第15讲二次函数实际应用（知识点+8题型）（暑假预习讲义）（原卷版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_2026年新9年级数学《暑假自学课衔接课》复习讲义+预习讲义+测试卷（北师）

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第15 讲二次函数实际应用（知识点+8 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 图形问题（静态几何）
题型2 图形运动问题（动态几何）
题型3 拱桥问题
题型4 销售问题
题型5 投球问题
题型6 喷水问题
题型7 增长率问题
题型8 综合应用
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
列二次函数解应用题
的步骤
最大利润问题
抛物线型实际问题（拱
1. 掌握列二次函数解实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答，能规
范书写解题过程，明确二次函数是解决最值问题的重要数学模型。
2. 能分析几何图形中的变量关系，建立二次函数模型解决最大面积问题，能
根据实际意义确定自变量的取值范围，并利用二次函数的性质求出符合题意
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桥/投篮/隧道）
数形结合思想
的最值。
3. 能分析商品销售中的数量关系，建立二次函数模型解决最大利润问题，理
解单价、销售量、利润之间的内在联系，能根据市场实际情况调整方案。
4. 能解决抛物线型实际问题（如拱桥、隧道、投篮轨迹），学会建立适当的
平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题，体会数形结合的数学思
想，发展应用意识和解决问题的能力。
学习重点：建立二次函数模型解决最大面积、最大利润和抛物线型实际问题，利用二次函数的性质求
实际问题中的最值。
学习难点：从复杂实际问题中抽象出二次函数关系，建立合适的平面直角坐标系解决抛物线型问题，
根据实际意义准确确定自变量的取值范围并检验解的合理性。
知｜识｜框｜架
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知｜识｜精｜讲
知识点01 列二次函数解应用题的一般步骤
步骤：审→设→列→化→求→验→答
审：梳理题干已知量、未知量，挖掘等量关系
设：设自变量ݔ、函数ݕ，标注对应单位
列：依据等量关系列出ݕ关于ݔ的函数式
化：整理为一般式或顶点式，方便求最值
求：结合二次函数性质求解最值、对应自变量
验：双重检验，一是计算正误，二是数值符合现实条件
答：规范写出结论，带上对应单位
即时即练某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函
数关系，部分数据如表所示：
每件售价x/元
45
55
65
日销售量y/件
55
45
35
(1)求y 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）．
(2)求当每件售价为多少元时，日销售额最大？最大日销售额为多少元？
【易错提醒】
容易省略实际意义检验，出现负数长度、亏损售价等不合理解；设元和作答遗漏单位；间接设元时，求出x
后忘记换算题目所求量；等量关系梳理错误，函数关系式整体出错。
知识点02
最大面积问题
基本等量关系：借助矩形、三角形、梯形等几何面积公式构建二次函数
常见模型：靠墙围栏、道路留白、边框图形面积问题
即时即练如图，已知直线ݕ′㠶
ʹ
͵ ݔ㘹洠交ݔ轴正半轴于点ܥ，交ݕ轴正半轴于点ܤ，抛物线ݕ′ 㐸ݔʹ 㘹
ͳͲ
͵ ݔ㘹洠
经过ܤ，ܥ两点，交ݔ轴负半轴于点ܣ．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)ܧ是直线ܤܥ上方抛物线上的一动点，当四边形ܤ，ܥܧ面积最大时，请直接写出点ܧ的坐标．
【易错提醒】
靠墙模型易多算或少算靠墙一侧边长；忽略墙长、图形长宽带来的自变量取值限制；顶点横坐标不在取值
区间时，仍直接取顶点纵坐标为最值；三角形、梯形面积漏乘
ͳ
ʹ。
知识点03
最大利润问题
核心公式
单件利润=售价-进价
总利润=单件利润×销售数量
总销售额=售价×销售量
常见模型：价格升降带动销量增减类销售题型
即时即练某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60 元．经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千
克）与销售单价x（元/千克）的关系式为ݕ′㠶ʹݔ㘹ʹͲݔ．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）．
(1)求w 关于x 的函数解析式；
(2)若要获得销售利润为3000 元，销售单价应定为多少元/千克?
(3)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少?
【易错提醒】
混淆进价、标价、售价概念；价格上涨销量减少、降价销量增多的变化关系写反；未限定自变量范围，出
现销量为负、售价低于成本的情况；实际商品数量需为整数，直接使用小数最值不贴合现实。
知识点04 抛物线型实际模型
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解题思路：建立平面直角坐标系，将拱桥、投篮、喷泉、隧道等实物转化为抛物线图像，多用顶点式ݕ′ 㐸(ݔ㠶݄
)ʹ 㘹݇
求解
即时即练为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是
抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点ܲ
距水平地面的高度，ܲ
为ͳ′ݔm，实心球到达
最高点时，距出手点的水平距离是洠m，距水平地面的高度是͵m，记落地点为ܯ，以，为原点，，ܯ所在
直线为ݔ轴，，ܲ
所在直线为ݕ轴建立平面直角坐标系．
(1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式；
(2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到ͳͲm 为满分，请通过计算判断该次练习小明同学
能否得满分；
(3)小明投掷实心球时，有一位身高ͳ′ݔm 的同学正好闯入实心球场地且在线段，ܯ上跑动，若闯入的同学是
安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围．
【易错提醒】
坐标系原点选取不合理，加大计算难度；图像上下位置混淆，坐标正负符号写错；长度、高度不能为负，
负根未舍去；横坐标、纵坐标代表的实际距离区分不清。
题型1 图形问题（静态几何）
【例1】用长为L 米的铁丝围成一个矩形或正方形，则其所围成的最大面积为________平方米．
【技巧归纳】
设未知数技巧：设一条边长为x，用周长/总长表示另一条边长
等量关系：面积=长×宽（矩形）、面积=底×高÷2（三角形）等
最值规律：周长一定的矩形，正方形面积最大
必做步骤：标注自变量取值范围（边长>0，总长限制）
【变式1-1】
1．一个菱形风筝的两条对角线的长之和为ͳͲͲcm．其对角线的长发生变化时，菱形的面积也发生变化．在
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这个变化过程中，其中一条对角线的长为ݔcm．
(1)写出菱形的面积y（单位：cmʹ）关于x（单位：cm）的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围．
