文档文本内容
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第09 讲三角形全等的判定
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。像我们把△ABC 通过平移、旋转、轴反射后得到的
△A′B′C′，如果它们能完全重合，那△ABC 和△A′B′C′就是全等三角形。
当表示两个三角形全等时，我们会把表示对应顶点的字母写在对应位置上，记作：ΔABC ≌ΔA’B’C’，
这个符号“≌”要读作“全等于”。
对应顶点、对应边和对应角：在全等三角形里，互相重合的顶点就是对应顶点，互相重合的边就是对
应边，互相重合的角就是对应角。比如说在ΔABC ≌ΔA’B’C’中，A 和A’是对应顶点，AB 和A’B’是对应边，
∠A 和∠A’是对应角。
知识点2 全等三角形的判定
1、“SAS”（边角边）判定
含义：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。比如说，在△ABC 和
△A'B'C'中，如果AB = A'B'，∠A = ∠A'，AC = A'C'，那么△ABC ≌△A'B'C'。
举例：在实际做题的时候，就像这样的题，已知AC = DB，∠ACB = ∠DBC，那么我们就可以判定
△ABC ≌△DCB，理由就是“SAS”。这里AC 和DB 是一组对应边，∠ACB 和∠DBC 是一组对应角，BC
是公共边，也就是另一组对应边。
2、“ASA”（角边角）判定
含义：如果两个三角形有两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。假设在△ABC 和
△A'B'C'中，∠A = ∠A'，AB = A'B'，∠B = ∠B'，那么△ABC ≌△A'B'C'。
举例：如果有一道题说AD 平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“ASA”就需要添加条件∠B = ∠C。
.
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因为AD 是角平分线，所以∠BAD = ∠CAD，AD 是公共边，再加上∠B = ∠C，就满足“ASA”的条件了。
3、“AAS”（角角边）判定
含义：如果两个三角形有两角和其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。例如在△ABC
和△A'B'C'中，∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，BC = B'C'，那么△ABC ≌△A'B'C'。
举例：在一个三角形中，如果已知两个角的度数和其中一个角的对边长度，就可以用这个判定方法来
判断和另一个三角形是否全等。
4、“SSS”（边边边）判定
含义：三边对应相等的两个三角形全等。就像如果AB = DE，BC = EF，AC = DF，那么△ABC ≌△DEF。
举例：比如有一个钢架△ABC，AB = AC，AD 是连接A 与BC 中点D 的支架，要证明△ABD≌△ACD。
因为D 是BC 的中点，所以BD = CD，又因为AB = AC，AD 是公共边，满足三边对应相等，所以
△ABD≌△ACD。
5、斜边、直角边（HL）：如果两个直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，那么这两个直角
三角形全等。
知识点3 判定三角形全等的注意事项
1、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小不同的等边三角形，它们的角都相等，但边
不相等，所以不全等。
2、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形也不一定全等，即“边边角（SSA）” 不能判定三角
形全等。
知识点4 全等三角形判定的常考点
公共边：两个三角形中如果有一条公共边，那么这条边是对应边。
公共角：两个三角形中如果有一个公共角，那么这个角是对应角。
两直线平行：利用两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补来得到相等的角，为证明三
角形全等创造条件。
对顶角：对顶角相等，可作为证明三角形全等时的角相等条件。
知识点5 全等三角形判定的应用
1、证明三角形全等的步骤
（1）确定要证明全等的两个三角形。
（2）分析已知条件，看能满足哪种全等判定定理。
（3）按照全等判定定理的要求，逐步证明对应边或对应角相等。
（4）得出两个三角形全等的结论，并注明理由。
三角形全等书写三步骤：摆出三个条件用大括号括起来。例如在证明⊿ABC≌⊿DBC 时，如果用“SAS”
定理，先说明AC = DC，AB = DB，然后指出∠CAB = ∠CDB，最后写⊿ABC≌⊿DBC（SAS）。
2、通过全等三角形证明角相等或边相等
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如果我们已经证明了两个三角形全等，那么就可以根据全等三角形的性质得到对应角相等或者对应边
相等。比如已知△AEB ≌△ADC，那么就可以得出∠B = ∠C，AE = AD 等结论。这就像一个连锁反应，
先证明全等这个“大前提”，然后就能得出角和边相等这些“小结论”。
3、在实际几何问题中的应用
在一些复杂的几何图形中，我们要善于发现全等三角形。比如在一个四边形中，如果能找到其中的全
等三角形，就可以利用全等三角形的性质来解决边或者角的关系问题。又比如在一些关于图形的折叠或者
