
香
ݔݔെ香ڄ ݔݔെ香ൌݔݔെ香+ 香，
∴去分母后正确结果应为ݔൌݔݔെ香+ 香，
∴而题干步骤①的变形结果为ݔʹ ൌݔݔെ香+ 香，与正确结果不符，故步骤①出错，
∴出错步骤是①．
一、单选题
1．一元二次方程ݔʹ െݔൌͲ 的两个实数根为ݔ香和ݔʹ，则代数式ݔ香+ ݔʹ的值为（
）
A．1
B．2
C．0
D．െ香
【答案】A
【分析】可通过因式分解法求出方程的两个根，再计算两根之和得到结果．
【详解】解：∵原方程为：ݔʹ െݔൌͲ 对左侧因式分解得：
ݔݔെ香ൌͲ，
∴ݔൌͲ 或ݔെ香ൌͲ，
∴方程的两个实数根为：ݔ香ൌͲǡݔʹ ൌ香，
∴ݔ香+ ݔʹ ൌͲ + 香ൌ香．
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2．方程ݔെʹ ʹ ൌͲ 的根为（
）
A．ݔൌͲ
B．ݔൌ± ʹ
C．ݔ香ൌݔʹ ൌെʹ
D．ݔ香ൌݔʹ ൌʹ
【答案】D
【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，若一个数的平方等于0，则这个数为0，即可求出方程的根．
【详解】解：∵
ݔെʹ ʹ ൌͲ，
∴ݔെʹ ൌͲ，
∴ݔ香ൌݔʹ ൌʹ．
3．一元二次方程ݔʹ െͶݔ+ ʹ ൌͲ 的根的情况是（
）
A．无实数根
B．有两个相等实数根
C．有两个不相等实数根
D．无法判断
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ与0 的大小关系判断根的情况，规则为Δ > Ͳ 时方程有两个不相等
的实数根，Δ ൌͲ 时方程有两个相等的实数根，Δ < Ͳ 时方程无实数根．
【详解】解：对于一元二次方程ݔʹ െͶݔ+ ʹ ൌͲ，二次项系数ܽ
ൌ香，一次项系数ܾ
ൌെͶ，常数项ܿ
ൌʹ，
׶ Δ ൌܾ
ʹ െͶܽܿ
ൌ( െͶ)ʹ െͶ ൈ香ൈʹ ൌ香͸ െͺ ൌͺ > Ͳ，
∴方程ݔʹ െͶݔ+ ʹ ൌͲ 有两个不相等的实数根．
4．已知：香െ
Ͷ
ݔ+
Ͷ
ݔʹ ൌͲ，则
香
ݔ等于（
）
A．2
B．1
C．
香
ʹ
D．±
香
ʹ
【答案】C
【分析】利用完全平方公式因式分解求解即可．
【详解】解：令ݕൌ
香
ݔ，则原方程为香െͶݕ+ Ͷݕʹ ൌͲ ，
∴(ʹݕെ香)ʹ ൌͲ，
∴ʹݕെ香ൌͲ，
解得ݕൌ
香
ʹ，即
香
ݔൌ
香
ʹ．
5．已知关于x 的一元二次方程ʹݔʹ +݇
ݔെ͸ ൌͲ 的一个根是2，则它的另一个根是（
）
A．െ㤲
B．3
C．െ
㤲
ʹ
D．
㤲
ʹ
【答案】C
【分析】将已知根代入原方程求出参数k 的值，再解一元二次方程即可得到另一个根．
【详解】解：׶ ݔൌʹ 是方程ʹݔʹ +݇
ݔെ͸ ൌͲ 的根，
∴将ݔൌʹ 代入原方程得ʹ ൈʹʹ + ʹ݇െ͸ ൌͲ ，化简得ʹ + ʹ݇
ൌͲ，
解得݇
ൌെ香，
∴原方程为ʹݔʹ െݔെ͸ ൌͲ，对方程左边因式分解得ʹݔ+ 㤲
ݔെʹ ൌͲ，
解得ݔൌʹ 或ݔൌെ
㤲
ʹ，
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因此方程的另一个根为െ
㤲
ʹ．
6．已知关于x 的方程ݔʹ െʹݔെ㤲݇
ൌͲ 有实数根，则k 的取值范围是（
）
A．݇
>െ
香
㤲
B．݇
<െ
香
㤲
C．݇
൒െ
香
㤲
D．݇
൑െ
香
㤲
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，求解即可．
【详解】解：׶关于x 的方程ݔʹ െʹݔെ㤲݇
ൌͲ 有实数根，
∴Δ ൌെʹ ʹ െͶ ൈ香ൈെ㤲݇
ൌͶ + 香ʹ݇
൒Ͳ，
解得݇
൒െ
香
㤲．
7．若关于x 的一元二次方程ݔെ香
ݔ+݉
ൌͲ 有两个相等的实数根，则m 的值为（
）
A．െ香
B．香
C．െʹ
D．ʹ
【答案】A
【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据方程有两个相等实数根得判别式的值为0，解
方程即可求出݉
的值.
【详解】解：(ݔെ香)(ݔ+݉
) ൌͲ 展开得ݔʹ + (݉
െ香)ݔെ݉
ൌͲ，
∵一元二次方程ݔെ香
ݔ+݉
ൌͲ 有两个相等的实数根，
∴Δ ൌ݉
െ香ʹ െͶ ൈ香ൈെ݉
ൌͲ，
解得݉
ൌെ香.
8．若关于ݔ的一元二次方程ݔʹ െʹݔ+ ʹ݉
െ香ൌͲ 有两个相等的实数根，则实数݉
的值为（
）
A．െͶ
B．െ香
C．1
D．4
【答案】C
【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式Δ ൌͲ，代入方程的系数列方程即可求解݉
的
值.
【详解】解：∵方程ݔʹ െʹݔ+ ʹ݉
െ香ൌͲ 有两个相等的实数根，
∴Δ ൌܾ
ʹ െͶܽܿ
ൌͲ，
即( െʹ)ʹ െͶ ൈ香ൈ(ʹ݉
െ香) ൌͲ，解得݉
ൌ香.
9．用配方法解方程：ݔʹ + 香ͲݔെʹͶ ൌͲ 时，经过配方后正确的是（
）
A．ݔ+ 程ʹ ൌʹͶ
B．ݔെ程ʹ ൌ香
C．ݔ+ 程ʹ ൌͶͻ
D．ݔെ程ʹ ൌͶͻ
【答案】C
【分析】先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，即可得到结果．
【详解】解：移项，得ݔʹ + 香ͲݔൌʹͶ，
配方，得ݔʹ + 香Ͳݔ+ ʹ程ൌʹͶ + ʹ程，
即(ݔ+ 程)ʹ ൌͶͻ．
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10．已知实数m，n 满足݉
ʹ +݊
ʹ ʹ െʹ݉
ʹ +݊
ʹ െ香程ൌͲ，则݉
ʹ +݊
ʹ的值为（
）
A．3
B．5
C．5 或3
D．െ㤲或5
【答案】B
【分析】本题利用换元法将݉
ʹ +݊
ʹ看作整体求解，再根据平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结
果．
【详解】设ݔൌ݉
ʹ +݊
ʹ，
∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数，
∴ݔൌ݉
ʹ +݊
ʹ ൒Ͳ，
原方程可化为ݔʹ െʹݔെ香程ൌͲ，
因式分解得(ݔെ程)(ݔ+ 㤲) ൌͲ，
解得ݔ香ൌ程，ݔʹ ൌെ㤲，
∵ݔ൒Ͳ，
∴舍去ݔൌെ㤲，
即݉
ʹ +݊
ʹ ൌ程．
11．若矩形ܣ矩形ܦ的一条对角线长为10，边形ܦ的长是方程ݔʹ െ㤲ݔെͶͲ ൌͲ 的一个根，则该矩形ܣ矩形ܦ的
周长为（
）
A．36
B．香Ͳ + 香Ͳ 㤲
C．28
D．30
【答案】C
【分析】先解一元二次方程得到边长的可能值，舍去负根得到形ܦ的长，再利用矩形四个角为直角的性质，
结合勾股定理求出邻边长，最后计算矩形周长即可；
【详解】解：∵四边形ܣ矩形ܦ是矩形，
∴ܣ矩ൌ形ܦ，ܣܦൌ矩形，ס矩形ܦൌͻͲι，
׶ ݔʹ െ㤲ݔെͶͲ ൌͲ，
∴ݔെͺ
ݔ+ 程ൌͲ，
解得ݔൌͺ 或ݔൌെ程，
