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基本不等式|高中数学知识点总结(含配套讲解视频)
本期把「基本不等式」这一个知识点讲透：核心定义 → 公式定理 → 典型例题 → 高频易错 → 高考考法，一次看完，不用再翻五本书。
文末附本节配套讲解视频（11 个网盘视频，点击文末阅读原文即可领取）。
▲ 基本不等式 · 本页知识地图（全部知识模块速览）
一句话定义
基本不等式就是”两个正数的算术平均数不小于几何平均数”：对 a>0, b>0，有 (a+b)/2 ≥ √(ab)，即 a+b ≥ 2√(ab)。等号当且仅当 a=b 时成立。它是求”正数和最小、积最大”最值问题的王牌工具。配套的还有 a²+b² ≥ 2ab。掌握”一正二定三相等”三原则，就能用它秒杀大量最值题。
▲ 基本不等式 · 核心概念示意图
核心公式与定理
1. 基本不等式及其变形
(a+b)/2 ≥ √(ab)（a,b>0），等号 a=b a²+b² ≥ 2ab（任意实数），等号 a=b ab ≤ (a+b)²/4（a,b>0） 1/a + 1/b ≥ 4/(a+b)（a,b>0）
2. 一正二定三相等
- 一正
：a、b 必须为正数（否则不等式反向或不成立） - 二定
：a+b 或 ab 中至少有一个是定值（才能求另一的最值） - 三相等
：等号必须能取到（a=b 要在定义域内可达）
3. 求最值的两种模式
和定积最大：a+b 定 → ab ≤ (a+b)²/4，当 a=b 取最大 积定和最小：ab 定 → a+b ≥ 2√(ab)，当 a=b 取最小
4. 凑项与配凑
当不满足”定”时，常通过拆项、配凑常数、乘系数制造定值。例如求 x+1/x (x>0)：积 x·(1/x)=1 定，和 ≥2，x=1 取等。
5. 多个变量
三元：a+b+c ≥ 3·∛(abc)（a,b,c>0）。更常用”两两配对”或”齐次化”。
6. 与函数的关系
基本不等式是导数求最值之外最简洁的代数法，特别适合”分式、根式、对勾函数”型。
7. 易忘的陷阱：能取到等号
例如求 x+1/x (x>0) 最小值 2，但若限制 x∈(0,1)，x=1 取不到，则最小值不是 2（此时函数递减，下确界 2 但取不到，需看端点）。
典型例题
例 1（直接）x>0，求 x+1/x 的最小值。
解：x+1/x ≥ 2√(x·1/x)=2，x=1 取等。最小值 2。
例 2（和定）x>0,y>0,x+y=10，求 xy 最大值。
解：xy ≤ (x+y)²/4=25，x=y=5 取等。最大值 25。
例 3（配凑）x>1，求 x+1/(x−1) 最小值。
解：x+1/(x−1)=(x−1)+1/(x−1)+1 ≥ 2+1=3，当 x−1=1 即 x=2 取等。最小值 3。
例 4（凑系数）x>0，求 2x+8/x 最小值。
解：2x+8/x ≥ 2√(2x·8/x)=2√16=8，当 2x=8/x 即 x=2 取等。最小值 8。
例 5（积定）x,y>0,xy=16，求 x+y 最小值。
解：x+y ≥ 2√16=8，x=y=4 取等。最小值 8。
例 6（应用）用长 20m 篱笆围矩形菜地，最大面积？
解：2(x+y)=20 → x+y=10。面积 S=xy ≤ 25，x=y=5 取等。最大面积 25m²。
例 7（等号取不到）x∈(0,1)，求 x+1/x 最小值。
解：x=1 不在区间内，等号取不到。f(x)=x+1/x 在 (0,1) 递减，无最小值（下确界 2）。若求 x∈[1,2] 则 x=1 处最小=2。
▲ 基本不等式 · 高频易错点自查，考前逐条对照
易错点与陷阱
- 一正忘验
：a、b 必须为正。负数时 a+b≥2√ab 不成立（如 −2+(−2) < 2√4）。 - 二定忘验
：和或积必须有一个是定值，否则不能求最值。 - 三相等忘验
：等号取不到时最值不存在或要换方法（看单调性）。 配凑时拆项后要求”剩余部分积为定值”，拆错导致无效。 把 a²+b² ≥ 2ab 用于负数也成立，但基本不等式 a+b≥2√ab 仅限正数。 多元最值盲目套用，应满足齐次或配对。 应用题忘验算”等号能否实际取到”（如边长限制）。 与导数法混用时，基本不等式法更快但易漏”定”的条件。
高考怎么考