旋转的问题中，往往会出现全等三角形，我们可以通过证明全等，进而求出未知的边或者角的长度或者度
数。就像把一个三角形沿着某条边折叠，折叠前后的两个三角形就是全等的，我们就可以利用这个关系来
解题。
课本典例1（习题12.2 第4 题）
如图，AB 与CD 相交于点O ，∠A=∠D ，CO=BO 。求证：△AOC≅△DOB 。
课本典例2（习题12.2 第5 题）
如图，∠1=∠2 ，∠3=∠4 。求证：AB=AC 。
课本典例3（习题12.2 第6 题）
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如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是边BC 上的高。(1) 求证：BD=CD ；(2) 求证：∠BAD=
∠CAD 。
课本典例4（习题12.2 第9 题）
如图，点B 、E 在线段AD 上，AB=DE ，BC∥EF ，BC=EF 。求证：AF=DC 。
题型一用SAS 证明三角形全等
1．（24-25 八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图所示，若AD
BC
，
A
B
，添加后就能直接利用“SAS ”
证得ADF
BCE
≌
的条件是（
）
A．AE
EF
B．DF
CE
C．AF
BE
D．
CEB
DFA
2．（24-25 八年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，点A，B ，C ，D 在同一条直线上，A
DBF
，AE
BF
，
AB
CD
．
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(1)求证：
ACE
BDF
V
V
≌
；
(2) EC
FD
∥
．
3．（24-25 八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知：如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB
DE
，
B
E
，BF
EC
．求证：
ABC
DEF
≌△
△
．
4．（24-25 八年级上·广东湛江·期中）已知AB
DE
∥
，AB
DE
，D ，C 在AF 上，且AD
CF
，求证：
ABC
DEF
≌△
△
．
题型二用SAS 间接证明证明三角形全等
5．（24-25 八年级上·湖南永州·期中）如图，已知点B ，D 在AF 上，AC
FE
，AC
FE
∥
，AD
FB
．求
证：
ABC
FDE
≌
△
△
；
6．（24-25 八年级上·云南楚雄·期末）如图，AD
CB
∥
，且AD
CB
．求证：
ADB
CBD
△
≌△
．
7．
（24-25 八年级上·广东中山·期中）如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD
BF
，AE
BC
，且AE
BC
∥
．求
证：AEF
BCD
≌
．
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8．（24-25 八年级上·浙江温州·期中）如图，C 是线段AB 的中点，在AB 的同侧有两点E，D，使得
,
DCB
ECA
CD
CE
．求证：
≌
ACD
BCE
V
V
．
题型三用ASA（AAS）证明三角形全等
9．（23-24 八年级上·四川南充·阶段练习）如图，AB
CD
、
相交于点O，AO
BO
，AC
DB
∥
．求证：
AOC
BOD
≌
．
10．（24-25 八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，AF
DE
∥
，AC
DB
，
E
F
，求证：
ABF
DCE
△
△
≌
．
11．（24-25 八年级上·福建厦门·期中）如图，点E ，C 在线段BF 上，ACB
DEF
，BE
CF
，B
F
．求
证：
ABC
DFE
△
≌△
．
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12．（24-25 八年级上·北京·期中）已知：如图，OA
OD
B
C
，
．求证：OAB
ODC
≌
．
题型四用SSS 证明三角形全等
13．（24-25 八年级上·广东汕尾·期中）如图，点B、E、C、F 在同一直线上，AB
DE
，AC
DF
，BE
CF
，
求证：
ABC
DEF
≌△
△
．
14．（24-25 九年级下·山东济南·开学考试）如图，点D ，A ，E ，B 在同一直线上，EF
BC
，DF
AC
，
DA
EB
．求证：DEF
ABC
≌
．
15．（24-25 八年级上·广西柳州·期中）如图，
,
AB
CB AD
CD
．求证：
ABD
CBD
≌
△
△
．
16．（24-25 八年级上·广东汕头·期中）如图，A、D、F、B 在同一直线上，
,
AD
BF AE
BC
，且EF
CD
．求
证：AEF
BCD
≌
．
题型五用SSS 间接证明三角形全等
17．（24-25 八年级上·湖南永州·期中）如图，A 、D 、C 、F 在一条直线上，BC 与DE 交于点G ，AD
CF
，
AB
DE
，BC
EF
，求证：
ABC
DEF
≌△
△
．
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18．（22-23 八年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形ABCD中，AB
AD
，BC
DC
，E、F 分别为AB 、
AD 的中点，连接EC 、FC ．
(1)
B
与
D