∵边长为正数，
∴形ܦൌͺ，
׶ 矩ܦൌ香Ͳ，
在Rt ᇞ矩形ܦ中，
矩形ൌ
香Ͳʹ െͺʹ ൌ
㤲͸ ൌ͸，
∴矩形ܣ矩形ܦ的周长为ʹ ൈ͸ + ͺ ൌʹͺ；
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12．对于一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲܽ
≠Ͳ ，下列判断正确的是（
）
A．若ݔൌܿ
是该方程的一个根，则一定有ܽܿ
+ܾ
+ 香ൌͲ 成立；
B．若ܽ
+ܿ
ൌܾ
，则方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ 有一根为ݔൌ香；
C．若该方程的解为ݔൌʹ 和xൌ
香
㤲，则方程ܿݔʹ െܾݔ+ܽ
ൌͲ 的解是ݔൌ㤲或ݔൌ
香
ʹ
D．当ܽ
< Ͳ，ܾ+ܿ
> Ͳ，ܾെܿ
< Ͳ 时，方程一定有实数根；
【答案】D
【分析】A．将ݔൌܿ
代入方程判断即可；
B．将ܽ
+ܿ
ൌܾ
变为ܽ
െܾ
+ܿ
ൌͲ，将ݔൌെ香代入方程可得ܽ
െܾ
+ܿ
ൌͲ，即方程有一根为ݔൌെ香；
C．根据解为ݔൌʹ 和ݔൌ
香
㤲可将原方程化为ܽ
ݔെʹ
ݔെ
香
㤲ൌͲ，展开后可知ܾ
ൌെ
͹ܽ
㤲，ܿൌ
ʹܽ
㤲，代入ܿݔʹ െܾ
ݔ+ܽ
ൌͲ 求解即可；
D．根据不等式的性质得到ܿ
> Ͳ，则െͶܽܿ
> Ͳ，判断判别式的正负即可．
【详解】解：对选项A：∵ݔൌܿ
是方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲܽ
≠Ͳ 的根，代入方程得ܽܿ
ʹ +ܾܿ
+ܿ
ൌͲ，整理
得ܿܽܿ
+ܾ
+ 香ൌͲ，∴ܿൌͲ 或ܽܿ
+ܾ
+ 香ൌͲ，并非一定满足ܽܿ
+ܾ
+ 香ൌͲ，故A 错误．
对选项B：∵ܽ+ܿ
ൌܾ
，移项得ܽ
െܾ
+ܿ
ൌͲ，将ݔൌെ香代入方程得ܽ
( െ香)ʹ +ܾ
െ香+ܿ
ൌܽ
െܾ
+ܿ
ൌͲ，
∴方程有一根为ݔൌെ香，不是ݔൌ香，故B 错误．
对选项C：∵原方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ 的解为ݔൌʹ 和ݔൌ
香
㤲，则原方程可写为ܽ
ݔെʹ
ݔെ
香
㤲ൌͲ，展开
得ܽ
ݔʹ െ
͹ܽ
㤲ݔ+
ʹܽ
㤲ൌͲ，即ܾ
ൌെ
͹ܽ
㤲，ܿൌ
ʹܽ
㤲，代入新方程ܿݔʹ െܾݔ+ܽ
ൌͲ 得：
ʹܽ
㤲ݔʹ +
͹ܽ
㤲ݔ+ܽ
ൌͲ，ܽ
≠Ͳ，
整理得ʹݔʹ + ͹ݔ+ 㤲ൌͲ，解得ݔൌെ㤲或ݔൌെ
香
ʹ，与选项结论不符，故C 错误．
对选项D：∵ܾ+ܿ
> Ͳ，ܾെܿ
< Ͳ，∴ܾ
<ܿ，可得ܿ
> Ͳ，又∵ܽ
< Ͳ，∴െͶܽܿ
> Ͳ，方程判别式Δ ൌܾ
ʹ െͶܽܿ
ൌܾ
ʹ + െͶܽܿ
> Ͳ，∴方程一定有实数根，故D 正确．
13．若关于ݔ的一元二次方程ܽ
െ㤲ݔʹ െ͸ݔെʹ ൌͲ 有实数根，则ܽ
的取值范围为（
）
A．ܽ
൒െ
㤲
ʹ
B．ܽ
≠㤲
C．ܽ
>െ
㤲
ʹ且ܽ
≠㤲
D．ܽ
൒െ
㤲
ʹ且ܽ
≠㤲
【答案】D
【详解】解：由题意可知：ᇞൌ㤲͸ + ͺܽ
െ㤲൒Ͳ 且ܽ
െ㤲≠Ͳ，
∴ܽ
൒െ
㤲
ʹ且ܽ
≠㤲
14．定义：݉
㘠݊
ൌ݉
ʹ +݉݊
+ 香，例如：ʹ 㘠香ൌʹʹ + ʹ ൈ香+ 香ൌ7，则关于x 的方程ݔ㘠ʹ ൌͲ 的根的情况
是（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【分析】根据新定义将方程整理为标准一元二次方程，通过判别式即可判断根的情况．
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【详解】解：根据新定义可知ݔ㘠ʹ ൌݔʹ + ݔڄ ʹ + 香ൌݔʹ + ʹݔ+ 香，
∴方程ݔ㘠ʹ ൌͲ 整理为ݔʹ + ʹݔ+ 香ൌͲ，
∴Δ ൌʹʹ െͶ ൈ香ൈ香ൌͶ െͶ ൌͲ，
∴方程有两个相等的实数根．
15．若关于ݔ的一元二次方程݉
ݔʹ +݊
ൌͲ 的一个根为香，则方程݉
ݔ+ 㤲ʹ +݊
ൌͲ 的根是（
）
A．െ香或香
B．െ香或െʹ
C．െʹ 或െͶ
D．香或Ͷ
【答案】C
【分析】先将已知根代入原方程得到݉
与݊
的关系，再代入所求方程求解即可．
【详解】解：∵关于ݔ的一元二次方程݉
ݔʹ +݊
ൌͲ 的一个根为香，
∴݉
ൈ香ʹ +݊
ൌͲ，即݉
+݊
ൌͲ，
∴݊
ൌെ݉
，且݉
≠Ͳ，
将݊
ൌെ݉
代入方程݉
ݔ+ 㤲ʹ +݊
ൌͲ，得݉
ݔ+ 㤲ʹ െ݉
ൌͲ，
∵݉
≠Ͳ，两边同除以݉
得ݔ+ 㤲ʹ െ香ൌͲ，
即ݔ+ 㤲ʹ ൌ香，
开方得ݔ+ 㤲ൌ香或ݔ+ 㤲ൌെ香，
解得ݔൌെʹ 或ݔൌെͶ，
即方程的根为െʹ 或െͶ．
16．设ݔ，ݕ为实数，且满足(ݔെ香)㤲+ ʹͲʹ程ݔെ香ൌെ香
(ݕെ香)㤲+ ʹͲʹ程ݕെ香ൌ香，则ݔ+ ݕൌ（
）．
A．香
B．െ香
C．ʹ
D．െʹ
【答案】C
【分析】先设ݔെ香ൌ݉
，ݕെ香ൌ݊
，得݉
㤲+ ʹͲʹ程݉
ൌെ香①݊
㤲+ ʹͲʹ程݊
ൌ香②
，由①+②得݉
㤲+݊
㤲+ ʹͲʹ程݉
+ ʹͲʹ程݊
ൌͲ，
再运用立方和公式进行因式分解，对每个分解的式子进行判断，即可推出݉
+݊
ൌͲ，即可求解．
【详解】设ݔെ香ൌ݉
，ݕെ香ൌ݊
，得݉
㤲+ ʹͲʹ程݉
ൌെ香①݊
㤲+ ʹͲʹ程݊
ൌ香②
，
由①+②得：݉
㤲+݊
㤲+ ʹͲʹ程݉
+ ʹͲʹ程݊
ൌͲ，݉
+݊݉
ʹ െ݉݊
+݊
ʹ + ʹͲʹ程݉
+݊
ൌͲ，݉
+݊݉
ʹ െ݉݊
+݊
ʹ + ʹͲʹ程ൌͲ，
∵݉
ʹ െ݉݊
+݊
ʹ + ʹͲʹ程ൌ݉
ʹ െ݉݊
+
香
Ͷ݊
ʹ +
㤲
Ͷ݊
ʹ + ʹͲʹ程ൌ݉
െ
香
ʹ݊
ʹ
+
㤲
Ͷ݊
ʹ + ʹͲʹ程> Ͳ，
∴݉
+݊
ൌͲ，
∴ݔെ香+ ݕെ香ൌͲ，即ݔ+ ݕൌʹ．
17．已知两个多项式ܣൌݔʹ +ܽ
ݔ+ܾ，矩ൌݔʹ + ʹݔ+ܿ，ܽ，ܾ，ܿ均为正整数，ݔ为实数．下列说法：
①若ܾ
ൌ香，则存在实数ݔ使得ܣ+ 矩ൌͲ；
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②若ܽ
ൌܿ，关于ݔ的方程ܣൌ矩有唯一解，这个解为ݔൌͲ；
③若݉
ൌܽ
+ 香，݊
ൌܾ
+ܿ
+ 香，݉݊
+݉
+݊
ൌʹͲ，则满足条件的多项式矩共有4 个．
其中正确的个数是（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B
【分析】分别对三个说法，利用一元一次方程解的性质，一元二次方程根的判别式，因式分解求正整数解，
逐一判断即可得到正确个数．
【详解】解：①根据题意，得：
ܣ+ 矩ൌݔʹ +ܽ
ݔ+ܾ
+ ݔʹ + ʹݔ+ܿ
ൌʹݔʹ +ܽ
+ ʹ ݔ+ܾ
+ܿ
当ܾ
ൌ香时，ܣ+ 矩ൌʹݔʹ +ܽ
+ ʹ ݔ+ 香+ܿ
，
若存在实数ݔ使ܣ+ 矩ൌͲ，需判别式Δ ൒Ͳ