(2)当ݔ′ ʹͲ 时，求y 的函数值．
【变式1-2】
2．综合与实践
汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大
中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为洠Ͳm 的
篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地ܣܤܥ基（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣
小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围ܣ基，基ܥ，ܤܥ三边，篱笆无浪费），请
根据方案完成以下探究．
(1)方案一：若限定矩形实践基地的ܥ基边为ͳͲm，则矩形实践基地的ܣ基边为______m，此时矩形实践基地
的面积为______mʹ．
(2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的ܣ基边为ݔm，则用含ݔ的代数式表示
ܥ基边的长度为______m；当ܣ基边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？
题型2 图形运动问题（动态几何）
【例2】如图所示，在ᇞܣܤܥ中，סܥ′ 䁡Ͳι，ܣܥ′ ܤܥ′ ͸，点ܧ是ᇞܣܤܥ边上一动点，沿ܣ՜ ܥ՜ ܤ的
路径移动，过点ܧ作ܧܨ٣ ܣܤ于点ܨ，设ܣܨ′݉
，ᇞܣܧܨ的面积为S，则下列能大致反映S 与m 函数关
系的图象是（
）
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A．
B．
C．
D．
【技巧归纳】
第一步：根据“路程=速度×时间”，用含t 的式子表示所有运动线段
第二步：结合几何性质（勾股定理、面积公式）列函数关系式
第三步：求最值或特定值时，必须检验t 是否在运动时间范围内
多阶段运动：分区间讨论，每个区间列一个函数
【变式2-1】
1．如图，ᇞܣܤܥ是等腰直角三角形，סܣ′ 䁡Ͳι，ܤܥ′ 洠，点ܲ
是ᇞܣܤܥ边上一个动点，沿ܤ՜ ܣ՜ ܥ的
路径运动，过点ܲ
作ܲ
基٣ ܤܥ于点基，设ܤ基′ ݔ，ᇞܤ基ܲ
的面积为ݕ，则下列能大致反映ݕ与ݔ函数关系
的图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】
2．如图，菱形ܣܤܥ基中，对角线ܣܥ，ܤ基相交于点，，且ܣܥ′ ͸cm，ܤ基′ݔcm，动点ܲ
，ܳ
分别从点ܤ，
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基同时出发，ܲ运动速度为ͷcm/s，点ܲ
沿ܤ՜ ܥ՜ 基运动，到点基停止，点ܳ
沿基՜ ，՜ ܤ运动，运动
速度为洠cm/s，到ܤ停止，连接ܣܲ，ܣܳ，ܲܳ
．设ᇞܣܲܳ
的面积为ݕ（cmʹ）（这里规定：线段是面积Ͳ
的几何图形），点ܲ
的运动时间为ݔ（s）．
(1)填空：ܣܤ′
cm，菱形ܣܤܥ基高为
cm；
(2)求ݕ与ݔ之间的函数解析式．
题型3 拱桥问题
【例3】如图1 是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”
的美誉．已知中间主跨地面宽度ܣܤ为35 米，实际结构可简化为图2 所示的组合图形：上部为抛物线形，
下部为矩形ܣܤܥ基．某测量小组测得ܣ基为3 米，从A 点出发，沿主跨地面向右侧走2 米到达点E，测得E
点处对应的高度ܧܨ（即点E 上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3 米，请你结合数据，求出主跨的高度（即
抛物线顶点到地面的距离）．（精确到Ͳ′ͳm）
【技巧归纳】
第一步：根据“路程=速度×时间”，用含t 的式子表示所有运动线段
第二步：结合几何性质（勾股定理、面积公式）列函数关系式
第三步：求最值或特定值时，必须检验t 是否在运动时间范围内
多阶段运动：分区间讨论，每个区间列一个函数
【变式3-1】
1.如图，一条隧道的横截面由一段抛物线和矩形的三条边围成，矩形的长为ݔm，宽为ʹm，隧道的最高点P
距地面͸m．
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(1)在如图所示的直角坐标系中，求抛物线的表达式．
(2)一辆货车高为洠m，宽ʹm，能否从该隧道通过？请说明理由．
(3)在（2）的条件下，若该隧道内设双车道，那么这辆货车能否通过？请说明理由．
【变式3-2】
2．西安东站坐落于西安灞桥区，东依白鹿原、西邻浐河，是西北地区特大型综合交通枢纽，也是西安“米”
字形高铁网核心枢纽之一，以“秦山渭水、丝路长安”为设计理念，如图①，其站房主门楼顶部采用大气、
对称的抛物线形拱檐设计，线条流畅优美，其拱檐轮廓可近似看作开口向下的抛物线的一部分．如图②，
现以拱檐对称轴与水平地面的交点为坐标原点，，水平向右为ݔ轴，竖直向上为ݕ轴建立平面直角坐标系，
结合东站实景真实比例：拱檐左右两端檐口水平总跨度ܣܤ为Ͳݔm，檐口离地高度ܣܧ为͵͸m，拱檐拱顶
最高处离地高度，ܥ为洠ݔm．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)为美化夜景，需要在拱檐安装亮化灯带，要求灯带安装位置离地高度不低于洠ͷm，求灯带两端水平距离
的最大长度．
题型4 销售问题
【例4】某商店销售一种玩具，每件的进货价为40 元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50 元时，每
天可销售200 件；当每件的销售价每增加1 元，每天的销售数量将减少10 件，现该商店决定涨价销售，若
该玩具每件销售价不低于57 元，则销售该玩具每天获得的利润w 最大为____元．
【技巧归纳】
设未知数技巧：设涨价/降价的金额为x 元（比设售价更简便）
单件利润=原售价±x-进价；销售量=原销量∓（每涨/降1 元的销量变化）×x
最值求法：化为顶点式ݕ′ 㐸(ݔ㠶݄)ʹ 㘹݇，当ݔ′݄
时取最值
临界判断：若顶点横坐标不在自变量范围内，最值取区间端点
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【变式4-1】
1．河南特产：铁棍山药实体店、网店两种销售模式，实体店进价8 元/斤，售价ͳ洠元；销量y （斤）与单
价x （元/斤）满足一次函数：ݔ′ ͳͲ，ݕ′ ʹͲͲͲ，ݔ′ ͳʹ，ݕ′ ͳ͸ͲͲ．
(1)求y 与x 解析式；
(2)网店每斤成本6 元，单价不低于成本且不高于15 元，求网店单日最大利润．
【变式4-2】
2．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件5 元，平时以单价12 元的价格售出一天可
卖80 件、根据调查单价每降低1 元，每天可多售出40 件；设商品售价x 元（售价不低于进价，x 为正整数），
这批商品的日利润为w 元（利润＝售价﹣成本），请解决以下问题：
(1)设商品售价x 元，则一天可以卖出________件；
(2)当商品的售价x 为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？
题型5 投球问题
【例5】为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路
线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2 米的点A 处投出，并落在水平地面上的点M 处，其运
动路线的最高点P 距地面3.8 米，最高点P 与篮球出手点A 的水平距离为3 米．以地面所在直线，ܯ为x
