第12讲投影与三视图（知识点+15题型）（暑假预习讲义）（解析版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_2026年新9年级数学《暑假自学课衔接课》复习讲义+预习讲义+测试卷（北师）

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第12 讲投影与三视图（知识点+15 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 正投影
题型2 平行投影
题型3 中心投影
题型4 视点、视角和盲区
题型5 判断简单几何体的三视图
题型6 判断简单组合体的三视图
题型7 已知一种或两种视图，判断其他视图
题型8 由三视图还原几何体
题型9 已知三视图求边长
题型10 已知三视图求侧面积或表面积
题型11 求小立方块堆砌图形的表面积
题型12 已知三视图求体积
题型13 求几何体视图的面积
题型14 由三视图判断小立方体的个数
题型15 已知三视图求最多或最少的小立方块个数
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
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关键词
学习目标导航
投影的定义
中心投影
平行投影
正投影
三视图（主视图、左视
图、俯视图）
三视图的画法规则
常见几何体的三视图
由三视图还原几何体
投影与视图的实际应
用
1. 理解投影的定义，经历投影的形成过程，能准确区分中心投影（灯光投影）
和平行投影（太阳光投影），了解正投影的概念，识别生活中的各类投影现
象。
2. 掌握中心投影和平行投影的基本性质，能根据投影的性质解决简单的实际
问题，如根据影子长度求物体高度、确定光源位置或影子的方向。
3. 理解三视图的概念，明确主视图、左视图、俯视图的观察方向，掌握三视
图“长对正、高平齐、宽相等”的画法规则，能规范画出直棱柱、圆柱、圆
锥、球等常见几何体及简单组合体的三视图。
4. 能根据三视图描述几何体的形状特征，还原简单的几何体或组合体，能判
断三视图对应的几何体的组成部分。
5. 体会投影与视图在建筑设计、机械制造等领域的实际应用，发展空间观念
和几何直观能力，感受数学与现实生活的密切联系。
学习重点：中心投影与平行投影的性质及区别，三视图的画法规则，常见几何体三视图的绘制，由三
视图还原几何体。
学习难点：正确区分中心投影和平行投影的不同性质，准确画出复杂组合体的三视图，根据三视图还
原几何体时空间想象能力的运用，以及投影性质在实际问题中的灵活应用。
知｜识｜框｜架
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知｜识｜精｜讲
知识点01 投影的基本概念
定义：物体在光线照射下，在地面或墙壁上留下的影子叫做投影。照射光线称为投影线，影子所在的平面
称为投影面。
即时即练
1．光线由上到下照射，下列立体图形的正投影不是圆形的是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查正投影的形状判断，掌握根据立体图形的形状和投影方向，分析正投影的形状是解题的
关键．
分别分析每个立体图形在光线由上到下照射时的正投影形状，找出正投影不是圆形的图形．
【详解】解：A、球的正投影是圆形，不符合题意；
B、圆柱的正投影是圆形，不符合题意；
C、圆锥的正投影是圆形，不符合题意；
D、正方体的正投影是正方形，不是圆形，不符合题意．
故选：D．
【易错提醒】
投影必须同时具备三个要素：物体、投影线、投影面，缺一不可。不要将物体本身与投影混淆。
知识点02
菱形的性质
投
影
类
型
定义
投影线特
点
核心性质
生活举例
对应易错提醒
中
心
投
影
由同一点（点光
源）发出的光线形
成的投影
交于一点
（发散
状）
物体离光源越近，影子越
长；不同位置物体的物高
与影长不成正比
路灯、手
电筒、台
灯
不要与平行投影混淆；影
子长度同时受物体高度
和到光源距离影响
平
行
投
影
由平行光线形成
的投影
互相平行
同一时刻、同一地点，不
同物体的物高与影长成
正比
太阳光
只有太阳光可近似看作
平行光线；灯光属于中心
投影
教材重点：正投影— — 投影线垂直于投影面产生的平行投影，是三视图的理论基础。
即时即练
2．下列现象中，不属于中心投影的是（
）
A．路灯下人的影子
B．电影院银幕上的影子
C．阳光下窗框的影子
D．路灯下物体的影子
【答案】C
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【分析】本题需区分中心投影与平行投影的概念，中心投影由点光源发出的光线形成，平行投影由平行光
线形成，据此判断各选项即可．
【详解】解：∵中心投影是由同一点（点光源）发出的光线所形成的投影，
∴路灯、电影院放映机均属于点光源，其形成的影子是中心投影，太阳光属于平行光线，阳光下窗框的影
子是平行投影，不属于中心投影．
故选：C．
【易错提醒】
正投影是特殊的平行投影，不是所有平行投影都是正投影。
知识点03
正投影的性质
内容：
线段的正投影：
平行于投影面：正投影与线段等长
倾斜于投影面：正投影比线段短
垂直于投影面：正投影成为一个点
平面图形的正投影：
平行于投影面：正投影与原图形全等
倾斜于投影面：正投影与原图形相似
垂直于投影面：正投影成为一条线段
几何体的正投影：当几何体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与该面形状、大小完全相同。
即时即练
3．下列投影中，正投影有（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B
【分析】本题考查正投影的判断，掌握正投影是平行光线且与投影面垂直的投影，据此逐一判断投影类型
是解题的关键．
根据正投影的定义，判断每个投影是否为平行光线且与投影面垂直的投影．
【详解】解：正投影是平行光线且与投影面垂直的投影．
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第一个投影是中心投影，不是正投影；
第二个投影是平行投影但光线不垂直于投影面，不是正投影；
第三个投影是平行光线且垂直于投影面，是正投影；
所以正投影有1 个．
故选：B．
【易错提醒】
只有当物体平行于投影面时，正投影才与原物体全等，倾斜时会变形，垂直时会缩为点或线段
不要默认所有正投影都与原物体形状相同，必须考虑物体与投影面的位置关系
知识点04 三视图的基本概念
定义：从不同方向观察同一物体得到的平面图形称为视图。其中：
从正面观察得到的视图叫主视图
从左面观察得到的视图叫左视图
从上面观察得到的视图叫俯视图
主视图、左视图、俯视图合称为三视图。
即时即练
4．画出下列几何体的三视图．
(1)
(2)
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查简单几何体的三视图，“长对正，宽相等，高平齐”是画三视图的基本原则．
（1）根据三视图的画法画出主视图、左视图、俯视图即可；
（2）根据三视图的画法画出主视图、左视图、俯视图即可．
【详解】（1）解：该几何体的三视图如图所示：
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（2）解：该几何体的三视图如图所示：
【易错提醒】
左视图是从物体的左面看，不是右面，方向搞反会导致左右颠倒
俯视图是从物体的正上方垂直向下看，不是斜上方
三视图是平面图形，不是立体图形
知识点05 三视图的绘制规则（教材核心）
核心规则：长对正、高平齐、宽相等
长对正：主视图与俯视图的长相等，且互相对正
高平齐：主视图与左视图的高相等，且互相平齐
宽相等：俯视图与左视图的宽相等
绘制要求：
看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线
标准位置：主视图在左上方，左视图在主视图正右方，俯视图在主视图正下方
即时即练
5．如图，是由7 个大小相同的小正方体组合成的简单几何体．
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(1)请在相应网格中画出这个几何体的三视图，并用阴影表示出来；
(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和左视图不变，那么最多
可以再添加__________个小正方体．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】此题主要考查了几何体三视图画法，注意观察角度是解题关键．
（1）从左面看得到从左往右2 列正方形的个数依次为3，1；从上面看得到从左往右4 列正方形的个数依次
为1，2，1，2，依此画出图形即可；
（2）根据保持这个几何体的主视图和左视图不变，最多在几何体的左侧后排第一层和右侧前排第一层各添
一个即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：保持这个几何体的主视图和左视图不变，最多在几何体的左侧后排第一层和右侧前排第一层各添
一个，即最多可再添加2 个小正方体．
故答案为：2
【易错提醒】
最易出错的是“宽相等”，俯视图的宽和左视图的宽经常画得不相等
看不见的轮廓线必须画虚线，不能省略，否则会导致视图表达错误
三视图位置不能随意摆放，否则会失去尺寸对应关系
知识点06 常见几何体的三视图
几何体
主视图
左视图
俯视图
对应易错提醒
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几何体
主视图
左视图
俯视图
对应易错提醒
正方体
正方形
正方形
正方形
三个视图完全相同，与球区分
长方体
矩形
矩形
矩形
注意长、宽、高的对应关系
圆柱
矩形
矩形
圆
俯视图是正圆，不是椭圆
圆锥
等腰三角形
等腰三角
形
圆（带圆心）
俯视图必须画圆心，这是与圆柱的关
键区别
球
圆
圆
圆
三个视图都是圆，与正方体区分
直三棱
柱
矩形（中间一条实
线）
矩形
三角形
主视图中间的实线是看得见的棱，不
能省略
正四棱
锥
等腰三角形
等腰三角
形
正方形（带对角
线）
俯视图的对角线是看得见的棱，不能
省略
即时即练
6．如图是某几何体的三视图．
(1)这个几何体的名称是___________；
(2)若主视图是宽为Ͷcm，长为ͻcm 的矩形，左视图是宽为͵cm 的矩形，俯视图是斜边为ͷcm 的直角三角
形，则这个几何体的表面积是多少？
【答案】(1)三棱柱
(2)120 平方厘米
【分析】本题考查由三视图判断几何体、求棱柱的表面积，解题的关键是：
（1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这
是一个三棱柱；
（2）根据直三棱柱的棱长的和以及表面积公式计算即可．
【详解】（1）解：由三视图可知，这个几何体为三棱柱，
故答案为：三棱柱；
（2）解：由题知，该几何体的表面积ൌʹ ൈ