Δ ൌܽ
+ ʹ ʹ െͶ ൈʹ ൈ香+ܿ
ൌܽ
+ ʹ ʹ െͺ 香+ܿ
取正整数ܽ
ൌ香ǡܿൌ香，得Δ ൌ㤲ʹ െͺ ൈʹ ൌെ͹ < Ͳ ，此时不存在满足条件的ݔ，故①错误；
②当ܽ
ൌܿ
时，整理方程ܣൌ矩得：
ݔʹ +ܽ
ݔ+ܾ
ൌݔʹ + ʹݔ+ܿ֜ܽ
െʹ ݔൌܽ
െܾ
若方程有唯一解，则ܽ
െʹ ≠Ͳ，此时ݔൌܽ
െܾܽ
െʹ，仅当ܽ
ൌܾ
时ݔൌͲ，不是所有情况都满足，例如ܽ
ൌ㤲ǡܿൌ
㤲ǡܾൌ香时，ݔൌʹ ≠Ͳ，故②错误；
③对等式݉݊
+݉
+݊
ൌʹͲ，变形因式分解得：݉݊
+݉
+݊
+ 香ൌʹ香֜݉
+ 香݊
+ 香ൌʹ香
׶ܽ
ǡܾǡܿ均为正整数，∴݉
ൌܽ
+ 香൒ʹ ，݊
ൌܾ
+ܿ
+ 香൒㤲，即݉
+ 香൒㤲，݊+ 香൒Ͷ
21 的正整数分解中符合条件的只有݉
+ 香ൌ㤲，݊+ 香ൌ͹：
可得݉
ൌʹ֜ܽ
ൌ香，݊
ൌ͸ܾ֜
+ܿ
+ 香ൌ͸ܾ֜
+ܿ
ൌ程ܾ
ǡܿ为正整数，正整数解为ܾ
ൌ香ܿ
ൌͶ ，ܾൌʹܿ
ൌ㤲，ܾൌͶܿ
ൌ香，ܾൌ㤲ܿ
ൌʹ 共4 组，对应4 个不同的多项式矩ൌݔʹ + ʹݔ+ܿ
，
故③正确；
综上，正确的说法共1 个，故选B．
18．对于一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ（ܽ
≠Ͳ），下列说法中正确的是（
）
①若ܽ
+ܿ
ൌܾ
，则方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ 有一根为ݔൌെ香；
②若方程ܽ
ݔʹ +ܿ
ൌͲ 有两个不相等的实数根，则方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ 必有两个不相等的实数根；
③若ݔൌܿ
是方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ 的一个根，则一定有ܽܿ
+ܾ
+ 香ൌͲ 成立；
④若ܾ
ൌʹܽ+ 㤲ܿ，则方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ 有两个不相等的实数根．
A．②③④
B．①②④
C．①③④
D．①②③
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式的应用，解题关键是利用根的定义代入验证，结
合根的判别式的符号判断每个结论的正确性，逐一定证即可．
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【详解】解：①将ݔൌെ香代入方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ，得ܽ
ൈ( െ香)ʹ +ܾ
ൈ( െ香) +ܿ
ൌܽ
െܾ
+ܿ，已知ܽ
+ܿ
ൌܾ
，因此ܽ
െܾ
+ܿ
ൌͲ，即ݔൌെ香是方程的根，故①正确；
②若方程ܽ
ݔʹ +ܿ
ൌͲ 有两个不相等的实数根，其判别式Δ香ൌͲʹ െͶܽܿ
ൌെͶܽܿ
> Ͳ，对于方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ，其判别式Δ ൌܾ
ʹ െͶܽܿ
，因为ܾʹ ൒Ͳ，െͶܽܿ
> Ͳ，因此Δ ൌܾ
ʹ + െͶܽܿ
> Ͳ，方程必有两个不相等
的实数根，故②正确；
③若ݔൌܿ
是方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ 的根，代入得ܽܿ
ʹ +ܾܿ
+ܿ
ൌͲ，整理得ܿܽܿ
+ܾ
+ 香ൌͲ，当ܿ
ൌͲ 时，
等式ܽܿ
+ܾ
+ 香ൌͲ 不一定成立，故③错误；
④已知ܾ
ൌʹܽ+ 㤲ܿ，代入方程的判别式得：Δ ൌܾ
ʹ െͶܽܿ
ൌ(ʹܽ+ 㤲ܿ)ʹ െͶܽܿ
ൌͶܽ
ʹ + 香ʹܽܿ
+ ͻܿʹ െͶܽܿ
ൌ
Ͷܽʹ + ͺܽܿ
+ ͻܿʹ ൌͶ(ܽ+ܿ)ʹ + 程ܿʹ，
若Δ ൌͲ，需Ͷ(ܽ+ܿ)ʹ ൌͲ 且程ܿʹ ൌͲ，可得ܽ
ൌͲǡܿൌͲ，与题设ܽ
≠Ͳ 矛盾，因此Δ > Ͳ 恒成立，方程有
两个不相等的实数根，故④正确；
综上，①②④正确．
19．已知整式ܯ：ܽ݊
ݔ݊+ܽ݊
െ香ݔ݊െ香+ ڮ +ܽ
香ݔ+ܽ
Ͳ，其中ܽ݊
，ܽ݊
െ香，…ܽʹ，ܽ香，ܽͲ为互不相等的非负整数，
且ܽ݊
>ܽ݊
െ香> ڮ >ܽ
香>ܽ
Ͳ，若݇
ൌܽ݊
ʹ +ܽ݊
െ香
ʹ
+ ڮ +ܽ
香
ʹ +ܽ
Ͳ
ʹ，且݇
为奇数．下列说法：
①当݊
ൌ香，ܽ香ൌ㤲，满足条件的整式有ʹ 个；
②若݊
ൌʹ，݇
ൌʹ香，则ܯ有最小值为
程
Ͷ；
③当݊
ൌʹ，ܽ݊
൑㤲时，若ܯ能被ݔ+ ʹ 整除，则满足条件的所有整数ݔ之和为香͸．
其中正确的个数是（
）
A．Ͳ
B．香
C．ʹ
D．㤲
【答案】B
【分析】根据题目给定条件，结合平方的奇偶性，依次判断三个说法的正误即可求解．
【详解】解：①当݊
ൌ香，ܽ香ൌ㤲时，
׶ܽ
香>ܽ
Ͳ，ܽͲ为非负整数，
∴ܽ
Ͳ可取Ͳ，香，ʹ，
׶݇
ൌ㤲ʹ +ܽ
Ͳ
ʹ ൌͻ +ܽ
Ͳ
ʹ为奇数，
∴ܽ
Ͳ
ʹ为偶数，即ܽͲ为偶数，
∴符合条件的ܽͲ为Ͳ，ʹ，共ʹ 个，
∴满足条件的整式有ʹ 个，故①正确；
②当݊
ൌʹ，݇
ൌʹ香时，即ܽʹ
ʹ +ܽ
香
ʹ +ܽ
Ͳ
ʹ ൌʹ香，ܽʹ >ܽ
香>ܽ
Ͳ ൒Ͳ，为互不相等的非负整数，
׶ Ͷʹ ൌ香͸ < ʹ香，程ʹ ൌʹ程> ʹ香，
∴ܽ
ʹ ൑Ͷ，
若ܽʹ ൌͶ，则ܽ香
ʹ +ܽ
Ͳ
ʹ ൌ程，仅ܽ
香ൌʹ，ܽͲ ൌ香符合条件，得ܯൌͶݔʹ + ʹݔ+ 香，配方得ܯൌͶ(ݔ+
香
Ͷ )ʹ +
㤲
Ͷ，
最小值为
㤲
Ͷ <
程
Ͷ，故②错误；
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③当݊
ൌʹ，ܯൌܽ
ʹݔʹ +ܽ
香ݔ+ܽ
Ͳ，
∵ܽʹ ൑㤲，ܽʹ >ܽ
香>ܽ
Ͳ ൒Ͳ 时，
∴所有符合条件的系数组合为(ʹǡ香ǡͲ)ǡ(㤲ǡʹǡͲ)，即ܯൌʹݔʹ + ݔ或ܯൌ㤲ݔʹ + ʹݔ，
∵
ʹݔʹ+ݔ
ݔ+ʹ ൌʹݔെ㤲+
͸
ݔ+ʹ，
㤲ݔʹ+ʹݔ
ݔ+ʹ
ൌ㤲ݔെͶ +
ͺ
ݔ+ʹ，ܯ能被ݔ+ ʹ 整除，
∴ݔ+ ʹ 分别是± ͸ 与± ͺ 的因数，
∴ݔ+ ʹ ൌ± ͸ 或ݔ+ ʹ ൌ± 㤲，ݔ+ ʹ ൌ± ʹ 或ݔ+ ʹ ൌ± 香或ݔ+ ʹ ൌ± ͺ 或ݔ+ ʹ ൌ± Ͷ，
解得ݔൌെͺ，Ͷ，െ程，香，െͶ，Ͳ，െ㤲，െ香，െ香Ͳ，͸，െ͸，ʹ，
∴满足条件的所有整数ݔ之和为െͺ + Ͷ െ程+ 香െͶ + Ͳ െ㤲െ香െ香Ͳ + ͸ െ͸ + ʹ ൌെʹͶ，故③错误；
综上，说法正确的个数是香．
二、填空题
1．方程ݔെ㤲ʹ ൌ香͸ 的根是__________．
【答案】ݔ香ൌ͹，ݔʹ ൌെ香
【详解】解：∵ݔെ㤲ʹ ൌ香͸，
∴ݔെ㤲ൌͶ 或ݔെ㤲ൌെͶ，
解得ݔ香ൌ͹，ݔʹ ൌെ香．