轴，过点A 且与，ܯ垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求点P 所在抛物线的函数表达式；
(2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A 正上方1 米的点B 处投出，
落地点为N，点N 在x 轴的正半轴上，求点B 与落地点N 的水平距离，ܰ
的长．
【技巧归纳】
通常以出手点为原点或地面某点为原点建系
关键点坐标：出手点(Ͳ,݄)（h 为出手高度）、最高点（顶点）、落地点(ݔ,Ͳ)
用顶点式ݕ′ 㐸(ݔ㠶݄)ʹ 㘹݇
求解，顶点纵坐标为最大高度
求投球距离：令y=0，解出正根即为水平距离
【变式5-1】
1．某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．
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【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度ݕ（单位：m）与距发球点的水平距离ݔ（单位：m）的对应值如下表
（不考虑空气阻力）．
水平距离
ݔm
Ͳ
ʹ
͵
ͷ
͸
ǥ
竖直高度
ݕm
ͳ′ͳ
ʹ′͵
ʹ′͸
ʹ′͸
ʹ′͵
ǥ
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞
行路线是抛物线ݕ′ 㐸ݔʹ 㘹ܾݔ㘹ͳ′ͳ 的一部分．
(1)【建立模型】求ݕ与ݔ的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）；
(2)【应用模型】羽毛球在此次飞行过程中，飞行的最大高度是多少？
【变式5-2】
2．综合实践
探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响
试验
说明
数学兴趣小组为了探究此问题，由一名男生做了两次投掷试验（出手角度不同）．建立如图1 所
示的平面直角坐标系．
实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，实心球着地点到出手点的水平距离为d 米
（即掷球成绩）．
男生实心球评分标准如下表所示．
d/米
8.4
8.2
7.8
7.6
7.0
6.7
得分
10
9.5
9.0
8.5
7.8
7.6
从投掷到着地的过程中，实心球的竖直高度y 与水平距离x（单
位：米）近似满足二次函数关系，两次试验实心球所达到的最大高度相同．
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试验
过程
【第一次试验】：实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组对应数据如下：
水平距离x/米
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度y/米
2
2.7
3.2
3.5
3.6
3.5
n
【第二次试验】：实心球的竖直高度y 与水平距离x 的函数图象的一部分如图2 所示，其中A 为
第二次试验抛物线的顶点．
解决问题
(1)根据第一次试验数据，直接写出：݊
′ ________；此次试验中实心球达到的最大高度是________米；
(2)求第二次试验的抛物线的解析式；
(3)通过计算说明该男生两次投掷试验的最好成绩是多少分？
题型6 喷水问题
【例6】某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数
学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2 所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几
组数据，其中݀
m 是水柱距喷水头的水平距离，݄
m 是水柱距湖面的高度．݀݉
Ͳ
Ͳ′䁞
ʹ
͵
洠
…݄
m
ʹ′Ͳ
͵′洠ݔ洠
ͷ′ʹ
ͷ′͸
ͷ′ʹ
…
请解决以下问题：
(1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式；
(2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为݄
′㠶
Ͳ′͵݀
㠶͵′ͷ ʹ 㘹ͷ′䁞，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由．
(3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为洠m，顶棚到湖面高度为洠′ʹm 的平顶游船，
游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险．
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【技巧归纳】
喷头在顶点时：建系使顶点在(Ͳ,݇)，解析式为ݕ′ 㐸ݔʹ 㘹݇
喷头在原点时：建系使喷头在(Ͳ,Ͳ)，解析式为ݕ′ 㐸ݔʹ 㘹ܾݔ
最大高度=顶点纵坐标，喷水射程=落地点横坐标的绝对值
多个喷头问题：利用对称性求交点和覆盖范围
【变式6-1】
1．牡丹花主题公园内有一直径为ͳʹ m 的圆形花坛，它的中心A 处安装着一个可升降的喷灌头，它喷出水
柱的路径可近似看作抛物线，水柱在距A 点水平距离为ʹ m 处达到最高，最高为ͳ m，水柱落地点为点B，
花坛边缘为点C，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若ܣܤ上有一株牡丹花高
͵
洠 m，长在花坛哪个范围内才不会被水柱直接喷射到？
(3)若水柱的形状不变，当把落地点调整到花坛内距花坛边缘ͳ m 处时，水柱的喷头A 需上升多少米？
【变式6-2】
2．问题背景：某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从
出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距
离地面的竖直高度为y（单位：m），水平距离为x（单位：m），建立如图1 所示的平面直角坐标系．
信息1：通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为t（单位：s）时的多组数据，其中
几组数据如下：
时间ݐs
0
0.10
0.20
0.30
水平距离ݔm
0
0.10
0.20
0.30
竖直线高度
ݕm
0.80
0.75
0.60
0.35
信息2：小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离x 与时间t 的关系为ݔ′ 系ݐ（v 为水滴离开出水点
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时的速度，单位m s）
根据以上信息，解决下列问题：
(1)v 的值是______；
(2)水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过多长时间？
(3)将如图2 所示的一个高为Ͳ′洠m，直径为Ͳ′͵m 的花盆放置在地面上，使花盆底面中心N 在图1 所示的x
轴上，且，ܰ
′ Ͳ′洠m．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），水喷出后运动路径的形状不
变，要使水滴落在花盆内（不包括边缘），出水点高度的变化量f 的取值范围为____________m．
题型7 增长率问题
【例7】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a 个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y
