向量最值问题高考复习指导

以一道向量最值题为样本，把一道好题拆成一张复习地图：原题什么样、考什么、用什么方法、踩哪些坑、怎么练。

一、原题

已知平面向量、、满足

且与的夹角为，则的最大值为（　　）

自测要求：先不看下文，独立完成这道题，限时 3 分钟；做完再往下读，拿你的解法逐节对照——越清楚自己卡在哪一步，收获越大。

答案：A。

这道题的"长相"：条件只有四个——两个模长、一个垂直、一个夹角；目标是一个数量积。没有坐标，没有解析式，连"点在哪儿"都没说清楚。这种"条件极简、目标极简"的题，恰恰最考验翻译能力：你能不能把"垂直"和"夹角"这两句几何语言，换成圆、换成距离、换成投影。

二、这道题考了什么

命题定位：新高考卷中，这类题常出现在单选压轴（第 7、8 题）或填空压轴（第 13、14 题）位置，分值 5 分。命题人刻意压低计算量——考的是"翻译能力"，不是硬算耐力。

三、四大通法

方法 1：坐标法——建系硬算

适用：图形中有明显的垂直或正交结构（本题就是天生坐标系）。

三步操作：建系设点 → 把条件写成坐标方程 → 目标函数化。

本题示范：设、、、，条件用夹角公式展开，得关于的约束，再求目标函数最值。

易错：无理方程两边平方前先确认非负；化简过于繁琐时果断换路，本题硬算量大，坐标法更适合用来验算。

方法 2：距离化归（极化恒等式）

适用：目标式出现这类"点积减法"结构。

两个核心公式：

极化恒等式（数量积与模的桥梁）：

中线形式（为中点时）：

本题对应恒等式（利用、消去）：

易错：展开时中间项符号写错；忘记把、这类已知常数代入化简。

方法 3：几何法（定弦定角定圆 + 投影）

适用：条件是"动点对定线段张定角"——本题正是这种结构。

三步操作：

1. 找定弦
   ：，即线段长；
2. 定角定圆
   ：张角对应外接圆半径，建系后圆心为；
3. 投影取最值
   ：注意，投影方向就是方向，且，故目标式（在方向上的投影）。圆上动点沿定方向的投影最大值 = 圆心投影 + 半径，于是最大值为。

易错：满足条件的轨迹只是一段弧，不是整个圆；取等点还要保证不与、重合（否则夹角退化）。完整几何结构见图 1。

方法 4：参数法

适用：轨迹是圆、椭圆等标准曲线时，设参数把二维问题压成一维。

两种参数化：轨迹是圆时直接写；约束是距离方程时先配方成椭圆再设角参数。

本题示范：圆的参数式代入目标式，得，辅助角一收，最大值，三行结束。

易错：轨迹是一段弧时参数有区间限制，取等点必须在范围内；辅助角公式合并时的象限判断。参数法的"取值范围"问题，图 2 里标得很清楚。

四、原题完整解答

下面用两条路把原题做一遍，你做题的思路可以和它逐句对照。

路线一：几何法

第 1 步：把目标式翻译成距离

由模的平方展开，，，两式相减消去：

于是目标式只与两条线段、的长度有关。

第 2 步：把翻译成圆

由建系：取、、，则。

，，二者夹角即。由定弦定角公式，点落在以为弦、半径

的圆上；圆心在的垂直平分线上，算得（恰是关于原点的对称点，，可作验算）。

一个容易漏掉的点：这样的圆其实有两个，关于对称——另一个圆心是，对应另一侧的一段弧。但后面要投影的方向恰好平行于，而两圆心的连线垂直于，两段弧给出的最大值完全相同（都是，取等点分别为与）。

读图要点：垂直条件让落在以为直径的小圆上；夹角条件让落在半径的大圆（严格说是其中一段优弧）上。

第 3 步：把最值翻译成投影

，模长，单位方向（即方向）。圆上一点沿的投影最大值 = 圆心沿的投影 + 半径，故

取等点。回代检验：；此时、，由余弦定理

与吻合，条件成立。选 A。

路线二：参数法

既然在圆上，直接设，点乘：

取等时，得，与几何法完全一致。注意的有效范围是到（图 2 中的实线部分），取等点落在范围内，无需担心取不到。

读图要点：横轴是在大圆上的位置角。从（点，目标值）走到（点，目标值）是符合题意的那段弧；峰值出现在，目标值。左侧灰色阴影区是劣弧，对张，不合题意——参数法最怕漏掉这一段范围限制。

几何法先"看见"圆再算，参数法先"写出"圆再算。 前者省在理解，后者省在运算。

五、三条路怎么选

第四节演示的是投影法与参数化圆两条。还有第三条路——三角换元：设、，在中由余弦定理得约束式

配方成椭圆后设角参数，同样算出最大值。它不如前两条快，好处是不依赖图形，纯代数也能走通（这两个记号下一节还会用到）。

考场建议：先花 10 秒判断条件类型——见"夹角恒定"直接走几何；见"距离平方和与差"走化归；都不明显再建系硬算。

六、高频坑与对策

一句话记牢：判别式管"有没有解"，换元管"最值是多少"，边界条件管"能不能取到"。

七、考前必背清单

1. 极化恒等式：，以及中线形式；
2. 定弦定角：弦长、圆周角，则半径，圆心在弦的垂直平分线上；
3. 直径所对的圆周角是直角——垂直条件可以翻译成"动点在以某线段为直径的圆上"；
4. 圆上动点投影最值：设圆心、半径、单位方向，则的最大值为，取等点是圆心沿方向前进的那个点（一般方向先除以化为单位向量）；
5. 辅助角公式：；
6. 模平方展开：，正用反用都要熟。

八、真题印证与命题趋势

例（2017·全国Ⅱ卷·理 12）：已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，求的最小值。

答案：最小值。 提示：取中点，则，原式。由得最小值，当时取得。用的正是极化恒等式的"中线"思想——与本文例题一脉相承。

命题趋势：

• 向量最值从"送分运算"转向"结构翻译"，背景常是定角、定长、定比；
• 与解三角形、轨迹（解析几何）、三角变换交汇是新高考主流；
• 压轴选择题往往计算量很小，专门奖励"先看穿结构"的考生，惩罚"埋头硬算"的考生。

九、复习路线

自测清单：

• 能默写极化恒等式，并独立推导中线形式；
• 能由"弦长、张角"直接说出半径与圆心位置；
• 能解释为什么判别式不能拿来求最值；
• 能对本题给出两种以上解法并比较优劣。