2．将方程ݔʹ + ͸ݔ+ 香ൌͲ 配方成(ݔ+݉
)ʹ +݊
ൌͲ 的形式，则݉
+݊
ൌ_________．
【答案】െ程
【分析】将原方程的常数项移到等号右侧，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将原方程整理为
(ݔ+݉
)ʹ +݊
ൌͲ 的形式，确定݉
与݊
的值后，计算݉
+݊
即可．
【详解】解：∵ݔʹ + ͸ݔ+ 香ൌͲ，
∴ݔʹ + ͸ݔൌെ香，
∴ݔʹ + ͸ݔ+ ͻ ൌെ香+ ͻ，
∴ݔ+ 㤲ʹ ൌͺ
∴(ݔ+ 㤲)ʹ െͺ ൌͲ，
∴݉
ൌ㤲，݊
ൌെͺ，
∴݉
+݊
ൌ㤲+ െͺ ൌെ程．
3．若关于x 的一元二次方程ݔʹ െʹݔ+݇
ൌͲ 有两个相等的实数根，则k 的值为_________．
【答案】香
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根时根的判别式等于Ͳ，
列出方程求解即可．
【详解】解：∵关于ݔ的一元二次方程ݔʹ െʹݔ+݇
ൌͲ 有两个相等的实数根，
∴根的判别式Δ ൌ( െʹ)ʹ െͶ ൈ香ൈ݇
ൌͶ െͶ݇
ൌͲ，
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解得݇
ൌ香．
4．如果关于ݕ的一元二次方程(ݕെʹ)ʹ + 㤲ൌ݇
有两个不相等的实数根，那么݇
的取值范围是________．
【答案】݇
> 㤲
【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：ݕʹ െͶݕ+ ͹ െ݇
ൌͲ，
׶ 该一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ ൌെͶ ʹ െͶ ൈ香ൈ͹ െ݇
> Ͳ，
整理得Ͷ݇െ香ʹ > Ͳ，
解得݇
> 㤲．
5．若关于ݔ的一元二次方程(ݔെʹ)(ݔെ݉
) ൌͲ 的一个根是10，则另一个根是________．
【答案】
ʹ
【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为香Ͳ，即可求出另一
个根．
【详解】解：已知方程为(ݔെʹ)(ݔെ݉
) ൌͲ 得ݔെʹ ൌͲ 或ݔെ݉
ൌͲ，
解得ݔ香ൌʹ，ݔʹ ൌ݉
，
׶方程的一个根是香Ͳ，
∴݉
ൌ香Ͳ，
因此方程的另一个根为2．
6．方程ݔʹ ൌെݔ的根是_______．
【答案】ݔ香ൌͲ，ݔʹ ൌെ香
【分析】先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解即可．
【详解】解：ݔʹ ൌെݔ
移项，得ݔʹ + ݔൌͲ,
方程左边因式分解得ݔݔ+ 香ൌͲ
∴ݔൌͲ 或ݔ+ 香ൌͲ
解得ݔ香ൌͲ，ݔʹ ൌെ香．
7．已知等腰直角三角形，其斜边长为一元二次方程ݔʹ െʹݔെͺ ൌͲ 的一个根，则该等腰直角三角形的直角
边长为______．
【答案】ʹ ʹ
【分析】先求解给定的一元二次方程，舍去负根得到等腰直角三角形的斜边长，再利用勾股定理计算直角
边长即可．
【详解】解：解一元二次方程ݔʹ െʹݔെͺ ൌͲ，
因式分解得ݔെͶ
ݔ+ ʹ ൌͲ，
解得ݔ香ൌͶǡݔʹ ൌെʹ，
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׶三角形的边长为正数，
∴该等腰直角三角形的斜边长为Ͷ，
设该等腰直角三角形的直角边长为ܽ
，且ܽ
> Ͳ，
根据勾股定理可得ܽ
ʹ +ܽ
ʹ ൌͶʹ，
整理得ʹܽʹ ൌ香͸，即ܽʹ ൌͺ，
׶ܽ
> Ͳ，
∴ܽ
ൌ
ͺ ൌʹ ʹ，
故该等腰直角三角形的直角边长为ʹ ʹ．
8．方程ݔʹ െ͸ݔ+ ͺ ൌͲ 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________．
【答案】10
【分析】先求出方程的两个根，再分情况讨论边长组合，结合三角形三边关系验证组合是否成立，最后计
算周长即可.
【详解】解：ݔʹ െ͸ݔ+ ͺ ൌͲ
因式分解得
ݔെͶ
ݔെʹ ൌͲ
解得ݔ香ൌͶǡݔʹ ൌʹ；
若Ͷ 为腰，2 为底，三角形三边长为ͶǡͶǡʹ，因为Ͷ + ʹ > Ͷ，满足三角形三边关系，此时周长为Ͷ + Ͷ + ʹ ൌ香Ͳ，
若Ͷ 为底，2 为腰，三角形三边长为ʹǡʹǡͶ，ʹ + ʹ ൌͶ，不满足三角形三边关系，故舍去.
综上：这个等腰三角形周长是10.
9．将4 个数ܽ
，ܾ，ܿ，݀
排成2 行2 列，两边各加一条竖直线记成ܾܽܿ݀
，定义ܾܽܿ݀
ൌܽ݀
െܾܿ
，上述记
号就叫作2 阶行列式，若ݔ+ ʹ
ݔെʹ
ʹ െݔ
ݔ+ ʹ ൌ香Ͳ，则ݔൌ________．
【答案】± 香
【分析】根据新定义先化简方程，再解方程即可．
【详解】解：∵ݔ+ ʹ
ݔെʹ
ʹ െݔ
ݔ+ ʹ ൌ香Ͳ，
∴ݔ+ ʹ ʹ െݔെʹ
ʹ െݔൌ香Ͳ，即ݔ+ ʹ ʹ + ݔെʹ ʹ ൌ香Ͳ，
解得ݔൌ± 香．
10．若关于ݔ的一元二次方程ܽ
+ 香ݔʹ + 㤲ݔ+ 香ൌͲ 有实数根，则实数ܽ
的取值范围是_________．
【答案】ܽ
൑
程
Ͷ且ܽ
≠െ香
【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式Δ ൒Ͳ，列出不等式
求解即可得到ܽ
的取值范围．
【详解】解：׶方程是关于ݔ的一元二次方程，
∴ܽ
+ 香≠Ͳ，
解得ܽ
≠െ香；
∵关于ݔ的一元二次方程ܽ
+ 香ݔʹ + 㤲ݔ+ 香ൌͲ 有实数根，
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∴Δ ൌ㤲ʹ െͶ ൈܽ
+ 香ൈ香൒Ͳ，
解得ܽ
൑
程
Ͷ；
综上，实数ܽ
的取值范围为ܽ
൑
程
Ͷ且ܽ
≠െ香．
11．若关于ݔ的方程݇
ݔʹ െ㤲ݔെ
ͻ
Ͷ ൌͲ 有实数根，则实数݇
的取值范围是__________．
【答案】݇
൒െ香
【分析】分两种情况讨论，当݇
ൌͲ 时方程为一元一次方程，当݇
≠Ͳ 时方程为一元二次方程，利用根的判
别式求解，再综合两种情况得到݇
的取值范围．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当݇
ൌͲ 时，原方程化为െ㤲ݔെ
ͻ
Ͷ ൌͲ，是一元一次方程，有一个实数根，符合题意；
②当݇
≠Ͳ 时，原方程݇
ݔʹ െ㤲ݔെ
ͻ
Ͷ ൌͲ 是一元二次方程，
׶方程有实数根，
∴根的判别式Δ ൌܾ
ʹ െͶܽܿ
൒Ͳ，
代入得Δ ൌ( െ㤲)ʹ െͶ൉݇൉െ
ͻ
Ͷ ൌͻ + ͻ݇
൒Ͳ，
解得݇
൒െ香，此时݇
൒െ香且݇
≠Ͳ．
综合可得，实数݇
的取值范围是݇
൒െ香．
12．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当ܽ
> Ͳ 时，
∵ܽ+
香ܽൌܽ
ʹ െʹܽ
ڄ
香ܽ+
香ܽ
ʹ
+ ʹܽ
ڄ