个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y 与x 的函数关系是（
）
A．ݕ′ 㐸ͳ 㘹ݔʹ
B．ݕ′ 㐸ͳ 㠶ݔʹ
C．ݕ′ ͳ 㘹ݔʹ 㘹㐸
D．ݕ′ ݔʹ 㘹㐸
【技巧归纳】
基础公式：两年后总量ݕ′ 㐸(ͳ 㘹ݔ)ʹ（a 为基础量，x 为平均增长率）
n 年增长：ݕ′ 㐸(ͳ 㘹ݔ)݊，注意增长次数与年份的对应
可求最大增长值、特定增长率对应的总量，或已知总量求增长率
【变式7-1】
1．某超市一月份的营业额为30 万元，三月份的营业额为y 万元．设每月的平均增长率为x，则y 与x 之间
的函数表达式为_______
【变式7-2】
2．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10 元，销售500 件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605 件，
求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1 元，日销量将减少20 件．
①现要保证每天总毛利润6000 元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的ͳͲ%交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9 元，水电房租费每日102 元，若
剩下的每天总纯利润要达到5100 元，则每件涨价应为多少？
题型8 综合应用
【例8】1．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下
面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点ܣ处沿水滑道下滑至点ܤ处腾空飞出后落入水池．以地
面所在的水平线为ݔ轴，过腾空点ܤ与ݔ轴垂直的直线为ݕ轴，，为坐标原点，建立平面直角坐标系．他
们把水滑道（抛物线ܣܤ段）和人腾空飞出后经过的路径（抛物线ܤ基段）都可以看作是抛物线．水滑道（抛
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物线ܣܤ段）的函数表达式为ݕ′
ͳ
ݔݔ㘹͵ ʹ 㘹
䁞
ݔ，水滑道最低点为点ܥ，根据测量和调查得到的数据和信息，
解决下列问题．
(1)点ܤ的坐标为________，点ܥ的坐标为________；
(2)如图1，腾空点ܤ与对面水池边缘的水平距离，ܧ′ ͳʹ 米，人腾空后的落点基与水池边缘的安全距离基ܧ
不少于͵ 米．某人腾空后的路径形成的抛物线ܤ基的最高点为ܨ，此时点ܤ恰好是线段ܥܨ的中点．
①求抛物线ܤ基的解析式；
②此人腾空飞出后的落点基是否在安全范围内？说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图ʹ，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距
地面洠米的点ܯ处竖直支撑的钢架ܯܰ，另一条是点ܯ与点ܤ之间连接支撑的钢架ܤܯ．现在需要在水滑
道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与ܤܯ平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在
钢架ܯܰ
上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
【技巧归纳】
基础公式：两年后总量ݕ′ 㐸(ͳ 㘹ݔ)ʹ（a 为基础量，x 为平均增长率）
n 年增长：ݕ′ 㐸(ͳ 㘹ݔ)݊，注意增长次数与年份的对应
可求最大增长值、特定增长率对应的总量，或已知总量求增长率
【变式8-1】
1．在平面直角坐标系中，对于点ܲ
ݔͳ,ݕͳ ，当点ܳ
ݔʹ,ݕʹ 满足ݔͳ 㘹ݔʹ ′ ݕͳ 㘹ݕʹ时，称点ܳ
ݔʹ,ݕʹ 是点ܲ
ݔͳ,ݕͳ
的“差反点”．
(1)判断点ܳ
ͳ ͳ,ʹ ，ܳ
ʹ 洠,͵ ，ܳ
͵ 㠶͵, 㠶ʹ ，哪个是点ܲ
ͳ ʹ,ͳ 的“差反点”？
(2)若直线ݕ′ ʹݔ㘹͵ 上的点A 是点ܲ
ʹ ͳ,Ͳ 的“差反点”，求点A 的坐标；
(3)对于点ܲ
ʹ ͳ,Ͳ ，若抛物线上存在唯一的“差反点”，且ݕ′
ͳ
ʹ ݔʹ 㘹݉
㠶ݐ㘹ͳ ݔ㠶
ͳ
ʹ݊
㘹
ͳ
ʹ ݐ当㠶ͳ ൑݉
൑͵
时，n 的最大值为͵ 㠶ݐ，求t 的值．
【变式8-2】
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2．如图①，已知抛物线ݕͳ ′ ݔʹ 㘹ܾݔ㘹洠与x 轴交于两点，Ͳ,Ͳ 、ܣʹ,Ͳ ，将抛物线ݕͳ向右平移两个单位长
度，得到抛物线ݕʹ，点P 是抛物线ݕͳ在第四象限内一点，连接ܲ
ܣ并延长，交抛物线ݕʹ于点Q．
(1)ܾ
′______；
(2)设点P 的横坐标为ݔܲ，点Q 的横坐标为ݔܳ，求ݔܳ㠶ݔܲ的值；
(3)如图②，若抛物线ݕ͵ ′ ݔʹ 㠶ݔݔ㘹ݐ与抛物线ݕͳ ′ ݔʹ 㘹ܾݔ㘹洠交于点C，过点C 作直线ܯܰ，分别交抛物
线ݕͳ和ݕ͵于点M、N（M、N 均不与点C 重合），设点M 的横坐标为m，点N 的横坐标为n，试判断݉
㠶݊
是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由；
(4)若抛物线ݕͳ̵ ′ 㐸ݔʹ 㘹ܾ
ͳݔ㘹洠ͳ与抛物线ݕʹ̵ ′ 㐸ݔʹ 㘹ܾ
ʹݔ㘹洠ʹ（其中㐸്
Ͳ）交于点C，过点C 作直线ܯܰ，
分别交抛物线ݕͳ̵和ݕʹ̵于点M、N（M、N 均不与点C 重合），设点M 的横坐标为m，点N 的横坐标为n，݉
㠶݊
′______．（请用含a，ܾͳ，ܾʹ的代数式来表示）
一、单选题
1．已知抛物线ݕ′ ݔʹ 㘹(݉
㠶ͳ)ݔ㘹݉
，当ݔ′ ͳ 时，ݕᦙ洠，且当ݔ且ʹ 时，y 的值随x 值的增大而增大，
则m 的取值范围是（）
A．݉
且㠶͵
B．݉
ᦙʹ
C．㠶͵ ൑݉
ᦙʹ
D．ͳ ᦙ݉
൑͵
2．从地面竖直向上射出一小球，若小球离地面的高度݄
（单位：m）与小球的运动时间ݐ（单位：s）之间
的关系式为݄
′㠶ͷݐʹ 㘹͵Ͳݐ，则下列说法中，错误
．．的是（
）
A．小球运动时间为ͳs 时的高度是ʹͷm
B．小球运动时间为ʹs 时的高度和洠s 时的高度相等
C．小球离地面的最大高度是洠ͷm
D．小球从射出到落地需要ݔs
3．如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为ݕ′㠶
ͳ
͵ ݔʹ，当水面离桥顶的高度为
ʹͷ
͵ 米时，水面的宽
度为（
）
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A．8 米
B．9 米
C．10 米
D．11 米
4．一辆电动车（如图所示）在公路上匀速行驶，它行驶的路程ݏkm 和时间ݐh 之间的关系式为ݏ′ ݐʹ 㘹͵ͷݐ，
那么行驶͵͸km 需要的时间为（
）
A．ͳh
B．
͵
ʹ h
C．ʹh
D．͵h
5．伞是生活中常见的一种工具，其撑开后的形状近似抛物线．如图所示，以伞柄所在的直线为ݕ轴，以伞
骨，ܣ,，ܤ的交点，为原点建立平面直角坐标系，ܥ为抛物线与ݕ轴的交点，点ܣ,ܤ在抛物线上，，ܣ,，ܤ关
于ݕ轴对称．已知抛物线的表达式为ݕ′㠶Ͳ′ʹݔʹ 㘹ͳ，若点ܣ到ݔ轴的距离是Ͳ′͸dm，则ܣ,ܤ两点之间的
距离是（
）
A．ʹdm
B．ʹdm
C．ʹ ʹdm
D．洠dm
6．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价ݔ（单位：元）
之间的关系满足ݕ′㠶ʹ ݔ㠶ʹͲ ʹ 㘹ͳͷͷݔ，由于某种原因，价格需满足ͳͷ ൑ݔ൑ͳݔ，那么一周可获得的最
