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第09 讲三角形全等的判定
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。像我们把△ABC 通过平移、旋转、轴反射后得到的
△A′B′C′，如果它们能完全重合，那△ABC 和△A′B′C′就是全等三角形。
当表示两个三角形全等时，我们会把表示对应顶点的字母写在对应位置上，记作：ΔABC ≌ΔA’B’C’，
这个符号“≌”要读作“全等于”。
对应顶点、对应边和对应角：在全等三角形里，互相重合的顶点就是对应顶点，互相重合的边就是对
应边，互相重合的角就是对应角。比如说在ΔABC ≌ΔA’B’C’中，A 和A’是对应顶点，AB 和A’B’是对应边，
∠A 和∠A’是对应角。
知识点2 全等三角形的判定
1、“SAS”（边角边）判定
含义：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。比如说，在△ABC 和
△A'B'C'中，如果AB = A'B'，∠A = ∠A'，AC = A'C'，那么△ABC ≌△A'B'C'。
举例：在实际做题的时候，就像这样的题，已知AC = DB，∠ACB = ∠DBC，那么我们就可以判定
△ABC ≌△DCB，理由就是“SAS”。这里AC 和DB 是一组对应边，∠ACB 和∠DBC 是一组对应角，BC
是公共边，也就是另一组对应边。
2、“ASA”（角边角）判定
含义：如果两个三角形有两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。假设在△ABC 和
△A'B'C'中，∠A = ∠A'，AB = A'B'，∠B = ∠B'，那么△ABC ≌△A'B'C'。
举例：如果有一道题说AD 平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“ASA”就需要添加条件∠B = ∠C。
.
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因为AD 是角平分线，所以∠BAD = ∠CAD，AD 是公共边，再加上∠B = ∠C，就满足“ASA”的条件了。
3、“AAS”（角角边）判定
含义：如果两个三角形有两角和其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。例如在△ABC
和△A'B'C'中，∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，BC = B'C'，那么△ABC ≌△A'B'C'。
举例：在一个三角形中，如果已知两个角的度数和其中一个角的对边长度，就可以用这个判定方法来
判断和另一个三角形是否全等。
4、“SSS”（边边边）判定
含义：三边对应相等的两个三角形全等。就像如果AB = DE，BC = EF，AC = DF，那么△ABC ≌△DEF。
举例：比如有一个钢架△ABC，AB = AC，AD 是连接A 与BC 中点D 的支架，要证明△ABD≌△ACD。
因为D 是BC 的中点，所以BD = CD，又因为AB = AC，AD 是公共边，满足三边对应相等，所以
△ABD≌△ACD。
5、斜边、直角边（HL）：如果两个直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，那么这两个直角
三角形全等。
知识点3 判定三角形全等的注意事项
1、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小不同的等边三角形，它们的角都相等，但边
不相等，所以不全等。
2、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形也不一定全等，即“边边角（SSA）” 不能判定三角
形全等。
知识点4 全等三角形判定的常考点
公共边：两个三角形中如果有一条公共边，那么这条边是对应边。
公共角：两个三角形中如果有一个公共角，那么这个角是对应角。
两直线平行：利用两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补来得到相等的角，为证明三
角形全等创造条件。
对顶角：对顶角相等，可作为证明三角形全等时的角相等条件。
知识点5 全等三角形判定的应用
1、证明三角形全等的步骤
（1）确定要证明全等的两个三角形。
（2）分析已知条件，看能满足哪种全等判定定理。
（3）按照全等判定定理的要求，逐步证明对应边或对应角相等。
（4）得出两个三角形全等的结论，并注明理由。
三角形全等书写三步骤：摆出三个条件用大括号括起来。例如在证明⊿ABC≌⊿DBC 时，如果用“SAS”
定理，先说明AC = DC，AB = DB，然后指出∠CAB = ∠CDB，最后写⊿ABC≌⊿DBC（SAS）。
2、通过全等三角形证明角相等或边相等
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如果我们已经证明了两个三角形全等，那么就可以根据全等三角形的性质得到对应角相等或者对应边
相等。比如已知△AEB ≌△ADC，那么就可以得出∠B = ∠C，AE = AD 等结论。这就像一个连锁反应，
先证明全等这个“大前提”，然后就能得出角和边相等这些“小结论”。
3、在实际几何问题中的应用
在一些复杂的几何图形中，我们要善于发现全等三角形。比如在一个四边形中，如果能找到其中的全
等三角形，就可以利用全等三角形的性质来解决边或者角的关系问题。又比如在一些关于图形的折叠或者
旋转的问题中，往往会出现全等三角形，我们可以通过证明全等，进而求出未知的边或者角的长度或者度
数。就像把一个三角形沿着某条边折叠，折叠前后的两个三角形就是全等的，我们就可以利用这个关系来
解题。
课本典例1（习题12.2 第4 题）
如图，AB 与CD 相交于点O ，∠A=∠D ，CO=BO 。求证：△AOC≅△DOB 。
【答案】
【解析】已知∠A=∠D ，CO=BO ，又因为对顶角∠AOC 和∠DOB 相等，满足AAS 的条件，
所以可证两三角形全等。
【点睛】本题关键是要想到对顶角相等这个隐含条件，结合已知条件，选择合适的全等判定定理。
课本典例2（习题12.2 第5 题）
如图，∠1=∠2 ，∠3=∠4 。求证：AB=AC 。
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【答案】
【解析】先由∠3 和∠4 的补角关系得到∠ABC=∠ACB ，再结合已知的∠1=∠2 和公共边BC ，
利用AAS 证明三角形是等腰三角形，从而得出AB=AC 。
【点睛】通过角的补角关系转化得到相等的角是关键，再利用全等三角形判定或等腰三角形的判定来
解题。
课本典例3（习题12.2 第6 题）
如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是边BC 上的高。(1) 求证：BD=CD ；(2) 求证：∠BAD=
∠CAD 。
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【答案】
【解析】对于(1)，先确定两个直角三角形，再根据已知的斜边AB=AC 和公共直角边AD ，利用HL
证明全等，进而得到对应边相等；对于(2)，利用(1) 中全等三角形的性质，即全等三角形对应角相等得出
结论。
【点睛】涉及等腰三角形底边上的高时，常利用HL 证明被高分成的两个直角三角形全等，从而得到
对应边、对应角相等的关系。
课本典例4（习题12.2 第9 题）
如图，点B 、E 在线段AD 上，AB=DE ，BC∥EF ，BC=EF 。求证：AF=DC 。
【答案】因为BC∥EF ，所以∠ABC=∠DEF （两直线平行，同位角相等）。在△ABC 和△DEF
中：AB=DE ∠ABC=∠DEF BC=EF
根据边角边（SAS）判定定理，△ABC≅△DEF ，所以AC=DF 。因为AC=DF ，即AC−EC=DF
−EC ，所以AF=DC 。
【解析】先由BC∥EF 得到∠ABC=∠DEF ，再结合已知的AB=DE 和BC=EF ，利用SAS 证明△
ABC 和△DEF 全等，得到AC=DF ，最后通过线段的等量减等量得到AF=DC 。
【点睛】平行线的性质是得到角相等条件的关键，利用SAS 证明全等后，再通过线段的和差关系得出
结论。
题型一用SAS 证明三角形全等
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1．（24-25 八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图所示，若AD
BC
，
A
B
，添加后就能直接利用“SAS ”
证得ADF
BCE
≌
的条件是（
）
A．AE
EF
B．DF
CE
C．AF
BE
D．
CEB
DFA
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，准确分析判断是解题的关键．根据SAS 定理的条件进行判断
即可；
【详解】解：用边角边证明两三角形全等，已知其中一个对应角相等和一条对应边相等，则还需要的条件
是相等角的另外一条临边相等，即AF
BE
，
故选：C．
2．（24-25 八年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，点A，B ，C ，D 在同一条直线上，A
DBF
，AE
BF
，
AB
CD
．
(1)求证：
ACE
BDF
V
V
≌
；
(2) EC
FD
∥
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的
关键；
（1）由AB
CD
，推导出AC
BD
，即可根据“SAS ”证明
ACE
BDF
V
V
≌
；
（2）由全等三角形的性质得
ACE
D
，根据同位角相等，两直线平行得出结论．
【详解】（1）证明：
AB
CD
，
AB
BC
CD
BC
，
AC
BD
，
在
ACE
△
与
BDF
V
中，
AC
BD
A
DBF
AE
BF
SAS
ACE
BDF
≌
．
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（2）由（1）得
