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解答题77 分三轮冲刺保分强化训练(17)
第1 组
(时间：75 分钟分值：77 分)
1．（2026·辽宁大连·一模）已知函数
，当
时，
的最小值为
．
(1)求函数
在区间
内的零点个数；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到函数
的图象，求
的值域和
单调区间．
【答案】(1)
(2)值域为
，递增区间为
，递减区间为
【解题思路】（1）先由给定区间的最小值确定参数m，再解三角函数零点个数即可；
（2）通过平移变换得到余弦函数，再使用整体代入法求得
的值域与单调区间.
【解析】（1）函数
，当
时，
，
则当
，即
时，
，即
，
解得
，故
，
当
时，
，由
，得
，
则
，所以
，
因此函数
在区间
内的零点个数为4．
（2）依题意，
，
因此函数
的值域为
；
由
，
，解得
，
，
由
，
，解得
，
，
所以函数
的递增区间为
，
递减区间为
．
2．（2026·广西崇左·一模）如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
，E，F，G 分别为
，
，
的中点.
(1)证明：平面
平面
.
(2)若异面直线
与
所成角的余弦值为
，求四棱锥
的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解题思路】（1）根据线面平行的判定定理得到
平面
和
平面
，再利用面面平行的判定定理
即可证明；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量，从而得到锥体的高，最后利用锥体的体积公式即可得到答案.
【解析】（1）因为E，F 分别为
，
的中点，所以
.
又
平面
，
平面
，所以
平面
.
因为
，
，且E 为
的中点，所以
，
则四边形
为平行四边形，
则
.又
平面
，
平面
，所以
平面
.
因为
平面
，
平面
，
，所以平面
平面
.
（2）以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.
设
（
），则
，
，
，
，
则
，
.
因为异面直线
与
所成角的余弦值为
，
所以
，
解得
，
故四棱锥
的体积为
.
3．（2026·陕西西安·模拟预测）设函数
，其中
，且
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
恰有两个极值点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【解题思路】（1）求导，求出
和
，从而得到切点坐标和切线斜率，求出切线方程；
（2）求导，研究导函数零点个数，求出实数
的取值范围．
【解析】（1）当
时，
，则
，
所以
，又
，
所以
在点
处的切线方程为
，即
（2）
．
当
时，
，令
，
显然
单调递减，
至多有一个零点，
即
至多有一个零点，不符合题意．
当
时，
设
，则
，
令
，解得
，
所以当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
所以
的最小值为
，
当
时，
，且
；
当
时，
．
若
恰有两个极值点，则方程
有两个解，
所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
．
4．（2026·湖南怀化·一模）在抛物线
中，直线与
交于
两点，
为
的焦点.当直线为
时，
.
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)若线段
中点的纵坐标始终为1，求
的取值范围；
(3)已知直线
与
相交于
两点，直线
与
相交于
两点（点
在
轴的上方），若
，
四边形
的外接圆圆心坐标为
，求证：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解题思路】（1）联立直线与抛物线的方程，得韦达定理，进而根据弦长公式即可求解，
（2）联立方程可得韦达定理，根据中点坐标公式可求解
，进而根据焦半径公式，结合判别式即可得解,
（3）写出
的坐标，根据
得
，根据对称性判断圆心位于
，即可根据两点距离公式代
入化简求解.
【解析】（1）由题意可知
，
联立直线
与
的方程可得
，
设
,则
,
由弦长公式可得：
,
化简可得
，由于
，故
，（负值舍去）.
故抛物线的方程为
.
（2）设直线
,
直线
与抛物线
联立可得
，
故
，
由于
，
故
，
因此
的取值范围为
（3）抛物线
与直线
相交于
故
，
抛物线
与直线
相交于
故
，
根据
可得
，
由于
轴，根据对称性可知四边形
的外接圆圆心
在
轴上，故
，
由
可得
，
化简可得
，
将
代入上式可得
，
由于
，可得
，故
，故
，
进而
.
5．（2026 高三下·安徽合肥·专题练习）某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予
分的初始积分，每答对一
题加分，每答错一题减分，已知小王每道题答对的概率为
，答错的概率为
，且每道题答对与否互不影响．
(1)求小王答道题后积分小于
的概率；
(2)设小王答
道题后积分为
，求
；
(3)若小王一直答题，直到积分为
或
时停止，记小王的积分为
时，最终积分为
的概率为
，
则
，
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解题思路】（1）分小王题都答错，或答对题答错
题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答
案；
（2）设小王答对的题数为
，得到关系式
，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案；
（3）求出
的递推公式，分析可知数列
为等比数列，求得
，再利用累加
法和等比数列求和即可得到答案.
【解析】（1）小王答道题后积分小于
，则小王题都答错，或答对题答错
题，
故所求概率为
.
（2）设小王答对的题数为
，则他答错的题数为
，所以
．
由题意知
，所以
，
所以
．
（3）（i）当小王的积分为
时，
若小王接下来一题答对，则积分变为
，若小王接下来一题答错，则积分变为
．
由全概率公式有
，即
，
整理可得
．
又
，所以
为等比数列．
（ii）由（i）可得
，
所以
，
又
，所以
．
所以
.
第2 组
(时间：75 分钟分值：77 分)
1．（2026·湖南邵阳·二模）已知数列
是等差数列，且
，
，数列
满足
，
.
(1)求
的通项公式，并证明数列
是等比数列；
(2)若数列
满足
，求
的前
项和
.
【答案】(1)
，证明见解析
(2)
【解题思路】（1）根据题意求出等差数列
的公差，即可得到其通项公式；由数列
满足
，
.根据等比数列的定义可证明数列
是等比数列；
（2）由分组求和法，结合等差数列、等比数列的前
项和公式可求得
.