大利润是（
）
A．ͳͷͲݔ元
B．ͳͷͷͲ 元
C．ͳͷͷ洠元
D．ͳͷͷݔ元
7．如图，某游乐园要建造一个直径为͵Ͳm 的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距
池中心͸m 处达到最高，高度为䁡m，以水平方向为ݔ轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系ݔ，ݕ，若
要在喷水池中心上方设计一个装饰物ܣ，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（
）
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A．ͷm
B．͸m
C．䁞m
D．ݔm
8．如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离洠m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当
球运行的水平距离为ʹ′ͷm 时达到最大高度͵′ͷm，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离是͵′Ͳͷm，
则此时抛物线的函数关系式是（
）
A．ݕ′㠶ʹݔʹ 㘹洠
B．ݕ′㠶Ͳ′ʹݔʹ 㘹͵′ͷ
C．ݕ′㠶Ͳ′ʹݔʹ 㘹͵′Ͳͷ
D．ݕ′㠶Ͳ′ʹݔʹ 㘹ʹ′ͷ
9．一小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为
ͳͷcm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹
性形变），按如图所示的图象，小球的速度ݕ（cm/s）和弹簧被压缩的长度ݔ（cm）之间的关系式是ݕ′㠶
ͳ
洠ݔʹ 㘹ݔ㘹͵(ݔ且Ͳ)，当小球的速度最大时，弹簧的长度是（）
A．ͳ͵cm
B．ͳ洠cm
C．ͳͷcm
D．ͳ䁞cm
10．某经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行
高度݄
m 与时间ݐs 满足二次函数݄
′ 㐸ݐʹ 㘹ܾݐ，其图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（
）
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A．该图象的对称轴是直线ݐ′ ʹ′ͷ
B．此次飞行无人机飞行的最大高度为䁡m
C．当ݐ′ ͳ 时，该无人机飞行的高度为͸m
D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是䁞s
11．电暖气（如图1）可以通过旋钮开关调节电路的总电阻来控制电流的变化，从而实现功率的改变．在额
定功率范围内，电暖气电路的电流I（单位：A）与实际功率P（单位：W）的二次函数图象如图2 所示，
下列结论中错误的是（
）
A．当ܲ
′ͲͲݔW 时，ܫ′ 洠A
B．P 与I 的函数关系式是ܲ
′ ͷͲܫʹ ܫ൒Ͳ
C．在额定功率范围内，P 随I 的增大而增大
D．I 每增加ͳA，P 的增加量相同
12．已知二次函数ݕ′ 㐸ݔʹ 㘹ܾݔ㘹洠㐸്
Ͳ 的图象如图所示，下列结论：①ʹ㐸㘹ܾ
′ Ͳ；②㐸㠶ܾ
㘹洠ᦙͲ；
③洠㐸㘹ʹܾ㘹洠且Ͳ；④㐸݉
ʹ 㘹ܾ݉
且㐸㘹്ܾ݉
ͳ ，其中正确的是（
）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
13．如图1，四边形ܣܤܥ基是矩形，动点ܲ
，ܳ均以ͳcm/s 的速度从点ܤ同时出发，点ܲ
沿折线ܤ՜ ܣ՜ 基
向点基运动，点ܳ
沿折线ܤ՜ ܥ՜ 基向点基运动．ᇞܤܲܳ
的面积ܵ（单位：cmʹ）与运动时间ݐ（单位：s）
的关系如图2 所示．当点ܳ
运动到ܥ基的中点时，ܵ的值为（
）
A．9
B．10
C．12
D．16
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14．如图，在菱形ܣܤܥ基中，סܤ′ ͸Ͳι，ܣܤ′ ʹ，动点P 从点B 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿折线
ܤܣ㠶ܣܥ运动到点C，同时动点Q 从点A 出发，以相同速度沿折线ܣܥ㠶ܥ基运动到点D，当一个点停止运
动时，另一点也随之停止．设ᇞܣܲܳ
的面积为y，运动时间为x 秒，则下列图象能大致反映y 与x 之间函数
关系的是（
）
A．
B．
C．
D．
15．如图1，ᇞܣܤܥ中，סܣ′ ͵Ͳι，点ܲ
从点ܣ出发以ʹcm/s 的速度沿折线ܣ՜ ܥ՜ ܤ运动，点ܳ
从点ܣ
出发以系cm/s 的速度沿ܣܤ运动，ܲ、ܳ
两点同时出发，当某一点运动到点ܤ时，两点同时停止运动．设
运动时间为ݔ（s），ᇞܣܲܳ
的面积为ݕ（cmʹ），ݕ关于ݔ的函数图象由ܥͳ, ܥʹ两段组成，如图2 所示，下
列结论中错误的是（
）
A．系′ ͳ
B．sinܤ′
ͳ
͵
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C．图象ܥʹ段的函数表达式为ݕ′㠶
ͳ
͵ ݔʹ 㘹
ͳͲ
͵ ݔ
D．ᇞܣܲܳ
面积的最大值为8
二、填空题
1．某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升
产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率ݕ与加工时间ݔ（单位：分钟）
满足函数表达式ݕ′㠶Ͳ′ʹݔʹ 㘹ͳ′ͷݔ㠶ʹ，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分
钟．
2．中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者
的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本20 元，按每件24 元出售，每日可售出40 件．经市
场调查发现，这种模型每件涨价1 元，日销售量会减少2 件，每件模型应涨价________元，才能使每日利
润最大．
3．如图的一座拱桥，当水面宽ܣܤ为ͳʹm 时，桥洞顶部离水面洠m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方
向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线解析式是ݕ′㠶
ͳ
䁡ݔ㠶͸ ʹ 㘹洠，则选取
点B 为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___．
4．为了让初三学子以更好的状态迎接体考，川大附中在3.20 号安排了针对性模拟．小明参加了跳远测试，
可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化(如图)，若重心高度݄
(m)与起跳后时间ݐ(s)的函数表
达式为݄
′㠶ͷݐʹ 㘹͵ݐ，当ݐ′ Ͳ′ʹ,Ͳ′͵,Ͳ′ͷ 时，所对应的重心高度分别记为݄ͳ,݄ʹ,݄͵，则݄ͳ,݄ʹ,݄͵的大小关系为
__________．(用“ᦙ”连接)
5．如图，一次函数ݕͳ ′݇
ݔ㘹ܾ
与二次函数ݕʹ ′ 㐸ݔʹ交于ܣ㠶ͳ,ͳ 和ܤʹ,洠两点，则当ݕͳ ᦙݕʹ时，ݔ的取值
范围是_______．
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6．如图，一根铝合金型材长为͸ m，用它制作一个“日”字型窗户的框架ܣܤܥ基，如果恰好用完整条铝合金
型材，则窗户的最大面积是_______mʹ．
7．景区喷泉以出水口，为原点建立坐标系，水柱高度ݕ（单位：米）与水平距离ݔ（单位：米）满足：ݕ′㠶