相等吗？请说明理由；
(2)求证：EC
FC
．
19．（12-13 八年级上·湖北十堰·期末）如图，C 是AB 的中点，
AD
CE ，CD
BE
．求证：ACD
CBE
≌
．
20．（20-21 七年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知AB
CD
，E、F 是AC 上两点，且AE
CF
，DE
BF
，
求证：
(1)
ABF
CDE
≌
△
△
．
(2) AD
BC
∥
．
题型六用HL 证明三角形全等
21．（24-25 八年级上·福建龙岩·期中）如图，在
AOB
的两边上，分别取OM
ON
，再分别过点M ，N
作OA、OB 的垂线交点为P 画射线OP ，判断
OMP
ONP
≌
△
△
依据是（
）
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A．SAS
B．SSS
C．ASA
D．HL
22．（24-25 八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B 出
发，小明沿AC 行走，小芳沿BD 行走，两人分别同时到达，点C，D，若CB
AB
DA
AB
，
．
(1)CB 与DA 相等吗？为什么？
(2)若
60
DAC
，求
DBA
的度数．
23．（15-16 八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，已知
,
,
,
AB
AF CD
DE E F
在线段BC 上，DE 与AF 交
于点O，且AB
CD
，BE
CF
，求证：Rt
Rt
ABF
DCE
≌
△
△
．
24．（24-25 八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，AD 是
ABC
V
的高，E 是AD 上一点，AD
BD
，BE
AC
，
求证：
(1)
1
C
．
(2) BE
AC
．
题型七添加条件使三角形全等
25．（23-24 八年级上·四川乐山·期末）如图，已知
1
2
，要得到
ABD
ACD
△
≌△
，还需从下列条件中
补选一个，则错误的选法是（
）
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A．AB
AC
B．DB
DC
C．
ADB
ADC
D．
B
C
26．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知点A ，C ，B ，D 在同一条直线上，AC
BD
，
A
D
，添加下列条件后，仍不能判定
ABM
DCN
△
≌△
的是（
）
A．AM
DN
B．
M
N
C．BM
CN
∥
D．BM
CN
27．（24-25 八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，
A
D
，AC
DF
，下列条件中不能判断
ABC
DEF
≌△
△
的是（
）
A．AB
DE
B．
B
E
C．EF
BC
D．
C
F
28．（24-25 八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，AB
AC
，添加下列条件，不能使ABE
ACD
≌
的是（
）
A．
B
C
B．
AEB
ADC
C．AE
AD
D．BE
DC
29．（24-25 八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，AD
BC
于点D ，若要根据“ AAS ”判定
ABD
ACD
△
≌△
，还需要添加的条件是（
）
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A．BD
CD
B．AB
AC
C．
B
C
D．
BAD
CAD
题型八倍长中线模型
30．（24-25 八年级上·重庆石柱·期中）如图，在
ABC
V
中，AD 平分
BAE
，E 为CD 的中点，
DAC
ADC
．求证：
2
AB
AE
．
31．（24-25 八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为CD 上一点，若
:
4:1
AEF
CEF
S
S
，则AB 与CF 的数量关系是（
）
A．
5
AB
CF
B．
4
AB
CF
C．
3
AB
CF
D．
2
AB
CF
32．（2024 八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在
ABC
V
中，D 为BC 的中点．
(1)求证：
2
AB
AC
AD
；
(2)若
6,
2
AB
AC
，求AD 的取值范围．
33．（24-25 八年级上·河南洛阳·期中）如图，已知CD
AB
，
BAD
BDA
，AE 是
ABD
△
的中线．
(1)若
5
AB
，
3
AD
，AE 的取值范围为______；
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(2)求证：
2
AC
AE
．
题型九旋转模型
34．（22-23 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形ABCDE 中，
90
B
E
，
1
2
CAD
BAE
，
AB
AE
，且
3
CD
，
4
AE
，则五边形ABCDE 的面积为（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
35．（23-24 九年级上·湖北武汉·期末）如图，ABC
V
与
AEF
△
都是等腰直角三角形，
90
BAC
EAF
