【习题研讨】126. 据说 H2Q 进校考:用托勒密定理解决加权费马点问题

本期题目来自哈老师公众号

H2Q 进校考.

现在的小朋友已经要在进校考里处理这样的题目了. 十年前刚开始教课外数学时，我研究过加权费马点问题，当时的一个方法用到的工具就是托勒密不等式，记得费了很多心思才理解 广义托勒密定理1 以及 广义托勒密定理-2

本题之所以会想到托勒密不等式，是我们可以把待求的式子除以 ，于是出现了

的形式，这正好和托勒密定理（不等式）两组对边乘积之和对应上了，剩下的就是要找到合适的四边形的构造. 下面是 AI 的解答.

上图中的  画在取得最小值的位置；证明不等式时， 可以是三角形内部任意一点.  图形整体旋转不影响题解.

注意到系数满足：

因此构造边长比为  的辅助直角三角形，再利用托勒密不等式，将前两个加权距离合成一段距离.

在直线  与点  相异的一侧作点 ，使：

由勾股定理的逆定理：

所以  在以  为直径的圆上.

对四点 、、、，托勒密不等式给出：

代入已知长度，得：

即：

再由三角不等式：

设  为  在  上的垂足， 为  的中点. 在直角三角形  中，由射影定理及面积关系：

正三角形的高为：

因此：

由于 、 位于直线  的两侧，两点沿垂直于  方向的距离为两段高之和.  由勾股定理：

于是：

记以  为直径的圆为圆 ，取线段  与圆  在三角形内部的交点为 .

先说明这个交点确实存在. 、 在  上的垂足分别为 、，且 、 都在线段  内，所以线段  与  的交点  也在线段  内.  在圆  内，而  在圆  外，因为：

因此线段  与圆  有一个交点 ，且  位于正三角形内部.此时四点按 、、、 的顺序共圆，由托勒密定理：

故第一步不等式取等.  同时  在线段  上，因此：

第二步不等式也取等.  综上，所求最小值为：

那么最小点就落在权重最大的那个点上，直接放缩就可以得到该结论.

还可以把  看成受到三股拉力的结点，三股力分别指向 ，大小之比为 . 在内部最优点，三股力的向量和为零.

因为 ，前两股力必定互相垂直，因此

这也解释了最优点为什么落在以  为直径的圆上.进一步可以用向量和面积关系算出最小值，此处不展开.

第 (1) 小问系数比是 , 因此答案在顶点  上. 第 (2) 小问的系数比是 , 点  肯定在顶点或者三角形内部，具体要依赖于三角形的形状，不知道题目有没有背全.