ͳ
͵ (ݔ㠶
洠)ʹ 㘹ͷ．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道ܧܨ㔳⸶，通道顶部ܧ⸶距离水柱竖直高度不少于2 米，通道
宽度ܨ㔳′ ʹ 米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______．
8．如图1，玛曲黄河大桥位于甘肃玛曲县城南，北连玛曲县城，南通阿万仓乡，是甘肃省黄河上游的第一
座桥梁，因此有“黄河第一桥”之称．如图2 是它的部分示意图，可近似地用抛物线的一部分表示，若当水
面宽度ܣܤ为ͳͲm 时，水面到拱顶的高度ܥ，为洠m，当水位在此基础上继续上涨ͳm 时，水面的宽度为
______m（结果保留根号）．
9．兰州牛肉面（如图1），以“汤清者镜，肉烂者香，面细者精”的独特风味和“一清二白三红四绿五黄”，
赢得了国内乃至全世界顾客的好评，并被中国烹饪协会评为三大中式快餐之一，被誉为“中华第一面”．如
图2，是一个盛放兰州牛肉面面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O 为原点建立平面直角坐标
系，已知碗口BC 宽ʹݔcm，碗深，ܣ′ 䁡′ݔcm，则当满碗汤面的竖直高度下降͸′͸cm 时，碗中汤面的水平
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宽度为______cm（碗的厚度不计）．
10．如图①是一款固定在地面，处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，A 是其弹射出口，发球机能将羽
毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，B 是羽毛球落地点．．以
，为原点，，ܤ所在直线为ݔ轴，，ܣ所在直线为ݕ轴，建立平面直角坐标系．已知，ܣ′ ͳ′ʹͷm，，ܤ′ ͷm，
羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为ݕ′㠶Ͳ′ʹͷݔʹ 㘹ܾݔ㘹洠，羽毛球在飞行过程中距离
地面，ܤ的最大高度__________m．
三、解答题
1．有一根长为洠Ͳcm 的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？最
大面积是多少？
2．掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平
距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是ʹm，
当水平距离是洠m 时，实心球达到最大高度͵′͸m．
(1)求满足条件的抛物线的关系式；
(2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于䁡′͸m
时，即可得满分10 分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由．
3．将科技元素与农业资源相结合，是推动农业现代化、提升农业生产效率和效益的重要途径．某农田引进
了一台移动喷灌机，如图，灌溉机喷出的两条水流具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y
轴对称．按照图中的平面直角坐标系，左面的一条抛物线可以用ݕ′㠶ݔʹ 㠶͸ݔ㘹ͳ 表示．
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(1)求水流的最高点到地面的距离；
(2)求左、右两条水流最高点之间的距离．
4．如图，某排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方ʹm 的A 处发出，其运行的高度ݕm
与运行的水平距离ݔm 满足关系式ݕ′ 㐸ݔ㠶͸ ʹ 㘹ʹ′͸．已知球网与O 点的水平距离为䁡m，高度为ʹ′洠m．
(1)求y 与x 的关系式；
(2)球能否越过球网？
5．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60 元．市场调查发现，若每个定价100
元，则每月可销售300 个；若每个涨价1 元，则每月可少销售5 个．设每个双肩包涨价ݔ元（ݔ为正整数），
每月的销售量为ݕ个．
(1)直接写出ݕ与ݔ的函数关系式：；
(2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？
6．如图，抛物线ݕ′ ݔʹ 㘹ܾݔ㘹洠经过点ܣ㠶ʹ,Ͳ ，ܤ洠,Ͳ ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当Ͳ ൑ݔ൑͵ 时，y 的最大值为______；
(3)M 为抛物线上一点，若ܵᇞܯܣܤ′ 洠ݔ，求此时点M 的坐标．
7．排骨藕汤，作为湖北的传统特色美食，以其独特的风味和丰富的营养深受全国人民的喜爱．某商家准备
在市场上销售排骨藕汤，市场调查发现：排骨藕汤的成本为每罐45 元；若每罐以60 元销售，平均每天可
销售40 罐；价格每降低1 元，平均每天多销售10 罐；若设每罐降价x 元（x 为整数），每天的销售量为y
罐．
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(1)直接写出每天销售量y 与x 之间的函数关系式；（不写x 的取值范围）
(2)若元旦当天，商家销售排骨藕汤的利润为880 元，为了让消费者获得更多实惠，该店每罐排骨藕汤的定
价为多少元?
(3)为了促进市场良性竞争，排骨藕汤的销售单价不得高于56 元，不得低于47 元，求该商家平均每天销售
这种排骨藕汤的最大利润．
8．2025 年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹
可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，，篮球抛出点为ܣ，当篮球运行的水平距离，ܤ为洠m 时，达
到最大高度͵′͸m．以，为原点，，ܣ所在直线为ݕ轴，，ܤ所在直线为ݔ轴，建立平面直角坐标系．已知，ܣ′
ʹm．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若篮球与ݕ轴水平距离ͷm 处的竖直高度ݕ满足͵′ʹ ൑ݕ൑͵′ͷ，视为有效投篮，请你通过计算说明机器
人此次投篮是否有效？
9．如图为某拱桥的示意图，桥面ܲܳ
平行于水面ܣܤ，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点
ܥ与桥面ܲܳ
的距离为ͳ 米，当水面距离桥面洠′͸ m 时，拱孔横跨水面宽度ܣܤ为ͳʹ 米．若以水面ܣܤ所在
直线为ݔ轴，ܣܤ的中垂线为ݕ轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题：
(1)请求出桥洞对应抛物线的表达式；
(2)若从桥面向下挂一条宽为ͳ′洠米的长方形横幅ܧܨ㔳⸶，横幅上边沿ܧܨ与桥面ܲܳ
重合，㔳、⸶恰好落在
拱孔上，求横幅的长．
10．如图1，将一钢球从斜槽ܣ，的点A 处静止释放，钢球在点O 处被向右水平抛出后，用频闪相机观察到
钢球在下落过程中的几个位置如图2 所示，并以点O 为原点，钢球运动的水平方向为x 轴建立平面直角坐
标系，得到钢球的位置坐标为(ݔ,ݕ)，钢球的运动轨迹为抛物线．根据运动的原理，可知x，y（单位：cm）
与钢球下落运动时的时间t（单位：s）的关系式分别为ݔ′ 系Ͳݐ,ݕ′㠶
ͳ
ʹ݃ݐʹ（系Ͳ为钢球在水平方向上的速度，
g 为重力加速度）．根据钢球的运动位置，测量数据如下：
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ݐs