ͳ
ʹ ൈ͵ ൈͶ 䳌ͻ ൈ͵ 䳌Ͷ 䳌ͷ ൌͳʹ′ cmʹ ．
【易错提醒】
圆锥的俯视图必须包含圆心，很多学生容易漏掉
棱柱、棱锥的三视图中，中间的棱必须用实线画出
不要将圆柱的主视图误认为是正方形，只有当底面直径等于高时才是正方形
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知识点07 由三视图还原几何体
基本步骤：
定类型：根据三个视图的整体形状，判断是柱体、锥体还是球体
定尺寸：根据“长对正、高平齐、宽相等”确定几何体的长、宽、高
定细节：根据实线和虚线判断几何体的内部结构和看不见的棱
验结果：将还原的几何体再画出三视图，与原题对比验证
教材重点应用：根据三视图计算几何体的表面积和体积
体积公式：柱体V=底面积×高，锥体V=1/3×底面积×高
表面积：注意组合体的重叠部分面积不需要计算
即时即练
7．如图所示的是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称．
(2)画出这个几何体的侧面展开图．
(3)若主视图的长为8cm，俯视图中圆的半径为3cm，求这个几何体的表面积和体积（结果保留ߨ）．
【答案】(1)圆柱．
(2)见解析
(3)表面积为͸͸ߨcmʹ，体积为͹ʹߨcm͵．
【分析】（1）根据三视图的知识，主视图以及左视图都是长方形，俯视图为圆形，故可判断出该几何体是
圆柱；
（2）根据圆柱侧面展开图可知是矩形；
（3）这个几何体的表面积＝侧面积+底面积ൈʹ；体积＝底面积×高．
【详解】（1）解：这个几何体的名称是圆柱．
（2）
解：如图所示：
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（3）解：这个几何体的表面积为ߨൈ͵ ൈʹ ൈͺ 䳌ߨൈ͵ʹ ൈʹ ൌ͸͸ߨcmʹ ，
体积为ߨൈ͵ʹ ൈͺ ൌ͹ʹߨcm͵ ．
故这个几何体的表面积为͸͸ߨcmʹ，体积为͹ʹߨcm͵．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的表面积和体积问题，解题的关键是了解圆柱的侧面积
和体积的计算方法．
【易错提醒】
不能仅凭一个或两个视图判断几何体形状，必须综合三个视图
计算锥体体积时，千万不要忘记乘以1/3，这是本节最高频易错点
计算组合体表面积时，容易重复计算重叠部分的面积，或漏掉看不见的面
题型1 正投影
【例1】
如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投
影是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了正投影的概念，熟练掌握平行光线垂直于投影面时的投影为正投影是解题关键．
当正方体一个顶点朝上立放，且纸面与太阳光垂直时，其正投影是正六边形．因为正方体的棱在垂直投影
下，会呈现出六边形的轮廓．
【详解】解：当正方体一个顶点朝上立放，且纸面与太阳光垂直时，其正投影是正六边形．因为正方体的
棱边在垂直投影下，会呈现出六边形的轮廓．
故选：C ．
【技巧归纳】
线段正投影：平行→等长，倾斜→缩短，垂直→成点
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平面图形正投影：平行→全等，倾斜→相似，垂直→成线
立体图形正投影：等于该立体图形某一方向的视图
【变式1-1】
1．如图，一条线段ܣܤ在平面ߙ内的正投影为ܣ̵ ܤ̵ ǡܣܤൌʹ ʹ ڄ ܣ̵ ܤ̵ ൌ
͸，则סܣܤܤ̵ 的度数为（
）
A．͵′ι
B．Ͷͷι
C．͸′ι
D．͹ͷι
【答案】C
【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
过ܣ作ܣܥ٣ ܤܤ̵ ，交ܤܤ̵ 于ܥ点，求出sinסܤ的值，可得结论．
【详解】解：过ܣ作ܣܥ٣ ܤܤ̵ ，交ܤܤ̵ 于ܥ点，
∵线段ܣܤ在平面ߙ内的正投影为ܣ̵ ܤ̵ ，ܣܤൌʹ ʹǡܣ̵ ܤ̵ ൌ
͸，
∴סܣܣ̵ ܤ̵ ൌסܤܤ̵ ܣ̵ ൌͻ′ι，
∴ܣܥצ ܣ̵ ܤ̵ ，且ܣܥൌܣ̵ ܤ̵ ൌ
͸，则סܣܤܥ即为所求，
sinסܤൌ
ܣܥ
ܣܤൌ
͸
ʹ ʹ ൌ
͵
ʹ ，
∴סܤൌ͸′ι，
故选：C．
【变式1-2】
2．如图，将一块含͵′ι角的三角板ABC 的直角顶点C 放置于直线m 上，点A，B 在直线m 上的正投影分
别为点D，E．若ܣܤൌͳ′ǡܤͲ ൌ͵ ͵，求AB 在直线m 上的正投影的长．
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【答案】AB 在直线m 上的正投影的长是͵ 䳌Ͷ ͵
【分析】本题考查直角三角形和相似三角形的应用，掌握利用直角三角形的边角关系和相似三角形的性质
求解线段长度是解题的关键．
先在Rt ᇞܣܤܥ中求出ܣܥ和ܤܥ的长度，再在Rt ᇞܥܤͲ 中求出ܥͲ 的长度，接着证明ᇞܣܥ䁨׾ᇞܥܤͲ，求出
ܥ䁨的长度，最后将ܥ䁨和ܥͲ 相加得到ܣܤ在直线݉
上的正投影长度．
【详解】解：在Rt ᇞܣܤܥ中，
׶ סܣܤܥൌ͵′ι，ܣܤൌͳ′，
׵ ܣܥൌ
ͳ
ʹ ܣܤൌͷǡܤܥൌܣܤڄ cos͵′ι ൌͳ′ ൈ
͵
ʹ ൌͷ ͵,
在Rt ᇞܥܤͲ 中，
ܥͲ ൌ
ܤܥʹ െܤͲʹ ൌͶ ͵．
׶点ܣ，ܤ在直线݉
上的正投影分别为点䁨，Ͳ，
׵ ܣ䁨٣݉
，ܤͲ ٣݉
，即סܣ䁨ܥൌסܤͲܥൌͻ′ι，
׵ סܥܣ䁨䳌סܣܥ䁨ൌͻ′ι,
׶ סܣܥܤൌͻ′ι，
׵ סܤܥͲ 䳌סܣܥ䁨ൌͻ′ι，
׵ סܥܣ䁨ൌסܤܥͲ，
׵ᇞܣܥ䁨׾ᇞܥܤͲ，
ܥ䁨
ܤͲ ൌ
ܣܥ
ܥܤ，
׵ ܥ䁨ൌ
ܣܥڄܤͲ
ܤܥ
ൌ
ͷൈ͵ ͵
ͷ ͵ ൌ͵，
׵ 䁨Ͳ ൌܥ䁨䳌ܥͲ ൌ͵ 䳌Ͷ ͵．
故ܣܤ在直线݉
上的正投影的长是͵ 䳌Ͷ ͵．
题型2 平行投影
【例2】小张拿着一块矩形纸片在阳光下做投影实验，这块矩形纸片在地面上形成的投影不可能是（
）
A．矩形
B．等腰梯形
C．正方形
D．平行四边形
【答案】B
【详解】解：∵太阳光线是平行光线，矩形的对边平行，
∴矩形对边在平行投影下得到的投影仍然平行，
∴平行四边形，矩形、正方形都是特殊的平行四边形，倾斜放置或合适角度都可以得到，
当矩形纸片与光线平行放置时还可投影得到线段，
等腰梯形只有一组对边平行，不符合平行投影的性质，因此不可能是等腰梯形．
【技巧归纳】
同一时刻，不同物体的物高与影长成正比
平行投影的光线互相平行，影子方向相同
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可通过影子长度计算物体高度，或通过物体高度推算影子长度
【变式2-1】
1．小明拿一个三角形木框在太阳下玩耍，发现三角形木框在地面上的投影不可能是（
）
A．三角形
B．一条线段
C．四边形
D．三角形或一条线段
【答案】C
【分析】本题考查了平行投影的性质，解题的关键是理解三角形木框在太阳光（平行光线）下投影的形状
规律，三角形的投影只能是三角形或线段，不可能出现四边形．
【详解】解：当木框平面与光线不平行时，投影为三角形；当木框平面与光线平行时，投影为一条线段；
三角形的三条边投影后无法形成四条边，因此不可能是四边形．
故选：C．
【变式2-2】
2．下列四幅图形中，表示同一时刻、同一地点的两棵小树在阳光下的影子的图形可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查平行投影的性质，同一时刻、同一地点下，不同物体的影子方向相同，且物高与影长成
比例，据此对各选项进行分析判断．
【详解】解：A．影子的方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项符合题意；
B．影子的方向不相同，故本选项不符合题意；
C．影子的方向不相同，故本选项不符合题意；
D．树高与影子长度不成正比，故本选项不符合题意．
故选：A．
题型3 中心投影
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【例3】如图，在平面直角坐标系中，点光源位于ܲ
ʹǡʹ 处，木杆ܣܤ两端的坐标分别为′ǡͳ ，͵ǡͳ ．则木
杆ܣܤ在ݔ轴上的影长ܥ䁨为（
）
A．3
B．6
C．8
D．9
【答案】B
【分析】利用中心投影，过点P 作ܲ
Ͳ ٣ ܥ䁨于点E 交ܣܤ于点M，证明ᇞܣܤܲ
׽ᇞܥ䁨ܲ，然后利用相似比
可求出ܥ䁨的长．
【详解】解：如图，过点P 作ܲ
Ͳ ٣ ܥ䁨于点E 交ܣܤ于点M，
根据题意得：ܣܤצܥ䁨，
∴ᇞܣܤܲ
׽ᇞܥ䁨ܲ，
∵ܲ
ʹǡʹ ，ܣ′ǡͳ ，ܤ͵ǡͳ ，
∴ܲͲ ൌʹ，ܣܤൌ͵，ܯͲ ൌͳ，
∴ܲܯൌͳ，
∴
ܣܤ
ܥ䁨ൌܲ
ܯܲ
Ͳ，即
͵
ܥ䁨ൌ
ͳ
ʹ，
解得：ܥ䁨ൌ͸．
【技巧归纳】
光线从同一点发出，影子方向可能不同
物体离点光源越近，影子越短；离得越远，影子越长
确定点光源位置：延长两个物体顶端与影子顶端的连线，交点即为光源
【变式3-1】
1．如图，在直角坐标系中，点ܲ
ʹǡ͵ 是一个点光源．木杆ܣܤ两端的坐标分别为ͳǡͳ ，Ͷǡͳ ．则木杆ܣܤ
在x 轴上的投影长为_______．
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【答案】
ͻ
ʹ
【分析】连接ܲ
ܣ并延长交ݔ轴于ܥ，连接ܲ
ܤ并延长交ݔ轴于䁨，待定系数法求出直线ܲ
ܣ的解析式为ݕൌ
ʹݔെͳ，求出ܥ
ͳ
ʹ ǡ′ ，䁨ͷǡ′ 即可求解．
【详解】解：连接ܲ
ܣ并延长交ݔ轴于ܥ，连接ܲ
ܤ并延长交ݔ轴于䁨，
设直线ܲ
ܣ的解析式为ݕൌ䁞ݔ䳌㌳，则有
ʹ䁞䳌㌳ൌ͵
䁞䳌㌳ൌͳ ，
解得䁞ൌʹ
㌳ൌെͳ ，
׵直线ܲ
ܣ的解析式为ݕൌʹݔെͳ，
当ݕൌ′ 时，ʹݔെͳ ൌ′，
解得ݔൌ
ͳ
ʹ，
׵ ܥ
ͳ
ʹ ǡ′ ，
同理可求䁨ͷǡ′ ，
׵ ܥ䁨ൌͷ െ
ͳ
ʹ ൌ
ͻ
ʹ，
׵木杆ܣܤ在x 轴上的投影长为
ͻ
ʹ．
【变式3-2】
2．如图，小明用灯泡ܱ
照射一个矩形硬纸片ܣܤܥ䁨，在墙上形成矩形影子ܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ 䁨̵ ，现测得ܱ
ܣൌʹ，ܣܣ̵ ൌ͵，
纸片ܣܤܥ䁨的周长为4，则影子ܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ 䁨̵ 的周长为__________．
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【答案】ͳ′
【分析】根据ܣܤצ ܣ̵ ܤ̵ 证明ᇞܣܱܤ׾ ᇞܣ̵ܱ
ܤ̵ ，得到
ܣܤ
ܣ̵ ܤ̵ ൌܱ
ܣܱ
ܣ̵ ൌ
ʹ
ͷ，根据矩形ܣܤܥ䁨与矩形ܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ 䁨̵ 位似得
ܥ矩形ܣܤܥ䁨
ܥ矩形ܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ 䁨̵
ൌ
ܣܤ
ܣ̵ ܤ̵ ൌ
ʹ
ͷ，再求解即可．
【详解】解：׶ܱ
ܣൌʹ，ܣܣ̵ ൌ͵，