香ܽൌܽ
െ
香ܽ
ʹ
+ ʹ ൒ʹ，
∴当且仅当ܽ
ൌ
香ܽ，即ܽ
ൌ香时，ܽ+
香ܽ取得最小值，最小值为ʹ．
请利用以上结果解决下面的问题：
若ܽ
> Ͳ，则
ʹܽʹ+㤲ܽ+Ͷܽ的最小值为_____．
【答案】㤲+ Ͷ ʹ/Ͷ ʹ + 㤲
【分析】依据题意，先化成材料中的例子的形式，再仿照材料中的例子，即可求得答案．
【详解】解：
ʹܽʹ+㤲ܽ+Ͷܽൌʹܽ+
Ͷܽ+ 㤲ൌ
ʹܽ
ʹ െʹ ʹܽڄ
ʹܽ+
ʹܽ
ʹ
+ 㤲+ ʹ ʹܽڄ
ʹܽൌ
ʹܽെ
ʹܽ
ʹ
+ 㤲+ Ͷ ʹ，
∴当且仅当ʹܽ
ൌ
ʹܽ，即ܽ
ൌ
ʹ时，
ʹܽʹ+㤲ܽ+Ͷܽ取得最小值，最小值为㤲+ Ͷ ʹ．
13．将方程ݔʹ െʹݔെ香ൌͲ 化成ݔ+ܽ
ʹ ൌܾ
（ܽǡ ܾ为常数）的形式，则ܽ
+ܾ
ʹͲʹ͸ ൌ___________．
【答案】1
【分析】利用配方法将原方程变形为ݔ+ܽ
ʹ ൌܾ
的形式，求出ܽ
和ܾ
的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：׶原方程为ݔʹ െʹݔെ香ൌͲ，
移项得ݔʹ െʹݔൌ香，
配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方香，得ݔʹ െʹݔ+ 香ൌ香+ 香，
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即(ݔെ香)ʹ ൌʹ ，整理为(ݔ+ܽ
)ʹ ൌܾ
的形式得ݔ+ െ香
ʹ ൌʹ，
∴ܽ
ൌെ香，ܾ
ൌʹ，
则ܽ
+ܾ
ൌെ香+ ʹ ൌ香，
因此ܽ
+ܾ
ʹͲʹ͸ ൌ香ʹͲʹ͸ ൌ香．
14．小瑞同学设计了一种运算程序：输入正整数݉
，则输出另一个正整数݊
．具体程序如下：①若݉
为偶
数，则输出݊
ൌ݉ʹ；②若݉
为奇数，则输出݊
ൌ݉
+ 香．对正整数݉
进行一次输入和输出称为对݉
的一次
变换，对第一次输出的݊
再次输入和输出则称为对݉
的二次变换，依此类推．例如，输入正整数݉
ൌ͸，
根据6 是偶数，对6 进行一次变换输出的数为
͸
ʹ ൌ㤲；将3 再次输入，根据3 是奇数，对6 进行二次变换后
输出的数为㤲+ 香ൌͶ．
（1）若输入正奇数݉
进行二次变换后输出的数为15，则满足条件的݉
的值为______，
（2）已知输入正整数݇
，若对݇
进行两次变换，这两次变换分别输出的两个数之积为18，则正整数݇
的值
为______．
【答案】
29
5 或12
【分析】本题考查了解一元二次方程等知识，注意：两个奇数之和为偶数，奇数和偶数之和为奇数．
（1）依据题干计算方法计算即可；
（2）分正整数݇
为奇数或者偶数来讨论，第一次变换的结果再分奇数或者偶数两种情况讨论，计算即可作
答．
【详解】解：（1）正奇数݉
进行第一次变换为：݉
+ 香，
׶݉
+ 香是偶数，
∴第二次变换为：݉
+香
ʹ ，
∴݉
+香
ʹ
ൌ香程，即݉
ൌʹͻ；
（2）当正整数݇
为奇数时，
则第一次变换为：݇+ 香，
׶݇
+ 香是偶数，
∴第二次变换为：݇
+香
ʹ ，
׶两次变换分别输出的两个数之积为18，
∴݇
+香
ʹ ൈ݇
+ 香ൌ香ͺ，即݇
ൌ程（负数舍去）；
当正整数݇
为偶数时，则第一次变换为：݇ʹ，
若：݇ʹ为偶数，则第二次变换为：݇ʹ ൈ
香
ʹ ൌ݇Ͷ，
׶两次变换分别输出的两个数之积为18，
∴݇ʹ ൈ݇Ͷ ൌ香ͺ，即݇
ൌ香ʹ（负数舍去）；
若：݇ʹ为奇数，则第二次变换为：݇ʹ + 香，
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׶两次变换分别输出的两个数之积为18，
∴݇ʹ ൈ݇
ʹ + 香ൌ香ͺ，
变形得：݇ʹ + ʹ݇+ 香ൌ͹㤲，
解得：݇
ൌെ香±
͹㤲，
即不存在正整数݇
，舍去；
综上：݇
为5 或12．
15．对于一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲܽ
≠Ͳ ，下列说法正确的是_______．
①若Ͷܽ+ ʹܾ+ܿ
ൌͲ，则ܾʹ െͶܽܿ
൒Ͳ；
②若方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ 有两个不相等的实数根，则方程ܽ
ݔ+ܿ
ൌͲ 必有两个不相等的实数根；
③若2026 是方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ 的一个根，则
香
ʹͲʹ͸一定是ܿݔʹ +ܾݔ+ܽ
ൌͲ 的一个根；
④若ݔͲ是一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ 的根，则ܾʹ െͶܽܿ
ൌʹܽݔͲ +ܾ
ʹ．
【答案】①③④
【分析】对每个说法，结合一元二次方程的根的定义、判别式、方程变形等知识逐一分析判断．
【详解】解：①当ݔൌʹ 时，代入方程得Ͷܽ+ ʹܾ+ܿ
ൌͲ，说明方程有一个根为ݔൌʹ，因此判别式ܾʹ െͶܽܿ
൒
Ͳ，
故①正确；
②方程ܽ
ݔ+ܿ
ൌͲ 是一元一次方程（ܽ
≠Ͳ），只有一个实数根ݔൌെܿܽ，不可能有两个根，
故②错误；
③把ݔൌʹͲʹ͸ 代入ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ，得ʹͲʹ͸ʹܽ
+ ʹͲʹ͸ܾ+ܿ
ൌͲ，
两边同时除以ʹͲʹ͸ʹ，得ܽ
+ܾʹͲʹ͸ +ܿʹͲʹ͸ʹ ൌͲ，即ܿ
ڄ
香
ʹͲʹ͸
ʹ
+ܾ
ڄ
香
ʹͲʹ͸ +ܽ
ൌͲ，
∴
香
ʹͲʹ͸一定是ܿݔʹ +ܾݔ+ܽ
ൌͲ 的一个根，
故③正确；
④∵ݔͲ是方程的根，
∴ܽݔͲʹ +ܾݔͲ +ܿ
ൌͲ，即ܽ
ݔͲʹ +ܾݔͲ ൌെܿ，
∴ʹܽݔͲ +ܾ
ʹ ൌͶܽ
ʹݔͲʹ + Ͷܾܽ
ݔͲ +ܾ
ʹ ൌͶܽܽ
ݔͲʹ +ܾݔͲ +ܾ
ʹ ൌͶܽ
െܿ
+ܾ
ʹ ൌܾ
ʹ െͶܽܿ
，
故④正确；
故答案为：①③④．
16．项目式学习：我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．“杨辉三角”的构造
法为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了ܽ
+ܾ݊
（n 为正整数）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．如图，图中的第n 行对应ܽ
+ܾ݊
的展开式，如在第2 行的三个数1，2，1，恰好对应ܽ
+ܾ
ʹ ൌܽ
ʹ + ʹܾܽ
+ܾ
ʹ展开式中各项的系数；第3 行
的四个数1，3，3，1，恰好对应着ܽ
+ܾ
㤲ൌܽ
㤲+ 㤲ܽ
ʹܾ+ 㤲ܾܽ
ʹ +ܾ
㤲展开式中各项的系数．定义形݊݇，代表第
n 行第݇
+ 香个系数（k 为自然数，且݇
൑݊
）．
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(1)根据上面的规则，结合系数表规律，则形ʹ