0.1
0.2
0.3
ݔcm
0.8
1.6
2.4
ݕcm
㠶ͷ
㠶ʹͲ
㠶洠ͷ
(1)根据测量数据，钢球在水平方向上的速度系Ͳ ′ ______cm s，重力加速度݃
′ _____cm/sʹ．
(2)求钢球运动轨迹所形成的抛物线的表达式
(3)若点O 距离地面的高度为ͳ洠Ͳcm，钢球被水平抛出的正前方地面上有一个高为ͳͷcm 的无盖的正方体箱
子（箱子厚度忽略不计），若要使钢球落到箱子里，则箱子左侧到点O 的水平距离最远是多少？
11．综合与实践：
【问题情境】关注眼健康，共筑“睛”彩大视界．某电商为积极响应爱眼日活动宣传，计划销售一款护眼贴．已
知该款护眼贴的进价为50 元/盒，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量ݕ（盒）与销售单价
ݔ（元/盒）的情况如图所示：
销售单价ݔ（元/盒）
月销售量ݕ（盒）
65
1300
60
1400
70
1200
(1)【数据整理】请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
销售单价ݔ（元/盒）
60
________
________
月销售量ݕ（盒）
________
________
________
(2)【模型建立】分析数据的变化规律，求出月销售量ݕ与销售单价ݔ之间的函数关系式（不要求写自变量
的取值范围）；
(3)【拓广应用】该电商规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的䁞Ͳ%．设销售这
种护眼贴每月获利ݓ（元），当销售单价为多少元/盒时，每月获利最大？最大利润是多少元？
销售单价x（元/盒）
60
65
70
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月销售量y（盒）
1400
1300
1200
12．跳绳是民间常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同步甩动绳子．当绳子甩到最高处时，其形
状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度
都为ͳ m，并且相距洠 m．现在以两人的站立点所在的直线为ݔ轴，过小明拿绳子的手作ݔ轴的垂线为ݕ轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式ݕ′㠶
ͳ
ݔݔʹ 㘹ܾݔ㘹洠．
(1)求绳子所对应的抛物线的解析式．
(2)身高为ͳ′͸ m 的君君站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由．
(3)身高为ͳ′洠ʹ m 的小红站在绳子的下方，设她距离小明拿绳子的手为݀
 m，为保证绳子甩到最高处时过她
的头顶，直接写出݀
的取值范围．
13．如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆．已知起跳点ܧ与着陆坡
上的计分参照点ܭ的竖直距离为洠ͷm，水平距离为͵ݔm．按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次
起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线ݕ′㠶
ͳ
Ͳݔݔʹ 㘹
ͳ
ʹ ݔ㘹洠．
(1)求洠的值和该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度；
(2)请通过计算，判断着陆时他能越过ܭ点吗？
14．2026 年马年春晚上，四骏吉祥物惊艳亮相——骐骐、骥骥、驰驰、骋骋，每匹都承载着深厚的文物基
因，从西周盠驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让这些吉祥物既具有历史美感，又充满时代气
象．某商场销售该系列吉祥物玩具，其成本价为每件30 元，经市场调研发现，该系列吉祥物玩具的销售量
y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为50 元时，平均每天可售出40 件；当销售单
价为40 元时，平均每天可售出50 件．
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(1)请你求出该系列吉祥物玩具的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；
(2)若想让商场平均每天销售该系列吉祥物玩具的利润达到最大，此时的销售单价应定为多少元？最大利润
为多少元？
15．如图1 是一个花坛，将其抽象为如图2 所示的平面图，图2 中花坛的外轮廓可看作由抛物线ܣܯܤ和线
段ܣܤ组成，已知ܣܤ′ ͳͲdm，，是ܣܤ的中点，花坛的最大深度，ܯ′ 洠dm，，ܯ٣ ܣܤ，以，为坐标原
点，ܣܤ所在直线为ݔ轴，，ܯ所在直线为ݕ轴建立如图2 所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点ܥ、基是花坛下方支架与花坛的两个接触点（即点ܥ、基在抛物线上），且ܥ、基关于ݕ轴对称，若点
ܣ到水平地面ܧܨ的距离为䁞dm，ܥ、基两点之间的距离为ͷdm，ܧܨצ ݔ轴，求点ܥ到水平地面ܧܨ的距离．
16．如图1 是一款摇椅，其底座的侧面示意图可抽象为如图2 所示的抛物线，ܯܣ，已知，ܣ′Ͳݔcm，抛物
线最低点ܯ到，ܣ的距离为ʹͲcm，以，为坐标原点，，ܣ所在直线为ݔ轴，经过点，且与，ܣ垂直的直线
为ݕ轴建立平面直角坐标系，该抛物线的对称轴与ݔ轴垂直．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若ܤ、ܥ两点是该摇椅的扶手与底座的接触点（即点ܤ、ܥ均在抛物线上），且点ܤ、ܥ到，ܣ的距离均
为
ͳ䁡
ͷ cm，求ܤ、ܥ两点之间的水平距离．
17．为探究三峡水电站的发电过程，某兴趣小组计划制作水电站的模型，模型包含多个水轮发电机等组件，
如图，制作一个水轮发电机需配备ʹ 个铜线圈、ͳ 组叶片和若干其他基础配件．已知购买一个铜线圈需ͷ
元，购买一组叶片需ʹ 元（其它基础配件库存充足，无需购买）．
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(1)现有经费ʹ洠Ͳ 元全部用于购买铜线圈和叶片来制作水轮发电机，该兴趣小组最多能制作多少个水轮发电
机？
(2)由于模型储水能力有限，所有水轮发电机不能同时运行．兴趣小组测试时发现：若同时工作的发电机不
超过ͷ 个，每个发电机发电功率为每秒ͳͲ 焦耳；若超过ͷ 个，每增加ͳ 个发电机同时工作，每个发电机的
功率每秒将减少Ͳ′洠焦耳．（总发电功率′工作的发电机个数ൈ每个发电机的功率）
①设同时工作的发电机有ݔ个，当ݔ且ͷ 时，求总发电功率ܲ
（单位：焦耳/秒）关于ݔ的函数关系式；
②在（ͳ）的条件下，模型的总发电功率最大是每秒多少焦耳？
18．如图，一光点M 从原点O 出发，其路径为抛物线L 的一部分，在点ܳ
ʹ,ݔ处达到最高，并落在x 轴上
的点P 处，并在点P 处向右侧弹起，路径为抛物线㔳ǣݕ′ 㐸ݔʹ 㘹ܾݔ㘹洠的一部分，其中抛物线G 与抛物线L
的开口方向和形状相同，线段ܣܤ的端点ܣ͸,ݔ，ܤͷ,
䁞
ʹ ．
(1)直接写出点P 的坐标，并求出抛物线L 的解析式；
(2)若抛物线G 经过点ܣ͸,ݔ，求抛物线G 的函数解析式；
(3)将抛物线L 向右平移݇݇
且Ͳ 个单位长度使它与线段ܣܤ有交点，直接写出k 的取值范围．
19．【问题背景】为落实2026 年深圳APEC 峰会“开放创新，绿色发展”的办会理念，会议通信保障中心发
现，现场设备分为两类：媒体设备（记者用于直播、传输视频，占总设备数的ʹͲ% ，每台需带宽2 单位）