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，由
，
，
得
，解得
.
所以
.
由
得
，即
，
又
，
所以
是一个以4 为首项，3 为公比的等比数列.
（2）由（1）可得
，所以
.
所以
.
所以
.
2．（2026·湖南怀化·一模）我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎.某品牌新能源汽车公司为了
抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5 年的年广告费
（单位：百万元）和年销售量
（单位：百
万辆）关系如图所示：
令
，数据经过初步处理得：
.现有①
和②
两种模型作为年销售量
关
于年广告费
的回归分析模型，其中
均为常数.
(1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
(2)为刺激消费，
省出台了以下补贴政策：每购买一辆新能源汽车，补贴6000 元.若甲乙两人近期在
､
省购买一
辆该新能源汽车的概率分别为
，其中
，每人最多购买一辆.求该省对甲乙两人补贴总金额的期
､
望值的取值范围.
参考数据：
.
相关系数
.
【答案】(1)模型②的拟合程度更好
(2)
元
【解题思路】（1）利用公式分别求出模型①和②的相关系数，结合相关系数的意义即可判断哪一个模型拟合程度
更好；
（2）根据已知得该省对甲乙两人补贴总金额的期望值为
､
，结合二次函数的性质求范围.
【解析】（1）设模型①和②的相关系数分别为
，
由题意可得：
，
，
所以
，由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好.
（2）由题意，甲乙买车的总数量
可能值为
，
，
，
，
该省对甲乙两人买车数量期望值为
､
，
所以两人补贴总金额期望值为
，
，
由
在
上单调递增，则
，
所以
.
3．（2026·河北石家庄·一模）如图，在四棱锥
中，
是正三角形，四边形
是菱形，
，
，点
是棱
上的一点.
(1)若
为棱
的中点，求证：
平面
；
(2)若平面
平面
，是否存在点
，使得点
到平面
的距离为
.若存在，求出
的值；若不存
在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解题思路】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）解法一：取
的中点
，连接
，利用面面垂直的性质定理得
平面
，建立空间直角坐标系，
求出平面
的法向量，设
，利用点面距离的向量公式列式求解即可；
解法二：取
的中点
，连接
，利用面面垂直的性质定理得
平面
，利用等体积法求得
，利用
求解即可.
【解析】（1）在四棱锥
中，连接
，交
于点
，连接
，
因为四边形
为菱形，所以
为
的中点，
因为
为
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）解法一：取
的中点
，连接
，
四边形
是菱形，且
，
为正三角形，所以
，
因为
为正三角形，所以
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，且
，所以
平面
.
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
，
，则
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，令
，则
，
，则
.
假设存在点
，使得点
到平面
的距离为
，
设
，点
到平面
的距离为
，
则
解得
，
所以存在点
，当
时，点
到平面
的距离为
.
解法二：取
的中点
，连接
，
四边形
是菱形，且
，所以
为正三角形，所以
，
因为
为正三角形，所以
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，且
，所以
平面
.
又
平面
，所以
，因为
为等边三角形，边长为8，
所以
，所以在
，
又
，可以求得
，
所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，可得
，
所以存在点
，当
时，点
到平面
的距离为
.
4．（2026·湖南邵阳·二模）已知双曲线
的渐近线方程为
，右焦点为
，直线与
相切于点
.
(1)若与
的渐近线分别交于
，
两点，证明：点
为线段AB 的中点；
(2)已知直线：
，
：
，若与，
分别交于点
，
，是否存在实数
，使得
恒成立？
若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解题思路】（1）利用双曲线的渐近线方程和焦点坐标求出双曲线的标准方程，根据直线是否存在斜率进行分
类讨论，结合一元二次方程根与系数关系进行运算求解证明即可；
（2）根据两点间距离公式，结合（1）的结论进行求解即可.
【解析】（1）设双曲线
，
由题意得：
解得
故双曲线方程为
.
设
，则
ⅰ）当切线斜率不存在时，由对称性可知，
为AB 的中点.
ⅱ）当切线斜率存在时，设切线
（
或
）
联立方程组：
消去
得：
.
由
，即
.
又
，则
，
，
所以
，即
，解得
.
所以直线
，又
，则
.
联立方程组：
消去
得：
，因为
.
则上式化简为
，
恒成立.
设
，
，则
，所以
为AB 的中点.
（2）因为与相交，则切线的斜率存在，
由（1）知，切线
，将
，
分别代入切线的方程得
所以
，
，则
，
.
所以
.
故存在
，使得
恒成立.
5．（2026·广东佛山·一模）已知函数
．
(1)求函数
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)设
为两个不相等的正数，且
，证明：
．
【答案】(1)
(2)
在区间
上为增函数，在区间
上为减函数
(3)证明见解析
【解题思路】（1）先求切点，再求斜率即可.
（2）讨论导数的正负，从而得到原函数的单调性.
（3）分别证明不等式的两个方向，先将函数变形成
的极值点偏移问题，构造对称函数即可证明，另一个方
向构造新函数，研究新函数的最值.
【解析】（1）
，所以切点
由
得，
，
所以切线方程为：
，即：
（2）
的定义域为
．
由
得，
，
当
时，
；当
时
；当
时，
．
故
在区间
内为增函数，在区间
内为减函数，
（3）
变形为
，所以
．
令
．则上式变为
，
于是命题转换为证明：
．
因为
，则有
，不妨设
．
由（2）知
，先证
．
要证：
．
令
，
则
，
∴
在区间
内单调递增，所以
，即
．
再证
．
因为
，所以
，所以
，所以需证
．
令
，
所以
，故
在区间
内单调递增．
所以
．故
，即
．
综合可知
．