ACE
BDF
V
V
≌
，
ACE
D
，
EC
FD
∥
．
3．（24-25 八年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知：如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB
DE
，
B
E
，BF
EC
．求证：
ABC
DEF
≌△
△
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．
先根据BF
EC
推出BC
FE
，再根据SAS 即可证明
ABC
DEF
≌△
△
．
【详解】证明：
BF
EC
∵
，
BF
FC
EC
FC
，即BC
FE
，
又
AB
DE
，
B
E
，
SAS
ABC
DEF
≌
．
4．（24-25 八年级上·广东湛江·期中）已知AB
DE
∥
，AB
DE
，D ，C 在AF 上，且AD
CF
，求证：
ABC
DEF
≌△
△
．
【答案】见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质，先根据平行线的性质，由AB
DE
∥
得
A
EDF
，
再由AD
CF
得到AC
DF
，于是可根据“ SAS ”判定
ABC
DEF
≌△
△
．
【详解】证明：∵AB
DE
∥
，
∴
A
EDF
，
∵AD
CF
，
∴AD
DC
DC
CF
，
即AC
DF
，
在
ABC
V
和DEF 中，
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AB
DE
A
EDF
AC
DF
，
∴
ABC
DEF SAS
≌
．
题型二用SAS 间接证明证明三角形全等
5．（24-25 八年级上·湖南永州·期中）如图，已知点B ，D 在AF 上，AC
FE
，AC
FE
∥
，AD
FB
．求
证：
ABC
FDE
≌
△
△
；
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质得出
A
F
，根据等式的性
质得出AB
FD
，最后根据SAS 证明
ABC
FDE
≌
△
△
即可．
【详解】证明：∵AC
FE
∥
，
∴
A
F
，
∵AD
FB
，
∴AB
FD
，
在
ABC
V
和
FDE
V
中，
AC
FE
A
F
AB
FD
∴
ABC
FDE
≌
△
△
6．（24-25 八年级上·云南楚雄·期末）如图，AD
CB
∥
，且AD
CB
．求证：
ADB
CBD
△
≌△
．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，先证明
ADB
CBD
，再根据SAS 证明
ADB
CBD
△
≌△
即可．
【详解】证明：
AD
CB
∥
，
ADB
CBD
．
在ADB 和
CBD
△
中，
,
,
,
AD
CB
ADB
CBD
DB
BD
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ADB
CBD SAS
．
7．
（24-25 八年级上·广东中山·期中）如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD
BF
，AE
BC
，且AE
BC
∥
．求
证：AEF
BCD
≌
．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结
合思想的应用．
由AE
BC
∥
，根据平行线的性质，可得
A
B
，又由AD
BF
，AE
BC
，根据SAS ，即可证得：
AEF
BCD
≌
．
【详解】证明：
AE
BC
∥
，
A
B
，
AD
BF
=
Q
，
AF
BD
，
在
AEF
△
和
BCD
△
中，
AE
BC
A
B
AF
BD
，
SAS
AEF
BCD
≌
．
8．（24-25 八年级上·浙江温州·期中）如图，C 是线段AB 的中点，在AB 的同侧有两点E，D，使得
,
DCB
ECA
CD
CE
．求证：
≌
ACD
BCE
V
V
．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查利用SAS 证明三角形全等，根据题意得
ECB
DCA
和AC
BC
，即可证明全等．
【详解】证明：
DCB
ECA
，
DCB
ECD
ECA
ECD
，
10 / 57
ECB
DCA
，
∵C 是线段AB 的中点，
∴AC
BC
，
CD
CE
，
SAS
ACD
BCE
△
≌△
．
题型三用ASA（AAS）证明三角形全等
9．（23-24 八年级上·四川南充·阶段练习）如图，AB
CD
、
相交于点O，AO
BO
，AC
DB
∥
．求证：
AOC
BOD
≌
．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质可得
A
B
C
D
，
，
再由AAS 即可证明AOC
BOD
≌
．
【详解】证明：∵AC
DB
∥
，
∴
A
B
C
D
，
，
又∵AO
BO
，
∴
AAS
AOC
BOD
△
≌△
．
10．（24-25 八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，AF
DE
∥
，AC
DB
，
E
F
，求证：
ABF
DCE
△
△
≌
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．由
AF
DE
∥
可得
A
D
，根据AC
DB
，可得AB
DC
，即可得证．
【详解】证明：
AF
DE
∥
，
A
D
，
AC
DB
，
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AC
BC
DB
BC
，即AB
DC
，
在
ABF
△
和
DCE
△
中，
F
E
A
D
AB
CD
，
AAS
ABF
DCE
≌
．
11．（24-25 八年级上·福建厦门·期中）如图，点E ，C 在线段BF 上，ACB
DEF
，BE
CF
，B
F
．求
证：
ABC
DFE
△
≌△
．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定，由BE
CF
，得到BC
FE
，再根据ASA 即可证明
ABC
DFE
△
≌△
，
掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】证明：∵BE
CF
，
∴BC
FE
，
在
ABC
V
和
DFE
△
中，
ACB
DEF
BC
FE
B
F
，
∴
ASA
ABC
DFE
≌
．
12．（24-25 八年级上·北京·期中）已知：如图，OA
OD
B
C
，
．求证：OAB
ODC
≌
．
【答案】见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理．
利用AAS 判定全等即可．
【详解】证明：在OAB 和ODC 中
B
C
AOB
DOC
AO
OD
，
12 / 57
∴
(AAS)
OAB
ODC
≌
．
题型四用SSS 证明三角形全等
13．（24-25 八年级上·广东汕尾·期中）如图，点B、E、C、F 在同一直线上，AB
DE
，AC
DF
，BE
CF
，
求证：
ABC
DEF
≌△
△
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由BE
CF
得出BC
EF
，再利用SSS证明
ABC
DEF
≌△
△
即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】证明：∵BE
CF
，
∴BE
CE
CE
CF
，即BC
EF
，
在
ABC
V
和DEF 中，
AB
DE
AC
DF
BC
EF
，
∴
SSS
ABC
DEF
≌
△
△
．
14．（24-25 九年级下·山东济南·开学考试）如图，点D ，A ，E ，B 在同一直线上，EF
BC
，DF
AC
，
DA
EB
．求证：DEF
ABC
≌
．
【答案】详见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS．
三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明问题．
【详解】证明：∵DA
EB
，
∴DA
AE
AE
EB
，即DE
AB
，
在DEF 和ABC 中，
EF
BC
DF
AC
DE
AB
，
∴
DEF
ABC SSS
≌
．
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15．（24-25 八年级上·广西柳州·期中）如图，
,
AB
CB AD
CD
．求证：
ABD
CBD
≌
△
△
．
【答案】见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理SSS即可解答．
【详解】证明：在
ABD
△
与
CBD
△
中，
AD
CD
AB
BC
DB
DB
＝
＝
，
＝
∴
SSS
ABD
CBD
△
≌△
．
16．（24-25 八年级上·广东汕头·期中）如图，A、D、F、B 在同一直线上，
,
AD
BF AE
BC
，且EF
CD
．求
证：AEF
BCD
≌
．
【答案】见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SAS,AAS,ASA,SSS,HL ，
熟练掌握知识点是解题的关键．
三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明问题．
【详解】证明：∵AD
BF
，
∴AF
BD
，
∵AE
BC
，EF
CD
SSS
AEF
BCD
≌
．
题型五用SSS 间接证明三角形全等
17．（24-25 八年级上·湖南永州·期中）如图，A 、D 、C 、F 在一条直线上，BC 与DE 交于点G ，AD
CF
，
AB
DE
，BC
EF
，求证：
ABC
DEF
≌△
△
．
14 / 57
【答案】见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SAS,AAS,ASA,SSS,HL ，