①小题：直接用基本不等式求最值（5 分）。②配凑：拆项制造定值。③应用题：面积、造价最优化。④大题：与函数、导数、解析几何综合。⑤等号检验是常设陷阱。近 5 年考情：每年 1-2 题，分值 5-12 分。
常见问题（FAQ）
Q：”一正二定三相等”怎么理解？A：①一正：a、b 得是正数；②二定：a+b 或 ab 之一为定值；③三相等：a=b 时等号真能取到。三条全满足才能用基本不等式求出最值。
Q：为什么 x+1/x 最小值是 2 而不是别的数？A：因为 x·(1/x)=1 是定值，由 a+b≥2√ab 得和≥2，且 x=1 时取等，所以最小值就是 2。
Q：等号取不到怎么办？A：说明在该范围内基本不等式给的是”下界”但达不到，此时改用函数单调性分析（如例 7）。
Q：和定积最大、积定和最小怎么记？A：固定和 → 想让积尽量大 → 等号 a=b 时最大；固定积 → 想让和尽量小 → a=b 时最小。对称时达到极端。
Q：基本不等式和导数求最值哪个好？A：基本不等式快且巧，但要求”定”且等号可达；导数法通用但计算量大。能配凑定值优先用基本不等式。
学习建议：①背熟 a+b≥2√ab 及变形。②做 15 道”求最值”题，每道先验证三原则。③做 8 道”配凑”题（拆项、加常数）。④做 5 道”应用题”。⑤做 3 道”等号取不到”辨析题。
▲ 基本不等式 · 本节要点速记卡，考前 1 分钟过一遍
提分锦囊
①三原则刻进脑子：一正（a,b>0）、二定（和或积有定值）、三相等（a=b 能取到）。②配凑是核心：不定时拆项、加常数、乘系数制造定值。③和定积最大、积定和最小：对称时取等。④等号取不到换单调性：下界达不到时看函数单调。⑤多元用均值链：√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√(ab)≥2ab/(a+b)。
例 8（配凑）x>0，求 3x+12/x 最小值。
解：3x+12/x ≥ 2√(3x·12/x)=2√36=12，当 3x=12/x 即 x=2 取等。最小值 12。
例 9（和定）x,y>0,x+2y=8，求 xy 最大值。
解：xy=(x)(2y)/2 ≤ ((x+2y)/2)²/2=(4)²/2=8，当 x=2y=4 取等。最大值 8。
例 10（三元）a,b,c>0 且 a+b+c=9，求 abc 最大值。
解：abc ≤ ((a+b+c)/3)³=27，a=b=c=3 取等。最大值 27。
Q：为什么有时等号取不到？A：基本不等式给的是”下界（或上界）”，但取等条件 a=b 必须落在实际定义域内。如 x∈(0,1) 时 x+1/x 的下界 2 对应 x=1 不在区间内，故取不到，此时函数递减，要改用单调性看端点。
考场速记
①a+b≥2√ab（a,b>0），等号 a=b。②一正二定三相等。③和定积最大、积定和最小。④配凑制造定值（拆项、加常数、乘系数）。⑤等号取不到换单调性。⑥均值链：√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√(ab)≥2/(1/a+1/b)。⑦多元用 a+b+c≥3·∛(abc)。
延伸提醒
基本不等式 (a+b)/2 大于等于 √(ab) 对 a 大于 0、b 大于 0 成立，等号当且仅当 a=b 时取到。用它求最值要满足“一正二定三相等”：各项为正、和或积为定值、且能取到等号，三步缺一不可。已知和为定值时乘积有最大值，已知积为定值时和有最小值。常见变形是凑项凑系数，例如对 x 加 1/x 用均值求最值；若等号取不到（如范围不含等号点），要改用单调性。
本节配套讲解视频（百度网盘）
本节共配套 11 个讲解视频，按难度从「考点梳理」到「压轴模型」递进，建议先看前两个打基础，再挑后面的模型课突破。
基本不等式基础 不会做题？基本不等式「进阶方法」全梳理！ 【不等式 基础知识】基本不等式（中档） 【不等式】基本不等式中的“凑形”(中档） 【不等式】基本不等式 【不等式】“1”的代换（中档） 12.1 均值不等式（必修五） 12.2 均值不等式的应用（必修五） 3.1 基本不等式（选修4-5） 3.2 几何平均不等式、平均不等式的一般形式（选修4-5） 3.3 基本不等式的应用（选修4-5）
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本篇是「高中数学知识点精讲」系列第 7 / 79 讲。关注公众号「途鸟中小学课堂」，每天一讲自动送达。