高中数学核心解题技巧120讲(第21讲)

第二十一讲数形结合解平面向量问题

向量是既有大小又有方向的量，故向量具有代数和几何的双重身份，向量的引入给传统的数学带来了无限生机和活力，重视向量的应用，要注意向量与平面几何的结合、向量与三角函数及解三角形的结合、向量与解析几何的结合、空间向量解立体几何问题.运用向量法解题最为重要的是体现图形语言与符号语言的相互转换，领悟其中包含的诸如数形结合等数学思想与思维方法.

向量加法的平行四边形(或三角形)法则是运用几何性质解决向量问题的基础，向量的坐标表示及坐标运算法则是用代数的方法来研究向量，体现了向量集数、形于一身的特点，还有诸如向量的模、两向量的夹角、共线与垂直都是形中觅数、数中寻形，代数问题借助于图形的几何性质、几何问题代数化.

例1已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，联结DE并延长到点F,  使得DE=2EF,则AF·BC的值为(  ).

解题策略：本例两小题是与向量数量积有关的最值或值域的求法。通常，对于向量的数量积的计算有三种方法：①利用向量数量积的定义，计算两个向量的模及夹角；② 根据向量数量积的几何意义，明确向量投影的含义；③建立坐标系写出向量坐标，利用向量的坐标进行运算.而求最值或值域的方法常用配方法、判别式法或基本不等式法。