熟练掌握知识点是解题的关键．
首先得出AC
DF
，再利用SSS证明
ABC
DEF
≌△
△
即可．
【详解】证明：∵AD
CF
，
∴AD
DC
CF
DC
，即AC
DF
在
ABC
V
和DEF 中
AB
DE
BC
EF
AC
DF
∴
ABC
DEF
≌
△
△
．
18．（22-23 八年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形ABCD中，AB
AD
，BC
DC
，E、F 分别为AB 、
AD 的中点，连接EC 、FC ．
(1)
B
与
D
相等吗？请说明理由；
(2)求证：EC
FC
．
【答案】(1)
B
与
D
相等，理由见解析；
(2)证明见解析．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义，
（1）在ABC 和ADC 中，利用SSS即可证明
ABC
ADC
△
≌△
，则
B
D
；
（2）根据题意得AE
1
2 AB ，AF
1
2 AD ，则AE
AF
，结合（1）得
EAC
FAC
，即可证明
AEC
AFC
△
≌△
，有EC
FC
．
【详解】（1）解：
B
与
D
相等，
理由如下：连接AC ，
15 / 57
在ABC 和ADC 中，
AB
AD
BC
DC
AC
AC
，
∴
SSS
ABC
ADC
≌
△
△
，
∴
B
D
；
（2）证明：∵点E 与F 分别是AB 、AD 的中点，
∴AE
1
2 AB ，AF
1
2 AD ，
∵AB
AD
，
∴AE
AF
，
∵
ABC
ADC
△
≌△
，
∴
EAC
FAC
，
在AEC 和AFC 中，
AE
AF
EAC
FAC
AC
AC
，
∴
SAS
AEC
AFC
△
≌△
，
∴EC
FC
．
19．（12-13 八年级上·湖北十堰·期末）如图，C 是AB 的中点，
AD
CE ，CD
BE
．求证：ACD
CBE
≌
．
【答案】证明详见解析．
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用SSS证明两个三角形全等即可，熟记全等三角形的
判定方法是解本题的关键．
【详解】证明：∵C 是AB 的中点，
∴AC
BC
在ACD 和
CBE
△
中，
AC
BC
AD
CE
CD
BE
，
∴
SSS
ACD
CBE
≌
．
16 / 57
20．（20-21 七年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知AB
CD
，E、F 是AC 上两点，且AE
CF
，DE
BF
，
求证：
(1)
ABF
CDE
≌
△
△
．
(2) AD
BC
∥
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）本题考查了全等三角形的判定和性质，证明
ABF
CDE
≌
△
△
是解题的关键．先证明AF
CE
，
再利用SSS证明
ABF
CDE
≌
△
△
即可；
（2）本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线的判定；先证明
CFB
AED
，再利用SAS 证明
ADE
CBF
V
V
≌
，可得
DAE
BCF
，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵AE
CF
，
∴AE
EF
CF
EF
，
即AF
CE
，
在
ABF
△
和CDE 中，
AF
CE
BF
DE
AB
CD
，
∴
SSS
ABF
CDE
≌
．
（2）∵
ABF
CDE
≌
△
△
，
∴
AFB
CED
，
∴
CFB
AED
，
在
ADE
V
和CBF
V
中，
DE
BF
AED
CFB
AE
CF
，
∴
SAS
ADE
CBF
≌
△
△
，
∴
DAE
BCF
，
∴AD
BC
∥
．
题型六用HL 证明三角形全等
21．（24-25 八年级上·福建龙岩·期中）如图，在
AOB
的两边上，分别取OM
ON
，再分别过点M ，N
作OA、OB 的垂线交点为P 画射线OP ，判断
OMP
ONP
≌
△
△
依据是（
）
17 / 57
A．SAS
B．SSS
C．ASA
D．HL
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．由垂线的定义可知OMP
和
ONP
△
都是直角三角形，已知条件满足斜边相等和一组直角边相等，因此依据HL 判定OMP
ONP
≌
．
【详解】解：由题意可知，OMP 和
ONP
△
都是直角三角形，
在OMP 和
ONP
△
中，
OM
ON
OP
OP
，
满足斜边相等和一组直角边相等，因此
Rt
Rt
HL
OMP
ONP
≌
，
故选：D．
22．（24-25 八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B 出
发，小明沿AC 行走，小芳沿BD 行走，两人分别同时到达，点C，D，若CB
AB
DA
AB
，
．
(1)CB 与DA 相等吗？为什么？
(2)若
60
DAC
，求
DBA
的度数．
【答案】(1)CB
DA
，见解析
(2)30
【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形全等判定的特殊方法HL 是解题
的关键．
（1）根据题意，得到AC
BD
，又
90
ABC
BAD
，利用直角三角形全等的判定方法HL 证明
Rt
Rt
ABC
BAD
≌
；从而得证；
（2）由（1）得Rt
Rt
ABC
BAD
≌
，得到
DBA
DAC
，结合
60
DAC
，即可得解．
【详解】（1）CB
DA
，理由如下：
∵小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B 出发，两人分别同时到达，
AC
BD
，
18 / 57
CB
AB
DA
AB
，
90
ABC
BAD
，
在Rt ABC 和Rt BAD 中，
AC
BD
AB
BA
，
Rt
Rt
HL
ABC
BAD
≌
，
CB
DA
；
（2）
60
DAC
，
90
60
30
CAB
，
又Rt
Rt
ABC
BAD
≌
，
30
DBA
DAC
．
23．（15-16 八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，已知
,
,
,
AB
AF CD
DE E F
在线段BC 上，DE 与AF 交
于点O，且AB
CD
，BE
CF
，求证：Rt
Rt
ABF
DCE
≌
△
△
．
【答案】见解析
【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE
CF
推出BF
CE
，利用HL 进行判定．
【详解】证明：
BE
CF
，
BE
EF
CF
EF
，即BF
CE
，
,
AB
AF CD
DE
，
90
A
D
，
ABF
与
DCE
△
都为直角三角形，
在Rt ABF 和Rt DCE
V
中，
BF
CE
AB
CD
，
Rt
Rt
(HL)
ABF
DCE
≌
△
△
．
24．（24-25 八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，AD 是
ABC
V
的高，E 是AD 上一点，AD
BD
，BE
AC
，
求证：
19 / 57
(1)
1
C
．
(2) BE
AC
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及垂直的证明，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应
角相等，再利用角度关系证明垂直．
（1）先根据AD 是
ABC
V
的高，得出
90
ADB
ADC
，再根据AD
BD
，DE
DC
得出
Rt
Rt
ADC
BDE
≌
，即可证出
1
C
．
（2）如图，延长BE 与AC 交于点M ，由（1）可知Rt
Rt
ADC
BDE
≌
，得出
1
C
，再根据对顶角
1
AEM
，得到
AEM
C
，得出
90
AEM
CAD
，从而得出
90
AME
，即可证出BE
AC
．
【详解】（1）证明：
AD 是
ABC
V
的高，
90
ADC
BDE
，
在Rt ADC 和Rt BDE 中，
AC
BE
AD
BD
，
Rt
Rt
HL
ADC
BDE
≌
，
1
C
；
（2）如图，延长BE 与AC 交于点M ，
1
AEM
，
1
C
，
AEM
C
，
又
90
ADC
，
90
C
CAD
，
90
AEM
CAD
，
180
90
AME
AEM
CAD
，
20 / 57
BE
AC
．
题型七添加条件使三角形全等
25．（23-24 八年级上·四川乐山·期末）如图，已知
1
2
，要得到
ABD
ACD
△
≌△
，还需从下列条件中
补选一个，则错误的选法是（
）
A．AB
AC
B．DB
DC
C．
ADB
ADC
D．
B
C
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，两个三角形全等共有五个定理，即AAS 、ASA、SAS 、SSS 及
HL ，注意：SSA无法证明三角形全等．先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对
选项逐一验证，找出错误的选项即可得答案．
【详解】解：∵
1
2
，AD
AD
，
∴当AB
AC
时，可利用SAS 证明
ABD
ACD
△
≌△
，故A 选项不符合题意，
当DB
DC
时，SSA无法证明三角形全等，故B 选项符合题意，
当
ADB
ADC
时，可利用ASA证明
ABD
ACD
△
≌△
，故C 选项不符合题意，
当
B
C
时，可利用AAS 证明
ABD
ACD
△
≌△
，故D 选项不符合题意，
故选：B．
26．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知点A ，C ，B ，D 在同一条直线上，AC
BD
，
A
D
，添加下列条件后，仍不能判定
ABM
DCN
△
≌△
的是（
）
A．AM
DN
B．
M
N
C．BM
CN
∥
D．BM
CN
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理并能正确寻找全等三角形