׵ܱ
ܣ̵ ൌͷ，
׶ ܣܤצ ܣ̵ ܤ̵ ，
׵ ᇞܣܱܤ׾ ᇞܣ̵ܱ
ܤ̵ ，
׵
ܣܤ
ܣ̵ ܤ̵ ൌܱ
ܣܱ
ܣ̵ ൌ
ʹ
ͷ，
׶矩形ܣܤܥ䁨与矩形ܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ 䁨̵ 位似，
׵
ܥ矩形ܣܤܥ䁨
ܥ矩形ܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ 䁨̵
ൌ
ܣܤ
ܣ̵ ܤ̵ ൌ
ʹ
ͷ，
׶矩形ܣܤܥ䁨的周长为4，
׵矩形ܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ 䁨̵ 的周长为
ͷ
ʹ ൈͶ ൌͳ′．
题型4 视点、视角和盲区
【例4】如图，在房子屋檐E 处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（
）
A．ᇞܣܥͲ
B．ᇞܣ䁨䁨
C．ᇞܣܤ䁨
D．四边形ܤܥͲ䁨
【答案】C
【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，Ͳ 是视点，找
到在Ͳ 点处看不到的区域即可．
【详解】解：由图知：在视点Ͳ 的位置，看不到ܣܤ段，因此监视器的盲区在ᇞܣܤ䁨所在的区域，
故选：C．
【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判
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断．
【技巧归纳】
视点：眼睛的位置；视角：视线的夹角；盲区：视线无法到达的区域
盲区越大，看到的范围越小
解题方法：过视点作障碍物边缘的直线，直线后方即为盲区
【变式4-1】
1．“欲穷千里目，更上一层楼”．用数学的知识解释是站得越高，看到的范围(
)．
【答案】越大
【分析】此题考查了视角和盲区．根据实际情况进行解答即可．
【详解】解：“欲穷千里目，更上一层楼”．用数学的知识解释是站得越高，看到的范围越大．
故答案为：越大
【变式4-2】
2．如图，ܱܯ为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P 位于灯杆ܱ
ܯ上，地面上竖立着一个矩形单杠ܣܤܥ䁨，
已知单杠右侧ܥ䁨杆在路灯灯泡P 的照射下的影子末端位于点E 处，已知O、B、C、E 在一条直线上，且ܯܱ
٣ܱ
Ͳ，ܣܤ٣ܱ
Ͳ，䁨ܥ٣ܱ
Ͳ．
(1)请在图中找出路灯灯泡P 的位置，并画出单杠左侧ܣܤ杆在灯泡P 的照射下的影子ܤ䁨；
(2)经测量ܱ
ܤൌͶ 米，ܤ䁨ൌʹ 米，单杠的高度ܣܤൌʹ 米，请你计算路灯灯泡距地面的高度ܱܲ
．
【答案】(1)见解析
(2)͸ 米
【分析】（1）连接Ͳ䁨并延长交ܱ
ܯ于点P，连接ܲ
ܣ并延长交ܱ
Ͳ 于F，点P 和ܤ䁨即为所求；
（2）先求出ܱ
䁨ൌ͸ 米，证明ᇞܣܤ䁨׾ᇞܱܲ
䁨，得到
ܣܤܱܲൌ
ܤ䁨ܱ
䁨，即
ʹܱܲൌ
ʹ
͸，则ܱܲ
ൌ͸ 米．
【详解】（1）解：如图所示，点P 和ܤ䁨即为所求；
（2）解：∵ܱܤൌͶ 米，ܤ䁨ൌʹ 米，
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∴ܱ䁨ൌܱ
ܤ䳌ܤ䁨ൌ͸ 米，
∵ܯܱ
٣ܱ
Ͳ，ܣܤ٣ܱ
Ͳ，即ܱܲ
צ ܣܤ，
∴ᇞܣܤ䁨׾ᇞܱܲ
䁨，
∴
ܣܤܱܲൌ
ܤ䁨ܱ
䁨，即
ʹܱܲൌ
ʹ
͸，
∴ܱܲ
ൌ͸ 米，
∴路灯灯泡距地面的高度ܱܲ
为͸ 米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
题型5 判断简单几何体的三视图
【例5】如图是郑州博物馆收藏的汉兽纹长颈铜壶，若仅观察其轮廓，忽略表面纹饰．则关于它的三视图，
下列说法正确的是（
）
A．主视图与左视图相同
B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同
D．三种视图都相同
【答案】A
【分析】根据三视图定义，结合图形分析，即可解题．
【详解】解：由三视图的定义，可知该铜壶的主视图与左视图相同，俯视图与主视图、左视图都不同．
【技巧归纳】
正方体：三个正方形；球：三个圆
圆柱：主/左视图矩形，俯视图圆
圆锥：主/左视图三角形，俯视图圆+圆心
三棱柱：主/左视图矩形，俯视图三角形
【变式5-1】
1．下列四个几何体中，俯视图是正方形的为（
）
A．三棱锥
B．正方体
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C．圆柱
D．球
【答案】B
【分析】分别找出立体图形从上面看所得到的图形即可．
【详解】解：A、三棱锥俯视图不是正方形，故此选项错误；
B、正方体的俯视图是正方形，故此选项正确；
C、圆柱的俯视图是圆，故此选项错误；
D、球的俯视图是圆，故此选项错误．
【变式5-2】
2．如图是一个双耳罐器具，它的左视图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三视图的定义，主视图是从正面看得到的图形，左视图是从左面看得到的图形，俯视图是从
上面看得到的图形. 结合实物图及“从正面看”的提示，判断各选项，进而推断左视图．
【详解】解：左视图是从物体左侧向右观察得到的视图，题干给出的是双耳罐的立体图，两个耳分别在罐
身的左右两侧．
选项A、从左侧观察双耳罐时，两个耳沿左右方向分布，会重合在视图的中间位置；由于双耳有厚度，因
此会在视图顶部中间呈现出两条平行的竖线，罐身轮廓保持罐子的外形，符合左视图特征．
选项B、左右带耳，是主视图．
选项C、呈现同心圆与耳的横向轮廓线，是俯视图．
选项D、没有画出双耳线条，未体现耳的存在；错误．
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题型6 判断简单组合体的三视图
【例6】如图是由大、小两个正方体搭成的几何体，关于此几何体的三视图，下列说法正确的是（
）
A．主视图和左视图相同
B．主视图和俯视图相同
C．俯视图和左视图相同
D．三视图都不相同
【答案】D
【分析】画出三视图后，结合三视图即可选出正确答案．
【详解】解：三视图如下，
三视图都不相同．
故选D．
【技巧归纳】
先将组合体拆成几个基本几何体
分别画出各部分的三视图，再叠加
看得见的轮廓线画实线，看不见的画虚线
注意重叠部分的线条，只画最外层轮廓
【变式6-1】
1．八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：׶从左边看，该几何体有3 列，
׵左侧一列有2 层，中间一列有2 层，右侧一列有1 层，
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׵左视图为
．
【变式6-2】
2．如图所示的几何体的俯视图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：该几何体的俯视图如图所示．
题型7 已知一种或两种视图，判断其他视图
【例7】五个大小相同的正方体搭成的几何体俯视图如图所示，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的
个数，其主视图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据俯视图以及小正方形中的数字可得主视图，共有͵ 列，小正方形的个数分别为ͳ，ͳ，ʹ，据
此，即可求解．
【详解】解：由题意，这个几何体的主视图共有͵ 列，小正方形的个数分别为ͳ，ͳ，ʹ，如图，
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【技巧归纳】
长对正：主视图与俯视图的长相等
高平齐：主视图与左视图的高相等
宽相等：俯视图与左视图的宽相等
已知两个视图，可通过上述三个关系推出第三个视图的形状
【变式7-1】
1．下图是一块积木及其主视图，则它的左视图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三视图的定义，左视图是从物体左面看得到的视图，看不见的轮廓线画成虚线，该几何体是
正方体中间挖去一个正六棱柱孔，根据主视图判断六棱柱的摆放位置，进而确定左视图中虚线的数量．
【详解】解：由题意及主视图可知，该几何体是一个正方体，中间挖去了一个前后贯通的正六棱柱孔，
∵左视图是从左面看物体，
∴外部轮廓是一个正方形，
∵孔在内部，从左侧看不可见，
∴孔的侧棱应画为虚线，
由主视图可知，正六边形的左右两边是竖直的，上下是顶点，
∴正六边形的6 个顶点在竖直方向上对应4 个不同的高度（最上顶点、左上与右上顶点、左下与右下顶点、
最下顶点），
∴左视图中应有4 条水平的虚线. 观察选项，只有D 选项符合．
【变式7-2】
2．已知某个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图可能是（）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据三视图的投影规律“长对正，高平齐，宽相等”进行分析，由主视图和俯视图确定几何体的形
状及内部结构的位置，进而推断左视图的形状．
【详解】解：∵主视图为矩形且内部有两条竖直虚线，俯视图为大圆内部有一个小圆，
∴该几何体为大圆柱，中间挖去了一个圆柱形的孔，
∵主视图中虚线左右对称，俯视图中内部小圆左右居中，
∴小圆柱孔在左右方向上位于大圆柱中心，
∵俯视图中内部小圆靠下（即靠近观察者，位于前方），
∴根据“宽相等”及左视图的投影规律（左视图的右侧对应几何体的前方），左视图中表示小圆柱孔的虚线
应靠右，
∴左视图应为
题型8 由三视图还原几何体
【例8】如图，是一个几何体从正面、左面、上面看到的三种形状图，则这个几何体是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：从正面看（主视图）：左列2 层，右列1 层，共3 个正方形；
从左面看（左视图）：前后两列都是2 层，共4 个正方形（填满ʹ ൈʹ）；
从上面看（俯视图）：左列前后2 个，右列前排1 个，共3 个正方形，形状和主视图一致；
选项A：从左面看只有1 列（共2 个正方形），不符合左视图4 个正方形的要求，排除；
选项B：从左面看，前排只有1 层，左视图是左列2 个正方形、右列1 个正方形，不符合要求，排除；
选项C：主视图（左2 层右1 层）、左视图（两列都2 层）、俯视图都和题目给出的三视图完全吻合；
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选项D：从正面看，上层左右都有正方形，主视图上层会出现2 个正方形，和题目主视图矛盾，排除．
【技巧归纳】
第一步：看俯视图，确定几何体的底面形状
第二步：看主视图和左视图，确定几何体的高度和侧面形状
第三步：结合三个视图，还原出完整的几何体
还原后再对照三视图检查，确保一致
【变式8-1】
1．某几何体的俯视图如图所示，该几何体是（
）
A．四棱柱
B．四棱锥