和普通设备（占Ͳݔ% ，每台需带宽1 单位）．每个通信基站带宽容量为600 单位．会议通信保障中心的目
标是在保障期的任意时刻，现场总带宽需求不超过基站总容量．
【模型构建】在会议开始前40 分钟启动通信保障，现场总设备数y（台）与保障时间x（分钟）满足：ݕ′㠶ݔʹ 㘹
ݔͲݔ㘹ʹͲͲ Ͳ ൑ݔ൑洠Ͳ
．
【模型应用】
(1)第______分钟，现场总设备数达到1400 台．
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(2)请求出第ݔ分钟时的现场总带宽需求݌的表达式．
(3)为满足带宽需求，至少需要部署多少个基站？请说明理由．
(4)通信中心考虑优化方案：媒体设备区必须保证ͳͲͲ% 带宽供应，普通设备区可接受“弹性保障”（当带宽
不足时，可降速至0.5 单位/台）．若普通设备区降速策略生效的阈值为：当݌且Ͳ′䁡ൈ（总带宽容量）时
启动．请通过计算说明采用此策略后，所需基站数能否减少．
20．【问题提出】某班开展课外锻炼，有7 位学生组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？
【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践：
步骤一：收集身高数据如下：
队员
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
身高/m
1.70
1.70
1.73
1.60
1.68
1.80
1.60
步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；
步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中高、两低的方式排列，同时7 名队员每两人间的距离至少为Ͳ′ͷm
才能保证安全；
步骤四，如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离ܣܥ′ 洠m，手离地面的高度ܣܤ′ ܥ基′
ͳ′ʹm，绳子最高点距离地面ʹm 时，效果最佳；
根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下：
（1）每班需要报名跳绳同学9 人，摇绳同学2 人；
（2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1．
素材2：某班进行赛前训练，发现：
（1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为͸m，
绳子最高点为ʹm，摇绳同学的出手高度均为ͳm，如图2：
（2）9 名跳绳同学身高如表．
身高（m）
ͳ′䁞Ͳ
ͳ′䁞͵
ͳ′䁞ͷ
ͳ′Ͳݔ
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人数
ʹ
ʹ
洠
ͳ
素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现：
（1）跳绳时，人的跳起高度在Ͳ′ʹͷm 及以下较为舒服；
（2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的
ͳ䁡
ʹͲ．
(1)任务1：确定长绳形状．请在图2 中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，
对应抛物线的解析式．
(2)任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称
排列，同时保持Ͳ′洠ͷm 的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学．
21．根据以下素材，探索完成任务．
设计跳长绳方案
素材1：某校将组织跳长绳比赛，要求如下：
（1）每班男、女生组各需要报9 名跳绳同学；
（2）每班另选2 名摇绳同学；
（3）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如
图1．
素材2：某班进行赛前训练，发现：
（1）如图2，在跳长绳时，绳子摇至最高处的
形状可以近似地看作抛物线．甲、乙两名同学
负责摇绳，当绳子摇至最高处时，最高点ܥ距
离地面ʹ m，摇绳位置之间的水平距离，基为
ݔ m，且摇绳位置ܣ，ܤ到地面的距离均为
ͳ m．以地面上的点，为坐标原点，线段，基所
在直线为ݔ轴，线段，ܣ所在直线为ݕ轴，建
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立如图所示的平面直角坐标系．
（2）观察跳绳同学的姿态（如图3），当长绳
摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地
面的高度是身高的
ͳͷ
ͳ͸．
问题解决
(1)任务一确定长绳形状
根据素材，求出图2 中长绳摇至最高处时抛物线对应的函数表达式．
(2)任务二探究站位碰绳问题
该班男生组选取9 名代表身高见下表，若该班体育委员决定：以长绳的最高点为中心，将同学按“中间高，
两边低”的方式对称排列，同时人与人之间保持Ͳ′͸m 的间距．当长绳摇至最高处时，同学们正屈膝落地，
长绳会触碰到最右侧的同学吗？为什么？
身高（m）
ͳ′͸Ͳ
ͳ′͸ͷ
ͳ′䁞Ͳ
ͳ′䁞ʹ
人数
2
4
2
1
(3)任务三拟定位置方案
该班女生组挑选出身高都为ͳ′͸Ͳ m 的9 名女生参加跳绳．跳绳时，同样采用一路纵队的方式安排选手位置，
但人与人之间保持Ͳ′ͷ m 的间距．当9 名女生正屈膝落地时，若要保证跳绳正常进行（绳子超过头顶），请
求出左边第一位同学离点，的水平距离݀
的取值范围．
22．综合与实践
【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥．
如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空
的玉如意．主拱和副拱轮廓近似抛物线．
综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转ͳͲݔι，
得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱．这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成
和谐的视觉平衡．
【模型建立】
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(1)如图1，实践小组记主拱所在抛物线为ܥͳ，副拱所在抛物线为ܥʹ，以它们的对称中心为原点，建立平面
直角坐标系，它们的交点所在直线为ݔ轴，即ܥͳ和Cʹ关于原点中心对称．通过测量得知ܥͳ和ܥʹ的顶点间距
离为32 米，ܥͳ和ܥʹ的左右交点ܣ、ܤ间距离为洠ݔʹ米，则Cͳ的顶点基的坐标为（0，____），左交点ܣ的
坐标为（____，0），抛物线ܥͳ的解析式为________，抛物线ܥʹ的解析式为________；
【模型应用】
(2)实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱ܥͳ不变的情况下，改成两条关于ݕ轴对称的
副拱ܥ͵ ݔ൑Ͳ 和ܥ洠ݔ൒Ͳ ，如图2，ܥͳ和ܥ͵所在抛物线关于点ܲ݉
,Ͳ 对称，且ܥ͵恰好经过ܥͳ的顶点基，请
求出左副拱C͵所在抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索ܧܨ，所在直线为ݕ′ ݔ㘹݊
，如图3，要求
斜拉索ܧܨ和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线ݕ′ ݔ㘹݊
至少要与ܥͳ，ܥ͵和ܥ洠各有一个交点，求
出݊
的取值范围．