，
AB
AC
，AE
AF
，EF 交AB 于点D ，连接BE ，CF ．
(1)求证：
ABE
ACF
V
V
≌
；
(2) ABE 可以看作是由
ACF
△
绕某点旋转得到的，若
95
ADF
，则旋转中心是点______，旋转角的度数
为______．
36．（23-24 八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】
（1）如图1，ABCD 是正方形，
45
EAF
，当E 在BC 边上，F 在CD 边上时，请你探究BE 、DF 与EF
之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，ABCD 是正方形，
45
EAF
，当E 在BC 的延长线上，F 在CD 的延长线上时，请你探究BE 、
DF 与EF 之间的数量关系，并证明你的结论．
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题型十垂线模型
37．（24-25 八年级上·广东汕头·期中）如图，在
ABC
V
中，以AB ，AC 为腰作等腰直角三角形ABE 和等腰
直角三角形ACF ，连接EF ，AD 为BC 边上的高线，延长DA 交EF 于点N，下列结论：①
EAN
ABC
；
②EAN
BAD
≌
；③
AEF
ABC
S
S
；④EN
FN
，其中正确的有
（写上序号）
38．（24-25 八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，A
C
E
、、
三点在同一条直线上，AB
AD
，B
DAC
，
BC
AE
．
(1)求证：BC
DE
CE
；
(2)当
ABC
V
满足__________时，BC
DE
∥
？
39．（21-22 八年级上·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，
ABC
V
的顶点A ，B 分别在坐标轴上，且
90
ABC
，AB
BC
，若点A 、B 的坐标分别为
5,0
、
0,2 ，则点C 的坐标为
．
40．（22-23 八年级上·广东江门·阶段练习）已知，
ABC
V
中，
90
BAC
，AB
AC
，直线m 过点A，且
BD
m
于D，CE
m
于E，当直线m 绕点A 旋转至图1 位置时，我们可以发现DE
BD
CE
．
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(1)当直线m 绕点A 旋转至图2 位置时，问：BD 与DE 、CE 的关系如何？请予证明；
(2)直线m 在绕点A 旋转一周的过程中，BD 、DE 、CE 存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证
明）
41．（22-23 八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，ABE 为等腰直角三角形，
90
ABE
，BC
BD
．
(1)求证：
ABC
EBD
△
≌△
；
(2)求证：AF
DE
题型十一全等三角形综合问题
42．（24-25 八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，AB
BC
，DC
BC
，若BE
CD
，再增加条
件
，则ABE
ECD
≌
．
43．（24-25 八年级上·安徽六安·期中）如图，AB
AD
，
140
BAD
，AB
CB
于点B ，AD
CD
于点D ，
E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且
70
EAF
，下列结论中①BC
DC
，②
ADF
ABE
△
≌△
，③FA 平分
DFE
，④EF 平分
AEC
，⑤BE
DF
EF
．其中正确的结论是（
）
A．②③⑤
B．①③④
C．①③⑤
D．①④⑤
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44．（24-25 八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，已知AP
BC
∥
，PAB 的平分线与
CBA
的平分线相交
于点E，CE 的连线交AP 于点D，求证：AD
BC
AB
．
45．（24-25 八年级上·湖南益阳·期中）已知AM
BN ，AE 平分
BAM
，BE 平分
ABN
，
(1)求
AEB
的度数．
(2)如图2，过点E 的直线交射线AM 于点C，交射线BN 于点D，求证：AC
BD
AB
；
(3)如图3，过点E 的直线交射线AM 的反向延长线于点C，交射线BN 于点D，
5,
3
AB
AC
，
2
ABE
ACE
S
S
，求BDE 的面积．
46．（24-25 八年级上·浙江杭州·期末）如图，
90
C
D
CBA
DAB
,
．
(1)求证：ABC
BAD
≌
；
(2)若
70
DAB
，求
COB
的度数．
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一、单选题
1．（24-25 八年级上·河北邯郸·期中）油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨AB
AC
，
支撑杆OE
OF
，
1
1
,
3
3
AE
AB AF
AC
，当O沿AD 滑动时，油纸伞开闭，若
130
BAC
，则
BAD
的
大小为（
）
17 / 21
A．50
B．55
C．65
D．无法确定
2．（24-25 八年级上·陕西渭南·期中）如图，在四边形ABCD 中，连接AC ，已知