C．三棱柱
D．三棱锥
【答案】B
【详解】解：由俯视图可知，该几何体为锥体，且有四条棱，故为四棱锥．
【变式8-2】
2．如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为_____（结果保留ߨ）．
【答案】ͳ′′ߨ
【分析】本题考查了由三视图还原几何体以及圆锥体积的计算公式和勾股定理，根据三视图准确判断几何
体的形状并提取出底面半径和高的数据是解题的关键．
【详解】解：由图可知：底面直径为ͳ′，
所以底面半径ݎൌͳ′ ൊʹ ൌͷ，
母线长݈
ൌͳ͵，则利用勾股定理：݄
ൌ݈
ʹ െݎʹ，
ൌ
ͳ͵ʹ െͷʹ，
ൌͳʹ，
则ܸ
ൌ
ͳ
͵ ߨݎʹ݄，
ൌ
ͳ
͵ ߨൈͷʹ ൈͳʹ，
ൌ
ͳ
͵ ߨൈʹͷ ൈͳʹ，
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ൌͳ′′ߨ．
题型9 已知三视图求边长
【例9】如图是三棱柱及其三视图，在俯视图ᇞͲ䁨䁨中，Ͳ䁨ൌͺcm，Ͳ䁨ൌͳͶcm，סͲ䁨䁨ൌ͵′ι，则左视图
中ܣܤ的长为（
）
A．Ͷcm
B．͹cm
C．ͺcm
D．ͳͶcm
【答案】B
【分析】从左向右看，看到的宽度是底面ᇞͲ䁨䁨中顶点E 到边䁨䁨的垂直距离，过点E 作Ͳܳ
٣ 䁨䁨于点Q，
则Ͳܳ
ൌܣܤ，在Rt ᇞͲܳ䁨中，סͲ䁨䁨ൌ͵′ι，得到Ͳܳ
ൌ
ͳ
ʹ Ͳ䁨，从而求出ܣܤ长．
【详解】解：过点E 作Ͳܳ
٣ 䁨䁨于点Q，则Ͳܳ
是边䁨䁨上的高，且Ͳܳ
ൌܣܤ，
在Rt ᇞͲܳ䁨中，Ͳ䁨ൌͳͶcm，סͲ䁨䁨ൌ͵′ι，
׵ Ͳܳ
ൌ
ͳ
ʹ Ͳ䁨ൌ
ͳ
ʹ ൈͳͶ ൌ͹cm，
即ܣܤൌ͹cm．
【技巧归纳】
主视图的长=俯视图的长，主视图的高=左视图的高
俯视图的宽=左视图的宽（注意前后方向的宽度）
将三视图中的边长对应到几何体的实际边长
【变式9-1】
1．榫卯结构在我国古代建筑中应用广泛．如图为某个古代建筑榫卯部件中“卯”的三视图（单位：mm）．根
据三视图所提供的数据，主视图上线段ܣܤ的长度为________．
【答案】ʹ͸mm
【分析】根据三视图的数据，确定线段ܣܤ所在直角三角形的两条直角边长度，利用勾股定理求解即可．
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【详解】解：根据三视图的定义，可得：
在水平方向上，线段ܣܤ对应的直角边长度为：
Ͷ′െʹ′
ʹ
ൌͳ′ mm ，
在竖直方向上，线段ܣܤ对应的直角边长度为ʹͶ mm ．
由勾股定理，得：
ܣܤൌ
ͳ′ʹ 䳌ʹͶʹ，
ൌ
ͳ′′ 䳌ͷ͹͸，
ൌ
͸͹͸，
ൌʹ͸ mm ．
答：主视图上线段ܣܤ的长度为ʹ͸mm．
【变式9-2】
2．如图是一个直三棱柱的立体图和三视图，根据立体图中的尺寸，求：
(1)主视图中线段ܣܤ的长；
(2)左视图的面积．
【答案】(1)͵1ʹ；
(2)ͳͶ1Ͷ．
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形面积公式、直三棱柱的三视图性质以及矩形面积公式，
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熟练掌握利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，结合面积法求斜边上的高，并明确三视图与立体图形的
尺寸对应关系是解题的关键．
（1）先利用勾股定理的逆定理判断底面三角形为直角三角形，再通过面积法求出斜边上的高，该高即为主
视图中线段ܣܤ的长．
（2）确定左视图为矩形，其一边长为直三棱柱的高，另一边长为底面直角三角形斜边上的高，根据矩形面
积公式计算左视图的面积．
【详解】（1）解：如图，俯视图中过点ܥ作ܣ䁨边上的垂线，由题意可得ܣܥൌͶ，ܥ䁨ൌ͵，ܣ䁨ൌͷ，点ܤ
为垂足，
׶ ܣܥൌͶ，ܥ䁨ൌ͵，ܣ䁨ൌͷ，
׶ ͵ʹ 䳌Ͷʹ ൌͷʹ，
׵ סܣܥ䁨ൌͻ′ι，即ܣܥ٣ ܥ䁨，
׶ܵ
ᇞܣܥ䁨ൌ
ͳ
ʹ ൈܣܥൈܥ䁨ൌ
ͳ
ʹ ൈܣ䁨ൈܤܥ，
׵᩷
ͳ
ʹ ൈͶ ൈ͵ ൌ
ͳ
ʹ ൈͷ ൈܤܥ，
׵ ܤܥൌ
ͳʹ
ͷ ൌʹ1Ͷ，
∴ܣܤൌ
ܣܥʹ െܤܥʹ ൌ
Ͷʹ െʹ1Ͷʹ ൌ͵1ʹ；
（2）解：ܵ左视图ൌ͸ ൈʹ1Ͷ ൌͳͶ1Ͷ．
题型10 已知三视图求侧面积或表面积
【例10】如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为4 的正方形，左视图是宽为2 的矩形，俯视图是
直径为4 的半圆，这个几何体的表面积是（
）
A．ͳʹπ
B．ʹͶπ
C．ͳʹπ 䳌ͳ͸
D．ͳʹ 䳌ͳ͸π
【答案】C
【详解】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为4，高为4，
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故其表面积为π ൈʹʹ 䳌Ͷ ൈͶ 䳌Ͷ ൈʹπ ൌͳʹπ 䳌ͳ͸
【技巧归纳】
第一步：根据三视图准确还原几何体
第二步：确定几何体的底面边长、高、母线长等参数
第三步：区分侧面积和表面积，侧面积只算侧面，表面积=侧面积+底面积
常见公式：圆柱侧面积ʹߨݎ݄，圆锥侧面积ߨݎ݈
【变式10-1】
1．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是______________cmʹ．
【答案】36
【分析】根据三视图可判断这个几何体是三棱柱，再根据三棱柱的侧面特点计算，即可得出答案．
【详解】解：通过观察该几何体的三视图可知，该几何体为三棱柱，三棱柱有三个侧面，每个都是长方形，
所以这个几何体的侧面积是：͵ ൈͶ ൈ͵ ൌ͵͸ cmʹ ．
【变式10-2】
2．如图，图2 是图1 中长方体的三视图，若用S 表示面积，ܵ主ൌݔʹ 䳌ʹݔ，ܵ左ൌݔʹ 䳌ݔ，已知ܵ俯ൌ͸，则
x 的值为_____．
【答案】1
【分析】先对主视图和左视图的面积表达式进行因式分解，得出长、宽、高相关信息，再根据长方形面积
公式得出俯视图的面积表达式，最后结合已知条件通过解一元二次方程即可求解x 的值．
【详解】解：∵ܵ主ൌݔʹ 䳌ʹݔൌݔݔ䳌ʹ ，ܵ左ൌݔʹ 䳌ݔൌݔݔ䳌ͳ ，
∴俯视图的长为ݔ䳌ʹ，宽为ݔ䳌ͳ，
∴ܵ俯ൌݔ䳌ʹ
ݔ䳌ͳ ൌݔʹ 䳌͵ݔ䳌ʹ，
∵ܵ俯ൌ͸，
∴ݔʹ 䳌͵ݔ䳌ʹ ൌ͸，
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解得ݔͳ ൌͳ，ݔʹ ൌെͶ（舍去），
即x 的值为1．
题型11 求小立方块堆砌图形的表面积
【例11】如图是由棱长都为ͳcm 的9 块小正方体组成的简单几何体．
(1)按要求在方格中画出这个几何体的三视图；
(2)求这个几何体的表面积．
【答案】(1)见解析
(2)͵͸cmʹ
【分析】本题考查了简单几何体的三视图、几何体的表面积，明确三视图的意义是解题的关键，注意画三
视图时要遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则画图．
（1）根据简单组合体三视图的画法画出相应图形即可求解；
（2）根据表面积的求法求出答案即可．
【详解】（1）解：三视图如图．
（2）解：∵小正方体的棱长都为ͳcm，
∴一个面的面积为ͳ ൈͳ ൌͳ cmʹ
∴这个几何体的表面积为͹ 䳌ͷ 䳌ͷ ൈʹ 䳌ʹ ൈͳ ൌ͵͸ ൈͳ ൌ͵͸ cmʹ ．
【技巧归纳】
分别数出主视图、俯视图、左视图中正方形的个数
表面积=（主视图面积+俯视图面积+左视图面积）×2
原理：每个方向的面都有一个与其相对的面，面积相等
【变式11-1】
1．如图是由6 个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中每个小立方块的棱长均为ͳcm．
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(1)请在对应的方格中分别画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图；
(2)这个几何体的表面积（包括底面）是___________cmʹ．
．
【答案】(1)见解析
(2)26
【分析】本题主要考查作图-从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识，良好的空间想象能力是解答本
题的关键，属于中考常考题型．
（1）根据从不同方向看到的结果画出图形即可；
（2）根据几何体的特征表面积的计算方法求解即可．计算方法是：从三个方向的看到的图形的面积乘以2，
再加上被遮挡的两个面积之和，
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：这个几何体的表面积为：
ʹ ൈͷ 䳌͵ 䳌Ͷ 䳌ʹ ൈͳʹ
ൌʹ ൈͳʹ 䳌ʹ ൈͳʹ
ൌʹ͸ ൈͳ
ൌʹ͸ cmʹ ．
【变式11-2】
2．阅读与思考
阅读材料：如图，它是由6 个小正方体摆成的一个几何体，每个小正方体的棱长为2 厘米，从不同的方向
看的视图各不相同，根据要求回答以下视图问题：
(1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；
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(2)试求出其表面积；
(3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多
可以再添加
个小正方体．
【答案】(1)见解析
(2)ͳ′Ͷcmʹ
(3)ʹ
【分析】此题主要考查了画三视图以及几何体的表面积，正确得出三视图是解题的关键．
（ͳ）直接利用三视图的画法进而得出答案；
（ʹ）利用几何体的形状进而得出其表面积；
（͵）利用左视图和俯视图不变，得出可以添加的位置．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：几何体表面积：ʹ ൈʹ ʹ ൈͶ 䳌ʹ ൈ͵ 䳌ʹ ൈͷ 䳌ʹ ൈͳ ൌͳ′Ͷ （平方厘米）；
（3）解：要使这个几何体的左视图和俯视图不变，可以在如图位置各放一个小正方体，
所以最多可以再添加ʹ 个小正方体，
故答案为：ʹ．
题型12 已知三视图求体积
【例12】如图是某鱼缸的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．若该鱼缸装有一半水，
根据图中所标示的数据（单位：dm），计算鱼缸内水的体积为（
）
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A．ͳ͸′πdm͵
B．ͺ′πdm͵
C．ͳ͸′dm͵
D．ͺ′dm͵
【答案】D
【分析】根据三视图可知，鱼缸的长为ͺdm，宽为Ͷdm，高为ͷdm，根据长方体的体积公式即可求出鱼缸
内水的体积．
【详解】解：由三视图可知，鱼缸的长为ͺdm，宽为Ͷdm，高为ͷdm，
׵鱼缸内水的体积为
ͳ
ʹ ൈͺ ൈͶ ൈͷ ൌͺ′dm͵．
【技巧归纳】
第一步：根据三视图数出小立方块的总个数