Ͳ ൌ________，形程
香ൌ________；由系数表规律可推测第一斜列（每
一行的第1 个系数组成第一斜列，以此类推）中形݊Ͳ ൌ________，第二斜列中形݊香ൌ________；
(2)当n 大于1，每个系数均为其上方右边和左边两系数之和，现研究第三斜列规律：完成填空，即形ʹ
ʹ ൌ香；
形㤲
ʹ ൌ形ʹ
ʹ + 形ʹ
香ൌ香+ ʹ ൌ㤲；形Ͷ
ʹ ൌ形㤲
ʹ + 形㤲
香ൌ㤲+ 㤲ൌ͸ 可以看成_______+______+ 㤲ൌ͸；
形程
ʹ ൌ形Ͷ
ʹ + 形Ͷ
香ൌ͸ + Ͷ ൌ香Ͳ 可以看成______+______+______+ Ͷ ൌ香Ͳ；……由此可以得出形݊ʹ ൌ________；
(3)在（2）的条件下，若形݉ʹ 是其右上方系数的
㤲
ʹ倍（݉
> 香），则m 的值为________．
【答案】(1)1，5；1，n；
(2)1，2；1，2，3；݊
െ香݊
ʹ
（或香+ ʹ + 㤲+ڄڄڄ+݊
െ香）
(3)͸
【分析】（1）根据形݊݇的定义以及“杨辉三角”的结构即可解答；
（2）先根据等量代换填空，然后再归纳规律即可；
（3）由题意可得：形݉ʹ 是其右上方系数形݉
െ香
ʹ
，再利用形݉ʹ 是其右上方系数的
㤲
ʹ倍（݉
> 香）以及（2）的结论列
方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：形ʹ
Ͳ表示第二行第1 个数，即为1；
形程
香表示第五行第2 个数字，即为5；
由系数表规律可推测第一斜列（每一行的第1 个系数组成第一斜列，以此类推）中形݊Ͳ ൌ香,第二斜列中形݊香ൌ݊
．
（2）解：∵形ʹ
ʹ ൌ香；形㤲
ʹ ൌ形ʹ
ʹ + 形ʹ
香ൌ香+ ʹ ൌ㤲；形Ͷ
ʹ ൌ形㤲
ʹ + 形㤲
香ൌ㤲+ 㤲ൌ͸，形Ͷ
ʹ ൌ形ʹ
ʹ + 形ʹ
香+ 形㤲
香，
∴1+2+ 㤲ൌ͸；
∵形程
ʹ ൌ形Ͷ
ʹ + 形Ͷ
香ൌ形ʹ
ʹ + 形ʹ
香+ 形㤲
香+ 形Ͷ
香，
∴形程
ʹ ൌ香+ ʹ + 㤲+ Ͷ ൌ香Ͳ；
归纳规律可得：形݊ʹ ൌ香+ ʹ + 㤲+ ǥ +݊
െ香ൌ݊
െ香݊
ʹ
；
（3）解：由题意可得：形݉ʹ 是其右上方系数形݉
െ香
ʹ
，
∵形݉ʹ ൌ݉
െ香݉
ʹ
，形݉
െ香
ʹ
ൌ݉
െʹ݉
െ香
ʹ
，形݉ʹ 是其右上方系数的
㤲
ʹ倍（݉
> 香），
∴形݉ʹ ൌ
㤲
ʹ 形݉
െ香
ʹ
，即݉
െ香݉
ʹ
ൌ
㤲
ʹ ൈ݉
െʹ݉
െ香
ʹ
，解得：݉
ൌ͸ 或݉
ൌ香（不合题意舍去）．
三、解答题
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1．以下是小明在解方程ݔ+ Ͷ
ݔെ㤲ൌ㤲െݔ时的解答过程．
解：原方程可化为ݔ+ Ͷ
ݔെ㤲ൌെݔെ㤲，
两边同除以ݔെ㤲，得：ݔ+ Ͷ ൌെ香
解得：ݔൌെ程．
小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】小明解答有错误，正确的解答过程见解析．
【分析】小明错误地将方程两边同时除以(ݔെ㤲)，忽略了ݔെ㤲ൌͲ 的可能；先移项，再用因式分解法求解
即可得到正确结果．
【详解】解：小明的解答有错误，正确解答过程如下：
原方程可化为ݔ+ Ͷ
ݔെ㤲ൌെݔെ㤲，
移项得ݔ+ Ͷ
ݔെ㤲+ ݔെ㤲ൌͲ，
提取公因式得ݔെ㤲
ݔ+ 程ൌͲ，
因此ݔെ㤲ൌͲ 或ݔ+ 程ൌͲ，
解得ݔ香ൌ㤲，ݔʹ ൌെ程．
2．【阅读材料】
解方程：ݔͶ െ程ݔʹ + Ͷ ൌͲ，
这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设ݔʹ ൌݕ，则ݔͶ ൌݕʹ，
于是原方程可转化为：ݕʹ െ程ݕ+ Ͷ ൌͲ ，
解得：ݕ香ൌ香，ݕʹ ൌͶ．
当ݕൌ香时，ݔʹ ൌ香，所以ݔൌ± 香；
当ݕൌͶ 时，ݔʹ ൌͶ，所以ݔൌ± ʹ，
所以原方程有四个根：ݔ香ൌ香，ݔʹ ൌെ香，ݔ㤲ൌʹ，ݔͶ ൌെʹ，
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
【解决问题】
(1)在解方程(ݔʹ + ݔ)ʹ െͶ ݔʹ + ݔെ香ʹ ൌͲ 时，若设ݕൌݔʹ + ݔ，则原方程可转化为______，解得原方程的
根为______；
(2)若(݉
ʹ +݊
ʹ െ㤲)(݉
ʹ +݊
ʹ + 㤲) ൌͺ ，则݉
ʹ +݊
ʹ ൌ______；
(3)参照上面解题的思想方法解方程：(
ݔ
ݔെʹ )ʹ െ͸ ڄ
ݔ
ݔെʹ + ͻ ൌͲ ．
【答案】(1)
ݕʹ െͶݕെ香ʹ ൌͲ，ݔ香ൌെ㤲，ݔʹ ൌʹ
(2)
香͹
(3)
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ݔൌ㤲
【分析】（香）直接代入得关于ݕ的方程，即可得到结果；
（ʹ）设ݐൌ݉
ʹ +݊
ʹ，则原方程可转化为(ݐെ㤲)(ݐ+ 㤲) ൌͺ，ݐ的方程得出ݐൌ
香͹，即可求解；
（㤲）设ݕൌ
ݔ
ݔെʹ，则原方程可转化为ݕʹ െ͸ݕ+ ͻ ൌͲ，求出ݕൌ㤲，即可得出关于ݔ的方程，然后解关于ݔ
的分式方程，即可求解．
【详解】（1）解：设ݕൌݔʹ + ݔ，代入原方程直接替换，得转化后的方程：ݕʹ െͶݕെ香ʹ ൌͲ，
因式分解得(ݕെ͸)(ݕ+ ʹ) ൌͲ，
解得ݕ香ൌ͸ǡݕʹ ൌെʹ；
ݕൌ͸ 时，ݔʹ + ݔൌ͸，即ݔʹ + ݔെ͸ ൌͲ，
因式分解得(ݔ+ 㤲)(ݔെʹ) ൌͲ，
解得ݔൌെ㤲或ݔൌʹ，
ݕൌെʹ 时，ݔʹ + ݔ+ ʹ ൌͲ，
判别式Δ ൌ香െͺ ൌെ͹ < Ͳ，无实根，
∴原方程的根为ݔ香ൌെ㤲ǡݔʹ ൌʹ；
（2）解：设ݐൌ݉
ʹ +݊
ʹ，由平方非负性得ݐ൒Ͳ，
原方程可化为(ݐെ㤲)(ݐ+ 㤲) ൌͺ，
展开得ݐʹ െͻ ൌͺ，
ݐʹ ൌ香͹，
结合ݐ൒Ͳ 得ݐൌ
香͹，即݉
ʹ +݊
ʹ ൌ
香͹；
（3）解：设ݕൌ
ݔ
ݔെʹ (ݔ≠ʹ)，
原方程转化为：ݕʹ െ͸ݕ+ ͻ ൌͲ，
(ݕെ㤲)ʹ ൌͲ，
解得ݕൌ㤲，
∴
ݔ
ݔെʹ ൌ㤲，
两边乘ݔെʹ 得ݔൌ㤲(ݔെʹ)，
解得ݔൌ㤲，
检验：ݔൌ㤲时分母ݔെʹ ൌ香≠Ͳ，
∴ݔൌ㤲是原方程的解．
3．下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程：ݔെ㤲ʹ െ㤲ݔെ㤲ൌͲ，
ݔെ㤲ʹ ൌ㤲ݔെ㤲第一步
ݔെ㤲ൌ㤲第二步
ݔ香ൌݔʹ ൌ͸ 第三步
(1)任务一：填空：①以上解题过程中，第一步变形的名称是______；②第______步开始出现错误，错误的
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原因是______；
(2)任务二：请你写出该方程正确的解法．
【答案】(1)移项；二，未考虑ݔെ㤲ൌͲ 的情况
(2)
ݔെ㤲ʹ െ㤲ݔെ㤲ൌͲ
解：ݔെ㤲
ݔെ㤲െ㤲ൌͲ，
