初中数学解题技巧——怎样进行因式分解之完全平方公式拓展

完全平方公式搭建起(a+b)、(a-b)、ab、a²+b²这四个代数式之间的等量桥梁。只要已知四个量当中任意两个的值，借助公式变形就可以求出剩余两个，这类题型统称为知二求二。

而配方技巧是代数式变形的一类通用方法，核心思想是对多项式添项、拆项，构造出完全平方式。它不仅仅是单独的计算题型，更是解决求代数式最值、证明代数式恒为非负数、化简、解方程的底层手段，贯穿二次函数、一元二次方程等重难点章节。

a² + b² = (a+b)² - 2ab

理解：和的平方展开后是a²+b²+2ab，减去两倍乘积，分离得到两数平方和

a² + b² = (a-b)² + 2ab

理解：差的平方展开是a²+b²-2ab，补上两倍乘积，分离得到两数平方和

(a+b)² = (a-b)² + 4ab

理解：两式对比，和平方与差平方相差4ab，可实现和、差平方之间的互相转化

(a-b)² = (a+b)² - 4ab

理解：和平方减去4ab就能得到差的平方，常用于已知和与乘积，求两数之差相关式子

核心目标：将二次三项式ax²+bx+c化为a(x+m)²+n的形式。

理解：配方本质是恒等变形，只改变式子书写形式，不能改变原式的值，所以添项必须同步减项。

① 分组：把含x的二次项、一次项放括号内，常数项留在括号外面；

② 提系数：括号内提取二次项系数，保证括号内二次项系数为 1；

③ 配平方：取括号内一次项系数的一半，求它的平方；加上这个平方项，同时减去同一个数，保证代数式整体大小不变；

④ 整理变形：括号内前三项写成完全平方形式，再合并外部所有常数，最终整理成a(x+m)²+n

• 知二求二公式混淆，2ab的正负号记反，(a-b)²展开漏掉中间负号；

• 配方时只加平方项、不减去，破坏恒等关系，改变原式大小；

• 提取二次项系数之后，仅对括号内配平方，括号外常数忘记乘除系数，计算出错；

• 已知(a±b)²求a±b，直接只写正数解，漏掉负根，出现漏解；

• 分式型对称式（x±1/x）平方时，误算中间交叉项，忘记x·1/x=1

1、已知a-b=3，ab=2，求a²+b²的值

【解析】

利用差的完全平方变形，代入计算即可

【答案】

解： a² + b² = (a-b)² + 2ab

代入a-b=3，ab=2

原式= 3² + 2×2 = 9 + 4 = 13

2、将x²+4x-1配方成(x+m)²+n的形式

【解析】

将x² + 4x - 1配方成(x+m)²+n的形式

【答案】

解：原式= x² + 4x + 4 - 4 - 1= (x+2)² - 5

3、已知x+1/x=3，求x²+1/x²的值

【解析】

经典完全平方变形，将x+1/x平方后，中间项为常数 2，移项即可求

【答案】

解：将x+1/x=3两边平方得：

(x+1/x)²= x² + 2·x·1/x + 1/x² = 9

即x² + 2 + 1/x²= 9

∴x² + 1/x² = 7