第二步：单个小立方块体积通常为1，总体积=个数×1
若为其他几何体，还原后用对应体积公式计算
【变式12-1】
1．如图是一个长方体的主视图和左视图，由视图中标注的尺寸可计算出该长方体的体积为（
）
A．6
B．8
C．12
D．24
【答案】D
【分析】根据长方体的主视图和左视图可得长方体的长，宽，高，由此计算即可．
【详解】解：根据长方体的主视图可知长为3，高为4，
根据长方体的左视图可知宽为2，高为4，
可知这个长方体的体积为ʹ ൈ͵ ൈͶ ൌʹͶ．
【变式12-2】
2．如图是某个几何体的表面展开图．
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(1)画出该几何体的三视图；
(2)求该几何体的体积．
【答案】(1)见解析
(2)120π
【分析】本题主要考查几何展开图还原组合体、三视图及组合体体积问题，还原组合体图形是解题的关键．
（1）根据几何透视原理作出三视图；
（2）由展开图可知该几何体是圆柱和圆锥的组合体，先利用展开图以及三视图求出圆锥的高，然后求出圆
锥的体积，再求出圆柱的体积，最后得到几何体的体积．
【详解】（1）解：由这个几何体的表面展开图可知，这个组合体上面是底面半径为3，
母线为5 的圆锥体，下面是底面半径为3，高为12 的圆柱体的组合体，
所以它的三视图如下：
（2）由勾股定理可得，上面圆锥的高为ͷʹ െ͵ʹ ൌ4，
所以这个组合体的体积为
ͳ
͵ π ൈ͵ʹ ൈͶ 䳌π ൈ͵ʹ ൈͳʹ＝ͳʹ′π．
题型13 求几何体视图的面积
【例13】如图是由5 个完全相同的小立方块搭成的几何体，若小立方块的棱长为1，则该几何体的主视图
与俯视图的面积之比为(
)
A．Ͷ㜠ͷ
B．ͳ㜠ͳ
C．ͷ㜠Ͷ
D．Ͷ㜠͵
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【答案】B
【分析】先得到主视图和俯视图，求出面积，即可解答．
【详解】解：该几何体的主视图和俯视图分别为：
∵小立方体的棱长为1，
∴主视图的面积为Ͷ ൈͳʹ ൌͶ，俯视图的面积为Ͷ ൈͳʹ ൌͶ，
∴该几何体的主视图与俯视图的面积之比为Ͷ㜠Ͷ ൌͳ㜠ͳ．
【技巧归纳】
先确定视图的形状（矩形、三角形、圆等）
从三视图中提取该视图的边长、半径等参数
代入平面图形面积公式计算
还原后再对照三视图检查，确保一致
【变式13-1】
1．图中几何体是由6 个相同的小正方体搭成的，小正方体的棱长为ͳcm，则左视图的面积为（
）
A．͵cmʹ
B．Ͷcmʹ
C．ͷcmʹ
D．͸cmʹ
【答案】B
【分析】先求出小正方体的面积，再根据左视图判断能看到的小正方体个数即可．
【详解】解：∵小正方体的棱长为ͳcm，
∴小正方体的面积为ͳ ൈͳ ൌͳcmʹ，
由图可知左视图能看到Ͷ 个小正方体，
∴左视图的面积为ͳ ൈͶ ൌͶcmʹ．
【变式13-2】
2．廊坊金丰农科园属于省级农业科技园区，是全国青少年农业科普示范基地．图1 为园区内一处休息区的
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座椅，其主视图尺寸如图2 所示．
(1)请用含b 的代数式表示a；
(2)已知ܽ
㜠㌳㜠ܿൌ͵㜠Ͷ㜠ͳ，求这个主视图的面积．
【答案】(1)ܽ
ൌെ
ͳ
ʹ ㌳䳌ͳ′
(2)56
【分析】（1）根据主视图尺寸得到ʹܽ䳌㌳ൌʹ′，变形后即可得到答案；
（2）根据ܽ
㜠㌳㜠ܿൌ͵㜠Ͷ㜠ͳ，可设ܽ
ൌ͵ݔ，㌳ൌͶݔ，ܿൌݔ，列方程并解方程即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意得ʹܽ䳌㌳ൌʹ′，
∴ܽ
ൌെ
ͳ
ʹ ㌳䳌ͳ′；
（2）根据ܽ
㜠㌳㜠ܿൌ͵㜠Ͷ㜠ͳ，可设ܽ
ൌ͵ݔ，㌳ൌͶݔ，ܿൌݔ，
由（1）得͵ݔൌെ
ͳ
ʹ ൈͶݔ䳌ͳ′，
解得ݔൌʹ，
∴ܽ
ൌ͸，㌳ൌͺ，ܿൌʹ，
∴这个主视图的面积为ʹ′ܿ䳌㌳ܿൌͶ′ 䳌ͺ ൈʹ ൌͷ͸．
题型14 由三视图判断小立方体的个数
【例14】一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的正面、上面看到的视图，若该
几何体所用小立方块的个数为n，则n 的最小值为（
）
A．7
B．9
C．8
D．10
【答案】B
【详解】解：根据主视图、俯视图，可以得出最少时，在俯视图的相应位置上所摆放的个数，其中的一种
情况如下：
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最少时需要9 个，
因此n 的最小值为9．
【技巧归纳】
第一步：画出俯视图，在每个格子上标可能的层数
第二步：根据主视图，确定每一列的最大层数
第三步：根据左视图，确定每一行的最大层数
第四步：每个格子取符合行列要求的层数，相加得总数
【变式14-1】
1．超市货架上叠放着几桶方便面，其三视图如图所示，则货架上的方便面不可能有（
）
A．7 桶
B．8 桶
C．9 桶
D．10 桶
【答案】D
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依此即可求解．
【详解】解：观察图形可知，最底层有4 桶方便面，
由主视图和左视图可知，第二层最少2 桶方便面，最多4 桶方便面，第3 层1 桶方便面．
故货架上的方便面不可能有10 桶方便面．
【变式14-2】
2．用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置
小立方体的个数，则ܽ
䳌㌳䳌ܿ
ൌ__________．
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【答案】5
【分析】本题考查了三视图；由主视图可得，俯视图中最右边一个正方形处有3 个小立方体，中间一列两
个正方形处各有1 个小立方体，即可求出ܽ
䳌㌳䳌ܿ
的值．
【详解】解：∵由主视图可得，俯视图中最右边一个正方形处有3 个小立方体，中间一列两个正方形处各
有1 个小立方体，
∴ܽ
ൌ͵，㌳ൌͳ，ܿൌͳ，
∴ܽ䳌㌳䳌ܿ
ൌͷ．
故答案为：5．
题型15 已知三视图求最多或最少的小立方块个数
【例15】在一个仓库里堆积着若干个大小相同的正方体货箱，要搬运这些货箱很困难，可是仓库管理员要
落实一下货箱的数量，于是就想出一个办法，将这堆货箱组成的几何体的三视图画了出来，如图所示，现
要取走一些货箱，但要求剩余货箱的主视图不变，最多可以取走货箱的个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】由三视图可确定出货箱的个数，再根据要求主视图不变即可确定最多可取走的货箱．
【详解】解：依题意得：俯视图每个正方形位置上的正方体个数如图所示：
由俯视图知，货物底部有6 个货箱，第二层从左往右数第二列前后各有一个，货物总共有8 个货箱；
要保持主视图不变，则货物最右边那列最多可以搬走其中的两箱，中间一列最多可以搬走第一排或第二排
的两箱，故最多可以取走4 个货箱．
【技巧归纳】
最多个数：每个格子都取该行列允许的最大层数
最少个数：保证每列每行都有一个达到最大层数，其余格子取最小层数（通常为1）
先确定必须有的方块，再添加或减少可选方块
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【变式15-1】1．如图所示的几何体由8 个相同的小正方体组成，若拿走一些小正方体后，几何体的主视图
和左视图都没有发生变化，则最多可拿走的小正方体的个数是（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【详解】解：该几何体是2 行（前后）×2 列（左右）×2 层（上下）的2×2×2 结构，共8 个相同小正方体，
原几何体的主视图、左视图均为2×2 的正方形（共4 个小正方形）；
主视图不变：对任意(左右位置, 上下层数)，至少要保留1 个小正方体（前后任意位置），才能保证主视图
对应位置仍有正方形，共需要4 个位置都存在方块；
左视图不变：对任意(前后位置, 上下层数)，至少要保留1 个小正方体（左右任意位置），才能保证左视图
对应位置仍有正方形，同样共需要4 个位置都存在方块，
计算最多拿走数量：我们最少只需要保留4 个小正方体即可同时满足两个视图的要求（例如保留：前排左
上、前排右下、后排左下、后排右上，对角分布，刚好满足所有位置要求）；
因此最多可拿走：ͺ െͶ ൌͶ 个．
【变式15-2】
2．如图是由5 个相同的小正方体组成的几何体，给这个几何体再加一个相同的小正方体（新加的小正方体
与原几何体至少有一个面重合）后，其左视图不发生变化的操作方法有（
）
A．3 种
B．4 种
C．6 种
D．7 种
【答案】C
【分析】先明确左视图的定义，左视图是从几何体左面观察得到的图形，要使添加小正方体后左视图不变，
需保证添加后从左面观察得到的各层各列正方形数量和原左视图一致，枚举所有符合要求的位置即可得到
方法数．
【详解】∵原几何体的左视图从左看为两列，左列有2 个正方形，右列有1 个正方形，
∴添加小正方体后不能增加左视图任意一列的正方形数量，才能保证左视图不变，
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枚举可得符合要求的位置共6 种，
．
一、单选题
1．下列几何体中，主视图和左视图不相同的是（
）
A．圆锥
B．球体
C．圆柱
D．正方体
【答案】C
【分析】根据主视图、左视图的定义，可得答案．
【详解】解：A、左视图与主视图都是相同的等腰三角形，故该选项不符合题意；
B、左视图与主视图都是相同的圆，故该选项不符合题意；
C、左视图是圆，主视图是长方形，故该选项符合题意；
D、左视图与主视图都是边长相等的两个正方形，故该选项不符合题意．
2．如图是由5 个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】主视图是从物体的正面看得到的视图，解题的关键是确定每一列小正方形的个数．
【详解】解：从正面看，该几何体共有͵ 列
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׶左边一列最高有ʹ 层，中间一列有ʹ 层，右边一列有ͳ 层
׵主视图从左往右小正方形的个数依次为ʹ，ʹ，ͳ 且底层对齐
3．下列判断正确的是（
）
A．两点之间垂线段最短
B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．点ܲ
െܽ
ʹ െͳǡ ㌳ʹ 䳌ͳ 关于y 轴的对称点在第一象限
D．同一时刻下，两个身高相同的人在阳光下的影长相等
【答案】C
【详解】解：A、两点之间线段最短，点到直线的距离中才是垂线段最短，概念混淆，错误；
B、平行四边形只是中心对称图形，不是轴对称图形，错误；
C、∵ܽʹ ൒′，
∴െܽ
ʹ െͳ ൌെሺܽ
ʹ 䳌ͳሻሻ′，
∵㌳ʹ ൒′，
∴ȁ㌳ʹ 䳌ͳȁ ൌ㌳ʹ 䳌ͳ 䁕′，
∴点ܲ
在第二象限，
∴点ܲ
关于ݕ轴的对称点横纵坐标都为正，故对称点在第一象限，正确；