ݔെ㤲
ݔെ͸ ൌͲ，
解得ݔ香ൌ㤲，ݔʹ ൌ͸．
【分析】（1）题干使用了整体思想，将ݔെ㤲视作一个整体，第一步为移项，第二步两边同除以ݔെ㤲，
但未考虑ݔെ㤲ൌͲ 的情况，因此出现错误；
（2）将ݔെ㤲视作一个整体，使用因式分解法解方程．
【详解】（1）略
（2）略
4．已知：关于ݔ的方程݉
ݔʹ +݉
െ㤲ݔെ㤲ൌͲ ݉
≠Ͳ ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)如果݉
为正整数，且方程的两个根均为整数，求݉
的值．
【答案】(1)
见解析
(2)1 或3
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式Δ，证明Δ ൒Ͳ，从而说明方程总有两个实数根；
（2）先求出方程的两个根，再根据݉
为正整数，且两个根均为整数的条件，确定݉
的值．
【详解】（1）证明：׶݉
≠Ͳ，
∴方程݉
ݔʹ +݉
െ㤲ݔെ㤲ൌͲ ݉
≠Ͳ 是关于ݔ的一元二次方程，
∴Δ ൌ݉
െ㤲ʹ െͶ݉
ൈെ㤲  ൌ݉
+ 㤲ʹ ൒Ͳ，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：׶ ݔൌ
െ݉
െ㤲±݉
+㤲
ʹ݉
，
∴ݔ香ൌ
㤲݉，ݔʹ ൌെ香．
׶݉
为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴݉
ൌ香或3．
5．已知一元二次方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲܽ
≠Ͳ ．
(1)若ݔൌ㤲是方程的一个根，求
㤲ܾ+ܿ
㤲ܽ
的值．
(2)若方程有两个相同的实数根，且ܾ
െܽܿ
ൌെ香，求b 的值．
【答案】(1)െ㤲
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(2)ʹ + ʹ ʹ或ʹ െʹ ʹ
【分析】（1）把ݔൌ㤲代入ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ，化简即可得到答案；
（2）由ܾ
െܽܿ
ൌെ香得到ܽܿ
ൌܾ
+ 香，代入根的判别式，化简得Δ ൌܾ
ʹ െͶܾെͶ ൌͲ，解关于b 的方程即
可证得结论．
【详解】（1）解：∵若ݔൌ㤲是方程ܽ
ݔʹ +ܾݔ+ܿ
ൌͲ 的一个根，
∴ͻܽ+ 㤲ܾ+ܿ
ൌͲ，
∴㤲ܾ+ܿ
ൌെͻܽ，
∵ܽ
≠Ͳ，
∴
㤲ܾ+ܿ
㤲ܽ
ൌ
െͻܽ
㤲ܽ
ൌെ㤲；
（2）解：∵ܾെܽܿ
ൌെ香，
∴ܽܿ
ൌܾ
+ 香，
∵方程有两个相同的实数根，
∴Δ ൌܾ
ʹ െͶܽܿ
ൌܾ
ʹ െͶܾ
+ 香ൌܾ
ʹ െͶܾെͶ ൌͲ，
解得ܾ
ൌʹ ± ʹ ʹ，
∴b 的值为ʹ + ʹ ʹ或ʹ െʹ ʹ．
6．解一元二次方程：
(1)ݔʹ െ
Ͷ
ͻ ൌͲ ；
(2)(ݔെʹ)ʹ ൌʹ程；
(3)ݔʹ + ͸ݔെ͹ ൌͲ（用配方法解）；
(4)ʹݔʹ െ㤲ݔൌͶ（用公式法解）．
【答案】(1)ݔ香ൌ
ʹ
㤲，ݔʹ ൌെ
ʹ
㤲；
(2)ݔ香ൌ͹，ݔʹ ൌെ㤲；
(3)ݔ香ൌ香，ݔʹ ൌെ͹；
(4)ݔ香ൌ
㤲+ Ͷ香
Ͷ
，ݔʹ ൌ
㤲െͶ香
Ͷ
.
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，理解一元二次方程解法是解答关键.
（1）（2）利用开方法来求解；
（3）先配方，再利用开方法求解；
（4）先求出Δ，判断根的情况，再利用求根公式求解.
【详解】（1）解：原方程移项得ݔʹ ൌ
Ͷ
ͻ，
开平方得ݔ香ൌ
ʹ
㤲ǡݔʹ ൌെ
ʹ
㤲.
（2）解：原方程开平方得ݔെʹ ൌ± 程，
解得ݔ香ൌʹ + 程ൌ͹ǡݔʹ ൌʹ െ程ൌെ㤲.
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（3）解：移项得ݔʹ + ͸ݔൌ͹
配方得ݔʹ + ͸ݔ+ ͻ ൌ͹ + ͻ，
即ݔ+ 㤲ʹ ൌ香͸
开平方得ݔ+ 㤲ൌ± Ͷ
解得ݔ香ൌെ㤲+ Ͷ ൌ香ǡݔʹ ൌെ㤲െͶ ൌെ͹.
（4）解：由原方程可得ʹݔʹ െ㤲ݔെͶ ൌͲ，
则ܽ
ൌʹǡܾൌെ㤲ǡܿൌെͶ，
Δ ൌܾ
ʹ െͶܽܿ
ൌെ㤲ʹ െͶ ൈʹ ൈെͶ ൌͻ + 㤲ʹ ൌͶ香> Ͳ
方程有两个不相等的实数根，
ݔൌ
െܾ±ܾ
ʹെͶܽܿ
ʹܽ
ൌ
㤲± Ͷ香
ʹൈʹ ，
∴ݔ香ൌ
㤲+ Ͷ香
Ͷ
ǡݔʹ ൌ
㤲െͶ香
Ͷ
.
7．已知分式ܯൌ香െ
香ܽ
െ香ൊܽ
ʹെͶܽ+Ͷܽ
ʹെܽ
．
(1)化简分式ܯ；
(2)若关于ݔ的方程ݔʹ െʹݔ+ܽ
െʹ ൌͲ 有两个实数根，且ܽ
为正整数，求分式的ܯ值．
【答案】(1)ܽܽെʹ
(2)㤲
【分析】（1）根据分式的运算法则即可求解；
（2）根据一元二次方程有两个实数根可得ܽ
的取值范围，由ܽ
为正整数，可得ܽ
的值，再根据分式有意义
的条件确定ܽ
，即可求解．
【详解】（1）解：原式ൌܽ
െ香െ香ܽ
െ香ൊܽ
െʹ ʹܽܽ
െ香
ൌܽ
െʹܽ
െ香ڄܽܽ
െ香ܽ
െʹ ʹ
ൌܽܽ
െʹ．
（2）解：∵关于ݔ的方程ݔʹ െʹݔ+ܽ
െʹ ൌͲ 有两个实数根，
∴Δ ൌെʹ ʹ െͶ ൈ香ൈܽ
െʹ ൒Ͳ，
解得ܽ
൑㤲，
∵ܽ
为正整数，
∴ܽ
ൌ香ǡʹǡ㤲，
∵要使分式有意义，ܽ
≠香ǡʹ，
∴当ܽ
ൌ㤲时，原式ൌ
㤲
㤲െʹ ൌ㤲．
8．先化简，再求值：
ݔʹെͶݔ+Ͷ
ݔʹെʹݔൊݔെ
Ͷ
ݔ，其中ݔ满足ݔʹ + ʹݔെͺ ൌͲ 且ݔ≠± ʹ．
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【答案】
香
ݔ+ʹ，െ
香
ʹ
【分析】先对原式进行化简，由已知可得ݔൌെͶ，代入计算即可．
【详解】解：
ݔʹെͶݔ+Ͷ
ݔʹെʹݔൊݔെ
Ͷ
ݔ
ൌݔെʹ ʹ
ݔݔെʹ ൊݔʹ െͶ
ݔ
ൌ
ݔെʹ
ݔڄ
ݔ
ݔ+ʹ
ݔെʹ
ൌ
香
ݔ+ʹ，
∵ݔ满足ݔʹ + ʹݔെͺ ൌͲ 且ݔ≠± ʹ，
∴ݔൌെͶ，
∴原式ൌ
香
െͶ+ʹ ൌെ
香
ʹ．
9．解方程
(1)
ʹ
ݔെ㤲ൌ
㤲
ʹݔെ香
(2)ݔʹ െݔൌെʹ
【答案】(1)
ݔൌെ͹
(2)
原方程无实数根
【分析】（1）去分母将分式方程转化为一元一次方程求解，最后检验根是否使分母为零；
（2）把一元二次方程整理为标准形式后，配方，利用平方数的非负性判断根的情况．
【详解】（1）解：两边同乘(ݔെ㤲)(ʹݔെ香)得ʹ(ʹݔെ香) ൌ㤲(ݔെ㤲)，
展开得Ͷݔെʹ ൌ㤲ݔെͻ，
移项得ݔൌെ͹；
检验：当ݔൌെ͹ 时，(ݔെ㤲)(ʹݔെ香) ൌ( െ香Ͳ) ൈ( െ香程) ൌ香程Ͳ ≠Ͳ，
因此原分式方程的解为ݔൌെ͹．
（2）解：整理得ݔʹ െݔ+ ʹ ൌͲ，
配方得(ݔെ
香
ʹ )ʹ ൌെ
͹
Ͷ，
׶任意实数的平方都大于等于Ͳ，
∴(ݔെ
香
ʹ )ʹ不可能等于െ
͹
Ͷ，
∴原方程无实数根．