全等的条件．据此即可作出判断．
【详解】解：∵AC
BD
，
A
D
，
∴AB
CD
，
A．添加AM
DN
，根据SAS 可推出
ABM
DCN
△
≌△
，故此选项不符合题意；
21 / 57
B．添加
M
N
，根据AAS 可推出
ABM
DCN
△
≌△
，故此选项不符合题意；
C．添加BM
CN
∥
，可得
ABM
DCN
，根据ASA 可推出
ABM
DCN
△
≌△
，故此选项不符合题意；
D．添加BM
CN
，不符合全等三角形的判定定理，不能推出
ABM
DCN
△
≌△
，故此选项符合题意．
故选：D．
27．（24-25 八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，
A
D
，AC
DF
，下列条件中不能判断
ABC
DEF
≌△
△
的是（
）
A．AB
DE
B．
B
E
C．EF
BC
D．
C
F
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判
定定理有SSS
SAS
AAS
ASA
HL
，
，
，
，
．
【详解】解：A、添加条件AB
DE
，结合
A
D
AC
DF
，
，可以利用SAS 证明
ABC
DEF
≌△
△
，故
不符合题意；
B、添加条件
B
E
，结合
A
D
AC
DF
，
，可以利用AAS 证明
ABC
DEF
≌△
△
，故不符合题意；
C、添加条件EF
BC
，结合
A
D
AC
DF
，
，不可以利用SSA 证明
ABC
DEF
≌△
△
，故符合题意；
D、添加条件
C
F
，结合
A
D
AC
DF
，
，可以利用ASA 证明
ABC
DEF
≌△
△
，故不符合题意；
故选：C．
28．（24-25 八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，AB
AC
，添加下列条件，不能使ABE
ACD
≌
的是（
）
A．
B
C
B．
AEB
ADC
C．AE
AD
D．BE
DC
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
已知AB
AC
，
A
是公共角，根据选项逐一进行分析即可得．
【详解】解：
A
A
，AB
AC
，
A
选项，添加
B
C
可利用ASA证明ABE
ACD
≌
，不符合题意；
22 / 57
B 选项，添加
AEB
ADC
可利用AAS 证明ABE
ACD
≌
，不符合题意；
C 选项，添加AE
AD
可利用SAS 证明ABE
ACD
≌
，不符合题意；
D 选项，添加BE
DC
不能证明ABE
ACD
≌
，符合题意．
故选：D ．
29．（24-25 八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，AD
BC
于点D ，若要根据“ AAS ”判定
ABD
ACD
△
≌△
，还需要添加的条件是（
）
A．BD
CD
B．AB
AC
C．
B
C
D．
BAD
CAD
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，由已知可得
90
ADB
ADC
，AD
AD
，进而根据判定方法“ AAS ”
即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：∵AD
BC
于点D ，
∴
90
ADB
ADC
，
又∵AD
AD
，
∴要根据“ AAS ”判定
ABD
ACD
△
≌△
，还需要添加的条件是
B
C
，
故选：C ．
题型八倍长中线模型
30．（24-25 八年级上·重庆石柱·期中）如图，在
ABC
V
中，AD 平分
BAE
，E 为CD 的中点，
DAC
ADC
．求证：
2
AB
AE
．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长AE 至点F ，使AE
EF
，
证明AEC
FED
≌
，得到
F
CAE
，再证明
ABD
AFD
△
≌△
，即可得出结论．
【详解】证明：延长AE 至点F ，使AE
EF
，连接DF ，则：
2
AF
AE
，
23 / 57
∵E 为CD 的中点，
∴DE
CE
，
∵
AEC
DEF
，
∴AEC
FED
≌
，
∴
F
CAE
，
∵AD 平分
BAE
，
∴
BAD
DAE
，
∵
,
ADC
B
BAD
DAC
DAE
CAE
，且
DAC
ADC
，
∴
B
CAE
，
∴
B
F
，
又∵
BAD
DAE
，AD
AD
，
∴
ABD
AFD
△
≌△
，
∴AB
AF
，
∴
2
AB
AE
．
31．（24-25 八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为CD 上一点，若
:
4:1
AEF
CEF
S
S
，则AB 与CF 的数量关系是（
）
A．
5
AB
CF
B．
4
AB
CF
C．
3
AB
CF
D．
2
AB
CF
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的面积公式，学会添加适当的辅助线构造全等三角
形是解题的关键．延长AE 交DC 延长线于点G ，通过证明
ABE
GCE
△
≌△
得到AB
GC
，AE
GE
，由
:
4:1
AEF
CEF
S
S
，可设
CEF
S
a
，则
4
AEF
S
a
△
，得到
3
CEG
CEF
S
S
，利用三角形的面积公式得到
3
CG
CF
，即可得出结论．
【详解】解：如图，延长AE 交DC 延长线于点G ，
24 / 57
长方形ABCD ，
90
B
BCD
ECG
，
E 为BC 的中点，
BE
CE
，
又
AEB
GEC
，
ASA
ABE
GCE
≌
，
AB
GC
，AE
GE
，
:
4:1
AEF
CEF
S
S
，
设
CEF
S
a
，则
4
AEF
S
a
△
，
AE
GE
，
4
GEF
AEF
S
S
a
，
3
CEG
GEF
CEF
S
S
S
a
，
3
CEG
CEF
S
S
，
1
1
3
2
2
CE CG
CE CF
，
3
CG
CF
，
AB
GC
，
3
AB
CF
．
故选：C．
32．（2024 八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在
ABC
V
中，D 为BC 的中点．
(1)求证：
2
AB
AC
AD
；
(2)若
6,
2
AB
AC
，求AD 的取值范围．
【答案】(1)见解析
25 / 57
(2) 2
4
AD
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的三边关系．
（1）延长AD 到E ，使DE
AD
，连接BE ，再由D 为BC 中点得到BD
CD
，夹角为对顶角相等，利用SAS
得到三角形ADC与三角形EDB 全等，利用全等三角形对应边相等得到AE
ED
，在三角形ABE 中，利用
三角形三边关系即可得证；
（2）根据AB 与AC 的长，利用由三角形的三边关系，求出AD 的范围即可．
【详解】（1）证明：如图，延长AD 至点E ，使DE
AD
，连接BE ．
D为BC 的中点，
CD
BD
，
又
,
AD
ED
ADC
EDB
，
ADC
EDB
△
≌△
，
AC
EB
，
AB
BE
AE
，
2
AB
AC
AD
；
（2）解：
AB
BE
AE
AB
BE
，
2
AB
AC
AD
AB
AC
，
6,
2
AB
AC
，
4
2
8
AD
，即2
4
AD
．
33．（24-25 八年级上·河南洛阳·期中）如图，已知CD
AB
，
BAD
BDA
，AE 是
ABD
△
的中线．
(1)若
5
AB
，
3
AD
，AE 的取值范围为______；
(2)求证：
2
AC
AE
．
【答案】(1)1
4
AE
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，三角形外角的性质；
26 / 57
（1）延长AE 至F ，使EF
AE
，连接BF ，于是证得AED
FEB
≌
得
3
BF
AD
，再根据三角形三边
之间的关系得AB
BF
AF
AB
BF
，由此可得AE 的取值范围；
（2）根据（1）证明
ABF
ADC
，由此可证明ABF 和ADC 全等，然后根据全等三角形的性质可得出
结论．
【详解】（1）延长AE 至F ，使EF
AE
，连接BF ．
则
2
AF
AE
AE 是ABD 的中线，
BE
DE
，
在
ADE
V
与FBE 中，
AE
FE
AED
FEB
DE
BE
，
ADE
FBE
≌
，
BF
DA
3
，
在ABF 中，AB
BF
AF
AB
BF
，
5
3
2
5
3
AE
，
1
4
AE
，
故答案为：1
4
AE
，
（2）∵ADE
FBE
≌
BF
DA
，
FBE
ADE
，
ABF
ABD
FBE
，
BAD
BDA
，
ABF
ABD
ADB
ABD
BAD
ADC
．
在
ABF
△
与CDA 中，
AB
CD
ABF
CDA
BF
DA
，
ABF
CDA SAS
≌
，
AF
AC
．
27 / 57
2
AF
AE
，
2
AC
AE
．
题型九旋转模型
34．（22-23 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形ABCDE 中，
90
B
E
，
1
2
CAD
BAE
，
AB
AE
，且
3
CD
，
4
AE
，则五边形ABCDE 的面积为（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将
面积进行转化．
将
ABC
V
绕点A 逆时针旋转至
AEF
△
，首先证明点D，E，F 三点共线，证明
(SAS)
ACD
AFD
≌
△
△
，得到
3
CD
DF
，
ACD
AFD
S
S
△
△
，再将所求面积转化为2
AFD
S△
进行计算即可．
【详解】如图，将
ABC
V
绕点A 逆时针旋转至
AEF
△
，
=
AB AE ，
90
B
E
，
则AF
AC
，
90
B
AED
AEF
，
180
DEF
，即点D，E，F 三点共线，
1
2
CAD
BAE
，
BAC
DAE
DAE
EAF
CAD
，
即
FAD
CAD
，
在ACD 和
AFD
△
中