D、只有同一时刻同一地点，身高相同且直立的人在阳光下的影长才相等，选项缺少前提条件，错误．
4．景德镇瓷器名扬天下，下列器皿中，主视图和左视图不相同的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三视图的定义，主视图是从物体正面看所得到的图形，左视图是从物体左面看所得到的图形．分
别判断各选项中几何体的主视图和左视图即可．
【详解】解：A．主视图和左视图形状不相同，故本选项符合题意；
B．主视图和左视图形状相同，故本选项不符合题意；
C．主视图和左视图形状相同，故本选项不符合题意；
D．主视图和左视图形状相同，故本选项不符合题意．
5．“斗”是中国古代重要的量米工具，形状是一个正四棱台．如图是其示意图，则它的俯视图为（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
解：由图可知：该几何体的俯视图为
．
6．如图由一个球体和一个圆柱体（圆柱体底面与球体相切）组成的几何体，其主视图不可能是（
）
A．圆形（圆柱体轴线与视线方向一致）
B．左边圆形、右边矩形（圆柱体轴线垂直于视线方向）
C．带一条竖线的圆形（圆柱体轴线垂直于视线方向，且圆心与球心对齐）
D．椭圆形
【答案】D
【分析】明确主视图是正投影下的视图，先分别分析球体和圆柱在不同观测方向下的正投影形状：因为球
体无论从哪个方向做正投影，投影都是圆形，所以先确定球体投影的固定形状，再分析对应方向下圆柱的
投影即可．
【详解】选项A：当圆柱体轴线与视线方向一致时，圆柱体的正投影就是圆形，且原图中圆柱底面直径大
于球体直径，整体轮廓为圆形，因此A 是可能的；
选项B：圆柱体轴线垂直于视线方向时，圆柱投影为矩形，若球体放在圆柱顶面偏一侧，投影就是左侧圆
形（球的投影）、右侧露出矩形（圆柱的投影），因此B 是可能的；
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选项C：圆柱体轴线垂直视线方向，且球心与圆柱轴线对齐，若球体直径大于圆柱直径，整体外轮廓是球
投影的圆形，圆柱的侧边会在圆形内部投影出竖线，因此C 是可能的；
选项D：球体的正投影无论从任何方向看都是正圆形，不可能得到椭圆形的轮廓，因此主视图不可能是椭
圆形．
7．榫卯结构在中国已有上千年的应用和发展历史，距今͹′′′ 年前的河姆渡文明时期就已经出现了榫卯结
构的木构件．榫卯结构不仅应用于建筑领域，如唐代的佛光寺大殿、辽代的应县木塔、山西悬空寺等都是
榫卯结构应用的典型案例，还应用于家具制作，明代榫卯家具把中国传统家具推向发展顶峰．如图是某个
部件“卯”的实物图，则它的主视图是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：主视图是从正面看得到的图形，结合图形可得，该图形的主视图如图：
．
8．如图所示的几何体由5 个完全相同的小正方体组合而成，挪动其中一个，放在其他位置后，使之主视图
既是轴对称图形又是中心对称图形，下列做法正确的有（
）
A．①④
B．③④
C．①
D．②③
【答案】A
【分析】根据主视图的定义，画出四个图形的主视图，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析
判断，即可求解．
【详解】
解：①几何体的主视图为：
，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
②几何体的主视图为：
，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
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③几何体的主视图为：
，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
④几何体的主视图为：
，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意．
即主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是①④．
9．如图，沿正方体的一条棱截去其上方的一个三棱柱，则剩余几何体的左视图为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据立体图形判断几何体的切割方式，确定该几何体是正方体沿前后方向截去左上方的一个三棱
柱，然后根据左视图的定义（从左向右看）分析即可求解．
【详解】∵观察立体图可知，该几何体是由正方体沿平行于前后棱的方向，截去左上方的一个三棱柱得到
的
∴该几何体的前表面和后表面均为直角梯形（左低右高），左侧面和右侧面均为矩形（左侧面较矮，右侧
面较高）
∵左视图是从左向右观察几何体得到的投影
∴视线首先接触到较矮的左侧面，其投影为下方的矩形
∵右侧面比左侧面高，且切面为斜面
∴在左视图中，右侧面高出的部分以及切面的投影会显示在左侧面投影的上方，形成一个上方的矩形区域
∴整体左视图为一个大矩形，中间有一条横向实线
∴选项A 符合题意．
10．刍甍（chú méng）是中国古代著作《九章算术》提到的一个五面体．如图，其底面为长方形，其余四
个侧面中有两个侧面形状是三角形，另外两个是梯形，则下图可以是刍甍的俯视图的是（
）
A．
B．
C．
D．
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【答案】C
【详解】
解：刍甍的俯视图为
．
11．下图中，图2 是图1 长方体的三视图，若用S 表示面积，则ܵ主视图ൌܽ
ʹ，ܵ左视图ൌܽ
ʹ 䳌ܽ，已知ܵ俯ൌ͸，
a 的值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据俯视图和左视图的面积求得相应的边长，即可求解．
本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的长和宽是
解答的关键．
【详解】解：设长方体的长为x，宽为y，高为m，
根据题意，得ܵ主视图ൌݕ݉
ൌܽ
ʹ ൌܽ
ڄܽ，ܵ左视图ൌݔݕൌܽ
ʹ 䳌ܽ
ൌܽܽ
䳌ͳ ，ܵ俯ൌݕݔൌ͸，
故ݕൌ݉
ൌܽ
，ݔൌܽ
䳌ͳ，
故ܽʹ 䳌ܽ
ൌ͸，
解得ܽ
ʹ 䳌ܽ
െ͸ ൌ′，
解得ܽ
ൌʹ 或ܽ
ൌെ͵（舍去），
故选：B．
12．如图所示的是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方
体的个数．若该几何体的主视图与左视图相同，则a，b 的值分别为（
）
A．2，2
B．2，1
C．1，2
D．1，1
【答案】D
【分析】本题考查由俯视图和三视图的关系确定小正方体个数，掌握根据俯视图分析主视图和左视图的层
数，结合两者相同的条件确定参数是解题的关键．
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先根据俯视图确定主视图和左视图的列数及每列层数，再结合主视图与左视图相同的条件，分析ܽ
、㌳的可
能值．
【详解】解：主视图有3 列，从左到右层数分别为ͳ、͵、ͳ，
左视图有3 列，从左到右层数分别为ܽ
、͵、㌳，
因为主视图与左视图相同，
所以ܽ
ൌͳ，㌳ൌͳ．
故选：D．
13．如图，一个正方体由27 个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何
体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走的小立方块的个数为（
）
A．4
B．8
C．16
D．20
【答案】C
【分析】此题主要考查了几何体的表面积，熟知几何体表面积的定义以及正方体的表面积公式是解答本题
的关键．
根据表面积不变，只需留11 个，分别是中心的3 个和四角上各2 个．
【详解】解：若新几何体与原正方体表面积相等，
根据表面积不变，只需留11 个，分别是正中心的3 个和四角上各2 个．
则最多可取走16 个小立方块，剩余小立方块搭成的几何体的俯视图如图所示，
其中小正方形内的数字表示该位置上小立方块的个数．
故选：C．
二、填空题
1．若干个相同的小立方块搭成的几何体从上面和从左面看到的形状图如图所示，求满足条件的几何体中小
立方块的个数：____ ．
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【答案】5 或6 或7
【分析】根据题意，可得这个几何体有2 层，上面看可得第一层小正方块的个数，由左面看可得第二层小
正方块的个数，画出图形求解即可．
【详解】解：根据题意，这个几何体小正方块的分布情况如下：
∴满足条件的几何体中小立方块的个数为5 或6 或7．
2．如图是7 个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，若拿走图中一块积木后图形的主视图保持不变，
则拿走的积木是________．（填“甲”“乙”“丙”“丁”）
【答案】甲
【分析】由前向后观察物体的视图，叫做主视图；注意根据积木的块数，判断积木甲后侧是否存在被遮挡
的积木．
【详解】图为7 个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，可知积木甲后侧有一块积木被遮挡，拿走积
木甲，主视图保持不变．
3．如图，在点光源ܱ
的照射下，一块面积为ͷcmʹ的三角形硬纸板（记为ᇞܣܤܥ）平行于投影面时，形成
的投影是ᇞ䁨Ͳ䁨．若ܣ䁨㜠ܣܱ
ൌͳ㜠ʹ，则ᇞ䁨Ͳ䁨的面积是______．
【答案】
Ͷͷ
Ͷ cmʹ
【分析】由中心投影可知ᇞܣܤܥ与ᇞ䁨Ͳ䁨是位似图形，根据位似图形的性质，面积比等于位似比的平方，
求出位似比即可求解．
【详解】解：由中心投影可知，ᇞܣܤܥ与ᇞ䁨Ͳ䁨是位似图形，点ܱ
为位似中心．
׶ ܣ䁨㜠ܣܱ
ൌͳ㜠ʹ，
׵ܱ
䁨ൌܱ
ܣ䳌ܣ䁨，
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׵ܱ
䁨㜠ܱܣൌʹ 䳌ͳ 㜠ʹ ൌ͵㜠ʹ，
׵ᇞ䁨Ͳ䁨与ᇞܣܤܥ的位似比为͵㜠ʹ，
׵ܵ
ᇞ䁨Ͳ䁨ܵ
ᇞܣܤܥൌ
͵
ʹ
ʹ
ൌ
ͻ
Ͷ，
׶ܵ
ᇞܣܤܥൌͷcmʹ，
׵ܵ
ᇞ䁨Ͳ䁨ൌ
ͻ
Ͷ ൈͷ ൌ
Ͷͷ
Ͷ cmʹ．
4．如图，阳光下一根长ʹm 的木棒ܣܤ在地面上的影子ܤܥ长为͵m，此时旗杆䁨Ͳ 的影子有一部分落在距
离旗杆ͳͷm 的墙䁨䁨上，旗杆的影子落在墙上的高度䁨ܪ为ʹ1ͺm，则旗杆䁨Ͳ 的高度为___________m．
【答案】ͳʹ1ͺ
【分析】根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比．通过作辅助线构造矩形，将旗杆高度分为两
部分，一部分对应墙上的影子高度，另一部分对应地面上的影子长度，利用比例关系求解即可．
【详解】解：过点ܪ作ܪܯ٣ 䁨Ͳ 于点ܯ．
则四边形Ͳ䁨ܪܯ为矩形．
׵ ܯܪൌͲ䁨ൌͳͷmǡܯͲ ൌ䁨ܪൌʹ1ͺm．
根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比．
׵
䁨ܯ