10．计算与解方程：
(1)计算：香െ
香
ݔʹ ൊ
ݔെ香
ݔ；
(2)解方程：ݔʹ + ʹݔെ香ൌͲ．
【答案】(1)
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ݔ+ 香
ݔ
(2)
ݔ香ൌെ香+
ʹ，ݔʹ ൌെ香െ
ʹ
【分析】（1）根据分式的混合运算，先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分后得到结果；
（2）通过配方法求解即可．
【详解】（1）解：香െ
香
ݔʹ ൊ
ݔെ香
ݔ
ൌ( ݔʹ
ݔʹ െ香
ݔʹ ) ൈ
ݔ
ݔെ香
ൌݔʹ െ香
ݔʹ
ൈ
ݔ
ݔെ香
ൌݔ+ 香
ݔെ香
ݔʹ
ൈ
ݔ
ݔെ香
ൌ
ݔ+香
ݔ；
（2）解：由ݔʹ + ʹݔെ香ൌͲ，移项可得ݔʹ + ʹݔൌ香，
配方得ݔʹ + ʹݔ+ 香ൌ香+ 香，即(ݔ+ 香)ʹ ൌʹ，
开方得ݔ+ 香ൌ±
ʹ，
解得ݔ香ൌെ香+
ʹ，ݔʹ ൌെ香െ
ʹ．
11．我国古代数学家赵爽（公元3~4 世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解
法，用“拼”的方法完成了配方，例如：ݔʹ + ʹݔെʹͶ ൌͲ，可以变形为ݔݔ+ ʹ ൌʹͶ，用四个长为ݔ+ ʹ、
宽为x、面积为24 的矩形，拼成如图所示的大正方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小
正方形的面积可以得到ݔ+ ݔ+ ʹ ʹ ൌͶ ൈʹͶ + ʹʹ．
【模仿实践】（1）用“拼”的方法解方程ݔʹ + 程ݔെ香Ͷ ൌͲ，先变形为________，每个小长方形的长为________，
宽为________，小正方形的面积为________；
【深入探究】（2）用“拼”的方法解方程ʹݔʹ + 程ݔൌ㤲，写出解题过程．
【答案】（1）ݔݔ+ 程ൌ香Ͷ；ݔ+ 程；ݔ；25；（2）见解析
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，解一元二次方程，图形面积的计算方法，理解图示面积，材
料提示的计算方法，解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）仿照用“拼”的方法，根据面积关系列方程求解即可；
（2）先变形为ʹݔʹݔ+ 程ൌ͸，再用“拼”的方法，根据面积关系列方程求解即可．
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【详解】（1）解：仿照方法2 配方解ݔʹ + 程ݔെ香Ͷ ൌͲ，先变形为ݔݔ+ 程ൌ香Ͷ，如图2，
每个小长方形的长为ݔ+ 程，宽为ݔ，小正方形的面积为程ʹ ൌʹ程，
利用图形的面积关系得配方后的方程为ݔ+ ݔ+ 程ʹ ൌͶ ൈ香Ͷ + 程ʹ，即ʹݔ+ 程ʹ ൌͺ香，
解为ݔ香ൌʹǡݔʹ ൌെ͹，
故答案为：ݔݔ+ 程ൌ香Ͷ，ݔ+ 程，ݔ，ʹ程；
（2）解：先变形为ʹݔʹݔ+ 程ൌ͸，如图，
每个小长方形的长为ʹݔ+ 程，宽为ʹݔ，
利用图形的面积关系得配方后的方程为ʹݔ+ ʹݔ+ 程ʹ ൌͶ ൈ͸ + 程ʹ，即Ͷݔ+ 程ʹ ൌͶͻ，
∴Ͷݔ+ 程ൌ± ͹；
解为ݔ香ൌെ㤲ǡݔʹ ൌ
香
ʹ．
12．已知ᇞܣ矩形的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x 的一元二次方程ݔʹ െʹ݇+ 香ݔ+ Ͷ݇
െ
香
ʹ ൌͲ
的两个实数根．
(1)求证：无论k 为何值，方程总有两个实数根；
(2)当k 为何值时，ᇞܣ矩形是等腰三角形，并求ᇞܣ矩形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)当k 为2.5 时，ᇞܣ矩形是等腰三角形，ᇞܣ矩形的周长为10
【分析】（1）先计算Δ ൒Ͳ，即可得出结论；
（2）分两种情况：当4 为腰长时，或当4 为底边时，分别求出结论即可；
【详解】（1）证明：∵Δ ൌെʹ݇+ 香
ʹ െ香͸݇
െ
香
ʹ
ൌͶ݇
ʹ + Ͷ݇+ 香െ香͸݇+ ͺ
ൌͶ݇
ʹ െ香ʹ݇+ ͻ
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ൌʹ݇െ㤲ʹ ൒Ͳ，
∴无论k 为何值，方程总有两个实数根．
（2）解：①当4 为腰长时，则方程必有一个根为4，
∴Ͷʹ െͶ ʹ݇+ 香+ Ͷ݇
െ
香
ʹ ൌͲ．
∴݇
ൌʹʹ程．
∴方程为：ݔʹ െ͸ݔ+ ͺ ൌͲ．
∴ݔൌʹ 或ݔൌͶ．
∴等腰三角形的三边为：4，4，2．
∴周长为：Ͷ + Ͷ + ʹ ൌ香Ͳ；
②当4 为底边时，则方程有2 个相同的实数根，
∴Δ ൌʹ݇െ㤲ʹ ൌͲ．
∴݇
ൌ香ʹ程．
∴方程为：ݔʹ െͶݔ+ Ͷ ൌͲ，解得：ݔ香ൌݔʹ ൌʹ，
∵ʹ + ʹ ൌͶ，
∴不满足三角形三边关系．
故当k 为2.5 时，ᇞܣ矩形是等腰三角形，ᇞܣ矩形的周长为10．
13．已知关于ݔ的一元二次方程ݔʹ െ(ʹ݇+ 㤲)ݔ+݇
ʹ + 㤲݇+ ʹ ൌͲ．
(1)判断方程根的情况；
(2)若ᇞܣ矩形的两边ܣ矩、ܣ形的长是方程的两根，第三边矩形的长为程，当݇
为何值时，ᇞܣ矩形是直角三角
形，并求出ᇞܣ矩形的面积．
【答案】(1)方程有两个不相等的实数根．
(2)当݇
为2 时，ᇞܣ矩形是直角三角形，ᇞܣ矩形的面积为6，当݇
为11 时，ᇞܣ矩形是直角三角形，ᇞܣ矩形的
面积为30
【分析】（1）求出判别式与0 的关系即可判断；
（2）利用因式分解法求出方程的两根，ݔ香ൌ݇
+ 香，ݔʹ ൌ݇
+ ʹ，不妨设ܣ矩ൌ݇
+ 香，ܣ形ൌ݇
+ ʹ，再分两
种情况，利用勾股定理求出k 的值即可解答．
【详解】（1）解：׶在方程ݔʹ െ(ʹ݇+ 㤲)ݔ+݇
ʹ + 㤲݇+ ʹ ൌͲ 中，
Δ ൌܾ
ʹ െͶܽܿ
ൌሾെ(ʹ݇+ 㤲)ሿʹ െͶ(݇ʹ + 㤲݇+ ʹ) ൌ香> Ͳ，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：׶ ݔʹ െ(ʹ݇+ 㤲)ݔ+݇
ʹ + 㤲݇+ ʹ ൌ(ݔെ݇
െ香)(ݔെ݇
െʹ) ൌͲ，
∴ݔ香ൌ݇
+ 香，ݔʹ ൌ݇
+ ʹ．
不妨设ܣ矩ൌ݇
+ 香，ܣ形ൌ݇
+ ʹ，
①当矩形ൌ程为斜边时，有ܣ矩ʹ + ܣ形ʹ ൌ矩形ʹ，即(݇+ 香)ʹ + (݇+ ʹ)ʹ ൌʹ程，
解得：݇香ൌʹ，݇ʹ ൌെ程（舍去）．此时ܣ矩ൌ㤲ǡܣ形ൌͶ
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则直角三角形的面积为：
香
ʹ ൈ㤲ൈͶ ൌ͸；
②当ܣ形ൌ݇
+ ʹ 为斜边时，有ܣ矩ʹ + 矩形ʹ ൌܣ形ʹ，即（݇+ 香）
ʹ + 程ʹ ൌ(݇+ ʹ)ʹ
解得：݇
ൌ香香，此时ܣ矩ൌ香ʹǡܣ形ൌ香㤲，
则直角三角形的面积为：
香
ʹ ൈ程ൈ香ʹ ൌ㤲Ͳ．