28 / 57
AC
AF
CAD
FAD
AD
AD
，
(SAS)
ACD
AFD
△
≌△
CD
DF
，
ACD
AFD
S
S
△
△
3
CD
，
3
DF
，
五边形ABCDE 的面积为：
ABC
AEF
ACDE
ACDE
S
S
S
S
四边形
四边形
2
ACD
AFD
AFD
S
S
S
，
1
2
2
DF
AE
，
1
2
3 4
2
12
．
故选：D．
35．（23-24 九年级上·湖北武汉·期末）如图，ABC
V
与
AEF
△
都是等腰直角三角形，
90
BAC
EAF
，
AB
AC
，AE
AF
，EF 交AB 于点D ，连接BE ，CF ．
(1)求证：
ABE
ACF
V
V
≌
；
(2) ABE 可以看作是由
ACF
△
绕某点旋转得到的，若
95
ADF
，则旋转中心是点______，旋转角的度数
为______．
【答案】(1)证明见解析
(2) A ，90
【分析】本题考查了全等三角形中的旋转模型，掌握旋转的相关性质是解题关键．
（1）推出
BAE
CAF
，即可求证；
（2）旋转角为旋转前后对应线段形成的角度，据此即可求解．
【详解】（1）解：
90
BAC
EAF
，
BAC
BAF
EAF
BAF ，
即
BAE
CAF
，
AB
AC
，AE
AF
，
29 / 57
ABE
ACF
△
≌△
；
（2）解：由题意可得：旋转中心是点A ，
旋转角为
BAC
或
EAF
，
∴旋转角的度数为90．
故答案为：A ，90
36．（23-24 八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】
（1）如图1，ABCD 是正方形，
45
EAF
，当E 在BC 边上，F 在CD 边上时，请你探究BE 、DF 与EF
之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，ABCD 是正方形，
45
EAF
，当E 在BC 的延长线上，F 在CD 的延长线上时，请你探究BE 、
DF 与EF 之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）EF
BE
DF
，证明见解析（2）EF
BE
DF
，证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等
三角形．
（1）结论：EF
BE
DF
．将
ADF
△
绕点A 顺时针旋转，使AD 与AB 重合，得到
ABF ，然后求出
45
A
F
EA
E F
，利用“边角边”证明
AEF
△
和△
AEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得
EF
EF
，从而得解；
（2）结论：EF
BE
DF
，证明方法同法（1）．
【详解】解：（1）结论：EF
BE
DF
．
理由：如图1，将
ADF
△
绕点A 顺时针旋转，使AD 与AB 重合，得到
ABF ，
则：
,
90
F AB
DAF
ABF
D
，AF
AF
，BF
DF
，
∴
180
ABF
ABC
，即：
, ,
F B E
三点共线，
30 / 57
45
EAF
，
∴
90
45
DAF
BAE
EAF
，
∴
45
BAF
BAE
，
45
EAF
EAF
，
在
AEF
△
和△
AEF 中，
AF
AF
EAF
EAF
AE
AE
，
(SAS)
AEF
EAF
≌
△
△
，
EF
EF
，
又
F
EF
BE
B
，
EF
BE
DF
．
（2）结论：EF
BE
DF
．
理由：如图2，将
ADF
△
绕点A 顺时针旋转，使AD 与AB 重合，得到
ABF ，
则：
,
BF
DF AF
AF
，
同法（1）可得：
(SAS)
AEF
AEF
△
≌△
，
EF
EF
，
又EF
BE
BF
BE
DF
，
EF
BE
DF
．
题型十垂线模型
37．（24-25 八年级上·广东汕头·期中）如图，在
ABC
V
中，以AB ，AC 为腰作等腰直角三角形ABE 和等腰
直角三角形ACF ，连接EF ，AD 为BC 边上的高线，延长DA 交EF 于点N，下列结论：①
EAN
ABC
；
②EAN
BAD
≌
；③
AEF
ABC
S
S
；④EN
FN
，其中正确的有
（写上序号）
31 / 57
【答案】①③④
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作EH
AN
，交AN
于点H，FK
AN
，交AN 延长线于点K，构造三对全等三角形：AEH
BAD
≌
，AFK
ACD
≌
，
FKN
EHN
≌
，根据全等三角形的面积相等，即可得出
ABD
EAH
S
S
，
FKA
ADC
S
S
，
ENH
FNK
S
S
，根据
ABC
ABD
ADC
AEH
AFK
EAN
ENH
FNA
FNK
EAN
FNA
AEF
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
，即可得出结论
③；最后根据FKN
EHN
≌
，得出FN
EN
即可．
【详解】解：∵
90
BAE
，AD
BD
，
∴
90
EAN
BAD
ABC
BAD
，
∴
EAN
ABC
，故①正确；
∵
AEN
与
BAD
不一定相等，
∴
AEN
△
与BAD 不一定全等，故②错误；
作EH
AN
，交AN 于点H，FK
AN
，交AN 延长线于点K，
∴
90
AEH
EAH
，
∵
90
EAB
，
∴
90
EAH
BAD
，
∴
AEH
BAD
，
在
AEH
△
和BAD 中，
AHE
ADB
AEH
BAD
AE
AB
，
∴
AAS
AEH
BAD
≌
，
32 / 57
∴EH
AD
，
ABD
EAH
S
S
，
同理可得：AFK
CAD
≌
，
∴FK
AD
，
FKA
ADC
S
S
，
∴FK
EH
，
在FKN 和
EHN
△
中，
FKN
EHN
FNK
ENH
FK
EH
，
∴
AAS
FKN
EHN
≌
，
∴
ENH
FNK
S
S
，
∴
ABC
ABD
ADC
S
S
S
AEH
AFK
S
S
EAN
ENH
FNA
FNK
S
S
S
S
EAN
FNA
S
S
AEF
S
，
即
ABC
AEF
S
S
△
△
，故③正确；
∵FKN
EHN
≌
，
∴FN
EN
，故④正确．
故答案为：①③④．
38．（24-25 八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，A
C
E
、、
三点在同一条直线上，AB
AD
，B
DAC
，
BC
AE
．
(1)求证：BC
DE
CE
；
(2)当
ABC
V
满足__________时，BC
DE
∥
？
【答案】(1)见解析
(2)
90
ACB
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的
判定方法，证明
ABC
DAE
△
△
≌
．
（1）根据SAS 证明
ABC
DAE
△
△
≌
，得出AC
DE
，即可证明BC
AE
AC
CE
DE
CE
；
33 / 57
（2）根据
90
ACB
，得出
90
BCE
，根据三角形全等的性质即可得出
90
ACB
CED
，得出
90
BCE
CED
，根据平行线的判定得出BC
DE
∥
．
【详解】（1）证明：在
ABC
V
和DAE 中
AB
AD
B
DAC
BC
AE
，
∴
SAS
ABC
DAE
≌
；
∴AC
DE
，
∵AE
AC
CE
DE
CE
，
∴BC
DE
CE
．
（2）解：当
90
ACB
时，BC
DE
∥
．理由如下：
∵
90
ACB
，
∴
90
BCE
，
∵
ABC
ADE
△
≌△
，
∴
90
ACB
CED
．
∴
BCE
CED
．
∴BC
DE
∥
．
39．（21-22 八年级上·安徽合肥·期末）如图，直角坐标系中，
ABC
V
的顶点A ，B 分别在坐标轴上，且
90
ABC
，AB
BC
，若点A 、B 的坐标分别为
5,0
、
0,2 ，则点C 的坐标为
．
【答案】
2, 3
【分析】过C 作CD
y
轴于点D ，由
90
DCB
CBD
，
90
OBA
CBD
可得
DCB
OBA
，从
而证明
AAS
DCB
OBA
≌
，再根据全等三角形的性质即可求出
2
CD
BO
，
5
DB
OA
，通过线段和差
与点C 在第四象限即可求解．
【详解】如图，过C 作CD
y
轴于点D ，
，
34 / 57
∴
90
BDC
AOB
，
∴
90
DCB
CBD
，
∵
90
ABC
，
∴
90
OBA
CBD
，
∴
DCB
OBA
，
在
DCB
△
和
OBA
△
中，
BDC
AOB
OBA
DCB
AB
BC
，
∴
AAS
DCB
OBA
≌
，
∴CD
BO
，DB
OA
，
∵
5,0
A
，
0,2
B
，
∴
2
CD
BO
，
5
DB
OA
，
∴
5
2
3
OD
DB
BO
，
∴点C 坐标为
2, 3
，
故答案为：
2, 3
．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的
垂线模型．
40．（22-23 八年级上·广东江门·阶段练习）已知，
ABC
V
中，
90
BAC
，AB
AC
，直线m 过点A，且
BD
m
于D，CE
m
于E，当直线m 绕点A 旋转至图1 位置时，我们可以发现DE
BD
CE
．
(1)当直线m 绕点A 旋转至图2 位置时，问：BD 与DE 、CE 的关系如何？请予证明；
(2)直线m 在绕点A 旋转一周的过程中，BD 、DE 、CE 存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证
明）
【答案】(1) DE
BD
CE
，证明见解析；
(2) DE
BD
CE
，DE
BD
CE
，DE
CE
BD
．
【分析】（1）利用条件证明
ABD
CAE
△
△
≌
，再结合线段的和差可得出结论；
（2）根据图，可得BD 、DE 、CE 存在3 种不同的数量关系；
【详解】（1）证明：如图2，
35 / 57
∵BD
m
，CE
m
，
∴
90
BDA
CEA
，
∴
90
ABD
DAB
．
∵
90
BAC
，
∴
90
DAB
CAE
，
∴
ABD
CAE
．
在
ABD
△
和CAE 中，
BDA
CBA
ABD
CAB
AB