BAC
DCA
，那么添
加下列条件后，仍无法判定
ABC
CDA
△
△
≌
的是（
）
A．
BCA
DAC
B．AB
CD
C．
B
D
D．BC
DA
3．（24-25 八年级上·天津·阶段练习）如图，
ABC
V
中，AB
AC
，AD 平分
BAC
，交BC 于点D．则下
列结论正确的是（
）
A．AB
AC
BD
DC
B．AB
AC
BD
DC
C．AB
AC
BD
DC
D．AB
AC
与BD
DC
大小无法确定
4．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，
ABC
ADC
△
≌△
，若ACD 的周长为12，则
ABC
V
的周
长为（
）
18 / 21
A．15
B．12
C．11
D．10
5．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，ACB
DEB
≌
，点A 和点D 是对应顶点，
90
C
E
，
记
CBE
CAB
，
，当AD
BC
∥
时，与之间的数量关系为（
）
A．
2
B．
C．
90
a
D．
180
6．（24-25 八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则
1
的
度数为（
）
A．40
B．50
C．60
D．70
7．（24-25 八年级上·河北邯郸·期中）如图，在
ABC
V
中，AD 是高，点E 在线段AD 上．若
ABD
CED
△
≌△
，
10
AB
，
14
BC
，则
CED
△
的周长为（
）
A．10
B．20
C．24
D．28
8．（24-25 八年级上·河北邯郸·期中）在
ABC
V
和A B C
中，AB
A B
，
A
A
，点D ，D¢分别在
边AC 和边A C
上，BD
B D
，下列判断正确的是（
）
①若
50
，则
ABD
△
和
A B D
△
一定全等；
②若
90
，则
ABD
△
和
A B D
△
一定全等．
A．①对②错
B．①错②对
C．①②都对
D．①②都错
9．（19-20 八年级上·江西上饶·期中）小明不饱将块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、
2、3、4 的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（
）
19 / 21
A．第1 块
B．第2 块
C．第3 块
D．第4 块
10．（23-24 八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在正六边形ABCDEF 中，M，N 分别为边CD
BC
，
的中
点，AN 与BM 相交于点P，则
NPM
的度数是（
）
A．50
B．60
C．70
D．120
二、填空题
11．
（24-25 八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，BF
AC
于点F ，DE
AC
于点E ，连结BD ，交EF 于点O，且O为EF 的中点，若AE
CF
，则下列结论：①
EOD
FOB
△
≌△
；
②AO
CO
；③AB
CD
；④
ABD
ACD
，其中正确的是
（填序号）．
12．（24-25 八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，已知
ABC
ADE
△
≌△
，
60
DAC
，
100
BAE
，
BC
DE
、
相交于点F ，则
DFB
的度数是
．
13．（24-25 八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，线段AD 与BC 相交于O点，
90
A
B
，请添加一
20 / 21
个条件
使得ACD
BDC
≌
．（写出一种情况即可）
14．（24-25 八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，
ABC
V
的面积为
2
1cm ，BP 平分
ABC
，AP
BP
于P ，
则
PBC
△
的面积为
2
cm ．
15．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，AB
BC
，线段BE 交AC 于点
,
,
P AD
BE CE
BE
，垂足分别为D，E，且
BAD
CBE
．若
5,
1.8
AD
CE
，则DE 的长为
．
三、解答题
16．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，点A，B，C，D 在同一直线上，AE
BF
，
A
FBD
，请
添加以下其中一个条件：①EC
FD
；②EC
FD
∥
，试证明EAC
FBD
≌
．
17．（24-25 八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，点E、F 在AC 上，AD
BC
AD
CB
AE
CF
∥
，
，
．求
证：
B
D
．
18．（24-25 八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，AC 与BD 相交于点O，AC
BD
，AD
AC
于点A ，
BC
BD
于点B ，求证：AD
BC
．
21 / 21
19．（24-25 八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，AB
AD
，CB
CD
，求证：
B
D
．
20．（22-23 八年级上·福建泉州·期末）如图，已知
B
C
，
1
2
，BE
CD
．求证：AB
AC
．