ܯܪൌ
ܣܤ
ܤܥ．
即
䁨ܯ
ͳͷ ൌ
ʹ
͵．
解得䁨ܯൌͳ′m．
׵ 䁨Ͳ ൌ䁨ܯ䳌ܯͲ ൌͳ′ 䳌ʹ1ͺ ൌͳʹ1ͺ m ．
5．如图，直线l 同侧有两点A，B，在直线l 上找一点P，使得ܲ
ܣ䳌ܲ
ܤ的值最小．若点A 到直线l 的距离
是4，点B 到直线l 的距离是2，A，B 在直线l 上的正投影间距为5，则ܲ
ܣ䳌ܲ
ܤ的最小值为______．
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【答案】͸ͳ
【分析】作A 关于l 的对称点ܣ̵ ，连接ܣ̵ܲ
，ܣ̵ ܤ，ܣܣ̵ ，过ܣ̵ 作ܣ̵ Ͳ ٣ ܤ䁨于E，根据轴对称的性质可得出ܣܣ̵
过点C，ܣܥൌܣ̵ ܥൌͶ，ܣܲ
ൌܣ̵ܲ
，证明四边形ܣ̵ ܥ䁨Ͳ 是矩形，得出ܣ̵ Ͳ ൌͷ，䁨Ͳ ൌͶ，在Rt ᇞܣ̵ ܤͲ 中，
根据勾股定理求出ܣ̵ ܤ，根据ܲ
ܣ䳌ܲ
ܤൌܣ̵ܲ
䳌ܲ
ܤ൒ܣ̵ ܤ，则当ܣ̵ 、P、B 三点共线时，ܲܣ䳌ܲ
ܤ取最小值，
最小值为ܣ̵ ܤ，即可求解．
【详解】解：由题意，得ܣܥൌͶ，ܤ䁨ൌʹ，ܣܥ٣݈，ܤ䁨٣݈，ܥ䁨ൌͷ，
作A 关于l 的对称点ܣ̵ ，连接ܣ̵ܲ
，ܣ̵ ܤ，ܣܣ̵ ，过ܣ̵ 作ܣ̵ Ͳ ٣ ܤ䁨于E，
则ܣܣ̵ 过点C，ܣܥൌܣ̵ ܥൌͶ，四边形ܣ̵ ܥ䁨Ͳ 是矩形，ܣܲ
ൌܣ̵ܲ
，
∴ܣ̵ Ͳ ൌܥ䁨ൌͷ，ܣ̵ ܥൌ䁨Ͳ ൌͶ，
∴ܤͲ ൌ͸，
∴ܣ̵ ܤൌ
ܣ̵ Ͳʹ 䳌ܤͲʹ ൌ
͸ͳ，
∵ܣܲ
ൌܣ̵ܲ
，
∴ܲܣ䳌ܲ
ܤൌܣ̵ܲ
䳌ܲ
ܤ൒ܣ̵ ܤ，
∴当ܣ̵ 、P、B 三点共线时，ܲܣ䳌ܲ
ܤ取最小值，最小值为ܣ̵ ܤൌ
͸ͳ，
即ܲ
ܣ䳌ܲ
ܤ的最小值为͸ͳ．
6．如图，点光源ܱ
射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片ܣܤ投影到与胶片平行的屏幕上，形成
影像ܥ䁨．已知ܣܤൌ′1ͷdm，点光源到胶片的距离ܱ
Ͳ 长为Ͷdm，ܥ䁨长为ͳ1͹ͷdm，则胶片与屏幕的距离Ͳ䁨
为_____dm．
【答案】10
【分析】证明ᇞܱ
ܣܤ׾ᇞܱ
ܥ䁨，推出
ܣܤ
ܥ䁨ൌܱ
Ͳܱ
䁨，构建方程求出Ͳ䁨即可．
【详解】解：∵ܣܤצ ܥ䁨，
∴ᇞܱ
ܣܤ׾ᇞܱ
ܥ䁨，
∵ܱ䁨٣ ܥ䁨，ܣܤצ ܥ䁨，
∴ܱ䁨٣ ܣܤ，
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∴
ܣܤ
ܥ䁨ൌܱ
Ͳܱ
䁨，
∴
′1ͷ
ͳ1͹ͷ ൌ
Ͷ
Ͷ䳌Ͳ䁨，
∴Ͳ䁨ൌͳ′ dm ．
7．已知一个“粮仓”的三种视图如图所示（单位：m），根据图中所给的数据求出它的容积是____m͵．（参
考公式：ܸ
圆柱ൌߨݎʹ݄，ܸ
圆锥ൌ
ͳ
͵ ߨݎʹ݄，结果保留π）
【答案】Ͷͷߨ
【分析】本题主要考查了几何体的三视图，圆锥和圆柱的体积公式，解题的关键是根据三视图得出几何体
的形状．
【详解】解：观察发现该几何体为圆锥和圆柱的结合体，
其体积为：
͸
ʹ
ʹ
ൈߨൈͶ 䳌
ͳ
͵ ൈߨൈ
͸
ʹ
ʹ
ൈ͹ െͶ
ൌ͵͸ߨ䳌ͻߨ
ൌͶͷߨm͵ ，
故答案为：Ͷͷߨ．
8．一个由若干个相同的小正方体摆成的几何体，三视图均是如图所示的图形．组成它的小正方体的个数最
多和最少相差______．
【答案】ʹ
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和俯视图画出所需正方体个数最少的俯视图是解题
的关键．由题意，易得这个几何体共有3 层，由俯视图可得第一层正方体的个数，再由主视图可得第二层、
第三层正方体最多和最少可能的个数，再计算求出结论即可．
【详解】解：根据主视图、俯视图及左视图，这个几何体的底层有6 个小正方体，
第二层最多有6 个小正方体，最少有4 个小正方体，
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第三层有2 个小正方体，
因此组成这个几何体的小正方体最多有14 个，最少有12 个小正方体．如图，
组成它的小正方体的个数最多和最少相差ͳͶ െͳʹ ൌʹ
故答案为：ʹ．
9．如图，点O 为正方体ܣܤܥ䁨െܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ 䁨̵ 的中心，点E 为面ܤ̵ ܤܥܥ̵ 的中心，点F 为ܤ̵ ܥ̵ 的中点，则空间四
边形䁨̵ܱ
Ͳ䁨在该正方体的面上的正投影可能是__________________（填出所有可能的序号）．
【答案】①②③
【分析】本题考查空间几何体的正投影，掌握从不同面观察空间四边形，确定各顶点投影的位置关系是解
题的关键．
分别从正方体的不同面观察空间四边形䁨̵ܱ
Ͳ䁨，确定其在各个面上的正投影形状．
【详解】解：从正面投影：䁨̵ܱ
Ͳ䁨的投影形成的图形与①相符；
从侧面投影：䁨̵ܱ
Ͳ䁨的投影形成的图形与②相符；
从上面投影：䁨̵ܱ
Ͳ䁨的投影形成的图形与③相符；
图形④的形状不符合空间四边形䁨̵ܱ
Ͳ䁨在任何面上的正投影．
故答案为：①②③．
10．小明要用彩纸给爸爸做了一顶圆锥形生日帽，他设计的生日帽的左视图和俯视图如图所示，其中点ܥ
到ܣܤ的距离为ͳʹ ͵cm，ٖ
ܥ̵ 的周长为ʹͶπcm．这个生日帽至少要用彩纸_______cmʹ（接口处重叠面积
不计，结果保留π）．
【答案】ʹͺͺπ
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【分析】本题考查了由三视图判断几何体和圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积公式是解题关键．
生日帽可看作一个无底面的圆锥体，根据左视图和俯视图，可知圆锥底面圆的半径为ͳʹcm，圆锥的高为
ͳʹ ͵cm，求出母线长为ʹͶcm，根据圆锥的侧面积公式列式计算即可．
【详解】解：由题意，得圆锥的底面周长为ʹͶπcm，
׵圆锥底面圆的半径为ͳʹcm．
又׶点ܥ到ܣܤ的距离为ͳʹ ͵cm，即圆锥的高为ͳʹ ͵cmǡ
׵母线长为ͳʹʹ 䳌ሺͳʹ ͵ሻʹ ൌʹͶ cm ǡ
׵该圆锥的侧面积为
ͳ
ʹ ൈʹͶπ ൈʹͶ ൌʹͺͺπ cmʹ ，即这个生日帽至少要用彩纸ʹͺͺπcmʹ．
故答案为：ʹͺͺπ．
11．如图是由若干个小正方体组成的．阴影部分是空缺的通道，一直通到对面．这个立体图形由_____个小
正方体组成．
【答案】38
【分析】本题考查几何体的展开图，由题意，阴影部分是空缺的通道，一直通到对面，即中间有重复，因
此可分层计数，从前往后分为4 层，画出每层的示意图进行计数即可．
【详解】解：从前往后分层数，如图所示：
共有ͳ͵ 䳌͸ 䳌͸ 䳌ͳ͵ ൌ͵ͺ 个，
答：这个立体图形由38 个小正方体组成．
故答案为：38．
三、解答题
1．画出图中几何体的三视图．
【答案】见解析
【分析】分别分析两个长方体在三个视图方向上的投影形状与位置关系，再组合起来．因为三视图要体现
轮廓线，所以判断可见的棱用实线，被遮挡的棱用虚线．
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【详解】解：三视图如图所示．
2．如图是一个几何体的三视图（单位：cm)．
(1)这个几何体的名称是．
(2)求这个几何体的表面积和体积．（结果保留π和根号）
【答案】(1)圆锥
(2)圆锥的表面积为Ͷߨcmʹ，
圆锥的体积为
ʹ ʹ
͵ ߨcm͵
【分析】本题主要考查了几何体的三视图，求圆锥的体积和表面积，
对于（1），根据三视图可得几何体是圆锥；
对于（2），先根据勾股定理求出圆锥的母线，即扇形的半径，再根据ܵ扇形䳌ܵ
底面ൌ
ͳ
ʹܴ݈
䳌ߨݎʹ求出表面积，
然后根据ܸ
圆锥ൌ
ͳ
͵݄ܵ
ൌ
ͳ
͵ ߨݎʹ ൈ݄
得出答案．
【详解】（1）解：根据三视图可知该几何体是圆锥；
故答案为：圆锥；
（2）解：根据勾股定理，得圆锥的母线为݄
ൌ
ሺʹ ʹሻʹ 䳌ሺ
ʹ
ʹ ሻʹ ൌ͵cm，
圆锥的表面积ൌܵ
扇形䳌ܵ
底面ൌ
ͳ
ʹܴ݈
䳌ߨݎʹ ൌ
ͳ
ʹ ൈ͵ ൈʹߨൈ
ʹ
ʹ 䳌ߨൈሺ
ʹ
ʹ ሻʹ ൌͶߨcmʹ；
∴ܸ
圆锥ൌ
ͳ
͵݄ܵ
ൌ
ͳ
͵ ߨݎʹ ൈ݄
ൌ
ͳ
͵ ߨൈͳʹ ൈʹ ʹ ൌ
ʹ ʹ
͵ ߨcm͵．
3．由10 个大小相同的正方体（每个小正方体的棱长都是2）搭成的几何体如图所示：
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(1)请在网格中画出从正面看，从左面看，从上面看得到的平面图形．
(2)现要在这个几何体的表面喷上油漆（不包括下底面），求需要喷上油漆的面积S．
【答案】(1)见解析
(2)128
【分析】本题考查了画从不同方向看几何体得到的图形和计算小立方体堆砌的图形的表面积，只有认真观
察才能把图画正确，观察时不要从棱或顶点上观察．
（1）利用几何体分别从三个不同角度得出图形，进而得出答案；
（2）根据三视图计算各个面（除下面）的面积即可．
【详解】（1）解：从正面看，从左面看，从上面看得到的平面图形如下图所示:
（2）解：需要喷上油漆的面积ܵ
ൌʹ ͹ 䳌ͷ 䳌͸ 䳌ʹ ൈʹʹ ൌͳʹͺ．
4．三根竖立的竹竿在同一光源ܱ
下的影子如图所示，其中竹竿ܣܤ的影子为ܣ䁨，竹竿ܥ䁨的影子为ܥܪ，
已知ܣܤ٣ 䁨䁨ǡ ܥ䁨٣ 䁨䁨，点䁨、ܣ、ܥ、ܪ、Ͳ、䁨在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源ܱ
的位置，并画出影子为Ͳ䁨的竹竿Ͳܭ（用线段表示）．
【答案】图见解析
【分析】本题考查中心投影，连接䁨ܤǡܪ䁨并延长，交点即为光源ܱ
的位置，连接ܱ
䁨，作ܭͲ ٣ Ͳ䁨，交ܱ
䁨
于点ܭ，Ͳܭ即为所求．
【详解】解：如图，点ܱ
即为所求，线段Ͳܭ即为所求．
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5．（1）已知：线段ܽ
，直线݈
及直线外一点ܣ．
求作：矩形ܣܤܥ䁨，使得边ܤܥ在直线݈
上，ܣܤ٣݈，垂足为ܤ，对角线的长度为ܽ
．
（2）如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图．
1）在图②的横线上填写出两种视图的名称：________，_________；
2）根据两种视图中的数据（单位：cm），计算这个组合几何体的表面积是_________．（结果保留π）
【答案】（1）作图见解析；
（2）1）主，俯；
2）ͳ͵ʹ 䳌ʹͶπ cm
【分析】本题考查矩形的尺规作图、几何体的表面积，熟练掌握圆柱体的表面积公式是解题的关键．
（1）通过作垂线确定矩形的两个相邻顶点，通过作圆弧找到点ܥ，使得ܣܥ的长度等于线段ܽ
的长度，再
通过作圆弧找到点䁨，使得四边形ܣܤܥ䁨成为矩形即可；
（2）1）根据根据三视图的定义来判断视图的类型即可；
2）组合几何体是由一个长方形和一个圆柱组成，根据组成几何体的表面积为长方体的表面积与圆柱的侧面
积的总和，求出长方体的表面积和圆柱的侧面积即可．
【详解】（1）解：过点ܣ作直线݈
的垂线，垂足为点ܤ，以点ܣ为圆心，以线段ܽ
的长度为半径画弧，与
直线݈
相交于点ܥ，分别以点ܣ和点ܥ为圆心，以线段ܤܥ和ܤܣ的长度为半径画弧，两条弧在直线݈