CA
，
∴
ABD
CAE
△
△
≌
（AAS），
∴
AD
CE ，BD
AE
∵DE
AE
AD
，
∴DE
BD
CE
．
（2）直线m 在绕点A 旋转一周的过程中，BD 、DE 、CE 存在3 种不同的数量关系：DE
BD
CE
，
DE
BD
CE
，DE
CE
BD
．
如图1 时，DE
BD
CE
，
如图2 时，DE
BD
CE
，
如图3 时，DE
CE
BD
，（证明同理）
【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质．
41．（22-23 八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，ABE 为等腰直角三角形，
90
ABE
，BC
BD
．
(1)求证：
ABC
EBD
△
≌△
；
(2)求证：AF
DE
36 / 57
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可．
（2）利用（1）中的全等及互余关系证明直角即可．
【详解】（1）证明：ABE 是等腰直角三角形，
∴AB
BE
，
∵
90
ABE
，
∴
90
EBD
，
∴
ABE
EBD
，
在
ABC
V
与
BDE
V
中，
AB
BE
ABE
DBE
BC
BD
，
∴
SAS
EBD
ABC
△
△
≌
（2）证明：∵
ABC
EBD
△
≌△
，
∴
BAC
BED
，
∵
90
BED
D
，
∴
90
BAC
D
，
∴
90
AFD
，
∴
90
AFE
，
∴AF
DE
．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质的运用，能够熟练运用判定定理及性质是解题关键．
题型十一全等三角形综合问题
42．（24-25 八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，AB
BC
，DC
BC
，若BE
CD
，再增加条
件
，则ABE
ECD
≌
．
【答案】AE
DE
（或
AEB
D
或
A
ECD
）
【分析】本题考查三角形全等的判定方法；根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
由已知条件具备一角一边分别对应相等，还缺少一个条件，可添加AE
DE
，两边夹一角判定其全等．
【详解】解：
AB
BC
，DC
BC
，
90
ABC
DCE
，
37 / 57
又BE
CD
，
可添加AE
DE
；
ABE
ECD
≌
．
故答案为: AE
DE
（或
AEB
D
或
A
ECD
）．
43．（24-25 八年级上·安徽六安·期中）如图，AB
AD
，
140
BAD
，AB
CB
于点B ，AD
CD
于点D ，
E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且
70
EAF
，下列结论中①BC
DC
，②
ADF
ABE
△
≌△
，③FA 平分
DFE
，④EF 平分
AEC
，⑤BE
DF
EF
．其中正确的结论是（
）
A．②③⑤
B．①③④
C．①③⑤
D．①④⑤
【答案】C
【分析】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知
识，正确地作出辅助线并且证明
EAG
EAF
≌
△
△
是解题的关键．连接AC ，可证明
Rt
Rt
HL
ABC
ADC
≌
，
得到BC
DC
，故①正确；由E、F 分别是CB
CD
、
上的任意点，可知DF 与BE 不一定相等，ADF
△
与ABE
也不一定全等，可判断，②错误；延长CB 到点G，使BG
DF
，连接AG ，先证明
ABG
ADF
≌
△
△
得
AG
AF
BAG
DAF
G
AFD
，
，
，由
140
BAD
，
70
EAF
，可以推导出
70
EAG
，则
EAG
EAF ，即可证明
EAG
EAF
≌
△
△
，得
G
AFE
，因为
AEB
AEF
，所以
AFD
AFE
，
可判断③正确，因为EG
EF
，所以BE
DF
BE
BG
EG
EF
，可判断⑤正确；由EF 平分
AEC
结
合
AEF
AEB
，推出与题干互相矛盾，可得④错误．
【详解】解：如图所示，连接AC ，
∵AB
CB
于点B
AD
CD
，
于点D，
∴
90
D
B
，
38 / 57
∵AB
AD
，AC
AC
，
∴
Rt
Rt
HL
ABC
ADC
≌
，
∴BC
DC
，故①正确；
∵DF 与BE 不一定相等，
∴
ADF
△
与ABE 不一定全等，故②错误；
延长CB 到点G，使BG
DF
，连接AG ，则
180
90
ABG
ABE
，
∴
ABG
D
，
在ABG 和
ADF
△
中，
AB
AD
ABG
D
BG
DF
，
∴
SAS
ABG
ADF
≌
，
∴AG
AF
BAG
DAF
G
AFD
，
，
，
∵
140
70
BAD
EAF
，
，
∴
70
EAG
BAE
BAG
BAE
DAF
BAD
EAF
，
∴
EAG
EAF ，
在
EAG
△
和
EAF
△
中，
AG
AF
EAG
EAF
AE
AE
，
∴
SAS
EAG
EAF
≌
，
∴
G
AFE
AEB
AEF
EG
EF
，
，
∴
AFD
AFE
BE
DF
BE
BG
EG
EF
，
，
∴FA 平分
DFE
，故③⑤正确；
若EF 平分
AEC
，而
AEF
AEG
，
∴
60
CEF
AEF
AEG
，与题干信息矛盾，故④错误；
故选C.
39 / 57
44．（24-25 八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，已知AP
BC
∥
，PAB 的平分线与
CBA
的平分线相交
于点E，CE 的连线交AP 于点D，求证：AD
BC
AB
．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，添
加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
在AB 上截取AF
AD
，连接EF ，由AE 平分PAB 可得
DAE
FAE
，利用SAS 可证得DAE
FAE
≌
，
于是可得
ADE
AFE
，由两直线平行同旁内角互补可得
180
ADE
C
，结合
180
AFE
EFB
，
进而可得
EFB
C
，由BE 平分
ABC
可得
EBF
EBC
，利用AAS 可证得
BEF
BEC
△
△
≌
，于是可
得BF
BC
，然后利用等量代换即可得出结论．
【详解】证明：如图，在AB 上截取AF
AD
，连接EF ，
AE 平分PAB ，
DAE
FAE
，
又
AE
AE
，
SAS
DAE
FAE
≌
，
ADE
AFE
，
AP
BC
∥
，
180
ADE
C
，
180
AFE
EFB
，
EFB
C
，
BE 平分
ABC
，
EBF
EBC
，
BE
BE
，
AAS
BEF
BEC
≌
，
BF
BC
，
AD
BC
AF
BF
AB
．
40 / 57
45．（24-25 八年级上·湖南益阳·期中）已知AM
BN ，AE 平分
BAM
，BE 平分
ABN
，
(1)求
AEB
的度数．
(2)如图2，过点E 的直线交射线AM 于点C，交射线BN 于点D，求证：AC
BD
AB
；
(3)如图3，过点E 的直线交射线AM 的反向延长线于点C，交射线BN 于点D，
5,
3
AB
AC
，
2
ABE
ACE
S
S
，求BDE 的面积．
【答案】(1)90
(2)见解析
(3)8
【分析】（1）根据平行线的性质得到
180
BAM
ABN
，根据角平分线的定义得到
1
1
,
2
2
BAE
BAM
ABE
ABN
，于是得到结论；
（2）在AB 上截取AF
AC
，连接EF ，根据全等三角形的性质得到
AEC
AEF
，BF
BD
，等量代换
即可得到结论；
（3）延长AE 交BD 于F，根据全等三角形的性质得到
5,
AB
BF
AE
EF
，根据全等三角形的性质得到
3
DF
AC
，设
5
BEF
ABE
S
S
x
，
3
DEF
ACE
S
S
x
，根据
2
ABE
ACE
S
S
，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵AM
BN ，
∴
180
BAM
ABN
，
∵AE 平分
BAM
，BE 平分
ABN
，
∴
1
1
,
2
2
BAE
BAM
ABE
ABN
，
∴
1
90
2
BAE
ABE
BAM
ABN
，
∴
90
AEB
；
（2）证明：在AB 上截取AF
AC
，连接EF ，
∵AE 平分
BAM
，
∴
CAE
FAE
41 / 57
在ACE 与AFE 中，
{
AC
AF
CAE
FAE
AE
AE
，
∴
ACE
AFE SAS
≌
，
∴
AEC
AEF
，
∵
90
AEB
，
∴
90
AEF
BEF
AEC
BED
，
∴
FEB
DEB
，
∵BE 平分
ABN
，
∴
FBE
DBE
，
在BFE 与BDE 中，
{
FBE
DBE
BE
BE
FEB
DEB
，
∴
BFE
BDE ASA
≌
，
∴BF
BD
，
∵AB
AF
BF
，
∴AC
BD
AB
；
（3）解：延长AE 交BD 于F，
∵
90
AEB
，
∴
90
FEB
，
∵BE 平分
ABN
，
∴
FBE
ABE
，
在ABE 与FBE 中，
90
{
AEB
FEB
BE
BE
ABE
DBE
，
∴
ABE
FBE ASA
≌
，
∴
,
AB
BF AE
EF
，
42 / 57
∵
5
AB
，
∴
5
AB
BF
，
∵AM
BN ，
∴
C
EDF
，
在ACE 与FDE 中，
{
C
EDF
AEC
FED
AE
EF
，
∴
ACE
FDE AAS
≌
，
∴
3
DF
AC
，
∵
5
BF
，
∴设
5
BEF
ABE
S
S
x
，
3
DEF
ACE
S
S
x
，
∵
2
ABE
ACE
S
S
，
∴5
3
2
x
x
，
∴
1
x ，
∴
8
8
BDE
BEF
DEF
S
S
S
x
，
∴BDE 的面积为8．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线的定义，正确的
作出辅助线是解题的关键．
46．（24-25 八年级上·浙江杭州·期末）如图，
