第01章

同一个二次函数，题目可以把“下一步”藏得越来越深

先看一个特别简单的对比。

题目一：

x² - 5x + 6 = 0

求 x。

大多数人不会慌。

因为题目已经非常接近操作层了。

你可以因式分解：

(x - 2)(x - 3) = 0

于是：

x = 2　或　x = 3

整个过程里，题目几乎已经明确告诉你：

我要你解这个方程。

可换一道题。

已知函数：

f(x)=x²-5x+6

问：函数在什么地方与 x 轴相交？

很多人仍然会。

因为只要翻译一步：

与 x 轴相交
↓
纵坐标等于 0
↓
f(x)=0

题目变了，但只藏了一层。

再往前走。

如果题目变成：

f(x)=x²-5x+a
图像与 x 轴有两个不同交点，求 a 的范围

这时候情况开始不同了。

题目没有写“请使用判别式”。

它甚至没有直接说“方程有两个不同实根”。

你得自己把这句话翻译成：

图像与 x 轴有两个不同交点
↓
方程 x²-5x+a=0 有两个不同实根
↓
Δ>0

于是：

25 - 4a > 0

得到：

a < 25/4

再把它藏深一点。

如果题目问：

当 a 取什么值时，函数图像恰好与 x 轴只有一个公共点？

它连“一个实根”都不说了。

你需要自己想到：

一个公共点
↓
相切
↓
方程只有一个实根
↓
Δ=0

于是：

25 - 4a = 0

所以：

a = 25/4

这几道题真正增加的难度，并不是判别式计算有多难，而是题目少告诉了你一步。

第02章

真正拉开差距的，是题目和工具之间的距离

这就是高中数学一个非常重要的变化。

越简单的题，越接近“操作”。

题目直接问你：

求导。

解方程。

求距离。

算概率。

你学过工具，拿出来用就行。

可越往后，题目越不会这么客气。

它不会说：

“请把这个问题转化成函数最值。”

它只会说：

“对任意 x 都成立。”

它不会说：

“请研究图像与水平线的交点个数。”

它只会说：

“方程有三个不同实根。”

它不会说：

“这里请寻找临界状态。”

它只会说：

“恰好成立。”

真正需要你完成的，是中间那一段没有写出来的东西。

所以很多人会产生一个错觉：

“高中数学公式越来越多。”

公式确实变多了。

但真正把人拉开差距的，往往不是公式数量。

而是题目和公式之间的距离越来越远。

初中很多题大概是：

条件 → 公式 → 答案

高中难一点的题更像：

题目语言
↓
数学关系
↓
中间目标
↓
另一个数学关系
↓
工具
↓
答案

你学过的是最后那个工具。

但考试真正问你的，是：

前面这几层你能不能自己找到。

第03章

高手也不是一眼看到答案，他们只是能继续生成下一步

比如题目说：

函数有两个不同零点。

如果你的脑子只停在这七个字上，就很难继续。

可你可以往下翻：

两个零点
↓
f(x)=0 有两个不同解
↓
函数图像与 x 轴有两个不同交点
↓
研究图像走势
↓
单调性
↓
导数

到这里，导数才真正出来。

所以真正的路线不是：

看到函数 → 求导

而是：

零点个数 → 图像交点 → 图像走势 → 单调性 → 导数

这条路，题目从来没有写出来。

它默认你自己能补出来。

这也解释了为什么很多学生会觉得：

“老师讲的时候我怎么都能听懂，一到自己做就没思路？”

因为老师讲题时，他替你完成了最难的部分。

他说：

“这里我们先构造一个函数。”

你觉得合理。

他说：

“因为问的是恒成立，所以转成最值。”

你也觉得合理。

他说：

“这里研究零点个数，所以看函数图像。”

你还是觉得合理。

后面的求导、解方程、分类讨论，你甚至都会。

于是产生一个错觉：

“这题我会。”

可把老师拿掉以后，最关键的一句话也消失了：

“这里为什么要这么做？”

而这句话，恰恰就是考试真正要你自己生成的东西。

真正数学好的人，也不是每次看到题都能瞬间看到完整答案。

高手也会卡，也会试，也会发现方向不对。

区别是，他们很少因为看不到终点，就完全不知道干什么。

他可能只知道第一小步：

“先把三个实根翻译成三个交点。”

然后继续。

走到交点以后，又发现：

“我要知道图像什么时候能被一条水平线切三次。”

再继续。

“那我需要最高点和最低点。”

再继续。

“极值就去看导数。”

整条路不是突然蹦出来的。

是一步一步生成出来的。

第04章

订正一道题，最应该留下的不是答案，而是“找路过程”

所以考试里真正危险的，不是：

“我不知道最终答案。”

而是：

“我连下一步能做什么都不知道。”

这也是为什么数学学习不能永远停留在：

“这道题用了什么方法？”

这个问题太晚了。

答案已经把路线走完了，你回头给它取一个名字当然容易。

真正应该研究的是：

路线到底是从哪一步开始长出来的？

以后订正一道题，可以在答案旁边少抄几行计算。

只写三句话。

第一句

题目哪句话最关键？

第二句

这句话可以翻译成什么数学关系？

第三句

这个关系为什么会让我想到下一步？

比如：

有三个不同实根
↓
三个交点
↓
需要图像有足够的高低变化
↓
找极值
↓
研究导数

一道题最值钱的部分，就留下来了。

你会慢慢发现，所谓数学越来越难，并不是每一步都越来越变态。

很多时候正好相反。

最后真正算起来的东西，还是那些：

方程。

不等式。

导数。

坐标。

向量。

概率。

真正变难的是：

题目越来越少替你做选择。

以前它把工具递到你手上。
后来它只给你目标和条件。

中间那条路，要你自己搭。

所以数学真正拉开差距的地方，也从来不只是：

你会多少。

而是：

当题目不再告诉你下一步的时候，你还能不能自己往前走。

这才是高中数学真正开始变难的地方。