高中数学|椭圆＂定点+定值＂压轴题:韦达定理与直径圆的完美联动

椭圆中的定点与定值问题，是解析几何压轴题的高频考点，也是很多同学”看到就跳过”的题型。今天这道题把韦达定理、直线截距、圆的直径性质串成一条完整的逻辑链，“设而不求”的技巧贯穿全程。跟着一步步算，你会发现”定点”和”定值”都不是玄学，而是硬算出来的必然结果。

如图，已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A(2,0)，，M，N为椭圆E上关于x轴对称的两点（不与点B重合），Q(1,0)，直线MQ与椭圆E交于另一点C，直线QP垂直于直线NC，P为垂足．

（1）由椭圆E过点A(2,0)，，设E的方程为，代入两点坐标得

解得，n=1，所以E的方程为．

（2）（i）依题意，直线MQ的斜率存在且不为0．这里不必设点斜式，注意到直线过Q(1,0)，设MQ的方程为，这样只需一个参数t，还天然避开了斜率的讨论．

设点C(x₁,y₁)，M(x₂,y₂)，则N(x₂,−y₂)．由

消去x并整理得(t²+4)y²+2ty−3=0，则Δ=16t²+48>0，且

先看一个隐藏关系：，即2ty₁y₂=3(y₁+y₂)，这是后面化简的钥匙．

再看直线NC：其斜率，方程为．令y=0求x轴截距：

把x₁=ty₁+1，x₂=ty₂+1代入，分子为y₂(ty₁+1)+(ty₂+1)y₁=2ty₁y₂+(y₁+y₂)，再用上面的隐藏关系，分子=3(y₁+y₂)+(y₁+y₂)=4(y₁+y₂)，所以

即直线NC恒过定点(4,0)．

（ii）令直线NC过的定点(4,0)为点H．由，P在NC上，得QP⊥ NC，而H也在直线NC上，所以QP⊥ PH，即．

换句话说，点P始终在以QH为直径的圆上．Q(1,0)，H(4,0)，QH的中点为定点，半径为，故为定值．

椭圆中的定点与定值问题有三板斧：一是”设而不求”，用过定点的直线x=ty+1把两个交点坐标统一进参数t，用韦达定理整体处理y₁+y₂与y₁y₂；二是”先找隐藏关系”，本题2ty₁y₂=3(y₁+y₂)就是把杂乱的分子化简成4(y₁+y₂)的关键一步，定点(4,0)由此浮出水面；三是”几何条件的代数翻译”，QP⊥ NC加上H在NC上，立刻翻译成”P在以QH为直径的圆上”，定值不算自明．见到垂直，先想圆的直径所对圆周角是直角，这一反射能省掉大量坐标运算．