90
C
D
CBA
DAB
,
．
(1)求证：ABC
BAD
≌
；
(2)若
70
DAB
，求
COB
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
COB
的度数是40
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，掌握全等
三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）运用角角边即可求证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得到
20
BAC
ABD
，根据全等的性质，三角形外角的定义即可求解．
【详解】（1）证明：在
ABC
V
和BAD 中，
43 / 57
C
D
CBA
DAB
AB
BA
，
∴
AAS
ABC
BAD
≌
△
△
．
（2）解：∵
90
70
D
DAB
,
，
∴
90
20
ABD
DAB
，
由（1）得ABC
BAD
≌
，
∴
20
BAC
ABD
，
∴
20
20
40
COB
ABD
BAC
，
∴
COB
的度数是40．
44 / 57
一、单选题
1．（24-25 八年级上·河北邯郸·期中）油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨AB
AC
，
支撑杆OE
OF
，
1
1
,
3
3
AE
AB AF
AC
，当O沿AD 滑动时，油纸伞开闭，若
130
BAC
，则
BAD
的
大小为（
）
45 / 57
A．50
B．55
C．65
D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据SSS证明
AOE
AOF
△
≌△
，得出
BAD
CAD
，进
而可求出
BAD
的大小．
【详解】解：
BAD
CAD
理由：∵AB
AC
，
1
3
AE
AB
，
1
3
AF
AC
，
∴AE
AF
，
在
AOE
△
和AOF 中，
AE
AF
AO
AO
EO
FO
∴
SSS
AOE
AOF
△
≌△
，
∴
BAD
CAD
．
∵
130
BAC
，
∴
65
BAD
CAD
．
故选C．
2．（24-25 八年级上·陕西渭南·期中）如图，在四边形ABCD 中，连接AC ，已知
BAC
DCA
，那么添
加下列条件后，仍无法判定
ABC
CDA
△
△
≌
的是（
）
A．
BCA
DAC
B．AB
CD
C．
B
D
D．BC
DA
【答案】D
【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可．熟练掌握全
等三角形的判定方法，是解题的关键．
46 / 57
【详解】解：∵
BAC
DCA
，AC
CA
，
∴当
BCA
DAC
时，
ASA
ABC
CDA
≌
；故A 选项不符合题意；
当AB
CD
时，
SAS
ABC
CDA
≌
；故B 选项不符合题意；
当
B
D
时，
AAS
ABC
CDA
≌
；故C 选项不符合题意；
当BC
DA
，无法得到
ABC
CDA
△
△
≌
；故D 选项符合题意；
故选：D．
3．（24-25 八年级上·天津·阶段练习）如图，
ABC
V
中，AB
AC
，AD 平分
BAC
，交BC 于点D．则下
列结论正确的是（
）
A．AB
AC
BD
DC
B．AB
AC
BD
DC
C．AB
AC
BD
DC
D．AB
AC
与BD
DC
大小无法确定
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，三角形三边关系应用．在AB 上截取AE
AC
，连接DE ，证明
(SAS)
AED
ACD
≌
，得出DE
DC
，再结合三角形三边关系可证得结论．
【详解】解：在AB 上截取AE
AC
，连接DE ，
则BE
AB
AC
，
∵AD 平分
BAC
，
∴
EAD
CAD
，
在
AED
△
和ACD 中，
AE
AC
EAD
CAD
AD
AD
，
47 / 57
∴
(SAS)
AED
ACD
≌
，
∴DE
DC
，
在
BDE
V
中，BD
DE
BE
，
∴BD
DC
AB
AC
，
即AB
AC
BD
DC
．
故选：A．
4．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，
ABC
ADC
△
≌△
，若ACD 的周长为12，则
ABC
V
的周
长为（
）
A．15
B．12
C．11
D．10
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等，据此求出
12
AC
AB
BC
AC
AD
DC
，即可得解．
【详解】解：∵
ABC
ADC
△
≌△
，
∴AB
AD
，BC
DC
，
∵ACD 的周长为12，
∴
12
AC
AD
DC
，
∴
12
AC
AB
BC
AC
AD
DC
，
∴
ABC
V
的周长为12．
故选：B．
5．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，ACB
DEB
≌
，点A 和点D 是对应顶点，
90
C
E
，
记
CBE
CAB
，
，当AD
BC
∥
时，与之间的数量关系为（
）
A．
2
B．
C．
90
a
D．
180
【答案】A
48 / 57
【分析】本题和要考查了全等三角形．解题的关键是熟练掌握全等三角形性质，等边对等角，三角形内角
和，平行线的性质．根据全等三角形的性质得到AB
DB
ABC
DBE
，
，从而得到
ABD
，求出
BAD
，根据平行线的性质得到
90
CAD
，从而得到关于α和β的关系，化简即可．
【详解】解：∵ACB
DEB
≌
，
∴AB
DB
ABC
DBE
，
，
∴
ABD
CBE
，
在
ABD
△
中，
1 180
2
BAD
，
∵AD
BC
∥
，
∴
180
90
CAD
C
，
∴
1 180
90
2
，
∴
2
．
故选：A．
6．（24-25 八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，若两个三角形全等，图中字母表示三角形边长，则
1
的
度数为（
）
A．40
B．50
C．60
D．70
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形性质，三角形内角和定理等．根据题意可知
1
180
60
80
40
，继而
得到本题答案．
【详解】解：∵两个三角形全等，
∴由题意得：
1
180
60
80
40
，
故选：A．
7．（24-25 八年级上·河北邯郸·期中）如图，在
ABC
V
中，AD 是高，点E 在线段AD 上．若
ABD
CED
△
≌△
，
10
AB
，
14
BC
，则
CED
△
的周长为（
）
A．10
B．20
C．24
D．28
49 / 57
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，求三角形的周长，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．根
据
ABD
CED
△
≌△
得出
,
DE
BD AB
EC
，CDE 的周长DE
DC
EC
BC
AB
问题可解．
【详解】解：
ABD
CED
△
≌△
，
,
ED
BD EC
AB
，
CED 的周长
,
14,
10
ED
DC
EC BC
AB
，
CED
的周长
14 10
24
BD
DC
AB
BC
AB
，
故选：C．
8．（24-25 八年级上·河北邯郸·期中）在
ABC
V
和A B C
中，AB
A B
，
A
A
，点D ，D¢分别在
边AC 和边A C
上，BD
B D
，下列判断正确的是（
）
①若
50
，则
ABD
△
和
A B D
△
一定全等；
②若
90
，则
ABD
△
和
A B D
△
一定全等．
A．①对②错
B．①错②对
C．①②都对
D．①②都错
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有：SSS,SAS,ASA,AAS,HL ,掌握全等的条
件是解题的关键．依据全等的判定方法判定即可．
【详解】解：①若
50
，
因为
50 ,
A
A
AB
A B
，但没有提及
ABD
A B D
或
ADB
A D B
，所以无法确定
ABD
△
和
A B D
△
一定全等，如图，
故选:D．
②若
90
，
90 ,
A
A
AB
A B
，BD
B D
，
Rt
Rt
HL
ABD
A B D
≌
，
②成立．如图，
50 / 57
故选：B ．
9．（19-20 八年级上·江西上饶·期中）小明不饱将块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、
2、3、4 的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（
）
A．第1 块
B．第2 块
C．第3 块
D．第4 块
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形全等的判定，看这4 块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．解题词关键是
熟练掌握判定两个三角形全等的判定定理：SSS、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．
本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【详解】解：1、3、4 块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第2 块有完整的两角及夹边，符合ASA ，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：B．
10．（23-24 八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在正六边形ABCDEF 中，M，N 分别为边CD
BC
，
的中
点，AN 与BM 相交于点P，则
NPM
的度数是（
）
A．50
B．60
C．70