上方
相交于点䁨，连接点ܣ、ܤ、ܥ、䁨，得到矩形ܣܤܥ䁨，如下图：
（2）1）解；根据三视图的定义得，第一个视图是从正面看到的，因此它是主视图，
第二个视图是从上方看到的，因此它是俯视图，
故答案为：主，俯；
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2）解：ʹ ൈͺ ൈͷ 䳌ͺ ൈʹ 䳌ͷ ൈʹ 䳌Ͷπ ൈ͸
ൌʹ ൈ͸͸ 䳌ʹͶπ
ൌͳ͵ʹ 䳌ʹͶπ cm
因此，这个组合几何体的表面积是ͳ͵ʹ 䳌ʹͶπ cm，
故答案为：ͳ͵ʹ 䳌ʹͶπ cm．
6．（1）如图，有两根木棒ܣܤǡܥ䁨在地面上直立着，其中木棒ܣܤ在太阳光下的影子为ܤͲ．请你在图中画
出此时木棒ܥ䁨的影子（保留画图痕迹，不写画法）；
（2）如图所示的是由边长为1 的小正方体搭成的几何体的俯视图，图中所示数字表示该位置上小正方体的
个数．请分别画出该几何体的主视图和左视图．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【分析】（1）连接ܣͲ，过点ܥ作ܣͲ 的平行线，过点䁨作ܤͲ 的平行线，相交于点䁨，䁨䁨即为所求；
（2）读图可得，主视图有͵ 列，每列小正方形数目分别为͵，ʹ，ͳ；左视图有͵ 列，每列小正方形数目分
别为ʹ，͵，ʹ，依此画出图形即可．
【详解】解：（1）如图，线段䁨䁨即为所求．
（2）如图所示．
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【点睛】本题考查几何体的三视图，平行投影的作图，解题的关键是灵活作出图形．
7．石磙（gǔn）是我国传统农耕文明中典型的圆柱形农具（如图1），其在外力拉动下主要用于平整晒谷场、
碾压谷物脱粒等．图2 为某石磙抽象成的实心均匀圆柱体，其三视图如图3 所示．结合以上数据信息，回
答下列问题：
(1)求该石磙的侧面积和体积；（结果保留π）
(2)为了在圆柱体石磙的两个底面安装转轴，需要在石磙两底面的中心位置各开凿一个底面半径为ͷcm 的圆
柱形孔（开凿深度相等），若开凿圆柱形孔后，石磙的质量不低于原来质量的ͻͻ1ͷ%（石磙材质均匀，密
度为ߩ），求开凿的圆柱形孔的深度݀
ʹ݀
ሻͳʹ′ 最大值为多少？（质量=密度×体积）
【答案】(1)侧面积为͹ʹ′′π cmʹ ，体积为ͳ′ͺ′′′π  cm͵
(2)ͳ′1ͺcm
【分析】（1）先认真理解题意，运用空间想象能力得出石磙的底面半径ݎൌ͵′ cm，结合侧面积公式以及
体积公式列式计算，即可作答．
（2）先算出两个圆柱形孔的质量，然后得到开凿后石磙的质量，又因为石磙的质量不低于原来质量的ͻͻ1ͷ%，
列出不等式，解得݀
൑ͳ′1ͺ，即可作答．
【详解】（1）解：由三视图可以得到石磙的底面半径ݎൌ͵′ cm，
׵ܵ
侧ൌʹπ ൈ͵′ ൈͳʹ′ ൌ͹ʹ′′π cmʹ ；
则体积ܸ
ൌπ ൈ͵′ʹ ൈͳʹ′ ൌͳ′ͺ′′′π  cm͵ ．
（2）解：由（1）ܸ
ൌͳ′ͺ′′′πcm͵
依题意，原石磙的质量݉
ൌߩܸ
ൌͳ′ͺ′′′πߩ
两个圆柱形孔的体积：ܸ
孔ൌʹπ ൈͷʹ݀
ൌͷ′π݀
则两个圆柱形孔的质量ൌͷ′ߨ݀ߩ
∴开凿后石磙的质量ൌͳ′ͺ′′′πߩെͷ′ߨ݀ߩൌߩͳ′ͺ′′′π െͷ′π݀
，
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∵开凿后石磙的质量不低于原来质量的ͻͻ1ͷ%，
则ߩͳ′ͺ′′′π െͷ′π݀
൒′1ͻͻͷ ൈߩൈͳ′ͺ′′′π ，
化简ͳ′ͺ ൒ͳ′݀，
解得݀
൑ͳ′1ͺ，
׵开凿的圆柱形孔的最大深度݀
ൌͳ′1ͺ cm ．
8．一透明的敞口正方体容器ܣܤܥ䁨െܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ 䁨̵ 中装有一些液体，棱ܣܤ始终在水平桌面上，容器底部的倾斜
角为ߙ（סܥܤͲ ൌߙ，如图所示）．
探究：如图①，液面刚好过棱ܥ䁨，并与棱ܤܤ'交于点ܳ
，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如
图②．
解决问题：
(1)ܥܳ
与ܤͲ 的位置关系是，ܤܳ
的长是dm；
(2)求液体的体积．[参考算法：直棱柱体积ሺܸ
液ሻൌ底面积ሺܵ
ᇞܤܥܳ
ሻൈ高ܣܤ]
【答案】(1)平行；͵
(2)ʹͶdm͵
【分析】本题主要考查了棱柱体积的计算以及三视图的认识，正确理解棱柱的体积的计算是关键．
（1）根据水面与水平面平行可以得到ܥܳ
与ܤͲ 平行，利用勾股定理即可求得ܤܳ
的长；
（2）液体正好是一个以ᇞܤܥܳ
是底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积．
【详解】（1）解：∵液体的形状为直三棱柱，
∴ܥܳ
צ ܤͲ，
由三视图可得ܣܤൌͶdm，ܥܳ
ൌͷdm，
∵正方体容器ܣܤܥ䁨െܣ̵ ܤ̵ ܥ̵ 䁨̵ ，
∴ܤܥൌܣܤൌͶdm，
根据勾股定理得：ܤܳ
ൌ
ͷʹ െͶʹ ൌ͵．
故答案为：平行；͵；
（2）解：ܸ
ൌ
ͳ
ʹ ൈ͵ ൈͶ ൈͶ ൌʹͶ dm͵ ．
9．为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段ܲܳ
为驾驶员，ܲܳ
与地面垂直，车头近似看成矩形ܣܤܥ䁨，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲
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区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形ܥ䁨ܯ）．
测量数据：驾驶员眼睛ܲ
距地面的高度为ͳ1ͷm，车头ܣ䁨的高度为′1ͻm，宽度ܣܤ为ͳ1ͺm，车头到点ܲ
的水平距离为′1ͺm．
问题解决：
(1)根据以上信息，参考立体图形，在图3 上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲
区长度（视野盲区的前沿ܯ到车头的水平距离为盲区长度）；
(2)在问题1 的基础上，在图4 上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积；
(3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛ܲ
距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会
____________（填“减小”、“不变”或“增大”）；
②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不
变”或“增大”）
【答案】(1)如图所示：
盲区长度为ͳ1ʹm；
(2)如图所示
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͵1͹ͺmʹ；
(3)①减小；②增大
【分析】（1）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明ᇞܣ䁨ܪ׾ᇞܲܳ
ܪ，根据相似三角形的性
质列式计算即可求解；
（2）根据题意补全汽车主视图的视野盲区平面图形，证明ᇞܣܲܤ׾ᇞܯܲ，根据相似三角形的性质列式计
算即可求解；
（3）结合（1）（2）求解即可．
【详解】（1）解：图略
∵סܣ䁨ܪൌסܲܳ
ܪൌͻ′ι，סܪൌסܪ，
∴ᇞܣ䁨ܪ׾ᇞܲܳ
ܪ，
∴
ܣ䁨ܲܳൌ
䁨ܪܳ
ܪ，即
′1ͻ
ͳ1ͷ ൌ
䁨ܪ
䁨ܪ䳌′1ͺ，解得䁨ܪൌͳ1ʹm，
∴盲区长度为ͳ1ʹm；
（2）解：图略
作ܲ
䁨٣ ܯ于䁨，交ܣܤ于ܶ
，
∵ܣܤצܯ，
∴ᇞܣܲܤ׾ᇞܯܲ，
∴
ܣܤ
ܯൌܲܶܲ
䁨ൌ
䁨ܳ
ܪܳ，即
ͳ1ͺ
ܯൌ
′1ͺ
ʹ ，
解得ܯൌͶ1ͷ，
∴ܵ梯形
ܣܤܯൌ
ͳ
ʹ ͳ1ͺ 䳌Ͷ1ͷ ൈͳ1ʹ ൌ͵1͹ͺ mʹ （平方米）；
（3）解：①∵
ܣ䁨ܲܳൌ
䁨ܪܳ
ܪ，即
ܣ䁨ܲܳൌ
䁨ܪ
䁨ܪ䳌䁨ܳ，
∴䁨ܪൌ
ܣ䁨ڄ䁨ܳܲܳ
െܣ䁨，
当ܲܳ
增大时，䁨ܪ减小，则前视野盲区的面积会减小；
②∵
ܣܤ
ܯൌ
′1ͺ
ʹ ，增加整车宽度即ܣܤ增大，则ܯ也增大，其余条件不变，
∴视野盲区面积会增大．
10．【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，
物体所产生的影子称为中心投影．
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(1)画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿ܣܤ的影子为ܣ䁨，竹竿ܥ䁨
的影子为ܥܪ．确定光源O 的位置，并画出影子为Ͳ䁨的竹竿（用线段Ͳܭ表示）．
(2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A 经过路灯C 的正下方沿直线走到点B，他的影长y 随他与点A
之间的距离x 的变化而变化，那么表示y 与x 之间函数关系的图象大致为______；
(3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆ܣܤ，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长䁨䁨ൌͶm，沿ܤ䁨
方向前进到达点F 处测得自己的影长䁨䁨ൌ͸m．已知小明的身高为ͳ1ͺm，求灯杆ܣܤ的高度．
【答案】(1)见解析
(2)B
(3)灯杆高度为5.4m
【分析】（1）连接ܥܤǡܪ䁨，并延长交于点O，再连接ܱ
䁨，过点E 作Ͳܭ٣ Ͳ䁨，交ܱ
䁨于点K；
（2）小明从点A 出发，影子越来越短，到路灯下方达到最短，之后越来越长，可知B 符合题意；
（3）先说明ᇞܥ䁨䁨׾ᇞܣܤ䁨ǡ ᇞͲ䁨䁨׾ᇞܣܤ䁨，即可得出
䁨䁨
ܤ䁨ൌ
䁨䁨
ܤ䁨，再代入数值可得ܤ䁨ൌͺmǡ然后根据
ܥ䁨
ܣܤൌ
䁨䁨
ܤ䁨
求出答案．
【详解】（1）解：如图，光源O、线段Ͳܭ即为所求；
（2）解：B；
根据题意可知影子越来越短，至最短，随后越来越长，可知B 符合题意；
（3）解：如图所示，设ܤ䁨ൌݔm，ܣܤൌ݄
m，
由题意得，ס䁨䁨Ͳ ൌס䁨䁨ܥൌסܤൌͻ′ι，ס䁨ൌס䁨，סܥ䁨䁨ൌסܣ䁨ܤ，
׵ᇞܥ䁨䁨׾ᇞܣܤ䁨ǡ ᇞͲ䁨䁨׾ᇞܣܤ䁨，
׵
ܥ䁨
ܣܤൌ
䁨䁨
ܤ䁨ǡ
Ͳ䁨
ܣܤൌ
䁨䁨
ܤ䁨，
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׶ ܥ䁨ൌͲ䁨ǡ
׵
䁨䁨
ܤ䁨ൌ
䁨䁨
ܤ䁨ǡ
׶ 䁨䁨ൌͶmǡ䁨䁨ൌ͸mǡܤ䁨ൌܤ䁨䳌䁨䁨ൌሺݔ䳌Ͷሻm，
ܤ䁨ൌܤ䁨䳌䁨䁨䳌䁨䁨ൌܤ䁨䳌Ͷ 䳌͸ ൌሺݔ䳌ͳ′ሻm，
׵
Ͷ
ݔ䳌Ͷ ൌ
͸
ݔ䳌ͳ′，
解得ݔൌͺ，
∴ܤ䁨ൌͺmǡ
׵ ܤ䁨ൌͺ 䳌Ͷ ൌͳʹm．
∵
ܥ䁨
ܣܤൌ
䁨䁨
ܤ䁨，
׵ ͳ1ͺ݄ൌͶ
ͳʹ
解得݄
ൌͷ1Ͷm，
∴灯杆高度为ͷ1Ͷm．
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