D．120
【答案】B
【分析】本题考查了正六边形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，根据正六边形的性质可得
AB
BC
CD
，BN
CM
，利用全等三角形的判定与性质可得
BNP
CMB
，然后利用三角形的内角和定
理可得
120
BPN
，从而可得答案．
【详解】解：∵六边形ABCDEF 是正六边形，
∴
6
2 180
120
6
ABC
BCD
AB
BC
CD
，
，
∵M，N 分别为边CD
BC
，
的中点，
∴BN
CM
，
51 / 57
∴
SAS
ABN
BCM
≌
，
∴
BNP
CMB
，
∵
CBM
PBN
，
∴
120
BPN
BCD
，
∴
180
120
60
NPM
，
故选：B．
二、填空题
11．
（24-25 八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，BF
AC
于点F ，DE
AC
于点E ，连结BD ，交EF 于点O，且O为EF 的中点，若AE
CF
，则下列结论：①
EOD
FOB
△
≌△
；
②AO
CO
；③AB
CD
；④
ABD
ACD
，其中正确的是
（填序号）．
【答案】①②③
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的和差关系，平行线的判定与性质，熟练掌握全
等三角形的判定与性质是解题关键．
利用全等三角形的判定方法证得
EOD
FOB
△
≌△
、CDE
ABF
≌
即可逐项分析判断．
【详解】解：①
O 为EF 的中点，
OE
OF
，
BF
AC
，DE
AC
，
90
DEO
BFO
，
在
EOD
△
和
FOB
△
中，
DEO
BFO
OE
OF
EOD
FOB
，
ASA
EOD
FOB
△
≌△
，故①正确；
②
由①得：OE
OF
，且AE
CF
，
OE
AE
OF
CF
，
AO
CO
，故②正确；
③
由②得：AO
CO
，
52 / 57
由①得：OE
OF
，
AO
OF
CO
OE
，
AF
CE
，
由①得：
EOD
FOB
△
≌△
，且
DEO
BFO
，
DE
BF
，
在CDE 和
ABF
△
中，
DE
BF
DEO
BFO
CE
AF
，
SAS
≌
CDE
ABF
，
AB
CD
，故③正确；
④
由③得：CDE
ABF
≌
，
A
C
，
AB
CD
∥
，
ABD
CDB
，
若
ABD
ACD
，则
ACD
CDB
，
OC
OD
，
现有条件无法得出OC
OD
，故④错误；
故答案为：①②③．
12．（24-25 八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，已知
ABC
ADE
△
≌△
，
60
DAC
，
100
BAE
，
BC
DE
、
相交于点F ，则
DFB
的度数是
．
【答案】20
【分析】本题考查三角形中求角度，涉及全等三角形性质、对顶角相等、三角形内角和定理等知识，先由
全等性质得到
B
D
，
BAC
DAE
，等量代换得到
BAD
EAC
，进而由已知求出
1
2
BAD
BAE
DAC
，在DGF 和BGA 中，由三角形内角和定理即可得到答案．熟练掌握全等三角
形性质、三角形内角和定理等知识是解决问题的关键．
【详解】解：
ABC
ADE
△
≌△
，
B
D
，
BAC
DAE
，
53 / 57
BAD
BAC
DAC
，
EAC
DAE
DAC
，
BAD
EAC
，
60
DAC
，
100
BAE
，
1
1
100
60
20
2
2
BAD
BAE
DAC
，
在DGF 和BGA 中，
DGF
BGA
，
B
D
，则由三角形内角和定理可知
20
DFB
DAB
，
故答案为：20．
13．（24-25 八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，线段AD 与BC 相交于O点，
90
A
B
，请添加一
个条件
使得ACD
BDC
≌
．（写出一种情况即可）
【答案】AC
BD
（答案不唯一）
【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意可利用直角三角形判定定理HL 即可得到本题答案．
【详解】解：∵
90
A
B
，
∴在ACD 和BDC 中，
AC
BD
CD
CD
，
∴
(HL)
ACD
BDC
≌
，
故答案为：AC
BD
（答案不唯一）．
14．（24-25 八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，
ABC
V
的面积为
2
1cm ，BP 平分
ABC
，AP
BP
于P ，
则
PBC
△
的面积为
2
cm ．
【答案】1
2 /0.5
【分析】本题考查角平分线的性质及全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将
该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键．延长AP 交BC 于E ，证明ABP
EBP
≌
得到AP
PE
，
再利用三角形的中线性质求解即可．
【详解】解：延长AP 交BC 于E ，
54 / 57
BP 平分
ABC
，
ABP
EBP
，
AP
BP
，
90
APB
EPB
，
在ABP 和
EBP
△
中，
ABP
EBP
BP
BP
APB
EPB
，
(ASA)
ABP
EBP
≌
，
AP
PE
，
ABP
EBP
S
S
△
△
ACP
ECP
S
S
，
ABC 的面积为
2
1cm ，
2
1
1 cm
2
2
PBC
EBP
ECP
ABC
S
S
S
S
=
+
=
=
．
故答案为：1
2 ．
15．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在
ABC
V
中，AB
BC
，线段BE 交AC 于点
,
,
P AD
BE CE
BE
，垂足分别为D，E，且
BAD
CBE
．若
5,
1.8
AD
CE
，则DE 的长为
．
【答案】3.2
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据AAS 证明BAD
CBE
≌
得
1.8
BD
CE
，
5
BE
AD
从而可求出DE 的长．
【详解】解：∵
,
AD
BE CE
BE
，
∴
90
ADB
BEC
°，
在BAD 和
CBE
△
中，
90
BAD
CBE
ADB
BEC
AB
BC
55 / 57
∴
AAS
BAD
CBE
≌
，
∴
1.8
BD
CE
，
5
BE
AD
，
∴
5 1.8
3.2
DE
BE
BD
,
故答案为：3.2
三、解答题
16．（24-25 八年级上·广东广州·期中）如图，点A，B，C，D 在同一直线上，AE
BF
，
A
FBD
，请
添加以下其中一个条件：①EC
FD
；②EC
FD
∥
，试证明EAC
FBD
≌
．
【答案】见解析
【分析】此题考查了三角形全等的判定方法，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方
法．
选②，首先由EC
FD
∥
得到
ECA
FDB
，然后证明出
AAS
EAC
FBD
≌
．
【详解】证明：选②：
∵EC
FD
∥
，
∴
ECA
FDB
，
在EAC 和FBD 中
A
FBD
，
ECA
FDB
，AE
BF
，
∴
AAS
EAC
FBD
≌
．
17．（24-25 八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，点E、F 在AC 上，AD
BC
AD
CB
AE
CF
∥
，
，
．求
证：
B
D
．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，先由平行线的性质得到
A
C
，再
证明AF
CE
，进而可证明
SAS
ADF
CBE
≌
△
△
，则可证明
B
D
．
【详解】证明：∵AD
BC
∥
，
∴
A
C
，
∵AE
CF
，
∴AE
EF
CF
EF
，即AF
CE
，
56 / 57
又∵AD
CB
，
∴
SAS
ADF
CBE
≌
△
△
，
∴
B
D
．
18．（24-25 八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，AC 与BD 相交于点O，AC
BD
，AD
AC
于点A ，
BC
BD
于点B ，求证：AD
BC
．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．连接CD ，HL
证明Rt
Rt
ACD
BDC
≌
即可证明结论．
【详解】证明：如图，连接CD ，
AD
AC
，BC
BD
，
90
A
B
，
在Rt
ACD
△
与Rt
BCD
△
中，
AC
BD
CD
DC
，
Rt
Rt
ACD
BDC
≌
，
AD
BC
．
19．（24-25 八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，AB
AD
，CB
CD
，求证：
B
D
．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，由两个三角形全等判定定理SSS得到
ABC
ADC
△
≌△
，再由两
个三角形全等的性质即可得证．熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】证明：在
ABC
V
和
ADC
△
中，
57 / 57
AB
AD
CB
CD
AC
AC
，
∴
SSS
ABC
ADC
≌
△
△
，
∴
B
D
．
20．（22-23 八年级上·福建泉州·期末）如图，已知
B
C
，
1
2
，BE
CD
．求证：AB
AC
．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定．证明
AAS
ABE
ACD
≌
，根据全等三角形的性质，即可
得证．
【详解】证明：∵
1
2
，
∴
1
2
CAE
CAE
，
即
BAE
CAD
，
在
ABE
ACD
△
△
，
中，
B
C
BAE
CAD
BE
CD
，
∴
AAS
ABE
ACD
≌
，
∴AB
AC
．
